LEÇON n o 14 Relations métriques et angulaires dans le triangle.

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CAPES de Math´ematiques session 2020— ´Epreuve de mise en situation professionnelle

LEC ¸ ON n ^o 14

Relations m´etriques et angulaires dans le triangle.

Cl´ ement Boulonne

Propositions de plan et de contenu

Derni`ere mise `a jour : 18 aoˆut 2020

Pr´ eambule

Niveau de la le¸con Lyc´ee

Pr´erequis

G´eom´etrie du triangle R´ef´erences

– G. Costantini,Trigonom´etrie, relations m´etriques dans un triangle. – Contributeurs deWikip´edia,Th´eor`eme de Pythagore, Wikip´edia.

– M.Lezen,Le¸con n^o32 : Relations m´etriques dans un triangle. Trigonom´etrie. Applications.

URL :http://capes-de-maths.com.

– Contributeurs deWikip´edia,In´egalit´e triangulaire, Wikip´edia.

– Contributeurs deWikip´edia,Th´eor`eme de la m´ediane, Wikip´edia.

– Contributeurs deWikip´edia,Somme des angles dans un triangle, Wikip´edia.

Plan de la le¸ con

1 Relations m´etriques dans le triangle 2

1 Relations m´ etriques dans le triangle

1.1 In´egalit´e triangulaire

Dans un plan euclidien, soit un triangleABC. Alors les longueursAB,AC etCB v´erifient les trois in´egalit´es suivantes :

AB≤AC+CB; AC ≤AB+BC;

BC ≤BA+AC.

R´eciproquement, ´etant donn´ees trois longueurs dont chacune est inf´erieure `a la somme des deux autres, il existe un triangle ayant ces longueurs de cˆot´e.

Propri´et´e 14.1.

Cas d’´egalit´e :

AB=AC+CB⇔C ∈[AB].

D´emonstration. ♦Soit (E,h·,·i) un espace pr´ehilbertien r´eel et (x, y)∈E². On a : kx+yk²=kxk²+kyk²+ 2hx, yi.

Par l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz, hx, yi ≤ |hx, yi| ≤ kxk kyk. D’o`u : kx+yk² ≤ kxk²+kyk²+ 2kxk kyk. Et donc :

kx+yk ≤ kxk+kyk.

Cas d’´egalit´e : supposons quekx+yk =kxk+kyk ety6= 0. Par ce qui pr´ec`ede, on a donc : hx, yi=|hx, yi|=kxk kyk.

Donc, par le cas d’´egalit´e de Cauchy-Schwarz, x = λy avec λ = hx, yi/kyk² = kxk/kyk ≥ 0.

Finalement, on a bienλy=µx avec µ= 1.

Pour les cinqui`emes,

Dans un triangle non aplati, la longueur de chaque cˆot´e est inf´erieure `a la somme des deux autres cˆot´es.

Propri´et´e 14.2.

Pour tous points A, B etC du plan, si AC < AB+BC alors on peut construire un triangle ABC.

Cons´equence 14.3.

Autre formulation :

Pour savoir si un triangle est constructible avec trois longueurs donn´ees, il faut que la somme des deux plus petites longueurs soit sup´erieure `a la plus grande.

Proposition 14.4.

1. On veut savoir si le triangle ABC est constructible si AB= 7 cm,B = 3 cm et AC = 6 cm. Le plus grand cˆot´e est 7 et 7<3 + 6 ou encore AB < AC+BC donc oui le triangle est constructible.

7

6 3

A B

C

2. On veut savoir si le triangleEDF est constructible siED= 9 cm,EF = 2 cm etDF = 6 cm. Le plus grand cˆot´e est 9 or 9 n’est pas plus petit que 2 + 6 donc le triangle EDF n’existe pas.

9 6

2

D E

3. Cas particulier : Si DF = 6 cm etEF = 3 cm alors DE =DF +EF. On dit alors que le triangle est aplati.

9

3 6

D F E

Exemples 14.5.

