Réflexions sur la Règle de trois
Je p arcou rs avec in té rê t un ouvrage < tech nique » ; il s’a g it de « L’arith m étiqu e universelle dém ontrée, con tenant en six règles principales dis posées dans un ordre n aturel, les applications conve nables aux finances e t au négoce de banque et de m archandise, à l’a r t m ilitaire et à la géom étrie p ratiq u e », publiée en 1674 avec privilège du Roy p ar le « sieur Irson, seul ju ré ten eur de livres, estably p ar le ttres p aten tes de S a M ajesté pour l’ordre et l’examen, la vérification e t liquidation de toutes so rtes de com ptes ».
A près ce titre préam bule, on ne s’étonne pas de lire < l’expérience me fa is a n t connaître tous les jo urs que ce n ’est pas la m ultiplicité des préceptes qui rend l’homm e v éritablem ent habile m a is seule m ent une application exacte des règles les plus gén érales et les plus nécessaires à la science que l’on désire acquérir : parce que cette m axim e, peu
de préceptes et beaucoup d’usage, est trè s véritable ;
et que si cet axiome est te n u pour ce rtain e t infail lible à l’é g a rd des sciences spéculatives, à plus forte raison à l’endroit des pratiques, au nom bre des quelles on peu t dire que l’arith m étiqu e tie n t le prem ier r a n g ».
Je relève d ’ailleurs que ce technicien du calcul pratiqu e a noté d ans un ch ap itre : < On rem arqu era encore en ce lieu, que je passe sous silence plusieurs questions résolues p ar une sim ple m ultiplication, et auxquelles on a jusques icy donné le nom, m ais san s fondem ent, d’a u ta n t de règles particulières, qui n ’ont servy qu’à grossir les livres de la p lu p a rt de ceux qui o n t écrit de cette m atière. Il est v ray qu’il y a beaucoup de choses qui se disent de vive voix, m ais qui ne s ’écrivent que rarem ent. C’est pour cette raiso n qu’un m a ître véritab lem en t habile et ex p ert en la profession doit s’accom moder aux personnes qu’il in struit, a y a n t é g a rd à leur portée et à l’employ qu’ils envisagent ! »
L ’au teu r consent toutefois à énoncer e t à com m enter pour m o ntrer p a r des exemples qu’elles se ram è n en t à une m ultiplication, un certain nombre de règ les < dont les plus rem arqu ables so n t les règles de dépense, de taxations, du sol pour livre, de lots et ventes du cent et du millier, simples et composées, etc... »
E n somme, notre teneur de livres me p a ra ît être un bon pédagogue : soucieux de pratique, il s’éclaire de science ; s’il ne commence p as toujours p a r celle- ci, du m oins la recherche-t-il.
Cela ne veut pas dire que l’auteur, soucieux de grouper en un même ch ap itre les règles de troc, de
tare, d’alliage, d’intérêt, de voiture, d’escom pte, de com pagnie en m esure ou à divers tem ps, de com m is sion envoyée dans un lieu où l’on donne le certain et l’incertain, etc..., a it raison d ’écrire : « Comme la
justice est une v ertu qui consiste à rend re à chacun ce qui luy ap p a rtie n t, la proportion des nom bres que l’on appelle vulgairem ent règle de trois, est mise en usage lorsqu’il s ’a g it de g arder l’égalité entre les hommes qui doivent se com porter entre eux, de sorte que toutes leurs actions soient faites avec poids, nombre et m esure. »
M ais, s ’il a laissé subsister la règle dite règle de trois, reconnaissons qu’elle a la vie dure et qu’elle s’étale sur presque tous les m anuels en usage dan s nos écoles. F a u te d ’en pouvoir donner une définition claire, on écrit à peu près dans le style de 1674 que la « règle de tro is est ainsi appelée à cause de trois nom bres connus et déterm inés que l’on y propose toujours pour en trouver un quatrièm e inconnu », ce qui n ’est pas plus clair.
L a règle de tro is ( j’allais écrire la règle du jeu) consiste, en effet :
a ) A utiliser trois nom bres pour en trouver un quatrièm e, sous certaines conditions ;
b) A écrire le ré su lta t sous une form e p a r ti culière ;
c) A effectuer les opérations dans un ordre convenable. C’est précisém ent cet ordre à déter m iner qui constitue « l’a v a n ta g e » de la règle de trois.
