Présentation de l’outil numérique

6.6 Conclusion . . . 133

Dans le chapitre 3 introduisant le vent acoustique, l’écoulement présenté, hormis les dif- férences dues à la géométrie du résonateur étudié, est en accord avec les résultats théoriques. Les équations servant à décrire les écoulements redressés sont, dans ce cas, linéaires. Dans le présent chapitre, les résultats présentés concernent l’évolution des écoulements redressés dans un guide d’onde cylindrique pour des niveaux acoustiques élevés, situation pour laquelle les résultats expérimentaux s’éloignent des prédictions théoriques.

Peu d’études concernant le vent acoustique rapide sont disponibles dans la littérature. Les résultats expérimentaux disponibles [55, 58, 89] font apparaître de fortes déformations des cel- lules des écoulements redressés pour des niveaux acoustiques élevés. Cependant, l’origine de ces déformations reste à ce jour imprécise. L’étude du vent acoustique rapide est importante car cet écoulement est présent dans les machines thermoacoustiques pour lesquelles les niveaux acoustiques sont très élevés (cf. Chap.1). Il est donc nécessaire de comprendre au mieux son

100 Chapitre 6. Écoulements redressés en guide de section cylindrique

évolution pour, à terme, d’estimer les pertes associées.

Avant de présenter les résultats, il est important de présenter les équations décrivant le vent acoustique pour faire apparaître quelles peuvent être les sources de non linéarités. Pour cela, les équations sont détaillées à partir des équations fondamentales (§ 6.1.1). Ensuite, les résultats de mesures laser présentant l’évolution du vent acoustique avec l’augmentation des niveaux acoustiques du résonateur seront décrits (§ 6.1.2). Le comportement transitoire étant générale- ment riche en enseignements phénoménologiques, une attention particulière sera portée sur l’évolution temporelle de ces écoulements (§ 6.2). Puis, plusieurs phénomènes pouvant être à l’origine de l’évolution forts niveaux sont étudiés : l’influence de la propagation non linéaire dans le guide (§ 6.3) et les conditions thermiques des parois du résonateur (§ 6.4). Enfin, dans la dernière section, la comparaison avec les résultats d’une étude numérique du problème, réalisée par l’équipe de thermoacoustique du LIMSI, sera présentée.

6.1 Étude de l’évolution du vent acoustique rapide

6.1.1 Étude théorique

6.1.1.1 Les équations fondamentales

La méthode suivie ici pour la description théorique du vent acoustique est celle retenue par Menguy et Gilbert [52]. Pour décrire le vent acoustique, les équations 1.1 et 1.2 sont combinées pour donner ∂ ∂t ρ~u
− ~F = −~∇P + µ∇ 2_{~u +}_{η +} µ 3  ~ ∇(~∇ · ~u) , (6.1) avec

~F = −ρ(~u · ~∇)~u − ~u~∇ · ρ~u . (6.2) La méthode des approximations successives est appliquée

P = P0+p1+p2 , ~u = ~u1+~u2 , ρ = ρ0+ρ1+ρ2 . (6.3)

et les quantités du premier ordre ρ1, p1et ~u1sont supposées varier en eiωt.

Le vent acoustique étant la composante continue des quantités du second ordre, l’équation 6.1 est développée à l’ordre 2 puis moyennée dans le temps (représenté par le symbole < >) ce qui permet d’obtenir une expression pour ~F :

− ~F = hρ0(~u1· ~∇)~u1+ρ0~u1(~∇ · ~u1)i = −~∇p2+µ∇2~u2+  η + µ₃  ~ ∇(~∇ · ~u2) . (6.4)

6.1. Étude de l’évolution du vent acoustique rapide 101

pressible, impliquant ~∇ · ~u2 =0. Nyborg [61] en déduit

~F = ~∇p2+µ∇2∧ ~u2 . (6.5)

~F peut donc être interprété comme une force extérieure appliquée à un écoulement stationnaire incompressible [62].

