L35 [V2-VàC] – Relations métriques et trigonométriques dans un triangle

9

Relations métriques et

trigonométriques dans un triangle

35

Leçon

n°

Niveau Lycée

Prérequis géométrie du triangle Références [116], [117], [118]

35.1

Relations métriques dans un triangle

35.1.1 Théorème de Pythagore

Théorème 35.1— Théorème de Pythagore. ABC est un triangle rectangle en A si et seulement si BC2 = AB2+ AC2.

Dv

•Démonstration du théorème de Pythagore —Dans le plan muni d’un repère orthonormé, les vecteurs portés par les côtés du triangle ABC vérifient la relation de Chasles :

# »

BC=AB# »+AC.# »

Ainsi :

BC2=BC# »_·BC# »= (AB# »+AC# ») · (AB# »+AC# ») = AB2+ AC2+ 2AB# »_·AC# »

donc la relation du théorème est équivalente à l’annulation du dernier produit scalaire, ce qui correspond précisément au cas où les vecteurs sont orthogonaux, autrement dit lorsque les

côtés[AB] et [AC] forment un angle droit. •

Exemple 35.2 — Escargot. On part d’un triangle isocèle rectangle dont les côtés autres que

l’hy-poténuse mesurent 1 unité. L’hyl’hy-poténuse mesure alors√2 unités. On place un triangle rectangle sur cette hypoténuse, son côté adjacent à l’angle droit mesurant 1 unité. Alors l’hypoténuse de ce nouveau

triangle mesure√3 unités, et ainsi de suite... 

A B C D G H FIGURE35.1 – Escargot

35.1.2 Formule d’Al-Kashi

Théorème 35.3— Formule d’Al-Kashi. Dans un triangle ABC,

BC2 = AB2+ AC2− 2AB × AC × cos \BAC.

Dv

•Démonstration du théorème35.3—Si on note a= BC, b = AC et c = AB, on a :

a2= BC2=BC# »2= (BA# »+AC# »)2= BA2+AC2+2(BA# »_·AC# ») = c2+b2+2bc cos(BA,# » AC# »)

Orcos(# »

BA,AC# ») = cos[π + (AB,# » AC# »)] = − cos(AB,# » AC# ») = − cos bA. •

35.1.3 Formule des 3 sinus

Théorème 35.4— Formule des 3 sinus. Soit ABC un triangle (on note a= BC, b = AC, c = BA),

Sl’aire de se triangle et R le rayon du cercle circonscrit au triangle : a sinAb = b sinBb = c sinCb = abc 2S = 2R. Dv

•Démonstration du théorème35.4—On note H le pied de la hauteur issue de A dans le triangle ABC.

— Dans le cas où bBest obtus, AH= AB sin(π − bB) = AB sin bB= c sin bB.

— Dans le cas où bBest aigu, AH = AB sin bB = c sin bB.

Donc, dans tous les cas, AH = c sin bBet S= 1₂BC· AH = 12acsin bB. D’où

S= 1 2acsin bB= 1 2absin bC= 1 2bcsin bA. •

35.2

Relations trigonométriques dans un triangle

Définition 35.5 Dans un triangle ABC rectangle en A, on définit le sinus, le cosinus et la tangente de l’angle aigu \ABC de la manière suivante :

sin \ABC = côté opposé à \ABC

hypoténuse =

AC BC

cos \ABC = côté adjacent à \ABC

hypoténuse =

AB BC

tan \ABC = côté opposé à \ABC

côté adjacent à \ABC = AC AB.

35.2 Relations trigonométriques dans un triangle 11

côté adjacent côté opposé hypoténuse

A B

C

FIGURE35.2 – Côté opposé, côté adjacent à un angle, hypoténuse

R 35.6 On a aussi avec l’angle \ACB:

cos \ACB = AC BC, sin \ACB= AB BC, tan \ACB= AB AC.

Propriété 35.7 Le sinus et le cosinus d’un angle aigu sont strictement plus grands que 0 et strictement plus petits que 1 et ils n’ont pas d’unité.

