Cas entre deux plaques

3.1.3 Cas tri-dimensionnel . . . 37

3.2 Écoulements redressés dans un guide d’onde de section carrée . . . . 38

3.2.1 Dispositif expérimental . . . 38 3.2.2 Visualisation 3D du vent acoustique . . . 40 3.2.3 Résultats . . . 46

3.3 Conclusion . . . . 50

L’étude des écoulements redressés constitue une partie importante des travaux consignés dans ce manuscrit. Le présent chapitre se penche sur une étude originale dans laquelle la spé- cificité des écoulements redressés dans guide d’onde de section carrée est recherchée.

Les résultats présentés dans ce chapitre ont été obtenus suite à un séjour de quatre mois réalisé à l’Université McGill de Montréal dans l’équipe du Professeur Luc Mongeau. Ce chapitre a fait l’objet d’une communication lors d’un congrès international avec actes [72] dont l’acte est fourni en fin du mémoire.

À la différence de la suite de ce travail qui revêt un caractère plus fondamental, l’objectif de ce présent chapitre est d’étudier un cas s’apparentant davantage à un système réel. En effet, les développements théoriques permettant d’estimer le vent acoustique réalisés jusqu’ici ne sont pas valables dans la couche limite visqueuse δν(e.g. [69]) ou ont été réalisées pour une configu-

ration cylindrique (e.g. [7]). Or, dans les systèmes réels, les écoulements redressés apparaissent notamment dans les stacks thermoacoustiques. Le stack est généralement constitué de canaux rectangulaires suffisamment larges pour permettre à l’onde acoustique de subsister tout en étant suffisamment étroits pour que les échanges thermiques soient optimaux. Cependant les écoulements redressés sont accusés de perturber les échanges thermiques qui ont lieux dans ces géométries complexes. Il est donc utile d’améliorer les estimations des effets dus au écoulement redressés dans une configuration plus proche des cas réels. C’est pourquoi, dans ce chapitre, il est proposé une étude expérimentale des écoulements redressés en canal à section carrée, une

34 Chapitre 3. Écoulements redressés en guide de section carrée

attention particulière étant portée aux effets de proche paroi.

Des mesures quantitatives du vent acoustique dans des guides d’onde stationnaire ont déjà été réalisées [14, 88, 89, 58, 79]. Les études expérimentales de Sharpe et al. [79] et de Thompson et Atchley [89] ont permis des comparaisons quantitatives de vitesses de vent mesurées et calculées dans la région centrale du résonateur à l’aide de mesures PIV ou LDV. Des études réalisées par Moreau et al. [55] ont permis des comparaisons dans la région centrale mais aussi proche de la paroi du résonateur.

En ce qui concerne le cas spécifique du guide de section carré, une étude expérimentale à été effectuée à l’aide de la PIV par Nabavi et al. [58]. Celle-ci a été réalisée au centre du guide et ne considère pas les effets tri-dimensionnels. De plus, ces mesures ont été effectuées pour des cas de nombres de Reynolds élevés afin d’étudier l’évolution du vent lorsqu’il devient rapide. Les auteurs observent une déformation du vent dont on peut se demander si elle est universelle ou si elle est typique de la géométrie du guide, lorsque les niveaux acoustiques deviennent importants. L’objectif de la présente étude n’étant pas de caractériser le vent rapide mais de déterminer la spécificité du vent en canal à section carrée, les mesures sont dans notre cas réalisées à un niveau acoustique relativement bas, ce qui permet de rester dans le régime linéaire des écoulements redressés.

Dans un premier temps, une présentation rapide des expressions théoriques pour les écoule- ments redressés dans divers géométries est faite. Puis, avant de procéder à l’étude des résultats obtenus, une partie de ce chapitre traite de la représentation en trois dimensions du vent acous- tique dans un guide cylindrique en vue de mieux comprendre les spécificités de ce vent en géométrie complexe.

3.1 Théorie linéaire des écoulements redressés

Le vent acoustique qui est à l’étude dans ce mémoire est celui dit de « Rayleigh » qui résulte de l’interaction entre une onde acoustique stationnaire et une paroi solide. Les premiers calculs analytiques de Rayleigh prédisent que, pour toutes géométries, la vitesse longitudinale usau

niveau de l’interface entre la couche limite et l’extérieur (appelée la « slip velocity » en anglais) est donnée par

us= −1

4ωA(x) dA(x)

dx , (3.1)

avec A(x) l’amplitude de la vitesse acoustique de pulsation ω, en dehors de la couche limite le long de l’axe x du guide.

3.1. Théorie linéaire des écoulements redressés 35

s’écrire sous la forme

uac(x, t) = Uac(x) cos (ωt) = A sin (2kx) cos (ωt) , (3.2)

où A est l’amplitude de la vitesse acoustique et k le nombre d’onde.

L’expression 3.1 permet d’aboutir aux expressions développées dans la suite en l’adaptant aux différentes géométries.

3.1.1 Cas entre deux plaques

Dans le cas d’un canal bi-dimensionnel formé par deux plaques, l’une située en y = 0 et l’autre en y = 2y1, la solution établie par Rayleigh valable pour un vent lent s’écrit

u2x = A 2

4c0sin (2kx)

" 1

2e−2y/δν+e−y/δνcos  y δν  + 2e−y/δνsin y δν  + + 3 4 − 9 4 1 − y y1 !2# , (3.3) u2y = A 2 8c0kδνcos (2kx) " 1

2e−2y/δν+3e−y/δνcos  y δν  + e−y/δνsin y δν  + 3 2 y1 δν       1 − y y1 ! − 1 − y y1 !3      # . (3.4) sous l’hypothèse de guide large, c’est à dire que la couche limite est négligeable devant la largeur du canal.

En dehors de la proche paroi, les termes en e−y/δνsont négligeables. Les expressions précédentes

deviennent u2x = 3A 2 16c0sin (2kx) " 1 − 3 1 − y y1 !2# , (3.5) u2y = 3A 2 16c0ky1cos (2kx) " 1 − y y1 ! − 1 − y y1 !3# . (3.6)

Les variations transverses de la composante axiale de la vitesse sont représentées figure 3.1.a. On remarque que l’amplitude de la vitesse de glissement est deux fois plus grande que la vitesse au centre du guide.

Comme nous le verrons par la suite, ces solutions ne sont pas valables en très proche paroi car elle ne satisfont pas les conditions aux limites pour la vitesse.

36 Chapitre 3. Écoulements redressés en guide de section carrée

(a) (b)

Figure 3.1: Profil théorique de la composante axiale du vent acoustique selon la composante transverse en dehors de la proche paroi : (a) dans le cas entre deux plaques parallèles (eq.3.4), (b) le cas d’un guide cylindrique (eq.3.7).