Comme le montre Lighthill [49], ceci permet de déduire que le vent acoustique a pour origine une variation spatiale du tenseur de Reynolds. En effet, la quantité hρuiuji correspond

au transport de la composante selon xjde la quantité de mouvement ρujselon xià travers une

surface unitaire par la vitesse ui, c’est à dire au flux de quantité de mouvement moyen par unité

de surface. Si celui-ci varie selon xi, alors on a une force Fj=−∂xi(hρuiuji) dans la direction xiet

l’équation décrivant le mouvement moyen eulérien ujgénéré par cette force est

ρ huii ∂huji ∂xi ! =Fj− ∂hpi ∂xj +_µ∇2_huji . (6.6)

Ceci permet de faire apparaître que les effets d’inertie du vent sont négligés devant les effets visqueux, car 6.6 devient 6.5 dans le cas où ρhuii∂hu_∂xjji



est négligé.

Un développement plus précis est proposé par Menguy et Gilbert [52] sur la base de la projection de l’équation de Navier-Stokes (eq. 1.1) sur l’axe du guide (Ox)

ρ ∂u ∂t +u ∂u ∂x +v ∂u ∂r ! =₋∂P ∂x +µ " ∂2 ∂x2 + 1 r ∂ ∂r r ∂ ∂r ! # u +(η +µ 3) ∂ ∂x ∂u ∂x + 1 r ∂ ∂r(rv) ! , (6.7) avec u la composante de vitesse longitudinale (selon (Ox)) et v la composante de vitesse radiale (selon (Or)). Pour ce développement, l’adimensionnement des équations de base de l’acoustique faiblement non linéaire inclut la composante continue d’ordre 2 et repose sur l’écriture aux ordres de grandeurs successifs [52]. Les équations 1.10 sont remplacées par

u =c0(M ˆua+M2ˆus) , ρ =ρ0(1 + M ˆρa+M2ˆρs) , P =P0(1 + M ˆPa+M2ˆPs) , (6.8) T =T0(1 + M ˆTa+M2ˆTs) , S = S0+Rg(M ˆSa+M2ˆSs) . avec Xa=X1a+MX2a+· · · (6.9) Xs=X2s+MX3s+· · · (6.10)

102 Chapitre 6. Écoulements redressés en guide de section cylindrique

Finalement, le développement à l’ordre 3 de l’équation 6.7 dans le corps du résonateur donne ˆu2s∂ ˆu2s ∂ ˆx + ˆv2s ∂ ˆu2s ∂ ˆr1 = f(x) + Sh2 M2 |{z} (a) 1 ˆr1 ∂ ∂ ˆr1 ˆr1 ∂ ˆu2s ∂ ˆr1 ! , (6.11)

le symbole ∧ repérant les variables adimensionnées définies par les équations 1.10.

6.1.1.2 Le nombre de Reynolds non linéaire ReNL

Le développement théorique précédent fait apparaître un terme non linéaire engendré par l’inertie du fluide dans les écoulements redressés. Ce terme non linéaire est contrôlé par un paramètre adimensionnel, le terme (a) de l’équation 6.11. Ce nombre, appelé le nombre de Reynolds non linéaire,

ReNL = M 2 Sh2 =  A c0 2_{ R} δν 2 (6.12) est le rapport des termes advectifs et visqueux. Il traduit l’influence de l’inertie du fluide sur les écoulements redressés. Pour un fluide donné, une géométrie et une fréquence fixés, ReNLest

fonction de l’amplitude acoustique seulement. Dans le cas où ReNL<< 1, le vent est dit « lent »,

le régime est linéaire et le vent acoustique correspond au schéma de Rayleigh, c’est à dire que les profils hors proche paroi sont bien paraboliques (cf. Chap. 3). Pour ReNL≥ 1, le vent est dit

« rapide », le régime est non linéaire. Les particularités de ce régime sont mises en évidence dans la suite de ce chapitre.

