5.2 Formulation théorique de la vitesse particulaire dans les couches limites de Stokes
5.3.1 Procédure
5.4 Conclusion . . . . 96
Lors de la thèse de Solenn Moreau [54], des mesures ont été réalisées en augmentant pro- gressivement l’amplitude de la vitesse et donc le nombre de Reynolds à différentes fréquences dans le but de compléter le diagramme de stabilité (présenté dans le chapitre 1) pour des fréquences audibles. Cependant, la forme d’onde du mode de résonance étudiée impliquait la position des ventres de vitesse particulaire acoustique à proximité des convergents. Comme nous l’avons montré dans le chapitre précédent (Chap. 4), les discontinuités liées au conver- gent sont susceptibles d’altérer les écoulements induits par l’acoustique fort niveau. Dans le cadre du présent travail, des mesures de la vitesse particulaire acoustiques sont réalisées à des fréquences correspondants à d’autres modes de résonance tels que des ventres de vitesse se trouvent éloignés des convergents (voir fig. 4.14). Les mesures peuvent être ainsi effectuées loin des discontinuités perturbatrices.
Le phénomène de transition à la turbulence des écoulements oscillants aux fréquences au- dibles est très peu documenté. Pourtant cette question est importante, par exemple dans les machines thermoacoustiques pour estimer les pertes d’énergie acoustique liées à la dissipation turbulente. En revanche, un certain nombre de travaux concernent l’étude de la stabilité de la couche limite de Stokes pour des fréquences plus basses que les fréquences acoustiques. Ces études, autant théoriques que pratiques, s’étendent à de nombreux domaines allant des écoule- ments côtiers aux écoulements biologiques. Les résultats expérimentaux obtenus aux cours des dernières décennies tendent à prouver que les écoulements oscillants ont tendance à devenir instables lorsque la vitesse instantanée de l’écoulement devient suffisamment grande. Malgré l’étendue des travaux effectués, la valeur du nombre de Reynolds à partir duquel l’écoule- ment devient instable (nombre de Reynolds critique Rec) est encore sujet à questionnement (les
80 Chapitre 5. Étude de la couche limite de Stokes
estimations diffèrent parfois d’un facteur supérieur à deux). Les difficultés principales pour comparer convenablement les différents résultats peuvent provenir de nombreux facteurs : par exemple, les différences de conditions d’études et notamment des conditions expérimentales, la diversité des paramètres et en particulier des nombres sans dimension utilisés pour caractériser l’écoulement ou encore les multiples simplifications effectuées dans les études théoriques de stabilité.
Dans un premier temps, nous allons détailler les principaux résultats connus de la littérature en ce qui concerne la couche limite des écoulements continus puis en ce qui concerne celle des écoulements oscillants. Par la suite on décrira la théorie laminaire des couches limites de Stokes. Enfin on présentera les résultats de nos mesures laser effectuées pour l’étude de la transition à la turbulence dans un guide d’onde cylindrique.
5.1 Éléments de bibliographie
Dans cette partie, on va principalement s’attacher à décrire le phénomène de transition à la turbulence dans un fluide oscillant à travers une revue des principaux travaux disponibles dans la littérature. L’étude de ce type d’écoulement s’appuyant largement sur la méthodologie mise en œuvre pour la turbulence en écoulement continu, nous en décrivons tout d’abord les résultats classiques principalement issus de [8, 40, 47, 76].
5.1.1 Couche limite des écoulements continus
En 1883, l’ingénieur irlandais Osborne Reynolds donne la description moderne du phéno- mène de transition vers la turbulence [70]. À partir d’expériences sur les écoulements dans des tubes, en observant la structure d’un filet de colorant dans l’écoulement, il a identifié plusieurs régimes. Pour de faibles vitesses le filet reste rectiligne sans dispersion visible : l’écoulement est laminaire (toutes les parties du fluide se déplacent dans la même direction, comme des lames qui glissent). En augmentant la vitesse, ce filet oscille puis le colorant envahit tout le tube : l’écoulement est devenu turbulent (avec des tourbillons dans lesquels la direction du mouvement change sans cesse). Reynolds a reproduit cette expérience en faisant varier le diamètre du tube D, la vitesse U ainsi que la viscosité cinématique du fluide ν. Il a ainsi mis en évidence le nombre caractéristique pour ce type d’écoulement sous la forme d’un paramètre sans dimension qui devint par la suite le nombre de Reynolds défini par
Re = UD
ν . (5.1)
On peut ainsi reprendre l’analyse précédente sur la transition : si le nombre de Reynolds est petit, l’écoulement sera laminaire, si ce nombre est grand, il sera turbulent. Le problème est que l’expérience a montré que la valeur critique du Reynolds n’était pas universelle, la transition est également liée à la nature et à l’intensité des perturbations.
