Écoulements induits en guide d'onde acoustique fort niveau

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THÈSE

Pour l'obtention du grade de

DOCTEUR DE L'UNIVERSITÉ DE POITIERS École nationale supérieure d'ingénieurs (Poitiers)

Pôle poitevin de recherche pour l'ingénieur en mécanique, matériaux et énergétique - PPRIMME (Diplôme National - Arrêté du 7 août 2006)

École doctorale : Sciences et ingénierie en matériaux, mécanique, énergétique et aéronautique -SIMMEA

Secteur de recherche : Mécanique des milieux fluides - Acoustique

Présentée par :

Ida Reyt

Écoulements induits en guide d onde acoustique fort niveau

Directeur(s) de Thèse :

Jean-Christophe Valière, Hélène Bailliet Soutenue le 20 novembre 2012 devant le jury Jury :

Président Eric Foucault Professeur des Universités, Université de Poitiers

Rapporteur Pierrick Lotton Directeur de recherche, Université du Maine

Rapporteur Anthony Amstrong Atchley Professor, University of Pennsylvania, États-Unis

Membre Jean-Christophe Valière Professeur des Universités, Université de Poitiers

Membre Hélène Bailliet Maître de conférences, Université de Poitiers

Membre Luc Mongeau Professor, McGill University, États-Unis

Membre Diana Baltean-Carles Maître de conférences, Université Paris 6

Pour citer cette thèse :

Ida Reyt. Écoulements induits en guide d onde acoustique fort niveau [En ligne]. Thèse Mécanique des milieux fluides - Acoustique. Poitiers : Université de Poitiers, 2012. Disponible sur Internet <http://theses.univ-poitiers.fr>

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THÈSE

pour l’obtention du grade de

Docteur de l’Universit´e de Poitiers

École Nationale Sup´erieure d’Ing´enieurs de Poitiers

( Diplôme National - Arrêté du 7 août 2006)

École doctorale : Sciences et Ingénierie en Matériaux, Mécanique, Énergétique et Aéronautique Secteur de recherche : Mécanique des Milieux Fluides - Acoustique

Présentée par

Ida REYT

Écoulements induits en guide d’onde

acoustique fort niveau

Directeur de thèse : Hélène BAILLIET

Co-directeur de thèse : Jean-Christophe VALIÈRE VERSION PROVISOIRE

Soutenance prévue le 20 novembre 2012 devant la Comission d’Examen

Jury

A. ATCHLEY Professeur, College of Engineering, University of Pennsylvania Rapporteur

P. LOTTON Directeur de Recherche, LAUM, Université du Maine Rapporteur

H. BAILLIET Maître de Conférences, Institut PPRIME, Université de Poitiers Examinateur

D. BALTEAN-CARLES Maître de Conférences, LIMSI, Université Paris VI Examinateur

E. FOUCAULT Professeur, Institut PPRIME, Université de Poitiers Examinateur

L. MONGEAU Professeur, Faculty of Engineering, McGill University Examinateur

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Remerciements

Cette thèse, débutée en octobre 2009, a été préparée au sein de l’Institut Pprime de Poitiers dans le cadre d’un contrat d’Allocataire de Recherche de la Région Poitou-Charentes. Pour cela, je remercie tout d’abord MM. Jean-Paul Bonnet directeur de l’Institut et Jacques Borée directeur du département Fluide, Thermique, Combustion.

Je remercie sincèrement mes directeurs de thèse Mme Hélène Bailliet et M. Jean-Christophe Valière qui m’ont permis d’effectuer cette thèse dans les meilleures conditions et pour la confi-ance qu’ils m’ont accordée pendant ces trois années.

Je tiens à remercier MM. Anthony Atchley, Professeur à l’Université de Pennsylvanie, et Pierrick Lotton, Directeur de Recherche CNRS au LAUM, d’avoir accepté le rôle de rapporteur de ce mémoire de thèse.

Je tiens également à remercier Mme Diana Baltéan-Carlès, Maître de Conférence à l’Uni-versité Paris VI, M. Eric Foucault, Professeur à l’Unil’Uni-versité de Poitiers et M. Luc Mongeau, Professeur à l’Université McGill de Montréal d’avoir accepté de juger mon travail.

Je tiens encore à remercier grandement M. Luc Mongeau pour m’avoir accueillie au sein de son équipe chaleureuse pendant 4 mois et pour avoir accepté d’être membre du jury.

Je tiens à remercier chaleureusement Solenn Moreau pour m’avoir guidée au long de ma thèse, notamment durant la mise en route de celle-ci. Je remercie également Jean-Charles Jacob d’avoir réalisé des mesures thermiques sur le dispositif durant son stage de Licence 3.

Au cours de mon doctorat, j’ai pu bénéficier d’une mission d’enseignement à l’ENSIP. Je tiens donc particulièrement à remercier l’équipe enseignante avec laquelle j’ai travaillé : M. Damien Biau, Mme Sophie Camélio, Mme Véronique Fortuné, M. Yves Gervais et M. Christian Prax.

Je remercie particulièrement MM. Pascal Biais, Patrick Braud, Jannick Laumonier, Laurent Philippon et Phillipe Szeger pour l’aide précieuse apportée lors de mes mesures expérimentales. Je remercie également Jean-Christophe Vergez pour l’efficacité de ses interventions informa-tiques (et pour la vente de jetons. . . ).

Un grand merci à toute l’équipe du Bâtiment B17 pour sa convivialité, particulièrement les doctorants pour les discussions animées du déjeuner.

Et enfin, un grand merci à ma famille et à mes amis pour m’avoir supportée tout au long de ces années.

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Table des matières

Remerciements i

Nomenclature V

1 Introduction 1

1.1 L’acoustique non-linéaire . . . 1

1.1.1 La propagation non linéaire et les discontinuités de section . . . 6

1.1.2 La transition à la turbulence . . . 7

1.1.3 Les écoulements redressés . . . 9

1.1.4 Méthode expérimentale . . . 11

1.2 Contexte de l’étude . . . 12

2 Mesure par Vélocimétrie Laser 13 2.1 Vélocimétrie Laser à effet Doppler . . . 15

2.1.1 Principe de fonctionnement . . . 15

2.1.2 Application de la LDV à l’acoustique . . . 17

2.1.2.1 Méthode de traitement du signal . . . 18

2.1.2.2 Mesure proche paroi . . . 20

2.1.3 Application de la LDV à la mesure du vent acoustique . . . 22

2.1.3.1 Mesure à faible fréquence d’échantillonnage . . . 22

2.2 Vélocimétrie à Image de Particules . . . 25

2.2.2 Application de la PIV à l’acoustique . . . 26

2.2.3 Application de la PIV à la mesure du vent acoustique . . . 27

2.2.3.1 Méthode par moyenne de phase . . . 27

2.2.3.2 Méthode par saut de phase . . . 28

2.3 Conclusion . . . 30

3 Écoulements redressés en guide de section carrée 33 3.1 Théorie linéaire des écoulements redressés . . . 34

3.1.1 Cas entre deux plaques . . . 35

3.1.2 Cas cylindrique . . . 36

3.1.3 Cas tri-dimensionnel . . . 37

3.2 Écoulements redressés dans un guide d’onde de section carrée . . . 38

3.2.1 Dispositif expérimental . . . 38

3.2.2 Visualisation 3D du vent acoustique . . . 40

3.2.2.1 Description usuelle bi-dimensionnelle . . . 41

3.2.2.2 Description tri-dimensionnelle . . . 42

3.2.3 Résultats . . . 46

(7)

II Table des matières 4 Présentation du dispositif expérimental et influence de discontinuités 55

4.1 Dispositif expérimental . . . 56

4.1.1 Montage expérimental . . . 56

4.1.2 Instrumentation . . . 56

4.1.2.1 Mesures microphoniques . . . 56

4.1.2.2 Mesures de température . . . 58

4.1.3 Dispositifs laser utilisés . . . 58

4.1.3.1 LDV . . . 58

4.1.3.2 PIV . . . 59

4.1.4 Ensemencement . . . 60

4.2 Influence du convergent . . . 61

4.2.1 Observations antérieures . . . 61

4.2.2 Influence du convergent sur la vitesse acoustique . . . 65

4.2.2.1 Éléments de bibliographie . . . 66

4.2.2.2 Résultats . . . 66

4.2.3 Influence sur les écoulements redressés . . . 70

4.2.4 Conclusion . . . 71

4.3 Influence d’un obstacle poreux sur les écoulements redressés . . . 73

5 Étude de la couche limite de Stokes 79 5.1 Éléments de bibliographie . . . 80

5.1.1 Couche limite des écoulements continus . . . 80

5.1.2 Couche limite des écoulements oscillants . . . 82

5.1.3 Conclusion . . . 87

5.2 Formulation théorique de la vitesse particulaire dans les couches limites de Stokes 87 5.3 Mesures de la transition à la turbulence par méthode laser . . . 91