6.1.2 Évolution du vent avec le nombre de Reynolds

La plupart des études précédentes concernent des mesures de vent acoustique pour de faibles nombres de Reynolds non linéaires dans des résonateurs à onde stationnaire. Par exem- ple, les études de Arroyo et Greated [5], Hann et Greated [34] et Sharpe et al. [79] sont réalisées pour des nombres de Reynolds non linéaire ReNL = 1, 3 et 4 et pour des fréquences de 1600 à

2460Hz. La vitesse des écoulements redressés a été mesurée à l’aide de la PIV et dans les trois études, les résultats sont en accords avec les prédictions de Rott (cf. § 3.1.2). Cependant ces études ne sont pas très récentes et étaient limitées notamment par les techniques de mesures optiques. Depuis quelques années de nouvelles études concernant les écoulements redressés rapides, c’est-à-dire lorsque ReNL ≥ 1, sont apparues [18, 52, 55, 58, 89]. Le tableau 6.1 recense

les paramètres des études de la littérature. Dans chaque étude, expérimentale ou numérique, les auteurs observent une déformation des cellules de vent acoustique par rapport à leur forme toroïdale d’origine. Cependant, certains auteurs remarquent une consistance dans cette dé- formation [89, 55], tandis que Nabavi et al. considèrent que les cellules se déforment de façon irrégulière [58]. Si la déformation du vent pour de forts niveaux acoustique est un point commun entre toutes ces observations, les phénomènes responsables de cette modification du schéma spatial du vent ne sont que rarement discutées. La première explication qui a été donnée est celle

6.1. Étude de l’évolution du vent acoustique rapide 103

Auteurs Fréquence ReNL

Menguy et Gilbert [52] adim. ≈ 0 à 4 Thompson et al. [89] 308 Hz 0.36 à 20

Moreau et al. [55] 88 et 114 Hz 0.5 à 220 Nabavi et al. [58] 666-1310 Hz 6 à 75

Table 6.1: Tableau récapitulatif des principaux travaux réalisés sur l’étude du vent acoustique rapide.

de Menguy et Gilbert. Dans leurs travaux, la distorsion du profil de la composante axiale de la vitesse des écoulements redressés apparaît lorsque les termes d’ordres supérieurs sont inclus dans le calcul du vent [52]. Ils observent alors une distorsion des cellules du vent acoustique qui se présente sous la forme d’un déplacement du maximum de la vitesse de l’écoulement vers les ventres de vitesse acoustique, et d’une légère diminution de la valeur de son amplitude. Ici la nature théorique de l’étude permet de remonter facilement à l’origine de la distorsion : l’inertie du vent ne peut plus être négligée pour des niveaux acoustique importants, c’est à dire pour ReNL > 1. Plus tard, Thompson et al. ont réalisé des mesures LDV de la vitesse des

tourbillons externes pour des nombres de Reynolds non linéaires de 2 à 20 [89]. Ils observent que le profil de cette vitesse s’écarte du profil théorique lorsque ReNL > 1 et que cette déforma-

tion est considérablement influencée par la valeur de l’écart axial de température le long de la paroi du guide. De plus, ils remarquent que pour ReNL=2, la vitesse des écoulements redressés

est plus proche des prédictions de Rott que de celles de Menguy et Gilbert, ce qui suggère que l’influence de l’inertie est minime par rapport à celle d’un gradient de température. Au vu de la différence des résultats disponibles dans la littérature, deux objectifs pour cette étude apparaissent. Le premier est de réaliser des mesures pour des nombres de Reynolds plus élevés que ceux disponibles dans la littérature afin d’observer l’évolution du vent acoustique rapide. Le deuxième objectif est de mieux comprendre l’origine de la déformation du vent acoustique. De plus, dans le chapitre 4 portant sur l’étude de l’influence des convergents, les mesures réalisées par Solenn Moreau sur le banc de mesure à la fréquence de résonance du guide d’onde correspondant au premier mode de résonance ont été présentées. Les résultats présentés sur la figure 6.1 ont été obtenus à l’aide de la LDV. Ces résultats permettent d’observer une déformation du schéma du vent acoustique lorsque le nombre ReNL augmente. L’amplitude

