Etude asymptotique de fonctions définies par des intégrales

Paul Sandrine

TER:

Etude asymptotique de fonctions

d´

efinies par des int´

egrales

Sommaire

• Introduction...3

• I.M´ethode de Laplace...4

• II. M´ethode de la phase stationnaire...12

• III.Exemples...35

• Conclusion...52

Introduction

Le comportement `a l’infini des fonctions d´efinies par une int´egrale a ´et´e un sujet de recherche pour de nombreux math´ematiciens. Nous allons ´etudier ces int´egrales grˆace `a deux m´ethodes :

Tout d’abord nous verrons la m´ethode de Laplace qui est l’´etude des int´egrales !b

ae

λϕ(x)_{f (x)dx o`u ϕ est une fonction deux fois d´erivable et λ est un grand}

nombre r´eel. Cela consiste `a regarder la contribution du voisinage du maxi-mum unique dans le comportement asymptotique.

Nous d´efinissons les int´egrales oscillantes de premi`ere esp`ece comme les fonc-tions I(λ) =! eiλφ(x)_{ψ(x) dx qui ont une fonction ψ `a support compact. Nous}

´etudierons ensuite le comportement de ces int´egrales grˆace `a la m´ethode de la phase stationnaire. Celle-ci est un d´eriv´e de la m´ethode de Laplace. Le comportement de l’int´egrale est alors approch´e par son comportement au voisinage des bornes d’int´egration mais aussi au voisinage du point o`u la phase λφ(x) est stationnaire, c’est-`a-dire lorsque la d´eriv´ee de φ est nulle, ou que sa d´eriv´ee k◦ soit nul.

En effet, les int´egrales oscillantes sont une partie essentielle de l’analyse har-monique. Nous avons besoin de ces int´egrales dans l’´etude des int´egrales de Bessel et l’´etude asymptotique des Transform´ees de Fouriers qui sont l’exemple de ces int´egrales. Elles ont ´et´e utilis´ees pour ´etudier le comporte-ment asymptotique de celle-ci par Airy, Stokcs, Lipschitz et Rieman. Nous aborderons donc deux exemples d’int´egrales oscillantes. Nous appliquerons la m´ethode de la phase stationnaire `a la fonction de Bessel et `a la fonction d’Airy.

I.M´

ethode de Laplace.

La m´ethode de Laplace doit son nom `a l’un des principaux scientifiques les plus influents de la p´eriode napol´eonienne, Pierre-Simon Laplace (1749-1827) qui est un math´ematicien, astronome et physicien fran¸cais. Laplace a apport´e des contributions fondamentales dans diff´erents champs des math´e-matiques, de l’astronomie et de la th´eorie des probabilit´es et joua un rˆole important dans l’affirmation du d´eterminisme (philosophique selon laquelle chaque ´ev`enement est d´etermin´e par un principe de causalit´e scientifique). Ainsi, la m´ethode de Laplace est une m´ethode pour l’´evaluation num´erique d’int´egrales de la forme !_abeλϕ(x)_{f (x)dx o`u ϕ est une fonction deux fois}

d´erivable, λ est un grand nombre r´eel et les bornes peuvent ´eventuellement ˆetre infinies.

Le principe de la m´ethode est que, pour λ > 0, si l’on suppose que la fonc-tion ϕ admet un unique maximum au point x0 alors pour λ grand, seuls

les points au voisinage de x0 contribuent de fa¸con significative `a l’int´egrale

!b ae

λϕ(x)_{f (x)dx. Si λ est n´egatif, en consid´erant −λ et −ϕ, on peut se}

ramener `a consid´erer les maximums de −ϕ donc les minimums de ϕ.

A.Th´

eor`

eme fondamental de le m´

ethode de Laplace.

Nous allons tout d’abord observer le comportement des int´egrales :

F (t) =

" b a

etϕ(x)f (x) dx o`u ϕ est `a valeurs r´eelles (1) Th´eor`eme 1 Soit I =]a; b[ un intervalle born´e ou non. Soit ϕ _{∈ C}2_(I,R)

et f _{∈ C}0_{(I,C). On suppose :}

1. !_abetϕ(x)_{|f(x)| dx < ∞ , ∀t > 0.}

2. ϕ! s’annule en un seul point x0 de I et ϕ!!(x0) < 0 (donc x0 est un

point maximum absolu strict de ϕ). 3. f (x0)%= 0. Alors, F (t)∼ √ 2π # |ϕ!!_(x0)|e tϕ(x0)_{f (x} 0)t−1/2 lorsque t → ∞ (2)

Preuve: Nous avons suppos´e que ϕ est `a valeurs r´eelles. Nous pouvons appliquer la formule de Taylor avec reste int´egral en x0.

ϕ(x) = ϕ(x0) + ϕ!(x0)(x− x0) + " x x0 ϕ!!(t)(t− x)dt = ϕ(x0) + $ −ϕ!!(t)(x− t) 2 2 %x x0 + " x x0 ϕ!_{(t)(x− t)}2 2 dt & '( ) =0 = ϕ(x0) + (x− x0)2 ϕ!!_(x 0) 2 = ϕ(x) = ϕ(x0) + (x− x0)2 ψ(x)

o`u ψ est une fonction continue sur I et C2 _{sur I\ {x}

0} et ψ(x0) = 1 2ϕ !!_(x 0). Comme ϕ!!_(x

0) < 0, il existe un δ1 > 0 tel que, sur l’ensemble

J1 =]x0− δ1; x0+ δ1[⊂]a; b[, ψ(x) < 0. On pose la fonction

u(x) = (x_{− x}0)

#

−ψ(x). On peut ´egalement poser ψ(x) = ϕ(x)− ϕ(x0)

(x− x0)2 . Donc, u(x) = (x_{− x}0) # −ψ(x) = (x − x0) * ϕ(x0)− ϕ(x) (x_{− x}0)2 = x− x0 |x − x0| # ϕ(x0)− ϕ(x) = sgn(x− x0) # ϕ(x0)− ϕ(x) = + −#_#ϕ(x0)− ϕ(x) si x ≤ x0 ϕ(x0)− ϕ(x) si x ≥ x0

La fonction u est continue sur J1 car :

lim x→x+0 u(x) = lim x→x+0 # ϕ(x0)− ϕ(x) = lim x→x−0 −#ϕ(x0)− ϕ(x) = 0

Elle est ´egalement C2 _{sur J}

1\ {x0}.

Montrons que u se prolonge en une fonction C1 _{sur J}

1 telle que u!(x0) = , −1 2ϕ!!(x0) > 0. Calculons u!. Si x≥ x0, on a u!(x) = −ϕ !_(x) 2#ϕ(x0)− ϕ(x) > 0 et si x ≤ x0, on a u!_{(x) =} ϕ!(x)

2#ϕ(x )− ϕ(x) > 0. On peut ´ecrire la formule de Taylor `a ϕ

ϕ. On a alors si x≤ x0 : u!(x) = ϕ !_(x 0) + ϕ!!(x0)(x− x0) + O((x− x0)2) 2 , ϕ(x0)− ϕ(x0)− (x − x0)ϕ!(x0)− (x− x0)2ϕ!!(x0) 2 + O((x− x0) 3₎ = # (ϕ!!_(x 0))2(x− x0)2 2 , −ϕ!!(x0)(x− x0) 2 2 + O((x− x0) 3₎ + O((x− x0)2) = -. . . /−ϕ !!_(x 0)2(x− x0)2 4ϕ !!_(x 0)(x− x0)2 2 + O((x− x0)2) = , −ϕ!!_(x 0) 2 + O((x− x0) 2₎ D’o`u limx→x0u!(x) = , −ϕ!!_(x 0)

2 . On retrouve le mˆeme r´esultat si x≥ x0. On peut d´ecomposer F (t) en deux int´egrales:

F (t) = " b a etϕ(x)θ(x)f (x)dx & '( ) =F1(t) + " b a etϕ(x)(1− θ(x))f(x)dx & '( ) =F2(t)

Observons le comportement de F (t) en deux parties: Etude de F1(t):

Comme θ est nulle hors de ]a,b[, on peut ´ecrire,

F1(t) =

"

Re

tϕ(x0)−tu2(x)_{θ(x)f (x)dx}

Posons z = u(x). Comme u est monotone, u−1 _{existe et x = u}−1_{(z). On a}

prouv´e pr´ecedemment que u est un diff´eomorphisme donc le changement de variable est licite. On a dz = u!_{(x)dx donc dx =} dz

u!_(u−1_(z)). On a alors: F1(t) = " Re tϕ(x0)_etz2 _θ0_u−1_(z)1_{f (u}−1_(z)) 1 u!_(u−1_(z)) & '( ) =h(z) dz

On remarque que h(z) est continue et `a support compact dans R. Posons maintenant √tz = y avec dz = √1

tdy. On obtient alors: F1(t) = etϕ(x0) " Re −y2 t1/2_h(√y t)dy

On applique le th´eor`eme de Lebesgue sur !_R e−y2 h(√y

t). V´erifions les

hy-poth`eses: - A y fix´e, e−y2

h(√y

t) converge vers e−y

2

h(0) quand t tend vers _∞.