5.3.1 Procédure . . . 91

5.3.2 Résultats . . . 92

6 Écoulements redressés en guide de section cylindrique 99 6.1 Étude de l’évolution du vent acoustique rapide . . . 100

6.1.1 Étude théorique . . . 100

6.1.1.1 Les équations fondamentales . . . 100

6.1.1.2 Le nombre de Reynolds non linéaire ReNL . . . 102

6.1.2 Évolution du vent avec le nombre de Reynolds . . . 102

6.1.2.1 Procédure expérimentale . . . 105

6.1.2.2 Régime linéaire : ReNL =1 . . . 106

6.1.2.3 Régime non linéaire : ReNL =6 et ReNL =14 . . . 109

6.1.2.4 ReNL ≥ 30 . . . 109

6.2 Étude du régime transitoire . . . 117

(8)

Table des matières III

6.2.2 Évolution temporelle de la vitesse des écoulements redressés . . . 117

6.3 Influence de la propagation non linéaire . . . 123

6.3.1 Distribution non linéaire dans le guide . . . 123

6.3.2 Dispositif expérimental . . . 123

6.3.3 Influence de la distribution des harmoniques dans le guide d’onde . . . . 124

6.4 Influence des conditions thermiques sur le vent acoustique . . . 125

6.4.1 Dispositif expérimental pour la caractérisation thermique du banc de mesure . . . 126

6.4.2 Influence de l’écart de température pariétal . . . 127

6.5 Comparaison avec des résultats numériques . . . 130

6.5.1 Présentation de l’outil numérique . . . 130

6.5.2 Résultats . . . 131

7 Conclusion et perspectives 137 A Photographies du dispositif 141 A.1 Photographies des campagnes de mesure LDV . . . 141

A.2 Photographies de la campagne de mesure PIV1 . . . 142

A.3 Photographies de la campagne de mesure PIV2 . . . 144

B Paramètres des mesures réalisées pour l’étude de la couche limite de Stokes 145

Actes de congrès 147

(9)

(10)

Nomenclature

Les variables

p pression [Pa]

S entropie massique [_Kg.KJ ] T température [K]

ρ masse volumique totale de l’air [_mkg3]

s entropie massique du premier ordre [_Kg.KJ ]

t temps [s]

~u champ de vitesse acoustique

u composante axiale de la vitesse particulaire [m s]

v composante radiale de la vitesse particulaire [m_s] r variable d’espace radiale

x variable d’espace longitudinale

xmax déplacement maximum du fluide sur une période xmax= 2A_ω [m]

y variable d’espace perpendiculaire à la paroi

A amplitude de la vitesse axiale au centre du guide d’onde [m_s]

Uc amplitude de la vitesse axiale au centre du guide d’onde pour une position x [m_s]

U2∞ amplitude stationnaire de la composante axiale du vent acoustique pour une position (x, r) [ms]

Les constantes thermodynamiques

c0 célérité du son du fluide au repos c0 =

q

γP0 ρ0 [

m s]

Cp capacité calorifique à pression constante [J]

Cv capacité calorifique à volume constant [J]

γ rapport des capacités calorifiques (γ = 1.4 pour l’air à 20o_C)

Rg constante des gaz parfaits [J/(K kg)]

K coefficient de conductivité thermique du fluide [_m.KW ]

µ coefficient de viscosité dynamique (µ = 1.83 · 10−5_{Pa.s pour l’air à 20}o_{C) [Pa.s]}

ν coefficient de viscosité cinématique ν = _ρµ₀ (ν = 15 · 10−6_m2_{/s pour l’air à 20}o_{C) [}m2 s ]

Les autres paramètres

f fréquence [Hz]

ω pulsation du mouvement harmonique ω = 2π f [rad s ]

(11)

VI Nomenclature λ longueur d’onde λ = c0 f [m] T période T = 1_f [s] D diamètre de la conduite [m] R rayon de la conduite [m] L longueur du guide d’onde [m] Le distance de stabilisation [m]

FB fréquence de Bragg [Hz]

FD fréquence Doppler [Hz]

θL angle formé par les deux rayons Laser (VLD) [rad]

i épaisseur de l’interfrange du volume sonde du système LDV [m] Jk Fonction de Bessel de première espèce d’ordre k

φ phase de la vitesse particulaire axiale [rad] δν épaisseur de la couche limite visqueuse δν =

q

2ν

ω [m]

δh épaisseur de la couche limite thermique δh=

q

2K Cpρ0ω[m]

Les nombres sans dimension

A0 amplitude du déplacement maximum du fluide normalisé A0= xmax,m_D

Re nombre de Reynolds basé sur le diamètre du guide Re = UD_ν Re nombre de Reynolds acoustique Re = ρ0c2₀

µω

Reδν nombre de Reynolds basé sur l’épaisseur de la couche limite Reδν = Umδν

ν

ReNL nombre de Reynolds non linéaire ReNL =

A c0 2 R δν 2 Str nombre de Strouhal Str = f h_A W0 nombre de Womersley W0= √D 2δν Sh nombre de cisaillement Sh = δν R ω′ fréquence adimensionnelle ω′ ₌_W2 0 Indices du paramètre ϕ ˆϕ variable adimensionnée ϕac valeur acoustique

ϕc valeur au centre du guide d’onde

ϕm valeur moyenne spatiale ϕm = _R22

R_R

0 ϕ(r)rdr

ϕp valeur relative à la pression

ϕph valeur moyenne à la phase ph

ϕ′ _{valeur turbulente φ}′ ₌_{φ − φ}

(12)

Nomenclature VII

ϕ1 valeur du premier ordre

ϕ2 valeur du second ordre

σϕ déviation standard σϕ(t) = 1 N P_N k=1ϕk(t + kT) − ϕ(t)2 1₂ ϕ valeur moyenne temporelle ϕ(t) = 1

N

P_N

k=1ϕ(t + kT)

(13)

(14)

Chapitre 1

Introduction

1.1 L’acoustique non-linéaire

L’aéroacoustique, discipline née avec les travaux de Lighthill en 1952, est un domaine très vaste qui regroupe les études des corrélations entre l’acoustique et les écoulements aérody-namiques. L’aéroacoustique est considérée comme domaine frontière entre la mécanique des fluides et l’acoustique. Les études aéroacoustiques concernent principalement, outre la propaga-tion acoustique en présence d’écoulement, l’étude de la générapropaga-tion de bruit par des écoulements turbulents (bruit de jets) ou par un écoulement interagissant avec une surface (bruits de parois, bruits de cavités). Cependant, la situation inverse peut se produire ; l’aéroacoustique est alors frontière entre l’acoustique et la mécanique des fluides. Cela se produit par exemple dans ls situations où un écoulement est généré par un phénomène de nature acoustique : écoule-ments redressés, écouleécoule-ments générés au niveaux de discontinuité, turbulences. La plupart des phénomènes acoustiques sont bien décrits par une approche linéaire (faible amplitudes de ondes sonores). En revanche, lorsque des phénomènes acoustiques donnent naissance à un écoulement, les équations de l’acoustique linéaire ne suffisent plus à décrire correctement les caractéristiques de celui-ci, des termes non linéaires doivent nécessairement être pris en compte et entre dans le domaine de l’acoustique non linéaire.

D’une façon générale, le mouvement acoustique peut être décrit par les équations de la mécanique des fluides et de la thermodynamique : conservation de la quantité de mouvement, de la masse et de l’énergie. L’écriture de la conservation de la quantité de mouvement d’un fluide aboutit classiquement aux équations de Navier-Stokes. Dans le cas d’un fluide dit Newtonien (i.e. pour lequel la relation entre champ de contrainte et de déformation est linéaire), ces équations, sans forces volumiques, s’écrivent

ρ                 ∂~u ∂t |{z} (a) +(~u · ~∇)~u | {z } (b)                 =_{−~∇p + µ∇}2~u + η + µ₃ ~ ∇ · (~∇ · ~u) | {z } (c) , (1.1)

où ~u est la vitesse particulaire du fluide à la pression p, de masse volumique ρ, et les variables µ et η désignent respectivement les coefficients de viscosité de cisaillement et de volume. Le terme (a) de l’équation traduit les phénomènes d’instationnarité, le terme (b) le effets convectifs et le terme (c) représente le transfert de quantité de mouvement par diffusion.

(15)

2 Chapitre 1. Introduction

La conservation de la masse s’écrit par ailleurs ∂ρ

∂t + ~∇. ρ~u = 0 (1.2)

Enfin, la conservation de l’énergie peut s’écrire de la façon suivante ρT ∂S

∂t +~u · ~∇S !