35.2.1 Formules de trigonométrie

Propriété 35.8 Pour toutes valeurs de x, on a :

cos2_{x+ sin}2_{x= 1 et tan x =} sin x

cos x.

Proposition 35.9— Formules d’addition. 1. cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b, 2. cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b,

3. sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b, 4. sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b.

Dv

•Justification d’une formule de trigonométrie —

Méthode utilisant le produit scalaire On va étudier la quantité cos(a − b) où a et b sont deux nombres réels. Dans un repère orthonormé(O, #»ı, #»), considérons deux vecteurs #»u

et #»v unitaires tels que :

− →_ı − →_u − →_ − →_v a b b− a O

Une première expression du produit scalaire donne : #»

u_·#»

v = cos(#»u ,#»

v).

D’après la relation de Chasles : (#»u ,#»

v) = (#»u ,#»

ı) + (#»ı, #»v) = b − a

donc #»u· #»

v = cos(b − a) = cos(a − b) car la fonction cosinus est paire. D’autre part,

d’après la définition du cosinus et du sinus, on a : #» u =cosa_{sin a}  et #» v =cosb_{sin b} 

D’après l’expression du produit scalaire avec les coordonnées(xx0 + yy0), on obtient

alors :

#»

u·#»

v = cos a cos b + sin a sin b.

Ce qui nous donne une formule trigonométrique :

cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b.

Méthode n’utilisant pas le produit scalaire On étudie cette fois-ci cos(a+b) où a et b sont deux nombres réels. On considère le cercle de centre O et de rayon1 dans un repère orthonormé(O, #»ı, #»). Sur ce cercle, on place un point A tel que (# »

OI,OA# ») = a, le point M tel que(OA,# » OM# ») = b et le point A0tel que(OA,# » OA# »0) = π₂.

a b O I J A M A0

35.2 Relations trigonométriques dans un triangle 13 D’après la relation de Chasles pour les angles, on a :

(# »

OI,OM# ») = (OI,# » OA# ») + (OA,# » OM# ») = a + b (mod 2π)

Donc :

# »

OM = cos(a + b)OI# »+ sin(a + b)OJ.# »

Mais en se plaçant dans le repère orthonormé(O, A, A0_{), on a :}

# »

OM = cos(b)OA# »+ sin(b)OA# »0

et en exprimant les coordonnées des vecteursOA# »etOA# »0_{dans le repère(O, #»ı, #»), on a :}

# » OA= cos(a)OI# »+ sin(a)OJ# » et # » OA0= cos π 2 + a # » OI+ sin π 2 + a # »

OJ = − sin(a)OI# »+ cos(a)OJ.# »

Finalement : # »

OM = cos(b) cos(a)OI# »+ cos(b) sin(a)OJ# »_{− sin(b) sin(a)}OI# »+ sin(b) cos(a)OJ# »

= [cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b)]# »

OI+ [sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b)]OJ# »

et par unicité des coordonnées d’un vecteur dans un repère, il vient les deux relations : cos(a + b) = cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b)

sin(a + b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b)

•

Proposition 35.10— Formules de duplication. 1. cos(2a) = cos2_{a− sin}2_a,

2. sin(2a) = 2 sin a cos a.

Dv

•Démonstration de la proposition35.10—

cos(2a) = cos(a + a) = cos a cos a − sin a sin a = cos2_{a− sin}2_a

sin(2a) = sin(a + a) = sin a cos a + cos a sin a = 2 sin a cos a

•

Proposition 35.11— Formule de linéarisation. 1. cos2_a= 1+cos(2a)

2 ,

2. sin2_a= 1−cos(2a)

2 .