Si le point B appartient au segment [AC] alorsAC =AB+BC. Propri´et´e 14.6.

Le pointB appartient au segment [AC] signifie aussi que les 3 points A,B etC sont align´es.

1.2 Th´eor`eme de Pythagore

ABC est un triangle rectangle enA si et seulement siBC² =AB²+AC². Theoreme 14.7. Th´eor`eme de Pythagore

♦ D´emonstration du th´eor`eme de Pythagore. Dans le plan muni d’un rep`ere orthonorm´e, les vec- teurs port´es par les cˆot´es du triangle ABC v´erifient la relation de Chasles :

# » BC= # »

AB+# » AC.

Ainsi :

BC² = # » BC·# »

BC = (# »

AB+AC)# » ·(# »

AB+AC) =# » AB²+AC²+ 2# » AB·# »

AC

donc la relation du th´eor`eme est ´equivalente `a l’annulation du dernier produit scalaire, ce qui correspond pr´ecis´ement au cas o`u les vecteurs sont orthogonaux, autrement dit lorsque les cˆot´es [AB] et [AC] forment un angle droit.

On part d’un triangle isoc`ele rectangle dont les cˆot´es autres que l’hypot´enuse mesurent 1 unit´e.

L’hypot´enuse mesure alors √

2 unit´es. On place un triangle rectangle sur cette hypot´enuse, son cˆot´e adjacent `a l’angle droit mesurant 1 unit´e. Alors l’hypot´enuse de ce nouveau triangle mesure √

3 unit´es, et ainsi de suite. . . Exemple 14.8.Escargot

A B

C

D G H

Figure1 – Escargot

1.3 Formules d’Al-Khashi

Dans un triangle ABC,

BC² =AB²+AC²−2AB×AC×cos\BAC.

Theoreme 14.9. Formule d’Al-Kashi

♦ D´emonstration du th´eor`eme 14.9. Si on notea=BC,b=AC etc=AB, on a : a² =BC² = # »

BC² = (# » BA+ # »

AC)² =BA²+AC²+ 2(# » BA·# »

AC)

=c²+b²+ 2bccos(# » BA,# »

AC)

Or cos(BA,# » AC# ») = cos[π+ (AB,# » AC# »)] =−cos(AB,# » AC# ») =−cosA^b. 1.4 Formule des 3 sinus

SoitABC un triangle (on notea=BC,b=AC,c=BA),S l’aire de se triangle etRle rayon du cercle circonscrit au triangle :

a

sinA^b = b

sinB^b = c

sinC^b = abc 2S = 2R.

Theoreme 14.10.Formule des 3 sinus

D´emonstration du th´eor`eme 14.10. On note H le pied de la hauteur issue deA dans le triangle ABC.

– Dans le cas o`uB<sup>b</sup> est obtus, AH=ABsin(π−Bb) =ABsinB<sup>b</sup> =csinB<sup>b</sup>. – Dans le cas o`uB^b est aigu,AH =ABsinB^b=csinB^b.

Donc, dans tous les cas, AH =csinB^b etS = ¹₂BC·AH = ¹₂acsinB^b. D’o`u S= 1

2acsinB^b = 1

2absinC^b= 1

2bcsinA.^b

1.5 Th´eor`eme de la m´ediane

Soient ABC un triangle quelconque et (AI) la m´ediane issue de A. On a alors la relation suivante :

AB²+AC² = 2BI²+ 2AI² ou encore :

AB”2 +AC²= 1

2BC²+ 2AI² Theoreme 14.11.Th´eor`eme d’Apollonius

♦ D´emonstration par le produit scalaire. Cette propri´et´e est un cas simple de la r´eduction de la fonction scalaire de Leibniz : il suffit de faire intervenir le point I dans les deux vecteurs # »

AB et

# »

AC, par la relation de Chasles :

AB²+AC² = (# » AI+# »

IB)²+ (# » AI+ # »

IC)². Si on d´eveloppe l’expression de droite, on obtient :

AB²+AC²=AI²+IB²+ 2# » AI·# »

IB+AI²+IC²+ 2# » AI ·# »

IC.