=K∆T +O2(~u) , (1.3)

où K désigne le coefficient de conduction thermique du fluide, T la température, S l’entropie, et où on a noté O2(~u) un terme d’ordre deux en vitesse qui traduit la transformation d’énergie

cinétique en chaleur.

Le système d’équations formé par les trois lois de conservation précédentes 1.1-1.3 est fermé avec des relations d’état qui dépendent généralement du fluide étudié. Dans le cas d’un gaz parfait, on a les relations

dS = Cp T dT−

α

ρdp , (1.4)

dρ = −ραdT + ρχtdp , (1.5)

où Cpdésigne la capacité calorifique massique à pression constante, α le coefficient de dilatation

isobare, χtle coefficient de compressibilité isotherme.

Dans le cas de l’acoustique linéaire, on considère que la propagation d’une onde acoustique est une perturbation de faible amplitude de l’état du fluide au repos. L’approximation des faibles amplitudes permet de négliger les termes d’ordre supérieur à 1 (par exemple les termes issus de la multiplication de deux termes acoustiques). La linéarisation des équations de base, autours d’un état de fluide au repos, permet d’obtenir l’équation d’onde acoustique, appelée l’équation de propagation ou équation de d’Alembert, que vérifie toute variable acoustique ϕ. Dans le cas d’un problème où on néglige les termes visqueux et en l’absence de terme source, cette équation linéaire facilement résoluble s’écrit

∇2ϕ − 1 c2₀

∂2ϕ

∂t2 =0 , (1.6)

avec c0 la célérité du son dans le fluide au repos. Du point de vue de l’acoustique linéaire, la

célérité est définie par

c = s ∂p ∂ρ ! S . (1.7)

(16)

1.1. L’acoustique non-linéaire 3

Dans le cas d’un gaz parfait, la célérité du son au repos devient c0= s γP0 ρ0 = q γRgT0 , (1.8)

où γ est le coefficient isentropique du gaz et Rgla constante des gaz parfaits et l’indice 0 désigne

l’état statique des variables.

Le domaine de validité de l’approximation des faibles amplitudes dépend de la valeur du nombre de Mach acoustique M = U/c0 qui est le rapport entre U l’amplitude de la vitesse

acoustique caractéristique et c0de la vitesse du son. Cette approximation est considérée valable

pour des nombres de Mach très inférieurs à 1, ce qui n’est plus le cas pour une excitation à des niveaux acoustiques élevés. La propagation devient alors non linéaire et suivant les cas, les différents termes intervenants dans l’équation 1.1 ne sont plus négligeables.

Dans le but de faire apparaître les différents ordres de grandeur des phénomènes qui sont à l’étude dans ce travail, les variables physiques sont remplacées par des variables sans dimen-sion permettant d’adimendimen-sionner les équations de base. Dans la suite, ceci est effectué pour la composante axiale de l’équation de Navier-Stokes (1.1). Cela permet d’introduire tous les nombres sans dimension qui seront rencontrés au fil de ce mémoire.

Dans le cadre de cette étude, on considère la propagation d’une onde plane harmonique de pulsation ω et de longueur d’onde λ dans un guide d’onde de rayon R, d’axe (0x) et on note (0r) la direction radiale, le problème étant supposé axisymétrique. On note (u, v) les composantes respectivement axiale et radiale de la vitesse particulaire. Pour chacune des variables adimen-sionnées (notées avec le symbole ˆ ), les ordres de grandeur sont indiqués par les indices 1 et 2. En considérant que les quantités acoustiques sont localement d’ordre M et en sachant que le vent acoustique est d’ordre M2_{, on a}

u =c0(M ˆu1+M2ˆu2) ,

ρ =_ρ₀_{(1 + M ˆρ}₁+M2ˆρ2) ,

p =P0(1 + M ˆp1+M2ˆp2) , (1.9)

T =T0(1 + M ˆT1+M2ˆT2) ,

S = S0+Rg(M ˆS1+M2ˆS2) .

Les grandeurs spatiales et temporelles sont adimensionnées de la façon suivante ˆt = ωt , ∂ ∂t =ω ∂ ∂ˆt , ˆx = 2π λ x , ∂ ∂x = ω c0 ∂ ∂ ˆx , ˆr = r R . (1.10)

(17)

L’adimensionnement de la composante radiale de la vitesse ainsi que celui des diverses variables suivant la composante radiale est moins évidente. Cette difficulté provient du fait que les variations suivant r sont différentes selon les variables considérées et selon que l’on se trouve dans le corps du guide (là où les champs de vitesse, de pression et de température sont uniformes selon r) ou que l’on se trouve dans la couche limite viscothermique (où la vitesse particulaire et la température subissent de fortes variations pour satisfaire aux conditions limites). Menguy et Gilbert [52] ont montré que le rapport des composantes radiale et axiale de vitesse donne

v u =O 1 √ Re ! . (1.11)

Cette relation fait apparaître un nouveau nombre adimensionnel appelé le nombre de Reynolds acoustique défini par

Re = ρ0c 2 0 µω , (1.12) ce qui équivaut à Re = 2π2 λ δν 2 , (1.13)

où δνest l’épaisseur de couche limite visqueuse définie par

δν =

r 2ν

ω . (1.14)

D’un point de vue physique, lorsqu’un écoulement oscillant se propage dans un guide d’onde, une couche limite se crée à l’interaction entre l’onde et la paroi, qui traduit la distance de péné-tration des effets visqueux. Cette couche limite, aussi appelée couche limite acoustique, possède une épaisseur qui dépend uniquement des propriétés physiques du fluide et de la fréquence de l’oscillation, elle est donc indépendante de l’amplitude des oscillations. Ses valeurs dans les limites de la zone audible, dans l’air à 20°C, de δν≈ 0.5mm à 20Hz et de δν≈ 0.015mm à 20kHz.

Le nombre de Reynolds acoustique Re compare donc la longueur d’onde et la couche limite visqueuse. Pour le cas d’une propagation dans l’air à une fréquence audible, on a toujours Re >> 1, c’est à dire que l’écoulement est faiblement dissipatif.

Pour ce qui est des adimensionnements, revenons à l’équation 1.11 qui donne v = √c0

ReM ˆv . (1.15)

Menguy et Gilbert [52] en déduisent que ∂ ∂r = 1 R ∂ ∂ ˆr1 (1.16)

(18)

1.1. L’acoustique non-linéaire 5 pour l’application à v et ∂ ∂r = 1 Re δν ∂ ∂ ˆr2 (1.17) pour application à P, T, S, ρ et u.

Finalement, en projetant l’équation 1.1 sur l’axe (0x) et en introduisant les grandeurs adi-mensionnées, on obtient en se limitant à l’ordre 3 :

(1 + M ˆρ)∂ û ∂ˆt +(1 + M ˆρ)M û ∂ ∂ ˆxû + ₁ Re ˆv∂ û ∂ ˆr2 ! = ₋1 γ ∂ ˆP ∂ ˆx + 1 Re " η µ+ 4 3 # ∂2_û ∂ ˆx2 + + ₁ Re 2 _∂2_û ∂ ˆr22 + Sh Re ! 1 ˆr1 ∂ û ∂ ˆr2 + Sh Re ! η µ + 1 3 ! 1 ˆr1 ∂ ∂ ˆr1 " ˆr1∂ ˆv ∂ ˆx # . (1.18)

En plus des nombres adimensionnels décrits plus haut, cette équation fait apparaître le nombre de cisaillement Sh, « Shear number » en anglais, défini comme

Sh = δν

R . (1.19)

Nous avons désormais énuméré les différents paramètres et équations utilisés pour décrire les phénomènes de l’acoustique non linéaire. En définitive, le problème d’acoustique non linéaire que nous étudions est régit par trois nombres sans dimension : M, , Re et Sh. Dans le cas particulier du guide d’onde acoustique faisant l’objet de cette étude, on peut citer quatre types de phénomènes liés à l’acoustique non linéaire :

– la propagation non linéaire de l’onde se traduisant par une déformation de celle-ci à travers une cascade d’énergie vers les harmoniques supérieures pouvant engendrer la formation d’ondes de chocs,

– l’apparition de bouffées turbulentes pour des amplitudes de vitesse élevées liées à la viscosité du fluide,

– l’apparition d’une composante de vitesse continue appelée vent acoustique,

– l’apparition de pertes additionnelles dues à la formation de structures tourbillonnaires en présence de discontinuités (singularités géométriques).

Les différents travaux présentés dans ce document auront pour but de décrire et d’étudier l’apparition de ces phénomènes non linéaires dans un guide d’onde fort niveau. Pour séparer les différentes contributions liées aux phénomènes décrits précédemment, on décompose chaque composante de la vitesse totale comme la somme de quatre termes

(19)

où le terme u0représente la vitesse de l’écoulement moyen continu (ordre 0), uac représente le

terme de vitesse acoustique purement oscillant (ordre 1), le terme u2 correspond aux

écoule-ments redressés (d’ordre 2) et le terme u′ _{représente les fluctuations turbulentes de la vitesse.}

Dans nos travaux, l’ étude est réalisée sans écoulement moyen, u0 =0, dans la mesure où les

particules restent en moyenne spatialement immobiles aux écoulements redressés près.