-22_2e−y2 h(√y t) 2 2 2 ≤ 2 2 2e−y2 2 2 2 2 2 2h(√y t) 2 2 2 ≤ e−y2sup_{R |h| ∈ L}1

Donc, d’apr`es le th´eor`eme de Lebesgue,

e−tϕ(x0) _t1/2 _F 1(t)→ h(0) " Re −y2 dy = h(0)√π Calculons h(0) = θ (u−1_{(0)) f (u}−1₍₀₎₎ 1 u!_(u−1₍₀₎₎. Or u−1(0) = x0. D’o`u h(0) = θ(x0)f (x0) 1 u!_(x0) = f (x0) 3 −1 2 ϕ !!_(x 0) 4−1/2 . Donc, F1(t) ∼ √ π√2f (x0)(−ϕ!!(x0))−1/2 e−tϕ(x0)t1/2 = √ 2π # |ϕ!!_(x0)|e −tϕ(x0)_{f (x} 0) t−1/2

On obtient bien le deuxi`eme terme de l’´equation du th´eor`eme. Etude de F2(t):

Par d´efinition de θ, on a 1− θ %= 0 si |x − x0| ≤ δ/2 c’est-`a-dire x − x0 ≤ δ/2

ou x_{− x}0 ≥ δ/2.

Par hypoth`ese, ϕ! _{s’annule en un seul point x}

0 et de plus x0 est un maximum

local donc on peut dire que ϕ! ≥ 0 lorsque x < x0 et ϕ! ≥ 0 quand x > x0.

On en d´eduit:

ϕ(x0)− ϕ(x) = ϕ(x0)− ϕ(x0− δ/2) + ϕ(x0− δ/2) − ϕ(x)

Si x < x0 − δ/2, on sait que ϕ! > 0 donc ϕ est croissante. On a donc

ϕ(x0− δ/2) − ϕ(x) > 0. On peut donc minorer,

Par ailleurs,

ϕ(x0)− ϕ(x) = ϕ(x0)− ϕ(x0+ δ/2) + ϕ(x0+ δ/2)− ϕ(x)

De mˆeme, si x > x0+ δ/2, on sait que ϕ! < 0 donc ϕ est d´ecroissante. On a

donc ϕ(x0+ δ/2)− ϕ(x) > 0. On peut donc minorer,

ϕ(x0)− ϕ(x) ≥ ϕ(x0)− ϕ(x0+ δ/2) > 0

On obtient que sur le support de 1− θ,

+

si x < x0− δ/2 ϕ(x) ≤ ϕ(x0− δ/2) ≤ ϕ(x0)− µ

si x > x0+ δ/2 ϕ(x)≤ ϕ(x0+ δ/2)≤ ϕ(x0)− µ

o`u µ = min (ϕ(x0)− ϕ(x0− δ/2), ϕ(x0) + ϕ(x0+ δ/2)). On a donc ϕ(x0)−

ϕ(x)≥ µ > 0. Alors pour tout t > 1,

tϕ(x) = ϕ(x) + (t_{− 1)ϕ(x) ≤ ϕ(x) + (t − 1)ϕ(x}0)− (t − 1)µ

Ce qui nous permet d’´ecrire:

|F2(t)| ≤ " Re tϕ(x0)+ϕ(x)−ϕ(x0)−(t−1)µ_{|f(x)| dx} = etϕ(x0) " Re ϕ(x)_e−ϕ(x0)−(t−1)µ_{|f(x)| dx} On a alors: |F2(t)|e−tϕ(x0) ≤ e−tµ " Re ϕ(x)_e−ϕ(x0)+µ_|f(x)| & '( ) =M dx ≤ Me−tµ

On a donc montr´e que F1(t)e−tϕ(x0)d´ecroit en t−1/2et F2(t)e−tϕ(x0)d´ecroit

ex-ponentiellement. On a donc que F (t) _{∼ F}1(t) et on a bien prouv´e le th´eor`eme.

Appliquons la m´ethode de Laplace pour prouver la formule de Stirling.

B.Application: formule de Stirling.

James Stirling (1692-1770) est un math´ematicien ´ecossais. Dans les ann´ees 1730, Stirling ´etait en correspondance avec De Moivre (math´ematicien

fran-cais, 1667-1754), Cramer (math´ematicien suisse, 1704-1752) et Euler (math´ematicien suisse, 1707-1783). La formule de Stirling, pour laquelle le math´ematicien

est le plus connu, apparaˆıt `a l’Exemple 2 de la Proposition 28 de ”Methodus Differentialis”. Un des principaux objectifs de cet ouvrage ´etait d’´etudier des m´ethodes pour acc´el´erer la convergence des s´eries.

La formule de Stirling donne un ´equivalent asymptotique de la factorielle au voisinage de l’infini r´eel (quand n tend vers l’infini) :

lim n→∞ n! √ 2πn0n e 1n = 1

On la retrouve souvent ´ecrit ainsi :

n! _∼√2πn5n

e

6n

La formule pr´ec´edente est un cas particulier, pour un argument entier, de la formule de Stirling pour la fonction Γ d’Euler.

La formule a d’abord ´et´e d´ecouverte par Abraham de Moivre sous la forme:

n!∼ C nn+1/2_e−n_{o`u C est une constante r´eelle (non nulle)}

La contribution de Stirling fut de donner un d´eveloppement de ln(n!) `a tout ordre et d’attribuer la valeur `a la constante.

Nous utiliserons la fonction Γ(t) d’Euler pour retrouver cette constante. Pour cela, commen¸cons par retrouver une estimation de Γ(t+1) pour t grand. Cette fonction est d´efinie de la mani`ere suivante :

Γ(t + 1) = " +∞ 0 xte−x dx = " +∞ 0 et log x−x dx

On effectue le changement de variable x = ty avec dx = tdy. On obtient alors : Γ(t + 1) = " +∞ 0 et log ty−ty t dy = " +∞ 0

et log tet log ye−ty t dy

= tt+1 " +∞

0

et(log y−y)dy

V´erifions que l’on peut appliquer le th´eor`eme 1 `a!₀+∞et(log y−y)_{dy en posant}

i. !₀+∞et log t_et log y_e−ty _{dy =}!+∞

0 yte−ty dy <∞

ii. ϕ!_{(y) =} 1

y − 1. On a alors: ϕ!(y) = 0⇔ y = 1 et ϕ!!(1) =−1.

Donc ϕ! s’annule une seule fois et ϕ!!(1) < 0. iii. f (1) = 1_{%= 0}

On peut appliquer le th´eor`eme. " +∞ 0 et(log y−y)dy <sub>∼</sub> √ 2π # |ϕ!!<sub>(x0)|</sub>e tϕ(x0)<sub>f (x</sub> 0) t−1/2 Or ϕ(x0) = −1 et f(x0) = 1. D’o`u: " +∞ 0

et(log y−y)dy∼√2πe−tt−1/2

On peut en d´eduire: Γ(t + 1) = tt+1 " +∞ 0 et(log y−y)dy ∼ tt+1√2πe−tt−1/2 ∼ tt+1/2√2πe−t Explicitons Γ(n + 1) pour n entier.

Pour t > 0, on a : Γ(t + 1) = " +∞ 0 xte−xdx = 7−xt_e−x8∞ 0 & '( ) =0 + " +∞ 0 txt−1e−xdx = t " +∞ 0 xt−1e−xdx = t Γ(t) Donc, Γ(n + 1) = nΓ(n) = n(n_{− 1)Γ(n − 1) = n(n − 1)....Γ(1) = n! Γ(1)} Or, Γ(1) = " +∞ 0 x0e−x dx =7−e−x8+₀∞ = 1 On en conclut que : Γ(n + 1) = n! _∼√2πnn+1/2e−t pour n grand

La fonction Γ(t) est donc g´en´eralement per¸cue comme un prolongement com-plexe de la factorielle `a l’ensemble des nombres comcom-plexes except´es les entiers n´egatifs ou nuls.

II.M´

ethode de la phase stationnaire.

Cette m´ethode est une d´eriv´ee de la m´ethode de Laplace. Elle permet d’´etudier plus g´en´eralement le comportement de :

I(λ) =

"

eiλφ(x)ψ(x) dx (3) o`u l’on supposera souvent que ψ est `a support compact dans ]a; b[.

Le comportement de l’int´egrale est approch´e par son comportement au voisi-nage des bornes d’int´egration mais aussi au voisivoisi-nage du point o`u la phase

λφ(x) est stationnaire, c’est-`a-dire pour les points tels que la d´eriv´ee de φ

soit nulle, ou que ses d´eriv´ees k_{− 1`eme soient non nulles et la k`eme nulle.} Quand il existe un ou plusieurs points stationnaires, la contribution prin-cipale de l’int´egrale sera donn´ee uniquement par l’expression approch´ee de l’int´egrale au voisinage de ces points, `a l’infini.