Le g a g n a n t est celui qui « tom be ju ste », ou du m oins celui qui donne le ré su lta t avec la meilleure approxim ation.
Ecoutons le sieur Irso n donner quelques expli cations sur la règle de tro is :
« Quoi qu’il y a it plusieurs m anières de trouver ce qu atrièm e inconnu, je me co ntenteray d’en r a p po rter icy deux qui so nt les plus universellem ent p ratiq uées dans l’arith m étiqu e vulgaire, dont :
« L a prem ière est de disposer les trois nom bres proposez et déterm inez en sorte que celuy qui fa it le su je t de la question soit placé en troisièm e term e ; que le prem ier renferm e des choses sem blables à celles du troisième, que le deuxièm e term e soit équivalent, c’est-à-dire égal en valeur au premier, de m êm e que le q uatrièm e que l’on recherche le doit eptre au troisième.
« L a deuxième m anière de disposer en trois term es donnez d’une règle de tro is et qui devrait être la plus g énérale e t la plus raisonnable, consiste à com parer toujours les choses sem blables e n tr’elles : ainsi les deux prem iers term es, su iv an t cette m é thode, seront de m esm e n atu re , le troisièm e sem blable à celui que l’on cherche. »
Q uant à la p ratiq u e de la règle de trois, voici le prem ier exemple donné : TJn particulier ayan t
em ployé liv. 5U00.16 en l’achapt de 18 pièces de Brocard ou d’autre sorte de m archandise, contenant en tou t 360 aunes, désire savoir combien il devrait avoir d’aunes de la m esm e m archandise pour 9000 liv.
P ra tiq u e (en italique explications de l’au teu r de l’article) : Si p L. 5400.16 on a eu 360 aun., comb, p L. 9000 20 18 20 2880 3600 180 000 D iviseur 108016 Nomb. réq. 599.18.2 (quotient)
6480.0000 N om bre à diviser, produit 180000 X 360 1079.200 1“ reste partiel de la division :
6U800000 : 108016
107.0560 2“ reste partiel. 98.416 3“ reste partiel.
20 M ultiplication par 20 (sols) (1)
196.8320 Sols
88.8160 1“ reste partiel de la division :
196.8320 : 108.016
2.4032 2° reste partiel.
12 M ultiplication par IS (1 sol = 12 deniers) (1) 288.384 Deniers.
72.352 R este ou fraction.
L. 51)00.16 signifie 5 4 0 0 livres 16 sols. Une livre va u t 20 sols. Donc L. 5U00.16 = 108.016 sols.
De m êm e : 9000 livres — 180000 sols.
L a disposition ci-dessus fa it apparaître la façon dont on effectu ait une division. N oter la position du quotient {nombre réq.). Le quotient entier de 6 iSO 0000 par 108 016 est 599 (aunes).
Le résultat qui s’écrit 599.18.2 v e u t dire : 599 aunes et une fra ction d’aunes comparable à 18 sols 2 deniers (l’aune équivalant à 20 sols), c’est-à- dire l l j l 2 d’aune.
De nos jours, un écolier trouverait 599,9 aunes. N oter en passant la complication des opérations portant sur des unités de mesure.
Je pense que de l’exemple ci-dessus, un professeur
peut tire r un profit pédagogique. *
P a rm i les règles héritées des siècles derniers figurent, hélas ! la règle de trois inverse et la règle de trois composée.
Le h a s a rd m ’a fa it assister un jour à une leçon Tsur la règle de trois composée.
Le tab leau porte de nom breuses indications : trois nom bres sur une ligne horizontale ; au-dessous, deux nom bres et un point d’in terro gatio n rem p laçan t le nom bre cherché. E t puis, d ans un alignem ent p a rfa it :
12 ouvriers travail!. 8 h. p a r jour ont g ag n é 5.760 fr.