•Démonstration de la proposition35.11—On rappelle quesin2_{x+ cos}2_{x= 1 quelque}

soit le réel x. Donc :

cos(2a) = cos2_a

− (1 − cos2a) = 2 cos2a_{− 1,}

d’oùcos2_a=1+cos(2a)

2 . De même,

cos(2a) = (1 − sin2_{a) − sin}2_{a= 1 − 2 sin}2_a,

d’oùsin2_a= 1−cos(2a)

2 . •

Exemple 35.12 On va calculer les valeurs exactes de cosπ₈,sinπ₈,cos₁₂π, sin₁₂π. En utilisant les

formules de linéarisation : cos2 π 8 = 1 + cosπ 4 2 = 1 +√2₂ 2 = 2 +4√2 et commecosπ 8 >0, il vient cosπ8 = √_2+√2 2 sin2 π 8 = 1 − cos π 4 2 = 1 − √2 2 2 = 2 −2√2 et commesinπ 8 >0, il vient sinπ8 = √_2−√2 2 . D’où : tanπ 8 = s 2 −√2 2 +√2. Or : 2 −√2 2 +√2 = (2 − √2)2 (2 −√2)(2 + √2) = 6 − 4 √2 4 − 2 = 3 − 2 √ 2 = 1 − 2√2 + 2 = (1 −√2)2_. D’où : tanπ₈ =1 −√2=√2 − 1.

En utilisant les formules d’addition :

cos₁₂π = cosπ_{3 − 4}π= cosπ₃ cosπ₄ + sinπ₃sinπ₄ = 1_{2 ×} √2₂ +√3_{2 ×} √2₂ = √6 + √2₂ sin π 12 = sin _π 3 − π 4  = sinπ 3cos π 4 −cos π 3 sin π 4 = √3 2 × √2 2 − 1 2 × √2 2 = √6 − √22 . D’où tan₁₂π = √6 − √2_{√6 + √2 =} (√6 − √2)2 (√6 + √2)(√6 − √2) = 8 − 2√12 6 − 2 = 2 − √ 3. 

35.3 Applications 15

35.3

Applications

 Exemple 35.13 On considère trois carrés disposés comme dans la figure35.3. Montrer que α = β+ γ. On a bien sûr α = π₄. On montre donc que β+ γ = π₄. D’après une formule d’addition :

cos(β + γ) = cos β cos γ − sin β sin γ.

Or, si l’on note a la longueur des côtés des carrés, on a (d’après le théorème de Pythagore et les relations du cosinus et du sinus dans un triangle rectangle) :

cos β = _{√5a =}2a _{√5, cosγ =}2 _{√10a =}3a _√103 sin β = _{√5a =}a _{√5, sinγ =}1 _{√10a =}a _√10.1 Donc : cos(β + γ) = _{√5 ×}2 _{√10 −}3 _{√5 ×}1 _{√10 =}1 _{√5√10 =}5 _{√5√5√2 =}5 _{√2 =}1 √2₂ . Et comme0 < β + γ < π, on a bien β + γ = π 4.  α β γ

FIGURE35.3 – Figure de l’exemple

Exemple 35.14 Soit ABC un triangle avec a= 2, b = 3 et c = 4. Calculer la valeur exacte de l’aire

S de ABC.

D’après la formule d’Al-Kashi :

a2= b2+ c2− 2bc cosA.b

Donc :

cosAb= b

2_{+ c}2_{− a}2

2bc . On remplace par les valeurs numériques :

cosAb= 9 + 16 − 4

24 = 78. Orcos2_{Ab+ sin}2_{Ab= 1, donc :}

sin2Ab= 1 −49

64 = 1564.

Or ABC étant un triangle, l’angleAbest compris entre0 et π rad donc son sinus est positif. D’où : sinAb= √15

Enfin, d’après la formule de l’aire du triangle, on obtient : S = 1₂bcsinAb= 3√15

4 .

 Exemple 35.15 Soit ABC un triangle avec b= 3, c = 8 etAb= 60°. Calculer la valeur exacte de a

ainsi queBb etCb(en degrés à10−1près).

