4.2 Ellipsoïde de John-Loewner
Référence : S. Francinou, H. Gianella, S. Nicolas, Exercices de mathématiques, Oraux X-ENS, Algèbre 3, Cassini, 2008.
Leçons concernées : 152, 158, 170, 171, 219, 229, 253.
Définition 1. Un ellipsoïde centrée en 0 est une surface de Rn définie par une équation qpxq § 1 où q est une forme quadratique définie positive. On notera Eq“ tx P Rn, qpxq § 1u l’ellipsoïde centré en 0 associé à q définie positive.
Théorème 2. Pour tout K compact de Rn d’intérieur non vide, il existe un unique ellip-soïde centré en 0 de volume minimal contenant K.
Lemme 3. Soit A, B deux matrices symétriques réelles définies positives et ↵, positifs tels que ↵ ` “ 1. Alors,
detp↵A ` Bq • pdet Aq↵pdet Bq ,
c’est-à-dire que le déterminant est log-concave. De plus, si ↵ Ps0, 1r et A ‰ B, l’inégalité est stricte.
Démonstration. D’après le théorème de pseudo-réduction simultanée, il existe P P GLnpRq et D “ diagp 1, . . . , nq avec i ° 0 telles que A “ tP P et B “ tP DP. Ainsi,
pdet Aq↵pdet Bq “ pdetpP q2q↵pdetpP q2det Dq “ detpP q2pdet Dq et
detp↵A ` Bq “ det P2detp↵I ` Dq. On cherche donc à montrer que detp↵I ` Dq • pdet Dq , c’est-à-dire
n π i“1p↵ ` iq • ˜ n π i“1 i ¸
soit, en passant au logarithme, n ÿ i“1 logp↵ ` iq • n ÿ i“1 logp iq
et cette inégalité s’obtient terme à terme par concavité du logarithme.
Enfin, si ↵ Ps0, 1r et A ‰ B, alors au moins un des i est différent de 1 et donc par stricte concavité du logarithme, au moins l’une des inégalités est stricte et on a donc le résultat.
Démonstration (Théorème). On note Q (resp. Q`, Q``) l’ensemble des formes quadra-tiques (resp. positives, définies positives) de Rn.
Étape 1 : on commence par calculer le volume de Eq pour q définie positive quelconque. Par le théorème spectral1, il existe une base orthonormée B dans laquelle q s’écrit qpxq “ ∞n
i“1aix2i, ai ° 0. Soit P la matrice de passage orthogonale de la base canonique à B. On considère le changement de variables x “ P y, de jacobien le déterminant de P qui vaut 1, puis le changement de variables pu1, . . . , unq “ p?a1x1, . . . ,?anxnq de jacobien?a1¨ ¨ ¨ an, pour obtenir º ¨ ¨ ¨ ª Eq dy“ º ¨ ¨ ¨ ª a1x21`¨¨¨`anx2n§1 dx“ ? 1 a1¨ ¨ ¨ an º ¨ ¨ ¨ ª u2 1`¨¨¨`u2n§1 du“ aV0 Dpqq où V0 est le volume de la boule unité dans Rn et Dpqq “ a1¨ ¨ ¨ an le déterminant de q (que l’on obtient en diagonalisant la matrice de q dans une base quelconque).
Le problème se reformule alors ainsi : pour tout K compact d’intérieur non vide de Rn, il existe une unique q P Q`` telle que Dpqq soit maximal et pour tout x P K, qpxq § 1. On se donne alors K compact d’intérieur non vide de Rn.
Étape 2 : soit A “ tq P Q`,@x P K, qpxq § 1u. On munit par ailleurs Q de la norme Npqq :“ sup||x||§1|qpxq|.
‚ A est convexe : on vérifie facilement que si q, q1 P A, q `p1´ qq1 P A pour P r0, 1s. ‚ A est fermé : soit pqnqn une suite de A qui converge vers q, alors pour x P Rn,
|qnpxq ´ qpxq| § Npqn´ qq||x|| et donc qnpxq ›Ñ
nÑ`8qpxq et on en déduit la positivité de q et la condition x P K ñ qpxq § 1 car ces conditions sont fermées.
‚ A est borné : puisque K est d’intérieur non vide, il existe a P K et r ° 0 tel que Bpa, rq Ä K. Soit q P A. Si ||x|| † r, a ` x P K et donc par inégalité de Minkowski et avec qp´aq “ qpaq on obtientaqpxq §aqpx ` aq `aqp´aq § 2. Ainsi si ||x|| § 1, |qpxq| “ qpxq “ 4
r2qprx2q § 16r2 d’où Npqq § 16r2.
‚ A est non vide : puisque K est compact il est borné par M ° 0, et donc q0pxq “ ||x||
2
M2
convient.
Ainsi q fiÑ Dpqq est continue (par continuité du déterminant) sur A compact non vide, et donc admet un maximum q1 P A. Or puisque Dpq0q ° 0 car q0 est définie positive, Dpq1q ° 0 et q1P Q`` : on a prouvé l’existence.
Étape 3 : unicité. Soit q1, q2 deux telles formes quadratiques de A. On suppose par l’absurde qu’elles sont différentes. Soit S1 et S2 leurs matrices dans la base canonique. Par convexité de A, q1`q2
2 P A et est de matrice S1`S2 2 dans la base canonique. Alors, d’après
1. Ici on utilise un résultat plus fort que l’existence d’une base dans laquelle la forme quadratique est diagonale : la base peut être choisie orthonormée. C’est cependant différent du résultat de réduction des formes quadratique réelle, qui dit que la matrice peut être mise sous forme diagonale avec des 1 sur la diagonale, mais la base n’est alors pas forcément orthonormée
le lemme, D ˆ q1` q2 2 ˙
“ detS1` S2 2 ° pdet S1q1{2pdet S2q1{2“ a
Dpq1q a
Dpq2q “ Dpq1q et on obtient une absurdité.
Application 4. Soit G un sous-groupe compact de GLnpRq. Alors il existe q P Q`` telle que G Ä Opqq.
Démonstration. Soit B la boule unité de Rnet K “ tgpxq, x P B, g P Gu qui est un compact comme image continue de G ˆ B compact et d’intérieur non vide puisque B Ä K pour un g “ id. On applique le théorème précédent pour trouver q P Q`` telle que K Ä Eq. Soit maintenant g P G et q1 : x fiÑ qpgpxqq qui est une forme quadratique définie positive. On a K Ä Eq1 car gpKq “ K et | detpgq| “ 1 puisque det est borné sur G compact donc sur tgp, pP Zu. Alors Dpqq “ Dpq1q et donc par unicité dans le théorème précédent, q1“ qpgq “ q et donc g P Opqq.
Remarque. On peut montrer que ce sont même tous les sous-groupes compacts maximaux de GLnpRq, cf H2G2.
Théorème 5 (pseudo réduction simultanée). Soit A, B des matrices symétriques définies positives. Alors il existe P P GLnpRq telle que
tP AP “ I
n et tP BP “ D
où D est une matrice diagonale dont tous les coefficients sont strictement positifs.
Démonstration. Puisque A définit un produit scalaire, il existe Q P GLnpRq telle que tQAQ“ I
n. D’autre part tQBQest encore symétrique et donc d’après le théorème spectral, il existe R P OnpRq telle que tRtQAQR“ D où D est une matrice diagonale dont tous les coefficients sont strictement positifs. On peut alors conclure en prenant P :“ QR.