5.1. Éléments de bibliographie 81
D’un point de vue théorique, l’état laminaire est solution des équations de Navier-Stokes. Si on observe un état turbulent on est amené à analyser la stabilité linéaire de l’état laminaire qui dépend du nombre de Reynolds. Cependant, même pour les écoulements les plus simples on observe un désaccord entre la valeur du nombre de Reynolds critique et sa valeur minimale pour laquelle on observe une turbulence soutenue. Aujourd’hui les expériences indiquent que le nombre de Reynolds de transition se situe dans l’intervalle : 2000 < Re < 10000.
Du fait de la condition d’adhérence sur la paroi, un gradient de vitesse se développe et il existe de ce fait une contrainte de cisaillement τpdans la direction de l’écoulement. À partir de
cette contrainte, on peut définir la vitesse de frottement uτ
uτ=
r τp
ρ . (5.2)
Cette vitesse est caractéristique de l’écoulement proche paroi, il est donc intéressant de consid- érer les grandeurs adimensionnées de vitesse et de longueur
u+= ¯u
uτ et y
+= uτy
ν . (5.3)
La distance adimensionnée à la paroi y+peut par ailleurs être interprétée comme un nombre de
Reynolds lié aux tourbillons proches paroi. En général, la viscosité reste prépondérante jusqu’à y+≈ 150 [66]. Sur la figure suivante 5.1, on représente u+(y+).
Pour la turbulence de paroi on distingue trois régions principales [40]
– (1) viscous sublayer, y+≤ 5 , la sous-couche visqueuse, dans laquelle la viscosité dynamique
domine et pour laquelle le profil de vitesse est linéaire u+= y+,
– (3) log-law, 30 < y+< 500, le profil suit une loi logarithmique de la forme u+=C
1ln(y+) +
C2. Les constantes C1=1/κ ≈ 5.75 et C2≈ 5.2 dépendent de l’expérience et de la rugosité
de la paroi (avec κ la constante de Von Karman).
– (2) buffer layer, la zone de transition entre les deux régions.
Pour les écoulements de conduite, les expériences de Nikuradse [60] ont permis d’exprimer plus simplement le profil de vitesse sous la forme suivante connue sous le nom de loi puissance 1/7 ¯u U∞ = y δν 1/7 , (5.4)
où U∞est la vitesse en dehors de la couche limite.
La structure interne de la turbulence de paroi reste toutefois d’une grande complexité. Néanmoins, les nombreux travaux effectués dans ce champ de recherche ont permis de mettre en évidence des mouvements dits cohérents. Ces mouvements sont en général caractérisés au travers de corrélations entre les variables du champ turbulent, corrélations qui restent
82 Chapitre 5. Étude de la couche limite de Stokes
Figure 5.1: Distribution de u+en fonction de y+en échelle semi-logarithmique. Issue de [44].
significatives sur des régions 3D importantes et sur des durées temporelles grandes [8]. L’étude de ces structures a notamment permis de décrire l’apparition de cycles dans la turbulence de paroi. En particulier, dans la sous-couche visqueuse, il existe des zones de fluide ralenti (streaks ou stries) caractérisées par un fort allongement dans la direction principale de l’écoulement [81] (un exemple de visualisation de ce phénomène est donné en figure 5.2). Ces stries sont instables et sont à l’origine de la génération de tourbillons qui eux-mêmes génèrent d’autres stries, ce cycle perdurant au cours du temps [41, 83].