Nous allons désormais donner une description des quatre phénomènes mis en jeu dans l’étude du guide d’onde acoustique fort niveau.

1.1.1 La propagation non linéaire et les discontinuités de section

Les premiers phénomènes qui peuvent être à l’origine de pertes dans un guide d’onde harmonique à forts niveaux sont la propagation non linéaire et la formation de structures tourbillonnaires au niveau de discontinuités de section.

Figure 1.1: Évolution du profil de l’onde acous-tique au cours du régime transitoire dans un moteur thermoacoustique. Extrait de [30].

Figure 1.2: Illustration de l’influence d’une dis-continuité dans un résonateur acoustique. Vecteurs de la vitesse et cartographie de la vor-ticité à un instant d’éjection du fluide. Extrait de [50].

Le premier phénomène, lié à la propagation de l’onde, fait partie des domaines les plus étudiés en acoustique non linéaire. Celui-ci se traduit par la déformation de l’onde par une cascade d’énergie vers les harmoniques supérieurs pouvant provoquer la formation d’ondes de choc [30]. Par exemple, la figure 1.1 montre l’évolution du profil de l’onde acoustique au cours du régime transitoire dans un moteur thermoacoustique (jusqu’à la formation de l’onde de choc). Ce phénomène ne se produit pas lors des expériences que nous avons menées dans ce travail car les dispositifs utilisés sont peu harmoniques, ce qui ralentit la cascade vers les harmoniques supérieurs.

(20)

Lorsqu’une onde se propage dans un guide acoustique, celle-ci peut rencontrer des discon-tinuités, par exemple un changement de section brusque ou la présence d’un obstacle. Dans ce cas, ces discontinuités provoquent des pertes d’énergie vers les structures tourbillonnaires [50]. Une mesure du champ de vitesse proche d’une discontinuité (« marche » repérée par la zone sans vecteur vitesse) est représenté sur la figure 1.2. Cette mesure est réalisée durant la décélération du fluide pendant la phase de son éjection. Une structure tourbillonnaire se forme alors derrière la singularité géométrique qui est dans ce cas une marche. Dans ce document, en raison de la sensibilité des phénomènes que nous voulons analyser, nous avons réalisé l’étude des discontinuités géométriques présentes dans le dispositif expérimental à l’étude (Chapitre 4). Ces deux phénomènes ne sont pas le sujet principal de la présente étude. De façon à pouvoir étudier les autres phénomènes non linéaires en se souciant au minimum de leurs interférences, le guide d’onde étudié a été dessiné pour limiter les effets de propagation non linéaire (modes propres non harmoniques) et les effets de discontinuité. Cependant, ces phénomènes peuvent survenir dans le guide d’onde et ils seront donc abordés dans ce travail dans le but de quantifier leur influence sur les autres phénomènes mesurés.

1.1.2 La transition à la turbulence

Lorsque les niveaux acoustiques augmentent, la prépondérance des termes visqueux près de la paroi peut créer un écoulement présentant des caractéristiques turbulentes. Le phénomène de transition à la turbulence est bien documenté en mécanique des fluides incompressibles, en revanche, il est encore très peu étudié dans le cadre de l’acoustique.

Dans un premier temps, nous allons brièvement établir l’équation de Navier-Stokes pour la composante axiale de la vitesse dans le cas d’un écoulement oscillant incompressible. En effet, les nombres adimensionnés classiquement utilisés dans la littérature sont généralement issus de la mécanique des fluides incompressible et sont donc différents de ceux introduits au début de ce chapitre.

Pour les écoulements de conduite, le nombre caractéristique fréquemment utilisé en mé-canique des fluides pour l’étude de la transition à la turbulence est le nombre de Reynolds basé sur le diamètre de la conduite D. Ce nombre est défini par

Re = UD

ν , (1.21)

avec U l’amplitude de la vitesse oscillante au centre du guide. Il compare les effets d’inertie aux effets visqueux. En écrivant l’équation de Navier-Stokes 1.1 adimensionnée pour un fluide incompressible, de masse volumique et de viscosité constante

ωD U |{z}

St ∂ ˆ~u

∂ˆt +( ˆ~u · ˆ~∇)ˆ~u = − 1ρU2ˆ~∇P + νDU |{z}

1 Re

ˆ

(21)

on peut faire apparaître le nombre de Reynolds en question et un nombre supplémentaire devant le terme temporel de l’équation qui traduit l’instationnarité du phénomène. Ce nombre est appelé nombre de Strouhal. Il est donné par

St = ωD

U , (1.23)

et il compare le temps d’advection au temps caractéristique de l’instationnarité.

En comparant les équations 1.18 et 1.22, il semble que le nombre de Reynolds acoustique tient le même rôle que le nombre de Reynolds basé sur le diamètre de la conduite. Cependant, ce nombre de Reynolds acoustique n’a jamais été utilisé pour l’étude de la transition à la turbulence en écoulement oscillant. W o Régi me tran sitoi re Régime laminaire Régime turbulent Régime laminaire 105 104 Re

Figure 1.3: Diagramme de stabilité représentant les différents régimes d’écoulement en fonction des nombres de Reynolds et de Womersley.

Notons que dans la littérature, l’instationnarité est souvent décrite à travers un autre nombre adimensionnel appelé nombre de Womersley et donné par

Wo = R r ω ν = D √ 2δν . (1.24)

Le régime est alors caractérisé par deux nombres, un paramètre d’amplitude (par exemple Re) et un paramètre de fréquence (par exemple St ou Wo) et les régimes de l’écoulement sont

donnés à partir d’un diagramme de stabilité représenté schématiquement sur la figure 1.3. Cette représentation est inspirée des travaux de Ohmi et al. [63]. Plusieurs régimes d’écoule-ment, du régime laminaire au régime turbulent, ont été observés dans la littérature. Quels que soient les nombres considérés pour caractériser la transition, les frontières entre les différents

(22)

régimes ne sont pas encore parfaitement établies particulièrement lorsque l’hypothèse de quasi-stationnarité n’est plus valable (i.e. St ≈ 1), ce qui est le cas pour les études effectuées à des fréquences audibles.

Finalement, la spécificité de notre étude en regard de la majorité des travaux disponibles dans la littérature qui traitent des écoulements oscillants incompressibles très basse fréquence, est que nous travaillons en fluide oscillant compressible dans l’audible. Dans cette étude, nous avons donc réalisé des mesures à des nombres de Womersley correspondants à des fréquences audibles en augmentant progressivement le nombre de Reynolds. À partir de ces mesures, nous avons étudié l’évolution de la vitesse particulaire instantanée dans la couche limite oscillante, appelée aussi couche limite de Stokes, avec l’augmentation du niveau acoustique. Cette étude est réalisée dans le but d’apporter des résultats permettant de mieux caractériser les différents régimes de l’écoulement oscillant en guide d’onde acoustique et de compléter le diagramme de stabilité.

1.1.3 Les écoulements redressés

Le dernier phénomène pouvant se manifester sera particulièrement étudié dans ce mé-moire. Dans certaines configurations l’onde acoustique peut produire un écoulement moyen secondaire. Par analogie, le même phénomène se produit en électricité lors de l’apparition d’une composante continue provoquée par un signal alternatif. Cet écoulement est donc générale-ment appelé écoulegénérale-ment redressé mais aussi vent acoustique (acoustic streaming en anglais). Cet écoulement causé par l’interaction entre l’onde acoustique et les parois prend naissance dans les couches limites visqueuses et se développe dans le cœur du résonateur. Les vitesses de cet écoulement sont généralement très faibles devant la vitesse acoustique (typiquement deux ordres de grandeur plus faibles) ce qui rend leur mesure délicate. Cependant, même si la vitesse des écoulements redressés est faible ils peuvent avoir un rôle capital dans certaines situations (par exemple dans les systèmes thermoacoustiques, voir ci-dessous).

Un schéma des tourbillons des écoulements redressés présents dans un guide d’onde sta-tionnaire est représenté figure 1.4. Des tourbillons toroïdaux sont centrés autour de l’axe du guide, leur longueur est de λ/4 et ce schéma est λ/2 périodique. Les tourbillons situés dans la partie centrale du guide sont appelés tourbillons externes et les tourbillons proches de la paroi sont appelé tourbillons internes.

