Relations métriques dans un triangle

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RELATIONS METRIQUES DANS LE PLAN

1) Centre de gravité d’un triangle :

a) Rappel : une médiane d’un triangle est une droite issue

d’un sommet du triangle et qui passe par le milieu du côté opposé.

b) Définition : Le centre de gravité G du triangle ABC est

l’unique point tel que ⃗ ⃗ ⃗ ⃗.

c) Propriété 1 : Le centre de gravité d’un triangle est le point de concours des 3 médianes

de ce triangle.

Démonstration

Soit G le centre de gravité du triangle ABC, alors :

⃗ ⃗ ⃗ 0⃗ donc ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 0⃗ soit

3 ⃗ ⃗ ⃗ soit encore, 3 ⃗ ⃗ ⃗ (1)

Soient A’, B’ et C’ les milieux respectifs des côtés [BC], [AC] et [AB]. D’après la règle du parallélogramme sur la somme de deux vecteurs (voir ci-contre), alors ⃗ ⃗ 2 ′⃗ (2)

De (1) et de (2), on adonc, 3 ⃗ 2 ′⃗ d’où ⃗ ′⃗. Donc G est un point de la médiane (AA’). En reprenant le même travail mais en utilisant les points B puis C, on montre aussi que ⃗ ′⃗ et

⃗ _{′⃗. G est donc aussi un point des médianes (BB’) et (CC’).}

d) Conséquence, propriété 2 : On considère un triangle ABC et A’, B’ et C’ les milieux

respectifs des cotés [BC], [AC] et [AB]. Alors ⃗ ′⃗ , ⃗ ′⃗ et ⃗ ′⃗.

2) Théorème de la médiane :

I est le milieu du segment [AB]. Pour tout point M du plan on a :

Démonstration 1 : ⃗ ∙ ⃗ ⃗ ⃗ ∙ ⃗ ⃗ = ⃗ ∙ ⃗ ⃗ ∙ ⃗ ⃗ ∙ ⃗ ⃗ ∙ ⃗ = ⃗ ∙( ⃗ + ⃗ ) + ⃗ ∙ ⃗ = ⃗ ∙ 0⃗ + ⃗ ∙ ⃗ = ⃗ ∙ ⃗ = – . Démonstration 2 : MA2_{+ MB}2 ₌ ⃗ ⃗ = ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ = ⃗ 2 ⃗ ∙ ⃗ ⃗ ⃗ 2 ⃗ ∙ ⃗ ⃗ = 2MI2_{+ 2 ⃗}∙ " ⃗ ⃗ # + IA2_{+ IB}2 = 2MI2_{+2 ⃗}∙ 0⃗ + IA2_{+ IB}2_{= 2MI}2₊0 + + = 2MI2 + 2 = 2MI2 + $%& M B A I ' ⃗.' ⃗ = MI2_–( ) AB2 MA2_{+ MB}2_{= 2 MI}2₊

(2)

3) Relations d’AL-Kashi :

a2_{= ⃗}2_{= (} ⃗ ⃗)2_{= ( ⃗}* ⃗)2

= AC2_{– 2 ⃗.} ⃗ + AB2

= AC2_{+ AB}2 _{– 2AC}+AB cos ,

= b2_{+ c}2_{– 2bc cos} -

De la même façon pour b et c. On retient :

Exemple : ABC est un triangle tel que AB = 6, AC = 4 et BC = 5. Calculer -. c2_{= a}2_{+ b}2_{– 2ab cos - d’où cos - = –}.& /& 0&

/0 cos - = – 1 2 cos - = 1 2 - 3 1,44 rad 4) Aire d’un triangle :

Soit H le projeté orthogonal de A sur (BC). On appelle S l’aire du triangle ABC. S = AH+BC. Dans le triangle ABC, on a :

si - est aigu : AH = b sin -

si - est obtus : AH = b sin "4 * -#

AH = b sin - Donc, dans les deux cas, AH = b sin -. On a donc S = AH + BC = ba sin -. De même, on montre que:

Exemple, aire du triangle ABC tel que AB = 10 cm, BC = 7 cm et , = 57° : S = ac sin 5 = +10 + 7 + sin 57° 3 29,35 cm2

5) Angle et côté opposé :

Des relations précédentes, en multipliant S par

/0. , on a : A B C c b a a2_{= b}2_{+ c}2_{– 2bc cos 6} b2_{= a}2_{+ c}2_{– 2ac cos 6} c2_{= a}2_{+ b}2_{– 2ab cos 6}

S =(_{ab sin 6 =}(_{ac sin 6 =}(_{bc sin 6}

789 6 : = 789 6 ; = 789 6 < A B C H a b c _A B C H a b c