1 — ~ 8 h. — — 5.760 »
1 — 1 h. —
12
5.760 > 12X8 C hacun de m es lecteurs devine la suite et donne un sens au pointillé. Enfin, le ré su lta t final est bien m is en évidence :
— 7.200
Les élèves ont certes suivi avec curiosité ces com binaisons m ultiples de nom bres dont certain s occupent (au-dessus du tr a it une place enviable et d’au tre s moins nom breux sont reje té s au-dessous du tr a i t p a r la seule v ertu du fois moins ou du fois
plus qui les a accom pagnés dans le raisonnem ent. C ar il y a eu raisonnem ent. M ais on a bien senti que pour le m a ître et pour les élèves le b u t à attein d re é ta it l’échafaudage curieux que j ’ai rep ro duit ci-dessus et sur lequel ils se sont to us jetés — m a ître et élèves. Ils ont barré, surchargé, b a rré encore avec une joie san s pareille : « Monsieur ! 12 et 6 ! d isa it l’un ; 20 et 8 ! cria it l’au tre. C’est ce qu’on appelle simplifier... et même simplifier p a r ». E t de tous ces nom bres hachés, 7.200 est sorti, sain et sauf, ra m e n a n t le calme dans une classe excitée qui d em and ait — j ’en suis certain — qu’on lui je tâ t en p âtu re un a u tre problème afin qu’avec la même frénésie elle p û t sa tisfaire sa joie de détruire. Incon testablem ent, la classe vivait. Il r e s ta it au jeune d éb u tan t à se m e ttre à la recherche du tem ps perdu.
Peut-on dire en eiïet que les problèm es de règle de tro is composée soient p ratiq ues ? C ertainem ent non, comme les 90/100 des problèm es. J e doute, de plus, que le jeu des « fois plus » et des « fois m oins » soit un exercice de véritable raisonnem ent. Tout bien pesé, on a appris une écritu re nouvelle commode peu t-être quand les nom bres sont choisis pour que « ça tom be ju ste », écriture qui n ’a aucun in térêt pour un élève de C entres d’apprentissage, qui peut en présen ter pour un élève de Collèges Techniques ou d’E.N.P. à la condition d’y accrocher deux théo rèm es au moins ;
a) P our diviser un p ro du it de fac teu rs p ar un nombre, il suffit de diviser un seul fa c te u r p a r ce nombre ;
( I ) O n multipliait 9 8 . 4 1 6 par 2 0 (sols) et 2 4 . 0 3 2 p a r 12 (deniers) à la suite d 'u n e c o nvention qui perm ettait d e co m parer les fr a c tio n s d ’aunes a u n certain n om bre de sols et deniers encore q u e ces d eux dernières unités soient des unités d e m onnaie (1 a un e est co m p a rable à 2 0 sols).
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b) U n nombre proportionnel à deux a u tre s et proportionnel à leur produit.
*
M ais mon dessein n ’est pas de p a r tir en guerre contre la règle de trois composée : c’est trop facile. J e voudrais aussi convaincre nos m aîtres qu’il f a u t supprim er la règle de trois, même la plus simple, dan s nos program m es et dans notre enseignem ent.
De quoi s ’ag it-il en effet ? De calculer x à p a rtir d ’une proportion dont trois term es a, b, c sont connus, p a r exemple ;
a c
b X
Ce problème peut ê tre résolu de tro is façons symbolisées p a r les form ules :
(b X c ) b c
(1) X = --- (2) a; = — X c (3) a; = b X —
a a a
P renons un exemple trè s simple : 3 m. d’étoffe
coûtent SUO francs. Combien coûtent 5 m. de la m êm e éto ffe?
L a réponse est :
(840 X 5) 840 „ 5
( 1 ) --- ( 2 ) X 5 (3) 840 X —
3 3 3
Evidem m ent, peu im porte l’écritu re pour la re cherche du résu ltat, m ais ces tro is form ules corres pondent à trois raisonnem ents différents :
F orm ule 2. — Réduction à l’unité.
Form ule 3. — P ro po rtio nn alité des prix et des longueurs.
F orm ule 1. — On effectue d’abord le produit 840 X 5. Q uand on parle de règle de trois, c’est à la form ule 1 que l’on pense.
Ce produit a-t-il un sens, du point de vue m a th é m atique, s’entend ? Non, dan s la règle de trois directe, e t c’est là un tr è s g rav e reproche à lui faire. Nous conduit-il à une sim plification du calcul ? P eu t-être si. les nom bres son t bien choisis, m a is cela n ’a rien à voir avec la vraisem blance du problème posé. Donne-t-il une précision m eilleure que si on
b c . .
effectue d ’abord — ou — . c’est-à-dire si on
a a
applique les form ules (2) et ( 3 ) ? Nous reviendrons su r cette question.