Le point I est milieu de [BC] donc # » IB et # »

IC sont oppos´es, ce qui implique que les produits scalaires s’´eliminent et IC² =IB² donc :

AB²+AC² = 2AI²+ 2IB².

♦ D´emonstration sans le produit scalaire. Soit H le pied de la hauteur issue de A.

B C

A

H I

Les trois trianglesAHB,AHC etAHI sont rectangle en H; en leur appliquant le th´eor`eme de Pythagore, on obtient :

AB² =AH²+HB², AC²+AH²+HC² et AI² =AH²+HI². On en d´eduit :

AB²+AC²=HB²+HC²+ 2AH² =HB²+HC²+ 2(AI²−HI²).

On exprime HB etHC en fonciton de HI etBI. Quitte `a intervertir B et C si n´ecessaire, on peut toujours supposer que B etH sont du mˆeme cˆot´e deI. Alors :

HB =|HI−BI| et HC=HI+IC=HI+BI.

On peut donc transformer, dans l’expression ci-dessus deAB²+AC², la sous-expression HB²+HC² = (HI−BI)²+ (HI²+BI)²

=HI”2−2HI.BI +BI²+HI²+ 2HI.BI +BI²

= 2HI²+ 2BI². En rempla¸cant, on obtient :

AB²+AC² = 2HI²+ 2BI²+ 2(AI²−HI²) = 2BI²+ 2AI²

Soit AetB deux points tels queAB= 2. On cherche `a d´eterminer l’ensembleE des pointsM tels que M A<sup>2</sup>+M B<sup>2</sup>= 20. On utilise le th´eor`eme de la m´ediane :

M A²+M B²= 20⇔2IM²+AB²

2 = 20⇔2IM²+4

2 = 20⇔IM² = 9⇔IM = 3 (car IM >0). L’ensemble E est donc le cercle de centre I et de rayon 3.

Exemple 14.12.

A B

I

E={M, M A²+M B²= 20}

Figure2 – Construction de l’ensembleE de l’exemple14.12

1.5.1 Th´eor`eme de Thal`es

Soit deux droites detd⁰ s´ecantes en un point A;B etM deux points de ddistinct deAetC etN deux points ded⁰ distinct de A (A,B etM align´es dans le mˆeme ordre queA,C etN).

Alors :

(BC)//(M N)⇔ AM

AB = AN

AC = M N BC . Theoreme 14.13.

D´emonstration. ♦On consid`ere les triangles AM N etBN A.

A

B

C

M N

D F

I J

On a : 2A(AM N) =AM ·N I et 2A(BN A) =AB·IN donc on a : AM

AB = A(AM N) A(BN A).

De plus, 2A(AM N) =AN ·M J et 2A(CM A) =AC·M J donc AN

AC = A(AM N) A(CM A).

Maintenant, montrons que A(BN A) = A(CM A). Ceci revient `a montrer que A(M F B) = A(CF N) : (M N) et (BC) sont parall`eles donc on en d´eduire que A(BN M) = A(CM N) : mˆeme base et mˆeme hauteur. Or :

A(BN M) =A(BM F) +A(F M N) et A(CM N) =A(CF N) +A(F M N), ce qui d´emontre l’´egalit´e.

Ainsi, commeA(BN A) =A(CM A), on a alors : AM

AB = A(AM N)

A(BN A) = A(AM N)

A(CM A) = AN AC.