Nous pouvons remarquer tout d’abord que I est fini. En effet : 2 2 2 2 " eiλφ(x)ψ(x) dx 2 2 2 2 ≤ " 22eiλφ(x)22 |ψ(x)| dx ≤ "

|ψ(x)| dx < ∞ car ψ est `a support compact

A.Localisation.

Comme ψ est `a support compact dans ]a, b[, le comportement asympto-tique de I(λ) est d´etermin´e par les points v´erifiant φ!_{(x) = 0. Cela vient}

de:

Proposition 2 Soit ψ une fonction `a support compact dans ]a, b[ et

φ!(x)%= 0 ∀x ∈ [a, b]. Alors:

I(λ) = O(λ−N) quand λ→ +∞ ∀N ≥ 0

Preuve:

Nous nous pla¸cons sur C_c∞(]a, b[), l’espace des fonctions de classe C∞ `a support compact dans ]a, b[. Soit D un op´erateur diff´erentiel d´efini par

Df (x) = (iλφ!_(x))−1df

dx. Celui-ci est bien d´efini car nous sommes dans

En effet, nous avons D(eiλφ_{) =} 1

iλφ!_(x).

df dx(e

iλφ (x)_{) = e}iλφ (x)_{. D’o`u l’´egalit´e}

pr´ec´edente.

L’espace C∞ est un sous-espace de L2_{([a, b]), nous pouvons donc utiliser le}

produit scalaire sur L2_{([a, b]).On a alors par d´efinition de l’op´erateur,}

< Df, h >L2=< f , t_{Dh >} L2= " b a Df (x)h(x) dx = " b a f!_(x) iλφ!_(x)h(x) dx

Nous int´egrons par parties en posant u(x) = h(x)

iλφ!_(x) et v(x) = f (x). On obtient, < Df, h >L2= $ f (x) h(x) iλφ!_(x) %b a − " b a f (x) 3 h(x) iλφ!_(x) 4! dx.

Or si h _{∈ C}∞_{(]a, b[), alors h}(n)_{(a) = h}(n)_{(b) = 0∀ n ∈ N. Donc}

$ h(x) iλφ!_(x) %b a = 0 car dans notre cas h(x) = ψ(x),ψ(a) = ψ(b) = 0 et ψ!(a) = ψ!(b) = 0 car

ψ est `a support compact.

D’o`u, t_{Dh(x) = −} d dx 3 h iλφ!_(x) 4 et < DN_(eiλφ_{); ψ >=< e}iλφ_{; (}t D)N_{(ψ) > .}

Nous retrouvons donc les ´egalit´es : " b a eiλφψ dx = " b a DN(eiλφ)ψ dx = " b a eiλφ(tD)N(ψ) dx (4)

Avec ces r´esultats, nous pouvons majorer I(λ).

|I(λ)| = 2 2 2 2 " b a eiλφ(x)tDN(ψ) dx 2 2 2 2 ≤ " b a 2 2eiλφ(x)2₂ & '( ) =1 2 2 2tDN(ψ)22_{2 dx ≤} " b a 2 2 2tDN(ψ)22_{2 dx} Par ailleurs, montrons par r´ecurrence sur N qu’il existe une fonction C∞ _sur

[a, b], PN telle que (tD)Nψ(x) =

1

λNPN(x) pour tout x ∈ [a, b]. - N = 0,

´evident. - Supposons que l’hypoth`ese de r´ecurrence soit vraie pour un certain rang N et montrons qu’elle l’est toujours au rang N + 1.

(tD)N +1ψ(x) =tD((tD)Nψ) =tD 3 1 λNPN(x) 4 = i λN +1 3 PN φ! 4! = PN +1 λN +1

o`u PN +1= i 3 PN φ! 4! . On en d´eduit que : sup [a,b]|( t_D)N_{ψ(x)| ≤} 1 λN sup [a,b]|P N(x)| & '( ) =An

On a bien prouv´e que I(λ) est d’ordre λ−N.

Nous remarquons que si φ(x) = x, I(λ) devient une fonction C1_{, compact}

qui n’est autre que la transform´ee de Fourier ˆψ(λ) =! eiλx_{ψ(x) dx. Celle-ci}

a pour propri´et´e d’ˆetre d´ecroissance rapide.

Remarque:

• Si ψ ne s’annule pas pr`es des extr´emit´es de [a, b] alors la formule (5)

est modifi´ee. Il faut lui ajouter les termes du crochet de l’int´egration par parties.

Dans ce cas,la d´ecroissance de I(λ) peut ˆetre seulement en O(λ−1) comme le montre l’exemple de I(λ) quand φ(x) = x :

" b a eiλxdx = $ eiλx iλ % = e iλb_{− e}iλa iλ

Ce qui est bien d’ordre O(λ−1_).

• On observe que les termes int´egr´es dans (5) sont absents dans l’exemple

pr´ec´edent. On retrouve la d´ecroissance rapide de I(λ) si on suppose que ψ et φ sont p´eriodiques. En effet, il suffit d’avoir φk_{(a) = φ}k_{(b) et}

ψk_{(a) = ψ}k_{(b) pour tout k ≥ 0. Donc}

$ eiλφ_. ψ iλφ! %b a = 0 et on retrouve bien l’´egalit´e (5).

B.Changement d’´

echelle.

Supposons seulement que 2 2 2 2d k_φ(x) dxk 2 2 2

2 ≥ 1 pour un k fix´e. Notre but sera d’estimer !_abeiλφ(x)_{dx ind´ependamment de a et b. Tout d’abord, le}

change-ment qui `a x associe λ−1/kx! nous montre que cette int´egrale est d’ordre

Le cas particulier φ(x) = x

k

k!, qui v´erifie bien

2 2 2 2d k_φ(x) dxk 2 2 2 2 ≥ 1, montre que la d´ecroissance ne peut ˆetre meilleure que O(λ−1/k). En effet, nous avons que :

2 2 2 2d k_φ(x) dxk 2 2 2 2 = k(k− 1)...1_k! = 1 et !_abeiλφ(x) ₌!b a e iλxk

k! dx. On effectue alors le changement de variable:

" b a eiλxkk! dx = " b a eiλ(λ−1/k x#) k k! .λ−1/kdx! = " b a e(iλλ−1x#k )k! .λ−1/kdx! = " b a eix# k k! .λ−1/kdx! Or, on a 22₂!_abeiλxk k! dx 2 2 2 = λ−1/k 2 2 2!abe ixk k! dx 2 2 2. Si b > a > 1 et b≥ 2, on peut ´ecrire : " b a eixkk! dx = " b a i x k−1 (k_{− 1)!}e ixk_k! (k− 1)! ixk−1 dx = $ eixkk! (k− 1)! ixk−1 %b a + " b a ieixkk! (k− 1)(k − 1)! ixk dx Or, 2 2 2 2!abeix k(k− 1) ixk dx 2 2 2 2 ≤ !ab k− 1 xk dx = $ − 1 xk−1 %b a ≤ 1 ak−1 ≤ 1. De plus, 2 2 2 2 2 $ eixk k! (k− 1)! ixk−1 %b a 2 2 2 2 2 = 2 2 2 2ei bk k! (k− 1)! ibk−1 − e iak k! (k− 1)! iak−1 2 2 2 2 ≤ _bk1−1 + 1 ak−1 ≤ 2. Donc 2 2 2!abe ixk_{k! dx}22_{2 ≤ 2(k − 1)}

Par ailleurs, si 1 > b > a > 0, On a les mˆemes majorations et si 0 > b > a, on a : 2 2 2 2!abe ixk(k− 1) ixk dx 2 2 2 2 ≤ $ −_xk−11 %b a ≤ _bk−11 ≤ 1 et 2 2 2 2 2 $ eixk_k! (k− 1)! ixk−1 %b a 2 2 2 2 2 ≤ 1 bk−1 + 1

ak−1 ≤ −2. On retrouve la mˆeme majoration au signe pr`es.

D’o`u, !_abeiλφ(x)_{dx est d’ordre O(λ}−1/k_).

