Intégration sur un intervalle

Travaux dirigés

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Intégration sur un intervalle

Exercice 1 Déterminer en fonction de α > 0 et β > 0 la nature des intégrales suivantes : Z+∞ 0 dt tα_{(1 + t}β₎ Z1 0 ln t tα dt Z1 0 ln t (1 − t)αdt Z+∞ 0 1 tαln(t + e −βt_{) dt}

Exercice 2 Soit f : R+ → Rune fonction continue par morceaux et décroissante, telle que l’intégrale

Z+∞

0

f (t) dt converge.

Démontrer que l’intégrale Z +∞

0

tf (t) − f (t + 1)dt converge et la calculer.

Exercice 3 Soit f : R∗+→ Cune fonction de classeC1.

a) Montrer que pour tout n > 1, Zn+1 n f (t) dt = f (n) + Z n+1 n (n + 1 − t)f0(t) dt.

b) On suppose de plus f0intégrable sur [1, +∞[. Montrer que la sérieXf (n) et l’intégrale Z +∞

1

f (t) dt sont de même nature.

c) Soit α > 1/2. Déterminer la nature de la sérieXcos( √

n) nα .

Exercice 4 Soit f : R → R une fonction continue et T-périodique. On pose λ = 1 T ZT 0 f (t) dt et F : x 7→ Z x 0 f (t) dt − λx. a) Montrer que la fonction F est T-périodique.

b) Soit α > 0. Démontrer la convergence puis l’égalité des intégrales I = Z+∞ T f (t) − λ tα dt et J = α Z+∞ T F(t) tα+1dt.

Exercice 5 Soit f : R+→ Rune fonction continue par morceaux, décroissante et intégrable. Montrer que pour tout h > 0

la sérieXhf (nh) converge, puis calculer la limite lim

h→0+

+∞

X

n=1

hf (nh).

Exercice 6 Trouver un équivalent simple de un= n

X

k=1

e−n/k k2 .