5.1.2 Couche limite des écoulements oscillants
En ce qui concerne les études théoriques de stabilité des écoulements oscillants, trois config- urations académiques sont principalement étudiées : la couche limite de Stokes (milieu infini), l’écoulement de Couette (entre deux parois oscillantes) et l’écoulement de Poiseuille (canal avec gradient de pression ou débit oscillant). Dans le cas où le milieu est confiné, la condition de stabilité de l’écoulement dépend de la hauteur de la couche limite de Stokes mais également de la longueur caractéristique de la conduite (en général le diamètre de celle-ci). La stabilité de la couche limite de Stokes a été étudiée notamment par Kerczek et Davis en 1973 [92], puis par Hall en 2003 [31]. L’article de Blennerhasset et Bassom [9] propose une synthèse des principaux résultats pour cet écoulement en soulignant l’écart entre le nombre de Reynolds critique obtenu par la stabilité linéaire et celui observé expérimentalement. À titre d’exemple, les travaux expérimentaux de Eckmann et Grotberg [25] mettent en évidence un état turbulent
5.1. Éléments de bibliographie 83
Figure 5.2: Exemple de visualisation de stries obtenues par Simulation Numérique Directe (DNS). Les surfaces d’isovaleur de vitesse longitudinale fluctuante sont tracées à y+=162. Issu
de [45].
dans une conduite pour un nombre de Reynolds Reδνc =500 alors que la prédiction théorique
donne Reδνc =566. Très récemment, Thomas et al. ont envisagé l’étude tridimensionnelle d’un
écoulement de conduite oscillant [87]. Ils ont ainsi pu montrer que la prise en compte de la troisième dimension à travers une perturbation non axisymétrique ne permet pas d’expliquer la différence entre théorie et expérience concernant la transition à la turbulence.
La plupart des travaux décrits dans le paragraphe précédent sont de nature théorique et il apparaît ici intéressant d’analyser la transition à la turbulence et les instabilités associées à celle-ci à partir de résultats expérimentaux et/ou numériques. À travers les études précédentes [37, 2, 23], il a été montré l’existence de quatre régions :
– (a) laminaire ( laminar)
– (b) laminaire perturbé ( disturbed laminar)
– (c) turbulent intermittent ( intermittently turbulent) – (d) complètement turbulent ( turbulent)
Les travaux précurseurs de Hino et al. ont montré que les écoulements oscillants sont plus stables que les écoulements développés [37]. De plus, la turbulence semble n’apparaître qu’à certaines phases du cycle acoustique. Les simulations numériques de Costamagna et al. ont par ailleurs permis de montrer que des bouffées turbulentes sont déclenchées à partir de la fin de la phase d’accélération avec la création de stries longitudinales près de la paroi [17]. Ces stries, également décrites dans le cas de l’écoulement développé, s’amplifient durant la phase de décélération et deviennent instables, générant des fluctuations longitudinales qui vont al- imenter en énergie des tourbillons longitudinaux, qui eux-même renouvelleront les stries. Le
84 Chapitre 5. Étude de la couche limite de Stokes
cycle de la turbulence de paroi d’un écoulement oscillant ne diffère donc pas d’un point de vue phénoménologique de celui de la turbulence d’un écoulement continu.
Les quatre régions citées dans le paragraphe précédent diffèrent principalement de par la forme de l’évolution temporelle de la vitesse [37]. Dans la région de régime laminaire (a), l’écoulement est conforme aux prédictions de la théorie linéaire (solution de Stokes décrite au paragraphe 5.2). Dans la région de régime laminaire perturbé (b), l’évolution temporelle de la vitesse coïncide globalement avec les profils théoriques mais des perturbations de faible ampli- tude se superposent au régime laminaire. Ces distortions sont également accompagnées d’un décalage de phase de la vitesse au centre du guide. De plus, Hino et al. ont observé un régime supplémentaire entre (a) et (b) appelé régime laminaire distordu pour lequel les perturbations sont situées seulement au centre de la conduite. Pour le régime turbulent intermittent (c), des
(a) (b)
Figure 5.3: (a) Formes d’onde de la vitesse mesurées par Hino et al. au cours du temps pour différentes positions r par rapport au centre du guide dans le régime turbulent intermittent (c) (Reδν =1530, Wo = 3.8), extrait de [37]. (b) Formes d’onde de la vitesse mesurées par Ohmi et al.dans le cas du régime complètement turbulent (d), extrait de [64].