Cette estimation a ´et´e utilis´ee par Van Der Corput et est comprise dans la proposition suivante:

Proposition 3 Soit φ quelconque de ]a, b[ `a valeurs dans R et supposons que 2 2φk_(x)22 ≥ 1 ∀ x ∈ ]a, b[. Alors: 2 2 2 2 " b a eiλφ(x)dx 2 2 2 2 ≤ Ckλ−1/k avec Ck ind´ependant de φ et λ (5) Lorsque l’on a: 1. k ≥ 2 2. k = 1 et φ!_{(x) est monotone.} Remarque:

Pour k = 1, la minoration de_|φ!_{| n’est pas suffisante, c’est-`a-dire la monotonie}

est n´ecessaire. Construisons pour cela une fonction tel que φ! _{soit oscillante}

et tel que l’ensemble o`u cos φ > 0 soit plus grande que celle o`u cos φ < 0 Prenons par exemple: φ tel que cos φ soit de la forme:

Prenons donc φ telle que sur les ensembles $ 3πk 4 ; 3πk 4 + π 2 % = Ik , la

pente soit plus petite que sur les ensembles $ 3πk 4 + π 2; 3π 4 (k + 1) % = Jk. On

aura ainsi _{{x tel que cos φ > 0} ≫ {x tel que cos φ < 0}.} Posons: φ(x) =              x si x_∈=0;π 2 > = I0 2x_{− c}k si x∈ $ 3kπ 4 ; π 2 + 3kπ 4 % = Ik 4x_{− d}k si x∈ $ π 2 + 3kπ 4 ; 3π 4 (k + 1) % = Jk

Calculons les constantes ck et dk tel que φ soit continue. Notons φ+(x) =

2x_{− c}k et φ−(x) = 4x− dk. Pour avoir la continuit´e de φ, on doit avoir

φ+ 3 3kπ 4 4 = φ− 3 3kπ 4 4 et φ+ 3 π 2 + 3kπ 4 4 = φ− 3 π 2 + 3kπ 4 4 . Posons c1 = 0. On a alors:          2.3π 4 k− ck= 4. 3kπ 4 − dk−1 (1) 2. 3 π 2 + 3kπ 4 4 − ck = 4. 3 π 2 + 3kπ 4 4 − dk (2) c1 = 0 ⇔      (2)_{− (1) = π = 2π − d}k+ dk−1 π + 3kπ 2 − ck = 2π + 3kπ− dk c1 = 0 ⇔      dk= π + dk−1 dk= π + 3kπ 2 + ck c1 = 0 ⇒ d1 = 5π 2 d0 = 5π 2 − π = 3π 2 ⇒      dk = π + π... + d0 = kπ + 3π 2 ck= (k− 1)π + 3(1− k)π 2 =− kπ 2 + π 2

On obtient: φ(x) =              x si x∈=0;π 2 > 2x + kπ 2 − π 2 si x∈ $ 3kπ 4 ; π 2 + 3kπ 4 % 4x− kπ − 3π 2 si x∈ $ π 2 + 3kπ 4 ; 3π 4 (k + 1) %

Remarquons que si x∈ Ik, φ(x)∈ [2kπ − π/2, 2kπ + π/2] donc cos φ(x) > 0

et " π/2+3kπ/4 3kπ/4 cos φ(x) dx = " π/2+3kπ/4 3kπ/4 cos(2x + kπ/2_{− π/2) dx} = $ 1 2sin(2x + kπ/2− π/2) %π/2+3kπ/4 3kπ/4 = 1 2(sin(π/2)− sin(−π/2)) = 1 Si x ∈ Jk, φ(x)∈ [2kπ + π/2, 2kπ + 3π/2] donc cos φ(x) < 0 et " 3π/4(k+1) π/2+3kπ/4 cos φ(x) dx = " 3π/4(k+1) π/2+3kπ/4 cos(4x_{− kπ − 3π/2) dx} = $ 1 4sin(4x− kπ − 3π/2) %3π/4(k+1) π/2+3kπ/4 = 1 4(sin(3π/2)− sin(π/2)) = −1/2

Maintenant que l’on a construit φ tel que l’on voulait, montrons qu’avec cette fonction, !_abeiλφ _{n’est pas born´e. Utilisons λ = 1.}

Calculons !_abcos φ(x) dx et prenons a = 0 et b = 3π

4 (n + 1) avec n∈ N. " 3π 4 (n+1) 0 cos φ(x) dx = n−1 ? k=0 " Ik cos φ(x) dx + n ? k=0 " Jk cos φ(x) dx car 70,3π 4 (n + 1) 7 = 0_∪n_k=0−1Ik 1 ∪ (∪n k=0Jk). Comme ! Ikcos φ(x) dx = 1 et !

Jkcos φ(x) dx = −1/2 pour tout k ≥ 1,

! 3π 4 (n+1)

0 cos φ(x) dx = nn/2 =

n/2_{−→n→+∞} +_{∞ Donc}!_abcos φ(x) dx_{−→b→+∞}+_∞. On en d´eduit que !_abeiφ ₌ !b

a cos φ(x) dx + i

!b

a sin φ(x) dx n’est pas born´e.

On a bien construit un contre-exemple montrant que la minoration de φ! n’´etait pas suffisante.

Preuve:

Nous commencerons d’abord par prouver le deuxi`eme cas.

2. Reprenons l’op´erateur diff´erentiel v´erifiant (5). Nous avons alors: " b a eiλφdx = " b a D(eiλφ).1dx = $ eiλφ. 1 iλφ! %b a + " b a t_D(1)eiλφ_dx

En prenant le module, on obtient: 2 2 2 2 " b a eiλφ tD(1) dx 2 2 2 2 = 2 2 2 2 " b a eiλφ(iλ)−1 d dx 1 φ! dx 2 2 2 2 ≤ " b a 2 2eiλφ_(iλ)−12₂ 2 2 2 2_dxd _φ1! 2 2 2 2 dx ≤ (λ)−1 " b a 2 2 2 2_dxd _φ1! 2 2 2 2 dx. Or φ! _{est monotone et ne s’annule pas donc} 1

φ! est monotone et 3 1 φ! 4! est de signe constant. Donc on peut ´ecrire:

(λ)−1 " b a 2 2 2 2_dxd _φ1! 2 2 2 2 dx = (λ)−1 2 2 2 2 " b a d dx 1 φ! dx 2 2 2 2 ≤ (λ)−1 2 2 2[φ!(x)]b_a22_{2 = (λ)}−1 2 2 2 2_φ!1_(b) − 1 φ!_(a) 2 2 2 2 qui est major´e par 1

λ car d dxφ(x)≥ 1 donc 1 φ!_(x) ≤ 1 et 2 2 2 2_φ!1_(b) − 1 φ!_(a) 2 2 2 2 ≤ 1. On a donc obtenu la majoration:

2 2 2 2 " b a eiλφ(x) 2 2 2 2 ≤ (λ)−1+ 2 2 2 2 2 $ eiλφ(x) iλφ!_(x) %b a 2 2 2 2 2≤ (λ)−1+ 2 2 2 2 e iλφ(b) iλφ!_(b) 2 2 2 2 + 2 2 2 2 e iλφ(a) iλφ!_(a) 2 2 2 2 = (λ)−1+ (λ)−1+ (λ)−1 = 3(λ)−1 D’o`u C1 = 3.

1. Prouvons le premier point par r´ecurrence, soit pour cela l’hypoth`ese que si 2 2 2 2d k_φ(x) dxk 2 2 2 2 ≥ 1, alors ∀ x ∈ ]a; b[ 2 2 2 2 " b a eiλφ(x)dx 2 2 2 2 ≤ Ckλ−1/k Le cas k = 1 a ´et´e vu en 2.

Supposons que pour un certain k, l’hypoth`ese soit v´erifi´ee et supposons que

φ(k+1)_{(x)≥ 1 et montrons que} 22 2!abe iλφ(x)_dx22 2 ≤ ckλ −1 k+1.

Soit x = c, l’unique point dans [a; b] tel que 22φ(k)_(x)22 soit le minimum.

Distinguons alors deux cas:

-Si φk_{(c) = 0, alors pour tout x n’appartenant pas `a ]c − δ; c + δ[, nous}

avons que 22φ(k)_(x)22 ≥ δ. En effet, si |x − c| ≥ δ alors φ(k)_{(x) = φ}(k)_{(c) +}

!ε c φ

(k+1)_(t)

& '( )

≥1

dt _{≥ x − δ ≥ δ. On obtient la mˆeme majoration si x ≤ c − δ.}

Donc, 2 2 2 2φ k_(x) δ 2 2 2

2 ≥ 1 et φ! est bien monotone.

D´ecomposons ]a, b[ en ]a, c− δ[, ]c − δ, c + δ[ et ]c + δ, b[. Sur ]a, c − δ[, on

pose λφ = λδ 3 φ δ 4 avec 2 2 2 2 2 3 φ δ 4(k)22 2 2 2≥ 1 . On a alors : 2 2 2 2 " c−δ a eiλφdx 2 2 2 2 = " c−δ a eiλδφdx ≤ Ck(λδ)−1/k De mˆeme, ₂ 2 2 2 " b c−δ eiλφdx 2 2 2 2 ≤ Ck(λδ)−1/k 2 2 2 2 " c+δ c−δ eiλφdx 2 2 2 2 ≤ " c+δ c−δ 2 2eiλφ2_{2 dx = 2δ} On obtient donc 2 2 2!abe iλφ_dx22 2 ≤ 2δ+Ck(λδ)−1/k+Ck(δλ)−1/k = 2δ+2Ck(λδ)−1/k = 2δ(δλ)−1/k_{+ 2C} k (λδ)1/k .

-Si φ(k)_{(c)%= 0 alors c = a ou c = b pour tout x n’appartenant pas `a ]c−δ, c+δ[}

et on a 2 2 2 2φ k_(x) δ 2 2 2 2 ≥ 1.