Montrons maintenant la deuxi`eme ´egalit´e en consid´erant le parall´elogrammeM N CD: d’apr`es ce que l’on vient de d´emontrer, en se pla¸cant dans le triangle ABC, on a ^BM_BA = ^BD_BC, d’o`u :

BA−M A

BA = BC−DC

BC ⇔ AM

AB = DC

BC = M N BC

car M N CD est un parall´elogramme. On a ainsi d´emontr´e l’implication directe.

R´eciproque :elle utilise le sens direct.

Soit le pointE de dtel que (N E) est parall`ele `a (BC), alors A,E etB sont align´es dans le mˆeme ordre que A,N etC et donc on peut appliquer le sens direct :

AE

AB = AN

AC = AM AB

d’apr`es l’hypoth`ese. Donc : ^AE_AB = ^AM_AB d’o`u AE = AM, les points ´etant tous align´es dans le mˆeme ordre, il vient que E=M donc les droites (M N) et (BC) sont parall`eles.

2 Relations angulaires dans le triangle

2.1 Somme des angles dans un triangle

Dans un triangle, la somme des mesures des angles est ´egale `a 180°.

Propri´et´e 14.14.

D´emonstration. ♦

SoitABC un triangle. On note α=\BAC,β=\ABC etγ =\ACB.

On trace (d) la droite parall`ele `a (BC) passant parA. SoitDun point`a gauchedeA sur la droite (d) et E un point`a droite de Asur la droite (d).

Comme (d) est parall`ele `a (BC), les angles alternes-internes qui forment sont ´egaux. Ainsi les anglesβ etDAB\ sont de mˆeme mesures (de mˆeme pourγ etEAC[). Les anglesDAB\,\BAC, EAC[ sont adjacents et forment tous les trois un angle droit. Ainsi :

DAB\+BAC\+EAC[ =β+α+γ =α+β+γ = 180°.

Dans la figure ci-dessous, on veut calculer la mesure de l’angleM N P\.

117^◦

32^◦

M N

P

Dans le triangleM N P, on a : Exemple 14.15.

Or, dans un triangle, la somme des mesures des angles est ´egale `a 180°. Donc : M N P\ = 180°−149° = 31°.

2.2 Trigonom´etrie dans un triangle rectangle

Dans un triangleABC rectangle enA, on d´efinit lesinus, lecosinus et latangentede l’angle aigu\ABC de la mani`ere suivante :

sin\ABC = cˆot´e oppos´e `a\ABC hypot´enuse = AC

BC cos\ABC = cˆot´e adjacent `a\ABC

hypot´enuse = AB BC tan\ABC = cˆot´e oppos´e `a \ABC

cˆot´e adjacent `a\ABC = AC AB. D´efinition 14.16.

cˆot´e adjacent hypot´enuse cˆot´e oppos´e

A B

C

Figure3 – Cˆot´e oppos´e, cˆot´e adjacent `a un angle, hypot´enuse

On a aussi avec l’angleACB\: cos\ACB= AC

BC, sin\ACB= AB

BC, tan\ACB= AB AC. Remarque 14.17.

Le sinus et le cosinus d’un angle aigu sont strictement plus grands que 0 et strictement plus petits que 1 et ils n’ont pas d’unit´e.

Propri´et´e 14.18.

2.3 Formules trigonom´etriques

Pour toutes valeurs dex, on a :

cos²x+ sin²x= 1 et tanx= sinx cos . Propri´et´e 14.19.

1. cos(a−b) = cosacosb+ sinasinb, 2. cos(a+b) = cosacosb−sinasinb, 3. sin(a−b) = sinacosb−cosasinb, 4. sin(a+b) = sinacosb+ cosasinb.

Proposition 14.20.Formules d’addition

♦ Justification d’une formule de trigonom´etrie.

M´ethode utilisant le produit scalaire On va ´etudier la quantit´e cos(a−b) o`u a et b sont deux nombres r´eels. Dans un rep`ere orthonorm´e (O,#»ı ,#»), consid´erons deux vecteurs #»u et

#»v unitaires tels que :

(#»ı ,#»u) =a et (#»ı ,#»v) =b.