Depuis la première modélisation de l’écoulement par Rayleigh en 1884 [69] ce phénomène suscite beaucoup d’intérêt, notamment en raison des applications thermoacoustiques. Les sys-tèmes thermoacoustiques sont des dispositifs qui permettent de convertir de la chaleur en énergie acoustique ou inversement (une schématisation en est donnée figure 1.5). Ils sont con-stitués d’un résonateur dans lequel est placée une structure poreuse (stack) qui est le siège d’un gradient de température. Le flux de masse et par conséquent le flux de chaleur généré par les écoulements redressés peuvent perturber le fonctionnement des machines, notamment à proximité de la structure poreuse dans laquelle l’effet thermoacoustique est important.

(23)

R

−

R

0 x

λ/4

λ/2

0

Figure 1.4: Schématisation des cellules de vent acoustique dans un guide d’onde étroit (R/δν≈

4). Les positions x = 0 et x = λ/2 correspondent à des nœuds de vitesse acoustique, x = λ/4 à un ventre. Haut-parleur Stack Résonateur Echangeur de chaleur chaud Echangeur de chaleur froid

Figure 1.5: Schématisation d’un réfrigérateur thermoacoustique. Extrait de [54].

Cependant, malgré un certain nombre d’études théoriques e.g.[32, 7] et numériques e.g.[3], peu d’études expérimentales ont été réalisées, notamment en ce qui concerne l’évolution du vent acoustique dans le cas où les niveaux acoustiques deviennent importants, c’est à dire lorsque les hypothèses de calcul généralement admises pour pouvoir résoudre le problème ne sont plus valables. Dans ce cas, le vent acoustique est dit rapide ou non linéaire. L’utilité d’é-tudier les écoulements redressés dans le cas où les niveaux acoustiques sont élevés provient du fait que l’efficacité des machines thermoacoustiques est proportionnelle au carré de la pression acoustique. Les premiers résultats de mesure du vent acoustique rapide disponibles dans la littérature montrent que le vent acoustique se déforme fortement [55, 58, 89]. Cependant les raisons de cette évolution demeurent à ce jour inconnues. Dans ce travail nous avons donc réal-isé des mesures du vent acoustique pour des niveaux acoustique élevés afin de caractériser le plus complètement possible l’évolution du vent acoustique rapide. Nous avons de plus étudié l’influence de certaines conditions expérimentales dans le but de comprendre les origines de cette évolution (Chapitre 6).

(24)

val-1.1. L’acoustique non-linéaire 11

ables que pour des configurations bidimensionnelles. Dans l’optique d’une première approche vers l’étude du vent acoustique dans des géométries plus complexes et plus réalistes, nous avons réalisé une étude expérimentale du vent acoustique dans un guide d’onde à section carrée (Chapitre 3).

1.1.4 Méthode expérimentale

Les effets non linéaires ont désormais été inventoriés. L’étude de ces différents effets étant délicate à mener de façon analytique, le choix a été fait de mener une étude expérimentale pour mieux comprendre les différents phénomènes et guider les approximations admissibles permettant de résoudre le problème.

Suite à la description des phénomènes qui peuvent prendre place dans un guide d’onde acoustique, la mise en place de méthodes de mesures adaptées semble délicate. Notamment en raison de la superposition de phénomènes dont les ordres de grandeurs sont très différents et de leur non linéarité. Ces mêmes phénomènes sont étudiés à partir d’un point de vue aéro-dynamique, c’est à dire qu’ils sont mesurés et quantifiés à partir de la mesure de la vitesse du fluide. En effet, dans cette étude, la vitesse acoustique est la grandeur acoustique naturelle permettant de caractériser les différents phénomènes. Elle ne peut pas être déduite simplement de la pression acoustique comme dans les études courantes.

Les différents outils classiquement utilisés pour mesurer la vitesse d’un écoulement en mé-canique des fluides sont l’anémométrie à fil chaud, la Vélocimétrie par Images de Particules (PIV) et la Vélocimétrie Laser par effet Doppler (LDV). Le premier outil déduit la vitesse à partir des variations de température de l’appareil de mesure au point considéré. La PIV déduit la vitesse à partir de la mesure du déplacement particulaire entre deux images donnant ainsi une cartographie de la vitesse à un temps donné. Et enfin, la LDV qui utilise l’effet Doppler créé par une particule traversant le volume de mesure donne la vitesse particulaire en un point en fonction du temps.

L’inconvénient des mesures effectuées à l’aide d’un anémomètre à fil chaud dans un écoule-ment oscillant est dû à l’invasivité de la sonde. Ce problème, déjà été constaté par Merkli et Thomann [53] ou par Huelsz et al. [38], peut être très handicapant lors des mesures pour l’étude de la transition à la turbulence car la présence de la sonde dans la couche limite visqueuse génère des perturbations. Aujourd’hui, les techniques Laser ont connu un grand progrès et sont particulièrement adaptées pour l’étude des écoulements considérés ici car elle ne sont pas invasives. Ces outils ont déjà été utilisés pour l’étude de la transition à la turbulence [2, 11] et pour la mesure des écoulements redressés [14, 54, 55, 88].

Dans ce document, le développement de deux méthodes de mesure Laser, la Vélocimétrie par Images de Particules (PIV) et la Vélocimétrie Laser par effet Doppler (LDV) permet une mesure complète de cette vitesse en couplant leurs avantages (Chapitre 2). La PIV permet d’ac-céder aux informations spatiales tandis que la LDV permet une discrétisation temporelle très

(25)

précise. La complémentarité des deux outils est un point important pour l’étude expérimentale des différents phénomènes qui sont abordés dans cette thèse.

1.2 Contexte de l’étude

Ce travail fait suite au travail débuté par Solenn Moreau durant sa thèse à l’Institut Pprime [54]. Son travail a consisté en la conception d’un montage pour l’étude de l’écoulement oscillant en guide d’onde acoustique fort niveau afin de caractériser les phénomènes non linéaires que sont la transition à la turbulence et les écoulements redressés. La conception du montage a été réalisée en portant une grande attention à limiter la propagation non linéaire et les discontinu-ités. Des mesures de vitesse par LDV ont ensuite été réalisée sur ce montage. Une approche de la transition à la turbulence a alors été menée à partir de l’étude de la déformation des profils de vitesse particulaire acoustique et une zone de transition a pu être estimée. Toutefois, la proximité du convergent a mis en doute certaines analyses. L’étude des écoulements redressées et de leur évolution avec le niveau acoustique a également été effectuée en se penchant particulièrement sur la mesure des tourbillons internes. Dans ce cas, la proximité du convergent n’a pas permis d’interpréter de façon complète les résultats obtenus.

Dans le cadre de notre étude, la PIV a été utilisée comme outil supplémentaire à la LDV pour la mesure de la vitesse dans le guide. Dans un premier temps, le développement de traitement associés a donc été effectué (Chapitre 2). Le vent acoustique a pu être étudié dans une configuration expérimentale différente au cours d’un séjour à l’Université McGill de Montréal dans l’équipe du professeur Mongeau (Chapitre 3). Par la suite, des nouvelles mesures ont été réalisées sur le montage conçu par Solenn Moreau afin d’étudier l’influence des convergents (Chapitre 4). Afin de s’affranchir de l’influence des singularités observée, des mesures ont été effectuées à des modes différents permettant d’étudier la transition à la turbulence dans le guide (Chapitre 5). Enfin, une étude du vent acoustique rapide et de l’origine de ses déformations a été effectuée (Chapitre 6). Des mesures thermiques et une comparaison avec des simulations numériques ont notamment été menées.

(26)

Chapitre 2

Mesure par Vélocimétrie Laser

Sommaire

2.1 Vélocimétrie Laser à effet Doppler . . . . 15

2.1.2 Application de la LDV à l’acoustique . . . 17

2.1.3 Application de la LDV à la mesure du vent acoustique . . . 22

2.2 Vélocimétrie à Image de Particules . . . . 25

2.2.1 Principe de fonctionnement . . . 25 2.2.2 Application de la PIV à l’acoustique . . . 26

2.2.3 Application de la PIV à la mesure du vent acoustique . . . 27

2.3 Conclusion . . . . 30

Pour cette étude, des mesures de vitesse sont réalisées sur un fluide oscillant. Les phénomènes à l’étude ayant pour origine les effets des couche limite visqueuse, les mesures en proche paroi sont donc particulièrement importantes. Il est donc nécessaire d’utiliser des outils de mesure capables de quantifier des vitesses pouvant varier rapidement avec une résolution spatiale permettant un incrément sur de petites distances. Parmi les outils de mesure de vitesse insta-tionnaire, la vélocimétrie par fil chaud est une méthode bien maitrisée [13] et qui a déjà été utilisée pour mesurer des écoulements oscillants, mais seulement à des fréquences faibles, de l’ordre de quelques hertz (e.g. [37, 97]). Cependant, cet outil est invasif (cf. §1.1.4) et doit de plus être calibré avec une grande précision.