adimensionnée de la composante axiale de la vitesse du vent diminue jusqu’à devenir négative. C’est à dire qu’il y a apparition d’une cellule de vent supplémentaire. Puis lorsque l’amplitude acoustique augmente encore, cette cellule disparaît. De plus, les profils radiaux réalisés proche du convergent (fig.6.1(a)) font appraître la formation d’une cellule interne supplémentaire. Enfin, dans ces résultats la forme des cellules semble conserver une symétrie longitudinale par rapport à la position du maximum de la vitesse de vent théorique x = λ/8. Mais comme une partie des mesures se trouve en amont de la distance de stabilisation de l’écoulement, aucune conclusion ferme ne pouvait être donnée. Des mesures complémentaires étaient nécessaires

104 Chapitre 6. Écoulements redressés en guide de section cylindrique

(a)

(b)

Figure 6.1: (a) Évolution des écoulements redressés en proche paroi à x = λ/16 ; cyan : ReNL=30,

rose : ReNL = 51, bleu : ReNL = 100, noir : ReNL = 118. (b) Profil des mesures de la vitesse des

écoulements redressés au centre du guide d’onde, u2,c, normalisée par l’amplitude de la vitesse

des écoulements redressés théorique, 3A2

8c , le long du guide d’onde, x, pour ReNL = 0.5 (noir),

ReNL = 5 (jaune), ReNL = 13 (rouge), ReNL = 30 (cyan), ReNL = 51 (rose) et ReNL = 100 (bleu)

( f = 88Hz) ; - - : résultat théorique de Rayleigh ; — : résultat théorique de Bailliet et al.. (d’après [54])

6.1. Étude de l’évolution du vent acoustique rapide 105

pour observer une cellule complète de l’écoulement à distance du convergent. Cette constatation fait apparaître un troisième objectif à cette étude qui est de lever le doute sur les mesures antérieures.

6.1.2.1 Procédure expérimentale

Figure 6.2: Schéma récapitulatif des différentes expériences menées pour l’étude du vent acous- tique.

Il a été observé dans le chapitre 4 qu’il est possible de s’affranchir des effets liés aux conver- gents en réalisant les mesures à un mode supérieur du résonateur. Différentes séries de mesures ont été réalisées pour permettre la qualification la plus précise possible de l’évolution du vent acoustique rapide. Des profils axiaux au centre du guide ont été réalisés par LDV, ainsi que des profils radiaux (en bleu sur la figure 6.2). Ensuite, pour obtenir une cartographie des cellules du vent acoustique, des mesures des champs de vitesse ont été réalisées par PIV (fenêtre de mesure en rouge sur la figure 6.2. La figure 6.2 représente un schéma récapitulatif des expériences réalisées. Le tableau 6.2 recense les mesures faites pour décrire le vent rapide.

La procédure principalement utilisée en dehors de la zone proche paroi pour la détermi- nation de la vitesse des écoulements redressés à l’aide de la LDV est celle décrite dans la section 2.1.3. Les mesures brutes sont ramenées sur une période puis ré-échantillonnées unifor- mément. La vitesse est alors déduite en faisant la moyenne de ces valeurs ré-échantillonnées. Cependant, lorsque la fréquence d’échantillonnage est faible (absence de particules d’ense- mencement ou mesure proche paroi), cette méthode n’est pas satisfaisante. Dans ce cas, la méthode utilisée pour la détermination de la vitesse sera celle développée par Thompson et al.

106 Chapitre 6. Écoulements redressés en guide de section cylindrique Fréquence (Hz) A (m/s) ReNL 240 2.7 1.14 6.2 6.2 9.5 14.8 14.1 32.2 22.7 84 26.2 111

Table 6.2: Caractéristiques des différentes expériences expériences menées pour la caractérisa- tion du vent acoustique rapide.

[88], décrite dans la section 2.1.3.1.