Au contraire, le produit b X c a un sens dans le cas de la règle de tro is inverse, p a r exemple dans le problème : S ouvriers m e tte n t 20 jours pour te r
m iner un ouvrage ; combien de tem p s faudrait-il à
5 ouvriers pour term iner le m êm e ouvrage f (P ro blème absurde, m ais proposé trop souvent aux
20 X 3
élèves). Le résu ltat cherché est : : le 5
produit (20 X 3) correspond au nombre de journées de tra v a il indispensables, c’est-à-dire à « quelque chose » de réel, de pratique. C’est ce nombre qu’on doit calculer et il f a u t se dem ander ce que peut app orter de clarté et de sens commun un « fois plus » ou un « fois moins » traître u se m en t glissés dans le raisonnem ent.
*
J e ne d irai rien sur la form ule 3 qui — elle — correspond à un raisonnem ent un peu sa v a n t et qui se dispense d’être lié à la règle de trois.
Enfin, je veux plaider pour la form ule 3, car la réduction à l’unité, c’est la vie, la vie réelle et non celle des problèmes. D ’ailleurs, le « fois m oins » de la règle de tro is directe n ’est-il pas la réduction à l’unité et ne conduit-il pas logiquem ent à l’écriture de la formule 2 ?
Un ouvrier est payé à l’heure ; pourquoi ne pas chercher le prix de l’heure de tra v a il ?
Si les 18 œ ufs coûtent 114 francs, je ne cher cherai p as le p rix de 30 œ ufs p a r une règle de trois. 11 est natu rel de chercher d ’abord le prix d’un œ u f : 23 francs. J ’entends bien ; « E t si ça ne tombe pas ju ste ? > Alors, c’est que le problèm e est mal posé : chez la crém ière, en effet, un œ uf ne v au t pas 22,853 francs.
Cependant, le p rix d’une douzaine d ’œ ufs n ’est pas nécessairem en t douze fois le prix d’un œ uf ; un com m erçant peu t vendre un œ uf 23 fra n c s e t la douzaine 275 fra n c s au lieu de 276 fra n cs (23X 12) et le prix de 96 œ u fs tel que le calculera le vendeur est : 275 X nom bre de douzaine (form ule 3).
Mais, dira-t-on, com m ent résoudre le problème :
12 œ u fs valent 275 francs, quel est le p rix de US œ u fs f J e répondrai que ce problème est a r t i
ficiel et q u ’un com m erçant le résou drait ainsi pour son client :
(275 X 3) + (23 fr. X 7) = 986 fra n cs Ou bien :
(275 fr. X 3) (137 fr. 50 + 23 fr.) = 985 fr. 50 Au reste, je n ’hésiterais peut-être pas à donner à une question factice une solution aussi factice et répondre : 1 œ uf v au t 275 fr. : 12 = 22 fr. 90 ; donc, 43 œ u fs valent 22,90 X 43 = 984,70, ce qui est pratiq uem ent inexact.
Avec un peu de bon sens, on a u ra it d ’ailleurs adm is que le prix de l’œ uf é ta it 23 fra n c s au lieu de 22 fr. 90 et donné la réponse 989 francs.
L a règle de trois (form ule 1) a u ra it donné : 275 X 43 11.825
--- = --- — 985,4 fra n cs
12 12
On voit p a r cet exemple simple que si le pro blème proposé est v raim en t un problèm e de la vie courante, il ne se réso ud ra pas p ar une règle de trois, que celle-ci (form ule 1) n ’ap p o rte ra it a u cune sim plification parce que la réduction à l’unité a u ra it alors un sens réel et non théorique.
Notons en p a s sa n t que cette réduction à l’unité ne p ré se n te ra it aucun inconvénient si, comme en A ngleterre, le systèm e des poids e t m esures n ’é ta it pas décimal. Avec des shillings v a la n t 1/20 de livre et 12 pences, avec des pièces de m onnaie v alan t 2 1/2 shillings, 2 shillings 1/2, 1/12 de shilling, les faiseu rs de problèm es se ra ien t bien obligés d’a r rondir les nom bres utilisés. P récisém ent, cette obli g atio n d’arro n d ir les com m andes et les p rix favorise le commerce intérieu r anglo-saxon. P a rc e que les A nglais n ’ont p as adopté le systèm e m étrique, c’est- à-dire la division décimale, il n ’est pas ce rtain qu’on puisse leur reprocher de m anq uer d’esprit pratique.