−

→ı

−

→

−

→u

−

→v

a b b−a O

Une premi`ere expression du produit scalaire donne :

#»u ·#»v = cos(#»u ,#»v). D’apr`es la relation de Chasles :

(#»u ,#»v) = (#»u ,#»ı) + (#»ı ,#»v) =b−a

donc #»u·#»v = cos(b−a) = cos(a−b) car la fonction cosinus est paire. D’autre part, d’apr`es la d´efinition du cosinus et du sinus, on a :

#»u = cosa sina

!

et #»v = cosb sinb

!

D’apr`es l’expression du produit scalaire avec les coordonn´ees (xx⁰+yy⁰), on obtient alors :

#»u ·#»v = cosacosb+ sinasinb.

M´ethode n’utilisant pas le produit scalaire On ´etudie cette fois-ci cos(a+b) o`u a et b sont deux nombres r´eels. On consid`ere le cercle de centre O et de rayon 1 dans un rep`ere orthonorm´e (O,#»ı ,#»). Sur ce cercle, on place un point A tel que (# »

OI,# »

OA) = a, le point M tel que (# »

OA,# »

OM) =b et le pointA⁰ tel que (# » OA,# »

OA⁰) = ^π₂.

a b

O I

J

A M

A⁰

D’apr`es la relation de Chasles pour les angles, on a : (# »

OI,# »

OM) = (# »

OI,OA) + (# » # » OA,# »

OM) =a+b (mod 2π)

Donc : # »

OM = cos(a+b)# »

OI+ sin(a+b)# » OJ . Mais en se pla¸cant dans le rep`ere orthonorm´e (O, A, A⁰), on a :

# »

OM = cos(b)# »

OA+ sin(b)# » OA⁰ et en exprimant les coordonn´ees des vecteurs # »

OAet # »

OA⁰ dans le rep`ere (O,#»ı ,#»), on a :

# »

OA= cos(a)# »

OI+ sin(a)# » OJ

et # »

OA⁰ = cosπ 2 +a

# »

OI+ sinπ 2 +a

# »

OJ =−sin(a)# »

OI+ cos(a)# » OJ . Finalement :

# »

OM = cos(b) cos(a)# »

OI+ cos(b) sin(a)# »

OJ−sin(b) sin(a)# »

OI+ sin(b) cos(a)# » OJ

= [cos(a) cos(b)−sin(a) sin(b)]# »

OI+ [sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b)]# » OJ

et par unicit´e des coordonn´ees d’un vecteur dans un rep`ere, il vient les deux relations : cos(a+b) = cos(a) cos(b)−sin(a) sin(b)

sin(a+b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b)

1. cos(2a) = cos²a−sin²a, 2. sin(2a) = 2 sinacosa.

Proposition 14.21.Formules de duplication

♦ D´emonstration de la proposition 14.21.

cos(2a) = cos(a+a) = cosacosa−sinasina= cos²a−sin²a sin(2a) = sin(a+a) = sinacosa+ cosasina= 2 sinacosa

1. cos²a= ^1+cos(2a)₂ , 2. sin²a= ^1−cos(2a)₂ .

Proposition 14.22.Formule de lin´earisation

♦ D´emonstration de la proposition 14.22. On rappelle que sin²x+cos²x= 1 quelque soit le r´eel x. Donc :

cos(2a) = cos²a−(1−cos²a) = 2 cos²a−1, d’o`u cos²a= ^1+cos(2a)₂ . De mˆeme,

cos(2a) = (1−sin²a)−sin²a= 1−2 sin²a, d’o`u sin²a= ^1−cos(2a)₂ .