φ(k)_{(b). Comme min|φ}(k)_{(x)| = φ}(k)_{(b), on a φ}(k)_{(b) ≥ 0. Nous pouvons}

couper ]a, b[ en deux intervalles, ]a, b _{− δ[ et ]b − δ, b[. On a φ}(k)_{(x) =}

!x b φ

(k+1)_{(t) + φ}(k)_{(b)≥ x − b. Donc si x − b ≥ b + δ, on obtient φ}(k)_{(x)≥ δ et}

cela nous permet d’´ecrire : !_ab−δeiλφ _{≤ C}

k(λδ)−1/k mais aussi,

!b

b−δeiλφ ≤ δ

D’o`u !_abeiλφ _{≤ C}

k(λδ)−1/k + δ. Puis, nous pouvons aboutir au r´esultat

souhait´e en prenant δ = (λ)k+1−1 dans les deux cas.

Ce qui prouve la proposition avec Ck+1 = 2Ck+ 2 et C1 = 3

Ck+1 = 2(2Ck−1+ 2) + 2 = 23C_k−2+ 23+ 22+ 2 = 2kC1+ @ _k ? i=1 2i A − 1 = 2kC1+ 3 1− 2k+1 1_{− 2} − 1 4 = 2kC1+ (−1 + 2k+1− 1) = 2k× 3 + 2k+1− 2 = 2k(3 + 2)− 2 = 5.2k_{− 2}

Nous allons maintenant estimer notre int´egrale lorsque ψ ne s’annule pas aux extr´emit´es de [a, b].

Corollaire 4 Soit φ quelconque de ]a, b[ `a valeurs dans R et supposons que 2

2φk_(x)2_{2 ≥ 1 ∀ x ∈ ]a, b[, alors on peut conclure que:}

2 2 2 2 " b a eiφλψ(x) dx 2 2 2 2 ≤ Ckλ−1/k 3 |ψ(b)| + " b a |ψ !_{(x)| dx} 4 (6) Preuve: Soit F (x) = !_axeiλφ(t)_{dt.On peut d´eriver F (x) par le th´eor`eme de}

Lebesgue donc F!(x) = eiλφ(x) _{par d´efinition de la primitive. On a donc:}

I(λ) =!_abF!(x)ψ(x)dx.. On effectue une int´egration par partie en posant

u(x) = F (x) et v(x) = ψ(x). On retrouve alors:

I(λ) = [F (x)ψ(x)]b_a− " b a F (x)ψ!(x)dx = F (b)ψ(b)₋ " b a F (x)ψ!(x)dx. En passant en valeur absolue,on obtient:

|I(λ)| ≤ |F (b)ψ(b)| + 2 2 2 2 " b a F (x)ψ!(x)dx 2 2 2 2 ≤ |F (b)ψ(b)| + " b a |F (x)| |ψ !_{(x)| dx} ≤ |F (b)ψ(b)| + " b a 2 2 2 2 " x a eiλφ(t)dt 2 2 2 2 |ψ!(x)| dx ≤ Ckλ−1/k|ψ(b)| + " b a |ψ !_{(x)| dxC} kλ−1/k = Ckλ−1/k 3 |ψ(b)| + " b a |ψ !_(x)|dx 4 .

C.Comportement asymptotique

On sait d´ej`a que si ψ est `a support compact sur [a; b], le comportement de I(λ) est d´etermin´e par les points x0 o`u φ!(x0) = 0 qui sont les points

critiques de φ.

Supposons que le support de ψ soit tr`es petit et qu’il contienne un point critique de φ, le comportement de I(λ) d´epend du plus petit k _{≥ 2 tel que}

φ(k)_(x

0)%= 0 et determinant la puissance du terme en λ.

La proposition suivante contient cette id´ee.

Proposition 5 Supposons k ≥ 2, φ(x0) = φ!(x0) = ... = φ(k−1)(x0) = 0 et

φ(k)_(x

0)%= 0. Si le support de ψ est contenu dans un voisinage de x0

suffisamment petit, alors: I(λ) = " b a eiλφ(x)ψ(x)dx∼ λ−1/k ∞ ? j=0 ajλ−j/k (7) au sens o`u, ∀N ∈ N∗∀r 3 d dr 4r@ I(λ)_{− λ}−1/k N ? j=0 ajλ−j/k A = O(λ−r−(N+1)/k) (8) quand λ_{→ ∞}

Preuve: Prouvons la proposition pour k = 2, la d´emonstration pour k > 2 est similaire.

Tout d’abord, nous verrons le cas o`u φ(x) = x2 _{en trois ´etapes et nous}

Etape 1: Prouvons que: " ∞ −∞ eiλx2xle−x2dx_{∼ λ}−(l+1)2 ∞ ? j=0 C_j(l)λ−j (9)

pour tout l∈ N∗. Si l est impair, l’int´egrale s’annule.

En effet,!_−∞∞ eiλx2

xl_e−x2

dx =!_−∞∞ e−(1−iλ)x2

xl_dx.

Soit z = (1− iλ)1/2_{x, donc x = (1− iλ)}−1/2_{z et dx = ((1− iλ)}−1/2_{dz. Nous}

utilisons la d´etermination principale de la racine carr´ee d´efinie dans le plan complexe priv´e de l’axe des r´eels strictement n´egatifs. Nous pouvons ainsi ´ecrire #(1− iλ) = (1 + λ2₎1/4_eiarctan λ_{2 . Donc le changement de variable est}

possible. On obtient: " _∞ −∞ e−(1−iλ)x2xldx = " R√1−iλ e−z2zl(1_{− iλ)}−(l+1)/2dz = (1_{− iλ)}−(l+1)2 " R√1−iλ e−z2zl_dz = (1− iλ)−(l+1)2 2 " R+√1−iλ e−z2zldz Montrons que 2!_R+√ 1−iλe−z 2 zl_{dz = 2}! R+e −z2 zl_dz.

Pour cela prenons le chemin Γ(t):

f (z) holomorphe et Γ(t) chemin ferm´e :!_Γ(t)f (t)dt = 0. " Γ(t) f (z) dz = " −→ AB f (z) dz + " −−→ BC f (z) dz + " −→ CA f (z)dz D’o`u avec f (z) = e−z2zl_{, on a:} " Γ(t) f (z) dz = " −→ AB e−z2zldz + " −−→ BC e−z2zldz + " −→ CA e−z2zldz = " r 0 e−z2zldz + " −−→ BC e−z2zldz + " −→ CA e−z2zldz.

Calculons!−−→_BCe−z2zldz. Posons pour cela z = r +iy donc z2 = r2+2iry−y2.

On a alors: |f(z)| =222e−z2 2 2 2 |z|l = e−r2+y2_{|r + iy|}l = e−r2+y2(#r2_{+ y}2₎l

On veut alors majorer cette int´egrale pour cela maximisons y. On peut observer que ymax = tan αr.On a alors:

" −−→ BC e−z2zldz ≤ 1 f 1 L(−−→BC) ≤ e−r2(1+tan2_α) (r2(1 + tan2α))l/2L(−−→BC) Or e−r2_(1+tan2_α)

.(r2_{(1 + tan}2_α))l/2 _{→ 0 quand r tend vers ∞.On en d´eduit}

que !−−→ BCe−z 2 zl_{dz tend vers 0.} Or !−→_CAe−z2zldz →!√ 1−IλR+e −z2 zl_dz.

Par le th´eor`eme des r´esidus, on peut donc ´ecrire: " r 0 e−z2zldz & '( ) −→!0∞e−z2zldz + " −−→ BC e−z2zldz & '( ) −→0 + " −→ CA e−z2zldz & '( ) −→!√₁ −IλR+e−z2zldz = 0

Par unicit´e de la limite, on obtient bien l’´egalit´e: ! R+√1−iλe −z2 zl_{dz =}! R+e −z2 zl_dz.

Cela nous permet de simplifier le calcul de notre int´egrale de d´epart si λ > 0. (1− iλ)−l+12 " √ 1−IλR e−z2zldz = (1− iλ)−l+12 " Re −z2 zldz = λ−l+12 (λ−1− i)− l+1 2 " Re −z2 zldz

Nous pouvons poser w = λ−1_{. Comme |w| < 1, nous pouvons ´ecrire le}

d´eveloppement en s´erie enti`ere: (w_{− i)}−l+12 = (−i)−l+12 (1 + iw)−l+12 = (_−i)−l+12 @ _∞ ? n=0 −l + 1 2 3 −l + 3 2 4 ... 3 −l + 2n + 1 2 4 (iw)n n! A Donc (w_{− i)}−l+12 =B∞ j=0Cj w−j = B_∞ j=0Cj λ−j.