Grâce au développement du laser, de nouvelles techniques de mesure de vitesses partic-ulaires sont apparues comme la Vélocimétrie par Laser Doppler (VLD), ou Laser Doppler Velocimetry en anglais (LDV), dans les années 70 et la Vélocimétrie par Image de Particules (PIV, pour Particle Image Velocimetry en anglais) dans les années 90. Elles ont la particular-ité d’être non invasives et peuvent donc être adaptées pour les mesures de vitesses dans un écoulement oscillant. À l’origine, elles ont été développées pour la mesure de vitesse de fluides où elles sont maintenant largement connues et utilisées. Depuis les premiers travaux réalisés par Yeh et Cummins [96], la LDV est devenue un outil courant de mesure fluidique grâce à sa très bonne résolution spatiale et temporelle [1, 94]. Cependant, l’inconvénient de la LDV est qu’elle est une technique de mesure ponctuelle qui requiert donc de nombreuses mesures afin de reconstruire un champ de vitesse. La PIV, quant à elle, offre la possibilité de réaliser des mesures instantanées de vitesse particulaire d’un plan étendu et permet d’accéder à deux composantes de la vitesse, voire trois grâce à la PIV stéréoscopique [27]. Cependant, de par la

(27)

14 Chapitre 2. Mesure par Vélocimétrie Laser

nature du calcul de la vitesse par PIV, cet outil ne semble pas adapté à des mesures acoustiques. L’application de la LDV et de la PIV pour la mesure de la vitesse acoustique n’est pas toujours évidente car les ordres de grandeurs diffèrent de ceux couramment rencontrés en mécanique des fluides. En général, la mesure acoustique possède un inconvénient mais aussi un avantage par rapport aux mesures classiques réalisées en mécanique des fluides. L’inconvénient réside dans le fait que les vitesses et les déplacements acoustiques sont en général assez faibles et varient rapidement dans le temps. Par exemple à 1000Hz, pour un niveau acoustique SPL de 100dB en champ libre, l’amplitude de la vitesse est d’environ 5mm/s et l’amplitude du déplace-ment de 10−6_{m. En revanche, l’avantage provient du fait que les particules oscillent et que les}

grandeurs temporelles et spatiales - amplitude du déplacement acoustique et période d’oscil-lation en particulier - sont généralement bien déterminées, au contraire des applications de la mécanique des fluides. La première adaptation de la LDV pour la mesure de vitesse acoustique est apparue dans les travaux de Taylor en 1976 [85]. Puis les modèles ont été améliorés notam-ment par Sharpe et al. dans les années 90 [80]. L’application de la PIV à l’acoustique est plus rare, sauf pour certaines applications où ses avantages ont été mis à profit. Par exemple, Marx et al. ont étudié l’écoulement autour d’une marche dans un résonateur acoustique grâce à la PIV, puis ont procédé à une Décomposition Orthogonale aux Valeurs Propres (POD en anglais, pour Proper Orthogonal Decomposition) pour étudier les différents régimes de l’écoulement [50]. Plus récemment, Castrejon et al. [15] et Moreau et al. [57] ont utilisé les deux techniques pour réaliser des mesures dans la couche limite acoustique.

Aux difficultés décrites plus haut, s’ajoutent, pour notre étude, les problèmes liés à la présence d’un écoulement moyen secondaire qui se superpose à la vitesse oscillante du fluide : le vent acoustique (décrit au 1er_{Chapitre). Il y a donc deux composantes de vitesses associées}

à l’onde sonore : une partie oscillante et une partie moyenne. L’ordre de grandeur de la vitesse de ces écoulements redressés rend son estimation délicate. Dans la littérature, les mesures de vitesse des écoulements redressés à l’aide de la LDV sont apparues tardivement avec une pre-mière étude réalisée par Thompson et al. en 2004 [88, 89]. Depuis, elle a plusieurs fois été utilisée pour la mesure de cette vitesse du second ordre, comme par exemple pour la mesure du vent acoustique dans un résonateur annulaire à ondes progressives [22] et pour la mesure des tour-billons internes des écoulements redressés [55]. Les premières mesures PIV des écoulements redressés ont été réalisées il y a une vingtaine d’années [79]. Récemment de nouvelles méthodes ont été développées permettant une estimation plus précise du vent, en particulier par l’usage d’une méthode de synchronisation en phase [59] ou par recalage de phase a posteriori [20].

Ce chapitre a pour objectif de présenter ces deux méthodes utilisées tout au long de ce travail, comme des outils indispensables à la nature de nos travaux. Nous insisterons sur la manière dont elles doivent être adaptés pour réaliser conjointement la mesure de la vitesse acoustique et celle de l’écoulement du second ordre, de très faible amplitude, qu’est le vent acoustique.

(28)

2.1. Vélocimétrie Laser à effet Doppler 15

2.1 Vélocimétrie Laser à effet Doppler

2.1.1 Principe de fonctionnement Cellule de Bragg Photo-multiplicateur Signal Doppler S´eparateur t= 1 f_D θl

Figure 2.1: Schéma de principe de la Vélocimétrie Laser à effet Doppler (LDV).

Lorsqu’une particule entraînée par un fluide de vitesse ~Vtraverse un faisceau lumineux, la fréquence de la lumière émise par la source et celle de la lumière diffusée par la particule en mouvement se décalent. Ce phénomène peut être assimilé à l’effet Doppler. Le fonctionnement de la LDV repose sur ce principe. Si deux faisceaux cohérents sont émis avec des angles opposés, par composition des vitesses, le décalage fréquentiel de la lumière diffusée par chacun des fais-ceaux est opposée. La soustraction réalisée par le système permet de mesurer une modulation directement proportionnelle à la vitesse.

Ce mécanisme peut s’expliquer plus simplement par le principe d’interférence. Comme le montre la figure 2.1, un rayon laser est séparé en deux faisceaux. Lorsque les deux faisceaux sont dirigés grâce à un système optique convergent, sur un point de focal, une figure d’interférence se crée avec une interfrange i. Le domaine où se croisent les faisceaux est appelé le volume sonde, représenté sur la figure 2.2(a). Lorsqu’une particule traverse ce volume, elle diffuse de la lumière au passage de chaque frange lumineuse. La distance séparant deux franges sombres

(29)

ou lumineuses est donnée par

i = λl 2 sin(θl/2),

(2.1) où λl représente la fréquence du laser et θl est l’angle formé par les deux faisceaux laser. La

particule d’ensemencement traversant le réseau de franges d’interférences émet de la lumière dont l’intensité diffusée fluctue à une fréquence appelée fréquence Doppler. La vitesse de la particule s’obtient à partir de

Vx =i· fD = λl

2 sin(θl/2)fD.

(2.2) Cette mesure ne permet d’accéder qu’à la projection de la vitesse Vx selon la direction

per-pendiculaire aux franges. On définit D = 1/i, le facteur de conversion fréquence/vitesse qui ne dépend que de la longueur d’onde du faisceau laser et de l’angle de croisement des deux faisceaux. Ce facteur caractérise la sensibilité du dispositif : plus D est grand, équivalant à i petit, plus le dispositif permet de mesurer de faibles vitesses.

Comme le montre la figure 2.1, un dispositif de LDV est composé d’un laser, d’un séparateur de faisceaux, d’une cellule de Bragg, des optiques d’émission et de réception, d’un photo-détecteur et d’un système de traitement du signal. La cellule de Bragg est un dispositif acousto-optique excité à une fréquence de 40MHz, inséré dans le trajet de l’un des faisceaux laser. La vibration permet de décaler la fréquence optique du faisceaux choisi et entraîne ainsi un défilement des franges d’interférences. Cette méthode permet de déterminer le signe de la vitesse mesurée. La valeur de la fréquence du signal mesuré devient :

fs= fB+ fD= fB+Vx

i , (2.3)

où fBest la fréquence de Bragg égale à 40MHz.

(a) (b) dx= dy i dz Volume sonde Volume de mesure Volume vu par la tˆete de r´eception

Figure 2.2: (a) Figure d’interférence créée par l’intersection des deux faisceaux laser. (b) Schéma du volume sonde et du volume de mesure. Reproduit d’après le manuel d’utilistation Dantec [6].

(30)

La partie du volume sonde vue à travers l’optique de réception est appelée volume de mesure (fig. 2.2(b)), sa taille est plus petite que celle du volume sonde issu du croisement des deux faisceaux (figure 2.2(a)). Lorsque une particule traverse le volume de mesure, une détection a lieu à travers un événement appelé un « burst » ou bouffée. La valeur « crête à crête » du signal produit par le déplacement de la particule dans le volume de mesure est largement supérieur à la valeur du signal du volume de mesure, ainsi les informations sur la valeur de la vitesse de la particule peuvent être extraites de ces bouffées par traitement de Fourier du burst effectué par le logiciel de Dantec appelé BSA (Burst Spectrum Analyser) [6]. Les données obtenues après le traitement par le BSA ont la forme d’un enregistrement de la vitesse des particules en fonction du temps au point où la mesure a été réalisée.