M ais revenons à la réduction à l’unité. J ’ai lu d an s un jou rnal scolaire que « l’a v a n ta g e de la
règle de tro is (entendez form ule 1) est d’ab outir quand la réponse ne p eu t être qu’approxim ative, au ré su lta t le plus ex a ct possible >.
J e ne com prends pas. P a r exemple, l’opération 25 km. X 12
---conduit au ré su lta t 100 km . si on 3
effectue d’abord la division de 12 p ar 3 et au ré su lta t 99,96 km. si on réd u it à l’unité. Or, le problème qui a conduit à ces opérations (e t que chacun im agine) est si artificiel que 99,96 n ’est pas m oins précis que 100.
Aussi bien que, je sou haiterais que cette notion de précision fû t co nstam m ent soulevée à propos des ré su lta ts num ériques non seulem ent comme il v a de soi aup rès des élèves d’E.N .P. ou de Collèges Techniques, m ais aussi aup rès des élèves des Centres d’ap p ren tissag e et sous une form e particulière. Car il y a la < précision de la m ath ém atiq ue > e t la « p ré cision du chantier ». Si un résu ltat, obtenu après calculs, est 28,5342, ex p rim an t une longueur en m è tres, il fa u t rete n ir : 30 m ètres pour une longueur de fil électrique, 28,6 m ètres pour une longueur de fer rond pour béton, 29 m è tres pour une longueur de chevron (encore fau t-il savoir si la longueur d’un chevron se ra débitée p a r le m a rch an d ).
Il n’est pas question pour ces élèves de ré su lta ts obtenus à 1/10 ou à 1/100 près.
L a réduction à l’unité ne touchera p as à la « précision du chantier ». U n entrepreneur prévoit p a r exemple :
Que pour exécuter 1 m “ de cloison en briques de 0,05 (san s enduit), il f a u t 0,8 h. de trav a il du com pa gnon e t 0,45 h. de l’aide.
Que pour exécuter 1 m “ de te rrassem e n t à la pioche, te rre com pacte et argileuse, il fa u t 2,50 h. de terrassier.
Que pour exécuter 1 m “ de carre lag e en g rès céram e de 0,10 X 0,10, il fa u t 1,7 h. de trav a il du com pagnon et 1,10 h. de l’aide.
L ’entrepren eur étab lit sa proposition de p rix sur ces chiffres qui, on le comprend, résu lten t d’une sorte de réduction à l’unité établie après expérience.
Les rap p o rts num ériques de la vie anim ale et végétale sont-ils sim ples ? Jam ais. P a rc e qu’un em ployé de banque calcule un escompte ou un in té rê t en u tilisa n t un assez g ra n d nom bre de décimales (réduction à 1 fra n c de capital), il abo u tit à un ré su lta t précis et trè s commode à obtenir p a r su r croît puisque la réduction à l’unité faite une fois pour toutes, le dispense d’effectuer un nom bre consi dérable de divisions...
Je concéderai bien volontiers qu’en ne poursui v an t p as sy stém atiqu em en t la réduction à l’unité, on peut bénéficier d’une sim plification qui ren d les calculs m oins pénibles ; m ais c’est une élégance de calcul, une sorte de luxe dont on p eu t se p asser dans un enseignem ent qui doit s ’accorder constam m ent à la vie courante e t qui, p ar cela même, doit exiger des élèves du bon sens, e t beaucoup de jugem ent.
On devine san s peine que je ne conclurai pas p ar la citation suivante de l’arith m étiq u e universelle du sieur Irson, « le troisièm e livre contient seulem ent la règle de trois, qui su it im m édiatem en t les fra c tions. E t bien que cette règle sem ble n ’estre qu’une rép étition des précédentes ; néantm oins ses av a n ta g es sont si considérables, et l’étendue en est si g ran d e que l’on p eut dire que celuy qui n ’en a pas une connaissance entière, ne peut s’assu re r de ré pondre aux doutes m esm e les plus ordinaires. »
Je dem ande au co ntraire que nos prog ram m es et nos m a ître s se libèren t de ce vestige du passé, plus soucieux de form e et de procédé que de véritable raisonnem ent. T out au plus, pourrait-on p arle r de règle de tro is pour donner un titre à une comédie légale du boulevard.
René ORIOL,
Inspecteur Principal de l’E nseignem ent Technique.