Une série de mesures a également été réalisée à l’aide de la PIV. Pour permettre une mesure de la cellule entière (environ 30 cm), la mesure a dû être effectuée en plusieurs étapes. Deux caméras synchronisées sur le signal acoustique sont utilisées pour ces mesures de sorte que les clichés sont acquis simultanément par les deux caméras. Ces deux images sont alors assemblées dans le logiciel de calcul (DAVIS) afin de réaliser les corrélations sur le champ total des deux caméras. Ensuite, l’ensemble caméras+laser est déplacé pour réaliser les mesures sur la seconde moitié de la cellule. Pour être certain de la validation de cette méthode, les champs mesurés aux deux positions sont partiellement chevauchés. Le même processus d’acquisition et de corrélation est réalisé sur les images prises à la deuxième position. Pour une meilleure compréhension de la disposition des caméras et du laser, des photos de l’ensemble sont réunies dans l’annexe A. À chaque position, un ensemble de 500 paires d’images est acquis pour obtenir une moyenne valide. Finalement, les champs de vitesse présentés dans la suite résultent de la juxtaposition des champs mesurés.

6.1.2.2 Régime linéaire : ReNL =1

Dans le cas linéaire du vent acoustique correspondant à ReNL=1 , comme attendu d’après

des études précédentes [5, 54, 79, 89], les profils présentés figure 6.3.a suivant l’axe central du guide sont en accord avec la valeur théorique prédite par Rayleigh (présentée dans le Chapitre 3). Le schéma d’onde de la composante axiale de la vitesse au centre du guide correspond bien à un profil sinusoïdal de périodicité spatiale λ/2, λ étant la longueur d’onde acoustique et d’amplitude 3A2_/8c

0. Les profils radiaux de la vitesse sont tracés figure 6.3.c. Un léger écart

est visible entre les mesures PIV en rouge et les mesures LDV en bleu car ces dernières ont été réalisées à un nombre de Reynolds ReNLlégèrement plus bas (du fait des aléas de la mesure).

Néanmoins, dans les deux cas, on observe que la variation de la composante axiale du vent selon l’axe transverse du guide est parabolique, excepté proche de la paroi.

La figure 6.3.b représente une cartographie de la composante axiale de la vitesse du vent acoustique. Les couleurs jaunes à rouges représentent une vitesse positive, c’est à dire que la

6.1. Étude de l’évolution du vent acoustique rapide 107

Figure 6.3: ReNL=1. (a) Profils de la vitesse du vent acoustique au centre du guide : (•) mesures

LDV,•mesures PIV comparées à la théorie de Rayleigh (-).

(b) Cartographie de la composante axiale de la vitesse du vent acoustique. (c) Profils radiaux (_•) mesurés par LDV, (_•) mesurés par PIV.

108 Chapitre 6. Écoulements redressés en guide de section cylindrique

Figure 6.4: ReNL = 1. Cartographie de la composante axiale de la vitesse du vent acoustique.

Les cellules tracées sont une interprétation des lignes de courant des écoulements redressés déduite des champs de vitesse mesurés.

composante axiale de la vitesse de l’écoulement est dirigée vers la droite de la figure. La couleur verte est choisie pour les vitesses nulles, dans ces zones la composante transverse de la vitesse (non représentée ici) n’est plus négligeable. Enfin, la couleur bleue représente les zones dans laquelle la vitesse est négative. Pour une meilleure lecture de ces cartographies, la figure 6.4 donne une représentation grossière des lignes de courant des cellules des écoulements redressés tracée d’après l’interprétation du champ de vitesse mesuré. En raison de la forte courbure du guide, l’observation des cellules internes dont l’épaisseur est d’environ 3δν≈ 1mm, est difficile.

Sur les cartographies présentées, il n’est possible de discerner qu’environ la moitié d’une cellule interne. Notons que les cellules externes n’ont pas réellement une forme parfaitement elliptique comme sur la présentation schématique de la figure 1.4. En effet, le centre de la cellule (la zone verte entre la rouge et la bleue) se situe à r = ±0.7R.