Comme !_Re−z2zl_{dz est une constante, on peut d´eduire que:}

" ∞ −∞ eiλx2xle−x2dx∼ λ−(l+1)2 ∞ ? j=0 C_j(l)λ−j

On a bien l’estimation cherch´ee. Etape 2: Prouvons que si η ∈ C∞

0 et l ∈ N∗ alors: 2 2 2 2 " ∞ −∞ eiλx2xlη(x) 2 2 2 2 ≤ Aλ− 1 2− l 2 (10)

Pour obtenir cette majoration, nous aurons un probl`eme en z´ero car cette int´egrale n’est pas int´egrable. Introduisons pour contourner ce point la fonc-tion α ∈ C∞ _{telle que:}

α(x) = + 1 si_{|x| ≤ 1} 0 si|x| ≥ 2 On a avec ε > 0 fix´e: " eiλx2xl η(x) dx = " eiλx2xl η(x) (α(x/ε) + 1_{− α(x/ε)) dx} = " eiλx2xl η(x) α(x/ε) dx & '( ) (∗) + " eiλx2xl η(x) (1_{− α(x/ε)) dx} & '( ) (∗∗)

Etudions tout d’abord (*), en effectuant le changement de variable x/ε = y et dx = εdy. (∗) = " Re iλx2 xl η(x) α(x/ε) dx = " Re iλε2_y2 εl yl η(εy) α(y) ε dy = " Re iλε2_y2 εl+1 yl η(εy) α(y) dy Or α(y) = 0 si _{|y| ≥ 2.} D’o`u, (_{∗) =} " 2 −2 eiλε2y2 εl+1 yl η(εy) dy = εl+1 " 2 −2 eiλε2y2yl η(εy) dy Or 2 2 2 2 " 2 −2 eiλε2y2yl η(εy) dy 2 2 2 2 ≤ " 2 −2|y l_{| dy ||η||} ∞ = 2l+2 l + 1 ||η||∞ = M

o`u M est une constante car η_{∈ C}∞

0 .

D’o`u, _"

Re

iλx2

xl η(x) α(x/ε) dx≤ εl+1_M

Majorons maintenant (**) et pour cela, posons sur C₀∞, φ(x) = x2 _et

ψ(x) = η(x) (1_{− α(x/ε)). On a bien φ}!_{(x) = 2x.}

Nous pouvons r´eutiliser l’op´erateur diff´erentiel utilis´e pour la preuve du th´eor`eme 1. Rappelons que, Df (x) = (iλ2x)−1df

dx et t_{Df (x) =} i 2λ 3 f x 4! . D’apr`es ce qui pr´ec`ede,

" b a eiλφ(x) ψ(x) dx = " b a eiλφ(tD)N(ψ) dx D’o`u, " eiλx2xlη(x) (1− α(x/ε)) dx = " eiλx2(tD)N0xlη(x) (1− α(x/ε))1 dx Or (1<sub>− α(x/ε)) = 0 si |x| ≤ ε. D’o`u:</sub> |(∗∗)| ≤ " |x|≥ε|e iλx2 (tD)N(xlη(x))|dx ≤ " |x|≥ε|( t_D)N_(xl_η(x)) |dx

Or pour tout N , il existe ψN ∈ C0∞ tel que:

(tD)N(xlψ) = 1 λNx

l−2N_ψ N(x)

Montrons le par r´ecurrence: Pour n=0, cela est ´evident. Supposons que la proposition est vraie `a un certain rang N et montrons la pour N + 1. On a,

(tD)N +1(xlψ) = tD((tD)N(xlψ)) = tD 3 1 λNx l−2N_ψ N(x) 4 = 1 λN i 2λ(x l−2N−1_ψ N)! = x l−2N−2 λN +1 3 i(l_{− 2N − 1} 2 ψN + x 2ψ ! N 4 & '( ) =ψN +1

Donc, en rempla¸cant, on obtient,

|(∗∗)| ≤ " |x|≥ε|( t_D)N_(xl_η(x))|dx = " |x|≥ε 2 2 2 2_λ1Nx l−2N_η N(x) 2 2 2 2 dx

Or η est `a support compact, donc pour tout N , ηN ≤ CN. D’o`u,

|(∗∗)| ≤ " |x|≥ε CN 2 2 2 2_λ1Nx l−2N 2 2 2 2 dx = λ−NCN 3" +∞ ε xl−2N dx + " ε +∞−x l−2N _dx 4 = λ−NCN.2 " +∞ ε xl−2N dx = CN λN $ xl−2N+1 l_{− 2N + 1} %∞ ε = CN λN 3 − εl−2N+1 l_{− 2N + 1} 4 = CN l− 2N + 1 & '( ) =C# N εl−2N+1 λN si l− 2N < −1

On obtient donc en prenant ε = √1 λ, " eiλx2xlη(x) dx≤ CNλ−Nεl−2N+1+ CNεl+1 = CN(λ−Nεl−2N+1+ εl+1) = CN(λ−l + 2N − 1 2 + λ −l−1 2 ) = C_&'()N2 =A λ−l−12

On retrouve bien la majoration (11).

De mˆeme, on peut prendre g _{∈ S et g s’annulant `a proximit´e de l’origine.} On a, " Re iλx2 g(x) dx = " Rx e iλx2g(x) x dx = C eiλx2 2λi . g(x) x D+∞ −∞ − " R eiλx2 2λi 3 g(x) x 4! dx

Or 22g(x)(k)22 |x|m _{tend vers 0 quand x tend vers l’infini par d´efinition de}

l’espace de Schwarz. On peut donc dire, d’apr`es le th´eor`eme 1,!_Reiλx2

g(x)dx = O(λ−N).

Etape 3: Prouvons la proposition dans le cas o`u φ(x) = x2

! eiλx2 ψ(x)dx = ! eiλx2 e−x25 ex2 ψ(x)6ψ(x)dx˜ o`u ψ(x) =˜ + 1 si x∈ suppψ 0 sinon Pour tout N , ´ecrivons le d´eveloppement de Taylor en 0.

ex2 = 1 + x 2 1! + x4 2! + ... + x2n n! + ... ψ(x) = N ? j=0 ψj(0)xj+ RN(x)xN +1 ex2ψ(x) = N ? j=0 fj(0)xj + RN(x)xN +1 = P (x) + RN(x)xN +1o`u P (x) est un polynˆome. = N ? j=0 bjxj+ RN(x)xN +1

On obtient, " eiλx2ψ(x) dx = " eiλx2e−x20P (x) + RN(x) xN +11 ˜ψ(x) dx = " eiλx2e−x2P (x) ˜ψ(x) dx + " eiλx2e−x2RN(x) xN +1ψ(x) dx˜ = " eiλx2e−x2P (x)5ψ(x)˜ − 1 + 16 dx + " eiλx2 e−x2RN(x) xN +1ψ(x) dx˜ = " eiλx2e−x2P (x)5ψ(x)˜ _{− 1}6 dx & '( ) (∗) + " eiλx2e−x2P (x) dx & '( ) (∗∗) + " eiλx2e−x2RN(x) xN +1ψ(x) dx˜ & '( ) (∗∗∗)

Or d’apr`es la majoration trouv´ee dans l’´etape 1, on peut dire,

|(∗∗)| = N ? j=0 bj " eiλx2e−x2xj dx

Comme il s’agit d’une somme finie, nous pouvons intervertir l’int´egrale et la somme. |(∗∗)| = " _?N j=0 bjeiλx 2 e−x2xj dx

On peut appliquer l’´equation (10) et ´ecrire alors,

|(∗∗)| ∼ N ? j=0 bjλ− (j+1) 2 ∞ ? i=0 C_i(j)λ−i

D’apr`es la majoration vu `a l’´etape 2 en prenant η(x) = e−x2

RN(x) ˜ψ(x), on a: |(∗ ∗ ∗)| ≤ Aλ−12 − N +1 2 Enfin, posons g(x) = e−x2 P (x)( ˜ψ(x)_{− 1). On a que}

|x|m_|g(x)(k)_{| = |x|}m_{|P (x)( ˜ψ(x)− 1)| pour tout (m, k) ∈ N qui tend vers 0}

car ( ˜ψ(x)− 1)| tend vers 0 quand x tend vers l’infini. Par cons´equent, g ∈ S

On peut utiliser l’´etape 3 vu pr´ec´edemment et donner l’ordre:

On peut donc conclure que: " eiλx2ψ(x) dx _∼ N ? j=0 bjλ− (j+1) 2 + Aλ−12 − N +1 2 = N +1_? j=0 bjλ− (j+1) 2 = λ−12 N ? j=0 bjλ− j 2

On retrouve bien la proposition 5 pour φ(x) = x2_.

Montrons maintenant que la proposition est vraie pour n’importe quel φ tel que φ!!(x)%= 0.

Nous pouvons ´ecrire le d´eveloppement de Taylor en x0en sachant que φ(x0) =

φ!_(x 0) = 0: φ(x) = φ(x0) + (x− x0)φ!(x0) + φ!!(x0) & '( ) =c (x− x0)2+ O(|x − x0|3) avec c%= 0 D’o`u, φ(x) = c(x<sub>− x</sub>0)2+ (x− x0)2ε(x) o`u ε(x)→ 0 et |ε(x)| < 1 quand x proche de x0 = c(x_{− x}0)2(1 + ε(x)) De plus, φ!_{(x) = 2c(x− x} 0)(1 + ε(x)) + ε!(x)c(x− x0)%= 0 quand x %= x0.