On va calculer les valeurs exactes de cos^π₈, sin^π₈, cos₁₂^π, sin₁₂^π. En utilisant les formules de lin´earisation :

cos² π

8 = 1 + cos^π₄

2 = 1 +^√₂²

2 = 2 +√ 2 4 et comme cos^π₈ >0, il vient cos^π₈ =

√

2+√ 2 2

sin² π

8 = 1−cos^π₄

2 = 1−

√ 2

2 2 = 2−√ 2 2 et comme sin^π₈ >0, il vient sin^π₈ =

√

2−√ 2

2 . D’o`u : tanπ

8 =

s2−√ 2 2 +√

2. Or :

2 √

2 (2 √

2)² 6 4√

2 √ √ √

Exemple 14.23.

D’o`u :

tanπ

8 =1−√ 2=√

2−1. En utilisant les formules d’addition :

cos π

12 = cosπ 3 −π

4

= cosπ 3 cosπ

4 + sinπ 3sinπ

4

= 1 2 ×

√2 2 +

√3 2 ×

√2 2 =

√6 +√ 2 2 sin π

12 = sinπ 3 −π

4

= sinπ 3cosπ

4 −cosπ 3sinπ

4

=

√3 2 ×

√2 2 −1

2 ×

√2 2 =

√6−√ 2

2 .

D’o`u

tan π 12 =

√6−√

√ 2 6 +√

2 = (√

6−√ 2)² (√

6 +√ 2)(√

6−√

2) = 8−2√ 12

6−2 = 2−√ 3.

3 Applications

On consid`ere trois carr´es dispos´es comme dans la figure 4. Montrer que α=β+γ. On a bien sˆur α= <sup>π</sup><sub>4</sub>. On montre donc que β+γ = <sup>π</sup><sub>4</sub>. D’apr`es une formule d’addition :

cos(β+γ) = cosβcosγ−sinβsinγ.

Or, si l’on note ala longueur des cˆot´es des carr´es, on a (d’apr`es le th´eor`eme de Pythagore et les relations du cosinus et du sinus dans un triangle rectangle) :

cosβ = √2a 5a = √2

5, cosγ = √3a

10a = √3 10 sinβ = a

√5a = √1

5, sinγ = a

√10a = √1 10. Donc :

cos(β+γ) = √2 5 ×√3

10− √1 5 ×√1

10 = √ 5 5√

10 = √ 5 5√

5√ 2 = √1

2 =

√2 2 . Et comme 0< β+γ < π, on a bien β+γ = ^π₄.

Exemple 14.24.

SoitABC un triangle aveca= 2,b= 3 etc= 4. Calculer la valeur exacte de l’aireS de ABC. D’apr`es la formule d’Al-Kashi :

a²=b²+c²−2bccosA.

Exemple 14.25.

β α γ

Figure4 – Figure de l’exemple Donc :

cosA^b= b²+c²−a² 2bc . On remplace par les valeurs num´eriques :

cosA^b= 9 + 16−4

24 = 7

8. Or cos²A^b+ sin²A^b= 1, donc :

sin²A^b= 1−49 64 = 15

64.

Or ABC ´etant un triangle, l’angle A^b est compris entre 0 etπ rad donc son sinus est positif.

D’o`u :

sinA^b=

√15 8 . Enfin, d’apr`es la formule de l’aire du triangle, on obtient :

S = 1

2bcsinA^b= 3√ 15 4 .

Soit ABC un triangle avecb= 3,c= 8 etA^b= 60°. Calculer la valeur exacte deaainsi que B^b etC^b (en degr´es `a 10<sup>−1</sup> pr`es).

D’apr`es la formule d’Al-Kashi :

a²=b²+c²−2bccosA= 9 + 64−48×1 2 = 49. D’o`u a= 7. On peut d´eterminer cosB<sup>b</sup> `a l’aide de la formule d’Al-Kashi :

cosB^b = a²+c²−b² 2ac = 13

14.

On a cosB >0 etABC triangle doncB ∈]0,90[. On calcule donc B^b = arccos¹³₁₄ '21,8°. On peut calculer C^b avec la relation A^b+B^b+C^b= 180°. Ainsi :

Cb = 180−21,8−60 = 98,2°. Exemple 14.26.