D’après la formule d’Al-Kashi :

a2 = b2+ c2− 2bc cos A = 9 + 64 − 48 × 1₂ = 49. D’où a= 7. On peut déterminer cosBbà l’aide de la formule d’Al-Kashi :

cosBb = a

2_{+ c}2_{− b}2

2ac =

13 14.

On a cos B > 0 et ABC triangle donc B ∈ ]0 , 90[. On calcule doncBb = arccos13₁₄ ' 21, 8°. On peut calculerCb avec la relationAb+Bb+Cb = 180°. Ainsi :

b

C = 180 − 21, 8 − 60 = 98, 2°.

 Exemple 35.16 — Aire maximale d’un rectangle inscrit dans un cercle. Soit C un cercle de rayon 1

cm. Quelle est l’aire maximale d’un rectangle dont les sommets sont sur le cercle C.

On note O le centre du cercle et soit I et K deux points diamétralement opposés. Soit M un point mobile sur le cercle et on note x une mesure en radian de l’angle(# »

OI,OM# »). Enfin, on note M0 le

point diamétralement opposé à M. D’après la formule de l’aire d’un triangle exprimée avec un sinus : A(MOI) = 1₂OM_{× OI sin x.}

Comme le rayon du cercle est égal à1 :

A(MOI) = 1₂sin x.

Enfin, les diagonales d’un rectangle partagent celui-ci en quatre triangles de même aire (puisque la médiane dans un triangle partage celui-là en deux triangles de même aire) donc :

A(MKM0I) = 2 sin x.

L’aire du rectangle inscrit dans le cercle est donc maximale lorsque le sinus l’est, à savoir pour x= π

2,

c’est-à-dire lorsque le rectangle est un carré ; l’aire maximale est alors de2 cm2_{. }

Exemple 35.17 — Formule de Héron. Soit ABC un triangle de demi-périmètre p (p est défini par la

relation2p = a + b + c). On montre que l’aire S de ABC est donnée par : S =qp(p − a)(p − b)(p − c) (formule de Héron).

35.3 Applications 17 O K M0 M I x

FIGURE35.4 – Figure de l’exemple

D’après la formule d’Al-Kashi, on a :

a2= b2+ c2− 2bc cosA.b cosAb= b 2_{+ c}2_{− a}2 2bc 1 − cosAb= 1 −b 2_{+ c}2_{− a}2 2bc = a2_{− (b}2_{− 2bc + c}2) 2bc = a2_{− (b − c)}2 2bc = (a − b + c)(a + b − c)2bc 1 + cosAb= 1 +b 2_{+ c}2_{− a}2 2bc = (b2_{+ 2bc + c}2_{) − a}2 2bc = (b + c)2_{− a}2 2bc = (b + c − a)(b + c + a)2bc D’où : sin2_{Ab= 1 − cos}2_Ab

= (1 − cosAb)(1 + cosAb) = (a − b + c)(a + b − c)(b + c − a)(a + b + c)

4b2_c2

4b2_c2_sin2_{Ab= (2p − 2b)(2p − 2c)(2p − 2a)(2p) = 16p(p − a)(p − b)(p − c).}

En outre,

S = 1₄b2c2sin2Ab= p(p − a)(p − b)(p − c).

D’où la formule de Héron. 

Exemple 35.18 — Inégalités dans le triangle. Soit ABC un triangle. On note a= BC, b = AC, et c= AB. On va montrer que :

|b − c| ≤ a ≤ b + c. D’après la formule d’Al-Kashi, on a :

a2= b2+ c2_{− 2bc cos}Ab_{⇔ cos}Ab= b

2_{+ c}2_{− a}2

On en déduit l’encadrement :

−2bc ≤ a2− b2− c2 ≤ 2bc.

D’où(b − c)2 _{≤ a}2_{≤ (b + c)}2_{. Par croissance de l’application t 7→}√_{tsur[0 , +∞[, on obtient :}

|b − c| ≤ |a| ≤ |b + c| . Comme a, b et c sont des quantités positives :

|b − c| ≤ a ≤ b + c.

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