Fixons U voisinage de x0 donc ces ´egalit´es sont toujours vraies sur U et soit

y = (x_{− x}0)(1 + ε(x))1/2.

Alors la fonction qui `a x associe y est un diff´eomorphisme de U dans un voisinage de y=0. En effet, elle est bijective C1 et d’inverse C1. Ainsi, on a

cy2 _{= φ(x) et,} " eiλφ(x)ψ(x) dx = " eiλcy2ψ(y) dy˜ avec ˜ψ _{∈ C}∞ 0 si le support de ψ prolonge U.

Nous retrouvons donc le cas o`u φ(y) = y2 _{qui a ´et´e trait´e juste avant. Donc}

la proposition est vraie pour k = 2.

Th´eor`eme 6 Supposons que sur le support de ψ, il n’existe qu’un unique

point x0 tel que φ!(x0) = 0 mais φ!!(x0) %= 0. Alors il existe une suite (An)

de C telle que pour tout N ∈ N I(λ) = N ? n=0 Anλ−n−1/2+ RN(λ) λ≥ 1 avec:    A0 = eiλφ(x0) √ 2πeiελπ/4 # |φ!!_(x 0)| ψ(x0) ε = signeφ!!(x0) |RN(t)| ≤ CNλ−N−3/2 En particulier: I(λ)∼ √A0

λ quand t tend vers l’infini et si ψ(x0)%= 0

Preuve: Comme pr´ec´edemment, il nous faut prouver le cas φ(x) = x2 _pour

prouver le cas g´en´eral ensuite. Cas 1: φ(x) = x2

On consid`ere pour cela la fonction G(λ) = ! eiλx2

b(x)dx avec λ _{∈ R∗} et b _∈

C∞

c (R). On veut ´ecrire la formule de Parseval pour cette int´egrale. Mais eiλx

2

n’est pas dans L2_{. On consid`ere donc ε > 0 et G}

ε(λ) =

!

e−εx2_+iλx2

b(x)dx.

On peut appliquer maintenant la formule de Parseval. Pour cela, nous avons besoin de _F(e−εx2_+iλx2

) qui est ´egale `a

√ π √ ε_{− iλ}exp 3 − ξ 2 4(ε− iλ) 4 quand F(g) =!_Re−itx_g(x)dx. On en d´eduit que: Gε(λ) = 1 2√π√ε_{− iλ} " exp 3 − ξ 2 4(ε_{− iλ)} 4 Eb(ξ) (11)

V´erifions que les conditions du th´eor`eme de Lebesgue sont v´erifi´ees: - limε→0exp 3 − ξ 2 4(ε_{− iλ)} 4 = exp 3 −iξ 2 4λ 4 -2 2 2 2exp 3 − ξ 2 4(ε− iλ) 4 Eb(ξ)222_{2 = exp}3₋ εξ2 4(ε2_{+ λ}2₎ 4

|Eb(ξ)| ≤| Eb(ξ)| et Eb ∈ L1 _car

b ∈ C∞

c . Par ailleurs, nous avons vu pr´ec´edemment que:

lim ε→0 √ ε_{− iλ =} + eiπ/4#_{|λ| si λ < 0} e−iπ/4√_{λ si λ > 0}

On en d´eduit en rempla¸cant ce que nous avons trouv´e dans (12) : G(λ) = 1 2#π|λ|e signλπ/4 " e−iξ24λEb(ξ)dξ

De plus, par la formule de Taylor, on sait que:

eiy = N ? n=0 (iy)n n! + (iy)N +1 N ! " 1 0 (1_{− u)}Neiuydy On pose AN(y) = (iy)N +1 N ! !1 0(1− u) N_eiuy _{dy et on a alors:} |AN(y)| ≤ " 1 0 | (iy)N +1 N ! (1− u) N_eiuy |dy ≤ _{N + 1!}1 |y|N +1

Par cette majoration et par la valeur de limε→0

√

ε− iλ, on peut en d´eduire

que: G(λ) = e iπ/4sgnλ 2√λπ N ? n=0 (−i)n 4n_n! λ−n " ξ2nEb(ξ)dξ + RN(λ) avec RN(λ) = 1 2√λπe iπ/4sgnλ! _A N 3 −ξ 2 4λ 4 Eb(ξ)dξ.

Nous pouvons maintenant appliquer la formule d’inversion de Fourier d’autant plus que b _{∈ C}∞

c donc Eb est `a d´ecroissance rapide. Donc, b(x) =

1 2π

!

e−ixξEb(ξ)dξ.

Nous pouvons d´eriver sous le signe somme (2n) fois. On obtient alors:

b(2n)(0) = 1 2π " (_−iξ)(2n)Eb(ξ)dξ On en conclut que:      G(λ) = √ π # |λ|e iπ/4sgnλBN n=0 in 4n_n!λ−nb (2n) (0) + RN(λ) |RN(t)≤ CNλ−N−3/2 ! |ξ|4_{2N + 2|Eb(ξ)|dξ}

On a donc prouv´e le th´eor`eme dans le cas particulier o`u φ(x) = x2_.

Comme auparavant, pour montrer le cas g´en´eral, on utilise le d´eveloppement de Taylor. On a φ(x) = φ(x0) +

1

2(x− x0)

2 _{β(x) o`u β est `a support compact}

et β(x0) = φ!!(x0). On obtient I(λ) = eiλφ(x0)

!

eiλy2_θ(y)

c(y) dy en effectuant

le changement de variable y = x_{− x}0 et avec θ(y) =

1 2β(y + x0) et c(y) = ψ(y + x0). Comme θ(0) = 1 2φ !!_(x

0), on veut appliquer le changement de variable

z = #∓θ(y)y `a I. Pour le rendre licite, on doit avoir un δ tel que sur

l’intervalle ]x0− δ; x0+ δ[, on ait θ(y)%= 0 et que la fonction h(y) = y

#

εθ(y)

ait une d´eriv´ee non nul en tout point et o`u ε = signeφ!!_(x

0).

On sait que θ(0) %= 0 donc il existe δ1 tel que θ(y)%= 0 si |y| ≤ δ1. La fonction

h est alors bien d´efinie et C1 si |y| ≤ δ1. Or h!(0) =

1 2

#

|φ!!_(x

0)| %= 0. Il

existe bien δ≤ δ1 tel que h(y) %= 0. C’est donc un diff´eomorphisme. On peut

poser g sa fonction r´eciproque et soit alors χ _{∈ C}∞

c (R) telle que: χ(y) = + 1 si _{|y| ≤ δ/2} 0 si |y| ≥ (3δ)/4 On a alors: I(λ) = eiλφ(x0)     "

χ(y)eiλy2θ(y) c(y) dy

& '( )

=I1

+ "

(1_{− χ(y)) e}iλy2θ(y)c(y) dy

& '( ) =I2     On est ramen´e comme dans la proposition pr´ec´edente `a l’´etude d’une somme de deux fonctions.

Comme 1_{− χ(y) est nulle pour |y| ≤ δ/2, la d´eriv´ee de y}2_{θ(y) ne s’annule}

pas sur le support de (1− χ(y)c(y). Donc I2(λ) = O(λ−N) pour tout N ∈ N

d’apr`es le th´eor`eme 1.

Effectuons le changement de variable z =#εθ(y) `a I1. On obtient:

I1(λ) =

"

eiελz2χ(g(z)) c(g(z)) g!(z))dz

On a alors, la fonction b = (χ◦ g).(c ◦ g).g! _{qui est C}∞ _{et `a support compact}

dans R. On peut donc appliquer le r´esultat obtenu dans le cas φ(x) = x2 _vu

avec G(λ) avec pour λ ´egal `a λε , λ > 0. On trouve:

I1(λ) =√πeiεπ/4

N

?

Ce qui montre le cas g´en´eral. Calculons A0. Comme G(λ) = √ π # |λ|e iεπ/4BN n=0 in 4n_n!λ−nb 2n

(0) + RN(λ), on peut dire que

A!_N =√πeiεπ/4 i n

4n_n!b

2n

(0) et donc que A!₀ =√πeiπ/4sgnλ_{b(0) pour I}

1.

Il nous faut donc calculer b(0). Nous savons que

b(0) = χ(g(0)) c(g(0)) g!_{(0). Or χ(0) = 1, c(0) = ψ(x} 0) et g!(0) = 1 h!₍₀₎ = √ 2 # |φ!!_(x0)|.

On en conclut que dans I1, A!0 =

√

2πeiεπ/4_#ψ(x0)

|φ!!_(x0)|

Et donc pour I, A0 = eiλφ(x0)

√

2πeiεπ/4

#

|φ!!_(x0)|ψ(x0). Nous avons donc fini de

prouver le th´eor`eme 6.

Appliquons maintenant ce que nous avons vu aux exemples de la fonction de Bessel et de la fonction d’Airy.

III.Exemples.