2.1.2 Application de la LDV à l’acoustique

Un exemple de signal temporel de la vitesse particulaire obtenu par LDV est donné figure 2.3 accompagné d’un histogramme du nombre particules détectées en fonction de leur vitesse figure 2.4. Cette forme d’histogramme est typique d’un écoulement oscillant car la fréquence d’acquisition des échantillons est directement proportionnelle à la vitesse du fluide [91]. La quantité de particules détectées est plus élevée pour les particules de vitesse élevée que pour les vitesses faibles. Ce qui cause une distribution symétrique centrée autour de zéro en faveur des vitesses élevées. La densité de particules détectées pour les vitesses très faibles est pratiquement nulle.

Figure 2.3: Mesures brutes des vitesses par LDV.

Figure 2.4: Histogramme des mesures brutes des vitesses par LDV.

Pour récapituler, les caractéristiques du signal qu’il faut traiter sont les suivantes : – la fréquence est bien marquée,

– la densité des particules n’est pas uniforme,

– le nombre des particules détectées en proche paroi est faible, – l’échantillonnage est non-uniforme,

– présence d’une composante moyenne u2de très faible amplitude que nous voulons

(31)

La variété de ces caractéristiques rend le traitement de ce signal complexe. Un traitement adapté à ce type de signal a été développé par S. Moreau [54]. Celui-ci fait l’objet de cette partie et sera utilisé dans la suite de ce travail pour l’estimation de la vitesse acoustique.

2.1.2.1 Méthode de traitement du signal

La méthode développée par Moreau et al. a l’avantage de pouvoir estimer la vitesse acous-tique même lorsque le nombre de données est très faible[91]. La procédure peut être divisée en quatre étapes qui sont schématisées sur la figure 2.5. La première étape consiste en l’estimation précise de la fréquence, ensuite le signal est ramené sur une période (figure 2.6.(b) et (d)) puis ré-échantillonné de façon uniforme (figure 2.6.(c) et (e)) et enfin la phase et l’amplitude du signal acoustique peuvent être calculés.

Signal BSA brut D´etection synchrone →fr´equence

Mesures ramen´ees sur une p´eriode

R´e´echantillonnage uniforme

Estimation Phase et Amplitude Par moindre carr´es

u(x, r, t) = u2(x, r) + Uac(x, r) sin (2πfact+ φac(x, r))

Moyenne des points rééchantillonnés

Figure 2.5: Diagramme récapitulatif des étapes de traitement du signal LDV. La vitesse estimée pour une position (x, r) dans le guide est supposé de la forme

u(x, r, t) = Uac(x, r) sin(2π fact +φac(x, r)) + u2(x, r) + u′(x, r, t) , (2.4)

avec uacla composante axiale de la vitesse du fluide, facla fréquence acoustique du signal, Uac

et φacl’amplitude et la phase de la vitesse acoustique, u2 la vitesse des écoulements redressés

(vitesse d’ordre 2) et u′ _{la composante turbulente de la vitesse.}

En raison du phénomène de glissement de fréquence (légère variation de la fréquence au cours du temps), il est nécessaire d’évaluer celle-ci avec une précision de 10−4_{Hz. La première}

étape à réaliser pour estimer la vitesse est donc le calcul de la fréquence fac par détection

synchrone (courbe (a) de la figure 2.6 à la courbe (b)). Cette méthode est adaptée à la recherche d’une composante harmonique dans un signal d’échantillonnage aléatoire pour l’application aux mesures de vitesse acoustique pure par LDV [28]. À partir du calcul de

Xf = 1 N N X i=1 uicos 2π f ti et Yf = 1 N N X i=1 uisin 2π f ti (2.5)

(32)

Figure 2.6: Courbes illustrant les étapes de traitement du signal du signal LDV. (a) mesures brutes du signal LDV, (b) mesures regroupées sur une période acoustique et (c) signal ré-échantillonné uniformément. (d) et (e) sont des zooms des courbes (b) et (c). Issu de la thèse de Solenn Moreau [54].

par itération sur f , puis de

Uf =2

q

X2_f +Y2_f , (2.6)

la fréquence se déduit par

fac =argmaxf

Uf

(2.7) avec argmaxf() correspondant à la valeur de f pour laquelle le maximum de Uf est trouvé.

Les mesures brutes de la vitesse peuvent alors être ramenées sur une période acoustique Tac

(figure 2.6.(b) et (d))

uj(x, r, tj) = ui(x, r, ti+Tac(i − 1)), (2.8)

où

tj=ti+Tac(i − 1), (2.9)

(33)

Le nombre de points L choisi pour ré-échantillonner le signal se calcule de sorte que le nouvel échantillonnage soit le plus fin possible par

L = f loor Tac maxj(tj+1− tj)

!

, (2.10)

avec f loor() l’entier inférieur le plus proche. L’intervalle de temps ∆t = Tac/L est choisi afin de

garantir la présence d’au moins un point de mesure entre deux temps tjet tj+1. La vitesse peut

alors être moyennée sur chaque intervalle de temps

tk= 2k − 1₂ ∆t , (2.11)

par (figure 2.6.(c) et (e))

uk(x, r, tk) = 1 Nk tj<t_Xk+∆t2 tj≥tk−∆t2 uj(x, r, tj) , (2.12)

avec Nk le nombre de points dans un intervalle.

À partir de ce résultat, il est possible d’obtenir la vitesse des écoulements redressés en moyennant ce signal ré-échantillonné sur une période acoustique

u2(x, r) = 1 L L X k=1 uk(x, r, tk) , (2.13)

et la vitesse acoustique axiale dans un intervalle k est donnée par

uac,k(x, r, tk) = uk(x, r, tk) − u2(x, r) . (2.14)

Ces étapes permettent d’obtenir L triplets de données (tk, uac,k, dk) permettant d’estimer les

paramètres Uacet φacdu signal acoustique, avec dkla densité du signal mesuré dans chaque

in-tervalle k. La méthode de détection synchrone est utilisée cette fois sur le signal ré-échantillonné pour déterminer la phase φac. Finalement, l’amplitude Uacest obtenue par la méthode des

moin-dres carrés pondérés élaborée indépendamment par Gauss [26] et par Legendre [46]. Pour plus de détails pour les différentes étapes de calcul, se référer à la thèse de Solenn Moreau [54].

2.1.2.2 Mesure proche paroi

Valière et al. font apparaître une particularité liée à la mesure en proche paroi qui est la dis-persion des données [91]. L’explication donnée dans leur article est que l’influence des réflexions des faisceaux sur la paroi ainsi que la pénétration du volume de mesure dans la paroi du tube peut générer cette dispersion. Cette explication n’est probablement pas suffisante pour expli-quer l’ampleur de cette dispersion. Une hypothèse supplémentaire à considérer est que dans la

(34)

couche limite acoustique, la vitesse est fortement soumise aux effets visqueux (Stokes). Ce profil est représenté sur la figure 2.7 dans le cas d’un guide d’onde de section carrée pour différentes phases du cycle acoustique. On montre qu’il existe un fort gradient de vitesse sur une distance allant de la paroi à 2δν. Dans cette étude, nous réalisons des mesures à des fréquences allant de

25 à 240 Hz, l’épaisseur de couche limite varie donc entre 1.4.10−4_mm_{et 4.4.10}−4_{mm. Le volume}

de mesure n’étant pas exactement ponctuel (on estime yvol=0.048.10−3mm), l’amplitude de la

vitesse oscillante ne peut pas être considérée pour constante dans ce volume.

Cette situation rend difficile l’estimation de la vitesse en proche paroi et peut aussi biaiser le calcul de certaines quantités relatives comme le taux de turbulence σ′

u, utilisé pour identifier

le changement de régime de l’écoulement oscillant (cf. §5.1.2). Ce taux est défini comme l’écart type de la mesure de vitesse u donné par

σu′(x, r, t_k) = 1 Nk tj<t_Xk+∆t2 tj≥tk−∆t2 uj(x, r, tj) − uk(x, r, tk) 2! 1 2 . (2.15)

Si l’écart-type est inhérent au principe de mesure, le taux de turbulence est surestimé artifi-ciellement en proche paroi. Ceci pourrait expliquer, sous réserve de vérifications plus avancées, les écarts notés dans les études des principaux auteurs.

0 5 10 −1 −0.5 0 0.5 1 Ph 1 uac / U c (y 0−y) / δν Ph 2 Ph 3 Ph 4 Ph 5 Ph 6 0 5 10 Ph 6 (y 0−y) / δν Ph 7 Ph 8 Ph 9 Ph 10 Ph 11 Ph 12 Ph 13 Ph 14 Ph 15 Ph 16 0 5 10 Ph 16 (y 0−y) / δν Ph 17 Ph 18 Ph 19 Ph 20 Ph 21

Figure 2.7: Profils théoriques de la vitesse acoustique dans les couches limites de Stokes en fluide laminaire oscillant dans un guide d’onde de section carrée.

