Exercices d’oral – 6

2021

Préparation aux oraux – 6

Exercice 1

Pour tout n ∈ N∗on pose hn(x) =

         0 si x > √ n  1 −x 2 n n si x 6 √ n et h(x) = exp(−x 2_).

a. Montrer que pour tout t ∈ [0, 1[, ln(1 − t) 6 −t. b. Montrer que pour tout x ∈ R+, il existe n0∈ N

∗

tel que pour n > n0 on ait x ∈ [0,

√ n], et en déduire que (hn(x))n converge vers h(x). c. Montrer que |hn(x)| 6 h(x). d. On pose In= Z π₂ 0

cosnt dt. Montrer que le changement de variable x = √

n sin t est valide puis démontrer l’égalité suivante : √ nI2n+1= Z +∞ 0 hn(x) dx.

e. En déduire que la suite ( √

nI2n+1) converge vers

Z+∞

0

h(x) dx. f. On admet que (n + 2)In+2= (n + 1)In. Montrer que (n + 1)In+1In=

π 2. g. En déduire la valeur de Z+∞ 0 h(x) dx.

Exercice 2

Soient a et b deux réels tels que a < b, et (f , g) ∈C0([a, b], R) telles que g > 0. a. Montrer l’existence de c ∈ [a, b] tel que

Z b a f (t)g(t) dt = f (c) Zb a g(t) dt. b. Ce résultat reste-t-il vrai lorsque g n’est plus supposée positive ?

c. Application. Donner un équivalent g(x) de f (x) = Z 3x

x

arctan(t2) dt lorsque x tend vers +∞. d. Montrer que lim

x→+∞



f (x) − g(x)= 0.

Exercice 3

Soit g : t 7→ e

t

1 + e −t.

a. Montrer qu’il existe une variable aléatoire X à valeurs dans N dont la fonction génératrice GXest égale à g.

b. Soit n > 2 et (Xi,j)16i<j6ndes variables aléatoires indépendantes suivant toutes la loi de X. Déterminer la probabilité

que la matrice M =                  0 X1,2 · · · X1,n .. . . .. ... ... .. . . .. Xn−1,n 0 · · · ₀                 

admette un nombre fini de sous-espaces stables.

Exercice 4

Déterminer les fonctions f : R → R de classeC1telles que pour tout x ∈ R, f ◦ f (x) = 2x + 1.

Exercice 5

Soit A ∈ Sn(R) une matrice symétrique réelle, et fAl’application définie sur Mn(R) par fA(M) = AM − MA.

a. Montrer que fAest un endomorphisme de Mn(R).

b. Soient X et Y deux vecteurs propres de A associés à λ et µ respectivement. Quelle est la taille de XYT? Exprimer XYTen fonction des coefficients de X et de Y.

c. Montrer que XYTest vecteur propre de fA, associé à une valeur propre que l’on précisera, et en déduire que fAn’est

pas bijective.

d. Justifier l’existence d’une base (X1, . . . , Xn) de vecteurs propres de A telle que pour i , j, XTiXj= 0, et en déduire que

dim Ker fA>n.

e. Montrer que fAest diagonalisable.

f. On définit B ∈ Sn(R) en posant pour tout (i, j) ∈ ~1, n2, Bij= 1. Déterminer les valeurs propres et les dimensions des

sous-espaces propres de fB.

Exercice 6

On considère l’intégrale I = Z +∞

0

sin t t dt. a. Justifier l’existence de cette intégrale. b. Pour tout n ∈ N on pose In=

Z π₂

0

sin(2n + 1)t sin t dt.

Justifier l’existence de cette intégrale, puis montrer que la suite (In) est constante.

c. Déduire de la valeur de In, celle de I.

Indication. Utiliser l’intégrale Jn=

Z π₂

0

sin(2n + 1)t

t dt.

Exercice 7

Calculer wn= n X k=0 (−1)k 2k k ! 2n − 2k n − k ! à l’aide de f (x) = +∞ X n=0 2n n ! xn.

Exercice 8

Soit p 6 n ∈ N∗, A ∈ Mn,p(K) et B ∈ Mp,n(K). On suppose AB = I_Op C_D

!

∈ M_{n(K), où C ∈ Mp,n−p(K) et D ∈ Mn−p(K).} a. Montrer que D = 0.