A.Fonction de Bessel

Cas 1: Etudions tout d’abord le cas o`u m_{∈ N La fonction de Bessel} d’ordre m est d´efinie par:

Jm(r) = 1 2π " 2π 0 eir sin θe−imθdθ (12) C’est bien de la forme (4) d´efinie dans la partie II avec λ = r et φ(x) = sin(x). Notons que φ!(x) = 0 pour x = π

2 et x = 3π 2 sur [0; 2π]. On a aussi φ!!_{(x) = sin x et φ}!!₍π 2) = 1 et φ!!( 3π 2 ) =−1 Ecrivons 1 = ψ1+ ψ2+ ψ3 o`u ψ1 a un petit support pr`es de

π

2 et ψ1 = 1 pr`es de π

2. On d´efinit de mˆeme ψ2 mais pr`es de 3π

2 .

On ins`ere cette d´ecomposition dans l’´equation (12) qui nous permet d’´ecrire

Jm(r) comme une somme de trois termes. On obtient:

Jm(r) = 1 2π      " 2π 0 eir sin θe−imθψ1 dθ & '( ) (∗) + " 2π 0 eir sin θe−imθψ2 dθ & '( ) (∗∗)      + 1 2π " 2π 0 eir sin θe−imθψ3 dθ & '( ) (∗∗∗)

Nous pouvons observer que (_{∗) et (∗∗) v´erifient le corollaire 4avec k = 2.} Donc, (_{∗) ≤ C}2r− 1 2 322e−im2πψ₁(2π)22 + " 2π 0 2 2−ime−imθ_ψ 1(θ) + ψ!1(θ)e−imθ 2 2 dθ4_≤ √C r (∗∗) ≤ C2r− 1 2 322e−im2πψ₂(2π)22 + " 2π 0 2 2−ime−imθ_ψ 2(θ) + ψ!2(θ)e−imθ 2 2 dθ4≤ √C r

Nous pouvons appliquer `a (∗ ∗ ∗) le corollaire 4 avec k = 1. D’o`u, (∗ ∗ ∗) ≤ C1λ−1.

Au final, nous avons: Jm(r) ≤ C2λ− 1 2   2 2 2 2 2 2ψ& '( )1₌₀(2π) 2 2 2 2 2 2+ " 2π 0 2 2−ime−imθ_ψ 1(θ) + ψ!1(θ)e−imθ 2 2 dθ   + C2λ− 1 2   2 2 2 2 2 2ψ& '( )2₌₀(2π) 2 2 2 2 2 2+ " 2π 0 2 2−ime−imθ_ψ 2(θ) + ψ!2(θ)e−imθdθ 2 2   + C1λ−1 ≤ C2λ− 1 2 m. " 2π 0 |ψ 1(θ)| + |ψ1!(θ)| dθ & '( ) =Mpar d´efinition deψ1 + C2λ− 1 2 m. " 2π 0 |ψ 2(θ)| + |ψ2!(θ)| dθ & '( ) =M2par d´efinition deψ1 +C1λ− 1 2 ≤ λ−12.C

On en d´eduit que Jm(r) = O(λ−

1

2) = O(r− 1 2).

Cas 2: La fonction de Bessel peut ˆetre aussi d´efinie pour des valeurs r´eelles de m. Nous devons ici aussi s´eparer deux cas :

Quand m > 1 2, on ´ecrit : ˜ Jm(r) = (r/2)m Γ(m + 1/2)π12 " 1 −1 eirt(1_{− t}2)m−12 dt (13)

Notons tout d’abord que cette nouvelle d´efinition co¨ıncide pour m = 0. En effet, ˜ J0(r) = 1 Γ(1/2)π12 " 1 −1 eirt_{(1− t}2₎−1 2 dt

Calculons Γ(1/2) par d´efinition de Γ. Γ(1/2) = " ∞ 0 e−tt−1/2 dt = " ∞ 0 e−t √ t dt

Γ(1/2) = " ∞ 0 e−X2 X .2X dt avec X 2 _{= t} = " ∞ 0 2e−x2 dx = 2 " ∞ 0 e−x2 dx = √π Do`u, ˜ J0(r) = 1 √ ππ12 " 1 −1 eirt(1− t2₎−12 dt = 1 π " 1 −1 eirt(1− t2₎−12 dt = 1 π " 1 −1 eirt(1− t2₎−1 2 dt

Or dans J0, si on effectue le changement de variable sin θ = t avec θ = arcsin t

et dθ = dt.√ 1 1_{− t}2, on a: J0(r) = 1 2π " 1 −1 eirt(1_{− t}2)−12 dt = J₀!(r)

Nous pouvons observer que les deux d´efinitions v´erifient l’´egalit´e:

d dr 3 1 rmJm(r) 4 = −Jm+1(r) rm En effet, pour Jm(r), on a : d dr 3 1 rmJm(r) 4 = Jm! (r) rm − mJm(r) rm+1 = 1 rm+1 (rJ ! m(r)− mJm(r)) Par ailleurs, J! m(r) = 1 2π !2π 0 i sin θ e

ir sin θ_e−imθ _{dθ et donc,}

rJ_m! (r)− mJm(r) =

1 2π

" 2π 0

eir sin θe−imθ(ir sin θ− m) dθ

Montrons que rJ ! m(r)− mJm(r) rm+1 = − 1 rmJm+1(r) soit que rJm! − mJm =

−rJm+1. Nous voulons montrer que

1 2π

" 2π

eir sin θe−imθ(ir sin θ_{− m) dθ = −r} " 2π

Or J! m+ Jm+1 = 1 2π !2π 0 e

ir sin θ_e−imθ_{(i sin θ + e}−iθ_{) dθ.}

D’ apr`es la formule de Moivre, on sait que : sin θ = e

iθ_{− e}−iθ

2i .

Donc i sin θ + e−iθ ₌ eiθ− e−iθ

2 + e−iθ = eiθ_{+ e}−iθ 2 = cos θ. On en d´eduit que : J_m! + Jm+1 = 1 2π " 2π 0

cos θeir sin θ_e−imθ _dθ

= 1 2π $ eir sin θ ir e −imθ %2π 0 − 1 2π " 2π 0 eir sin θ ir (−im)e −imθ _dθ = m r 1 2π " 2π 0 eir sin θ e −imθ dθ = m r Jm

On a bien le r´esultat souhait´e. Pour ˜Jm(r) d dr 3 1 rmJ˜m(r) 4 = d dr 3 rm rm_{. 2}m _{Γ(m + 1/2) π}1/2 " 1 −1 eirt(1− t2₎m−1 2 dt 4 = 1 2m_{Γ(m + 1/2)π}1/2 d dr 3" 1 −1 eirt(1_{− t}2)m−12 dt 4!

On peut appliquer le th´eor`eme de d´erivation car: - eirt_{(1− t}2₎m−12 est int´egrable.

- d dr 5 eirt_{(1− t}2₎m−1 2 6 = iteirt_{(1− t}2₎m−1 2 existe. - 22_2iteirt_{(1− t}2₎m−12 2 2 2 = 2 2 2t(1 − t2)m−12 2 2 2 ∈ L1.

On obtient, d dr 3 1 rmJ˜m(r) 4 = 1 2m _{Γ(m + 1/2) π}1/2. d dr 3" 1 −1 eirt(1− t2₎m−12 dt 4 = 1 2m _{Γ(m + 1/2) π}1/2 " 1 −1 d dr 5 eirt(1− t2₎m−1 2 6 dt = 1 2m _{Γ(m + 1/2) π}1/2 " 1 −1 iteirt_{(1− t}2₎m−1 2 dt = 1 2m _{Γ(m + 1/2) π}1/2      C −ieirt_{(1− t}2₎m+1₂ 2(m + 1/2) D1 1 & '( ) =0 − " 1 −1 reirt_{(1− t}2₎m+1₂ 2m + 1 dt      Or Γ(x + 1) = x Γ(x).D’o`u, d dr 3 1 rmJ˜m(r) 4 = − (m + 1/2) r (2m + 1) 2m _{Γ(m + 3/2) π}1/2 " 1 −1 eirt(1− t2₎m+1_{2 dt} = ₋ 2 (m + 1/2) r 2. (2m + 1) 2m _{Γ(m + 3/2) π}1/2 " 1 −1 eirt(1_{− t}2)m+12 dt = ₋ r rm+1 rm+1 2m+1 _{Γ(m + 3/2) π}1/2 " 1 −1 eirt(1_{− t}2)m+12 dt & '( ) =J# m+1(r) = ₋Jm+1˜ (r) rm En int´egrant m− 1

2 fois par partie, on obtient une fonction ´el´ementaire. En effet si m est un demi-entier. Les fonctions J1/2˜ =

(r/2)1/2 Γ(1)π12 !1 −1eirt dt = (r/2)1/2 Γ(1)π12 3 eir _{− e}−ir ir 4 ou ˜J3/2 = (r/2)3/2 Γ(1)π12 !1

−1eirt(1− t2) dt sont des fonctions

calculables et le montrent bien.

B.Fonction d’Airy

Airy ´etait un math´ematicien anglais dont les ´etudes eurent un impact sur la physique.

On d´efinit la fonction d’Airy.

Ai(t) =

"

Re

itx+ix3_/3