Dans notre équipe, un programme permettant la simulation de mesures LDV à partir d’un modèle statistique a été réalisé dans l’objectif initial de tester les méthodes de traitement du signal [91]. Grâce à cet outil, il a été possible d’étudier l’influence du gradient de vitesse présent dans le volume de mesure.

(35)

gradi-22 Chapitre 2. Mesure par Vélocimétrie Laser

(a) (b)

Figure 2.8: Vitesse et intensité turbulente. (a) Simulation sans gradient de vitesse dans le volume de mesure. (b) Simulation avec un gradient de vitesse de 1.66m/s.

ent de vitesse dans le volume de mesure. Dans le cas d’une simulation sans gradient de vitesse, figure 2.8.a, l’écart type de la mesure provient du bruit ajouté dans le code. La figure 2.8.b représente le cas où un gradient est ajouté. Celui-ci est estimé à partir du profil théorique de Stokes. Le cas choisi correspond à une mesure expérimentale. La fréquence est égale à 25Hz et le gradient de vitesse dans le volume de mesure se trouvant dans la couche limite visqueuse, estimé à partir du profil théorique à la phase 6 (figure 2.7), est égal à 1.66m/s au point choisi (r − r0 =δν), pour une amplitude de vitesse acoustique U = 16.35m/s. On remarque un

épais-sissement de la courbe des points de mesure ramenés sur une période et donc une augmentation de l’écart type de la mesure.

Les résultats de cette analyse montrent qu’il est difficile de séparer le bruit lié à l’instrumen-tation ou à la mesure et le bruit lié à la turbulence. Il est donc nécessaire d’être très vigilant dans les interprétations des mesures concernant la transition à la turbulence dans le guide d’onde.

2.1.3 Application de la LDV à la mesure du vent acoustique

Grâce à la méthode détaillée au paragraphe 2.1.2.1 concernant le traitement du signal des mesures LDV, la détermination de la vitesse des écoulements redressés est directe, dès lors que le signal sinusoïdal de la vitesse est parfaitement estimé. En effet, les mesures LDV sont ramenées sur une période puis ré-échantillonnées uniformément et, la vitesse des écoulements redressés est obtenue en moyennant ces valeurs ré-échantillonnées (équation 2.13).

2.1.3.1 Mesure à faible fréquence d’échantillonnage

D’après Moreau, le nombre d’échantillons nécessaire pour avoir une mesure convergente pour l’estimation de l’écoulement du second ordre est de 40000 échantillons [54]. Cependant

(36)

cette quantité est parfois difficile à acquérir dans des zones où la densité de particules est très faible. La figure 2.9 illustre la non uniformité spatiale de l’ensemencement à partir d’un exemple d’image de l’écoulement prise à l’aide de la PIV (utilisant le même ensemencement). Les zones grises sont des zones dans lesquelles l’ensemencement est suffisant, les zones sombres sont des zones dans lesquelles le taux de particules d’ensemencement est extrêmement faible. Par ailleurs, comme il a été vu précédemment, la fréquence d’échantillonnage devient faible lorsque l’amplitude de la vitesse est petite car la fréquence d’échantillonnage est proportionnelle à la vitesse du fluide [91].

Figure 2.9: Photographie des traceurs dans l’écoulement. Les zones brillantes sont dûes à des réflexions du laser. Les zones sombres dans le guide d’onde sont des zones dans lesquelles ils y a très peu de particules.

La méthode de traitement du signal décrite au paragraphe 2.1.2.1 permet d’estimer la vitesse acoustique même pour un faible nombre d’échantillons de mesures mais elle n’est pas suffisante pour permettre le calcul de la vitesse du second ordre dans cette situation. Pour remédier à ce problème, Thompson et Atchley ont mis au point une méthode dans laquelle une mesure lagrangienne de la vitesse du vent acoustique est réalisée [88]. Dans le cas du calcul lagrangien du vent acoustique, chaque particule traversant le volume de mesure est suivie dans son mouvement et la moyenne temporelle de leur vitesse est estimée. La figure 2.10 montre deux signaux LDV bruts. Dans la première courbe (fig.2.10.a), on reconnaît le signal sinusoïdal lorsque la fréquence d’échantillonnage est très élevée. En revanche, la figure 2.10.b montre un signal à très faible échantillonnage. Ce dernier est trop faible pour reconnaître le signal sinusoïdal. En revanche, les points de mesure forment une ellipse qui correspond au passage répété d’une même particule dans le volume de mesure avec un léger « glissement » dû au vent acoustique que l’on veut estimer. En isolant chaque ellipse, il est possible de distinguer les particules et de réaliser cette estimation.

Thompson et Atchley montrent que la vitesse lagrangienne du second ordre estimée est égale à la vitesse eulerienne. En effet d’après Nyborg [62],

(37)

Figure 2.10: (a) Signal brut LDV lorsque la fréquence d’échantillonage est élevée. On reconnait la forme sinusoïdale du signal de vitesse.

(b) Signal brut LDV lorsque la fréquence d’échantillonage est faible. Une ellipse correspond aux différentes vitesses de la particule détectée. À noter que l’échelle temporelle de la figure (b) est dix fois plus grande que celle de (a).

~uL1+~uL2=~u1+~u2+

Z

~u1dt· ∇

!

~u1 . (2.16)

avec les indices 1 et 2 correspondant respectivement aux termes du premier ordre et aux termes du second ordre de la vitesse et où uLest la vitesse lagrangienne et u est la vitesse eulerienne.

Pour une onde stationnaire de la forme

~u1=U1cos(ωt) sin(2πx λ )~x , (2.17) l’équation 2.16 donne ~uL1+~uL2=~u1+~u2+ U2₁ 4c sin(2ωt) sin( 4πx λ )~x . (2.18)

En limitant le terme de droite à l’ordre O(M), on obtient l’égalité des termes du premier ordre uL1 = u1. Puis, en moyennant l’équation (2.18), il est finalement montré que les vitesses du

(38)

2.2. Vélocimétrie à Image de Particules 25

À partir de la méthode de la moyenne de Fourier (Fourier Averaging en anglais), proposée par Sonnenberger et al. [82], pour calculer la vitesse particulaire d’un écoulement périodique, la position de la particule peut être estimée en intégrant cette vitesse par

Dm(t) = d0+Y0Lt +ℜ        X k Yk 2iπk fe2iπk f t        (2.19)

avec Ykles coefficients de Fourier complexe.

Cette méthode n’est applicable que dans le cas de faibles fréquences d’échantillonnage pour lesquelles les ellipses sont dissociables les unes des autres. Ainsi, dans la suite de ce travail, le traitement utilisé pour estimer le vent acoustique à partir des mesures réalisées à l’aide de la LDV dépendra de la fréquence d’échantillonnage de chaque point de mesure. La méthode ne sera pas précisée dans chaque cas. Nous avons vérifié, dans le cas où les deux méthodes sont applicables (cas à fréquences d’échantillonnage intermédiaire) que les résultats étaient proches.

2.2 Vélocimétrie à Image de Particules

2.2.1 Principe de fonctionnement

La Vélocimétrie par image de particules, appelée PIV pour « Particle Image Velocimetry », est une méthode de mesure optique non invasive qui permet d’accéder au champ de vecteur de vitesse instantanée dans un plan de l’écoulement [94].

Comme le montre la figure 2.11, une source laser génère deux impulsions lumineuses séparées d’un intervalle de temps ∆t = t2− t1 qui doit être réglé en fonction de la vitesse à

mesurer. Ces impulsions traversent un dispositif optique (une lentille cylindrique) transformant les faisceaux en une nappe laser. Les particules en suspension dans l’écoulement sont alors éclairées sur la zone à mesurer. Une caméra CCD, synchronisée par rapport au déclenchement des impulsions lumineuses enregistre la lumière émise par les particules à chaque impulsion. Les particules sont repérées sur les deux images, la distance parcourue par chaque particule d peut alors être mesurée. La vitesse de chaque particule peut ainsi être estimée par la relation

V = d

∆t. (2.20)

∆t étant connu, le problème réside donc dans l’estimation de la distance d. Généralement, celle-ci est déterminée par des techniques de corrélation d’images. Les clichés, qui sont des cartographies en niveaux de gris (figure 2.9 par exemple), sont découpés en fenêtres d’inter-rogation de largeur ajustable puis les fonctions d’inter-corrélation entre les fenêtres des deux clichés sont calculées. Lorsque les réglages sont bien déterminés, la fonction d’inter-corrélation présente un pic dont la position permet de déterminer la longueur, la direction et le sens du