SoitCun cercle de rayon 1 cm. Quelle est l’aire maximale d’un rectangle dont les sommets sont sur le cercleC.

On note O le centre du cercle et soit I etK deux points diam´etralement oppos´es. Soit M un point mobile sur le cercle et on note x une mesure en radian de l’angle (# »

OI,# »

OM). Enfin, on note M⁰ le point diam´etralement oppos´e `a M. D’apr`es la formule de l’aire d’un triangle exprim´ee avec un sinus :

A(M OI) = 1

2OM×OIsinx.

Comme le rayon du cercle est ´egal `a 1 :

A(M OI) = 1 2sinx.

Enfin, les diagonales d’un rectangle partagent celui-ci en quatre triangles de mˆeme aire (puisque la m´ediane dans un triangle partage celui-l`a en deux triangles de mˆeme aire) donc :

A(M KM⁰I) = 2 sinx.

L’aire du rectangle inscrit dans le cercle est donc maximale lorsque le sinus l’est, `a savoir pour x= <sup>π</sup><sub>2</sub>, c’est-`a-dire lorsque le rectangle est un carr´e ; l’aire maximale est alors de 2 cm².

Exemple 14.27.Aire maximale d’un rectangle inscrit dans un cercle

K O

M⁰

M

I x

Figure5 – Figure de l’exemple

Soit ABC un triangle de demi-p´erim`etre p (p est d´efini par la relation 2p = a+b+c). On montre que l’aire S de ABC est donn´ee par :

S=^qp(p−a)(p−b)(p−c) (formule de H´eron). Exemple 14.28.Formule de H´eron

D’apr`es la formule d’Al-Kashi, on a :

a²=b²+c²−2bccosA.^b

cosA^b= b²+c²−a² 2bc

1−cosA^b= 1− b²+c²−a²

2bc = a²−(b²−2bc+c²) 2bc

= a²−(b−c)²

2bc = (a−b+c)(a+b−c) 2bc

1 + cosA^b= 1 + b²+c²−a²

2bc = (b²+ 2bc+c²)−a² 2bc

= (b+c)²−a²

2bc = (b+c−a)(b+c+a) 2bc

D’o`u :

sin²A^b= 1−cos²A^b

= (1−cosA)(1 + cos^b A) =^b (a−b+c)(a+b−c)(b+c−a)(a+b+c) 4b²c²

4b²c²sin²A^b= (2p−2b)(2p−2c)(2p−2a)(2p) = 16p(p−a)(p−b)(p−c). En outre,

S²= 1

4b²c²sin²A^b=p(p−a)(p−b)(p−c). D’o`u la formule de H´eron.

Soit ABC un triangle. On note a=BC,b=AC, etc=AB. On va montrer que :

|b−c| ≤a≤b+c.

D’apr`es la formule d’Al-Kashi, on a :

a² =b²+c²−2bccosA^b⇔cosA^b= b²+c²−a² 2bc . On en d´eduit l’encadrement :

−2bc≤a²−b²−c² ≤2bc.

D’o`u (b−c)²≤a² ≤(b+c)². Par croissance de l’applicationt7→√

t sur [0,+∞[, on obtient :

|b−c| ≤ |a| ≤ |b+c|. Commea, b etcsont des quantit´es positives :

Exemple 14.29.In´egalit´es dans le triangle

Autres applications :

On construit un puit de p´etrole P. `A 530 m du coin du champ rectangulaire, `a 210 m du coin C oppos´e, `a 105 m du coinB.

`A quelle distance se trouve-t-il du quatri`eme coin ? Exemple 14.30.

On consid`ere un triangle ABC. On construit les carr´es ABEF et ACGH ext´erieurement au triangle.

Montrer queF C =BH. Exemple 14.31.