Il est important de noter que nos mesures sont effectuées sur des cellules entières. De plus, deux cellules consécutives sont mesurées par LDV ce qui permet d’observer la symétrie des résultats (voir figure 6.3.a). Il est intéressant aussi de noter la grande cohérence des résultats issus des mesures PIV et LDV. Cependant, une différence apparaît dans les profils radiaux, dans la zone très proche paroi. Cette différence provient du fait que dans cette zone, la mesure PIV est affectée par le dioptre lié au rayon de courbure du résonateur.

6.1. Étude de l’évolution du vent acoustique rapide 109 6.1.2.3 Régime non linéaire : ReNL =6 et ReNL =14

Les précédentes études [89, 55, 58], ont montré que lorsque ReNL> 1, les profils des vitesses

ne sont plus sinusoïdaux dans leur variation selon l’axe longitudinal du guide et les profils radiaux ne sont plus paraboliques. La figure 6.5 représente les différents résultats obtenus pour ReNL=6.

En observant l’évolution de la composante axiale de vitesse au centre du guide (figure 6.5.a), on remarque que comme prévu, ce profil s’écarte du profil sinusoïdal théorique. Conformément aux résultats de Thompson et al. [89], on observe une diminution de l’amplitude par rapport à la valeur théorique 3A2_/8c

0. De plus, le maximum de la vitesse n’est plus positionné à x = λ/8,

cette position est décalée vers le nœud de vitesse acoustique. Cette évolution est contraire aux observations de Menguy et Gilbert qui ont observé un sens de distorsion opposé. La cellule externe n’est plus symétrique par rapport à x = λ/8, ce qui est en accord avec les résultats de Moreau [54]. La figure 6.5.d montre le profil de la composante axiale de la vitesse des écoule- ments redressés le long de l’axe du guide à la position radiale r = 3δν correspondant à la

position transverse de limite entre la cellule externe et la cellule interne. Le profil mesuré est en accord avec les équations 3.9. On peut donc dire que seules les cellules externes subissent une déformation, les cellules internes restant proches de leur forme à bas niveau.

La figure 6.6 représente les mesures de la vitesse des écoulements redressés pour ReNL =14.

À noter que la discontinuité à la position (x ≈ λ/8, y ≈ −0.5) de la figure 6.6.b est due à un reflet présent lors de la mesure PIV. La figure 6.6 montre que lorsque le nombre de Reynolds non linéaire augmente, la déformation des écoulements redressés s’accentue. Les figures 6.6.a et 6.6.b montrent que la vitesse au centre du guide tend vers zéro. Cependant, le vent acoustique proche de la paroi ne semble toujours pas être perturbé (figure 6.6.b et c). Le profil de la vitesse au centre du guide représenté sur la figure 6.6.a montre que la position du maximum de la vitesse axiale est déplacée davantage vers le nœud de vitesse acoustique. On peut observer de plus sur cette figure une étonnante rupture de pente à la position x = λ/4 correspondant au ventre de vitesse acoustique. Notons que la symétrie du profil suivant l’axe central du guide des deux cellules est toujours présente ce qui permet de conforter les mesures. De plus, la répétabilité des mesures a été vérifiée ce qui va à l’encontre des résultats de Nabavi et al. qui observent une déformation irrégulière du vent [58].

6.1.2.4 ReNL ≥30

La figure 6.7 regroupe les résultats obtenus pour la mesure du vent acoustique à ReNL=30. À

partir de cette valeur de ReNL, la composante axiale de vitesse au centre du guide passe par zéro

(figure 6.7.a), ce qui traduit l’apparition d’une nouvelle cellule contra-rotative. L’apparition d’un tourbillon supplémentaire a également été observé par Solenn Moreau, mais pour ReNL = 50

[54]. Dans ses résultats, qui ont seulement pu être interprétés à partir des profils axiaux et radiaux réalisés par LDV, le double passage à zéro de u2,c(courbe magenta de la fig. 6.1) a été

vu comme l’apparition de trois tourbillons entre x = 0 et x = λ/4. Dans nos mesures, le champ de vitesse de la composante axiale de vitesse représenté en figure 6.7.b permet d’observer que