bouffées turbulentes apparaissent en proche paroi pendant la phase de décélération sur toute la section du guide et l’écoulement se relaminarise durant la phase d’accélération [2, 37, 53], ceci est observable sur la figure 5.3.a. Les observations de Ohmi et al. montrent que les perturbations liées à ce régime d’écoulement naissent d’abord près de la paroi [63, 64, 65]. Lorsque le nombre de Reynolds augmente les perturbations se propagent vers le centre du guide et sont plus nom- breuses. En traçant des profils de vitesse à différentes phases du cycle (figure 5.4.a), Akhavan et al.ont observé que la vitesse est proche du cas laminaire dans la phase d’accélération mais s’en
5.1. Éléments de bibliographie 85
écarte lors de la phase de décélération de la même façon que si on observait une diminution de l’épaisseur de la couche limite. Ohmi et al., quant à eux, observent (voir figure 5.4.b) que le profil de la vitesse se déforme pour suivre une évolution similaire à la loi en puissance 1/7 décrite au paragraphe 5.1.1 pendant les phases d’accélération [64]. D’autre part, le niveau de l’intensité turbulente axiale atteint son maximum à la fin de la phase d’accélération et est minimal aux phases de faible vitesse. De plus, la valeur de l’intensité turbulente augmente en se rapprochant de la paroi du guide [2, 39, 37]. Dans le régime complètement turbulent (d), la turbulence est présente sur tout le cycle acoustique et sur toute la section du guide d’onde (figure 5.3.b). Dans ce cas, les profils de vitesse dans une section suivent la loi d’évolution en puissance 1/7 pour toutes les phases du cycle [63, 64, 65, 11].
(a) (b)
Figure 5.4: (a) Profils des vitesses mesurées par Akhavan et al. comparés à la théorie laminaire (Reδν =1080, Wo =15), extrait de [2]. (b) Profils des vitesse mesurées par Ohmi et al. comparées
à la loi en puissance 1/7 (-) et à la théorie laminaire (–) (Reδν =1819, Wo=7.9), extrait de [64].
Les premiers travaux expérimentaux concernant l’étude de stabilité des écoulements oscil- lants ont été réalisés par Li en 1954 et ont permis de montrer par une technique de visualisation que le nombre de Reynolds critique Reδνccorrespondant à la transition à la turbulence dans la
couche limite d’une plaque plane oscillante est de Reδνc=565 [48]. Ce nombre de Reynolds basé
sur l’épaisseur de la couche limite est défini par Reδν =
Umδν
86 Chapitre 5. Étude de la couche limite de Stokes
avec Um l’amplitude de la composante axiale de vitesse moyennée sur la section de diamètre
D. Par la suite, les outils utilisés se sont diversifiés, on peut notamment citer outre la visual- isation [43, 53, 77], l’anémométrie à fil chaud [25, 37, 39, 53, 63, 97], la LDV [2, 25, 37, 39, 54] ou encore la PIV [11]. Cependant, les visualisations de Merkli et Thomann [53] ont montré que la présence des sondes de l’anémomètre à fil chaud perturbe l’écoulement proche paroi (cf. 1.1.4.
Auteurs Fréquence (Hz) Paramètre Paramètre Reδν,c
d’amplitude de fréquence
Sergeev [77] 1966 0.6-4 Re Wo 500
Merkli et Thomann [53] 1975 50-150 √2Reδν - 280 Hino et al. [37] 1976 1.9-8.9 Reδν λ =
R
δν 70-550
Clamen et Minton [16] 1977 0.4 √2Reδν Wo 279
Ohmi et al. [63] 1982 0.05-6.24 Re Wo -
Jensen et al. [39] 1989 0.10-0.12 Reδν
2 T = 1f 447
Kurzweg et al. [43] 1989 0.6-5.9 √2Reδν Wo 495
Eckmann et Grotberg [25] 1991 0.1-1.5 √Reδν
2Wo Wo 500
Akhavan et al. [2] 1991 0.10-0.12 Reδν
2 T = 1f -
Zhao et Cheng [97] 1996 0.10-10 A0= xmaxD Reω= 4ωR 2
ν 530
Boucheron et al. [11] 2004 10-37 Re Wo Reδν ≈ 300
Moreau et al. [54] 2007 84-114 Reδν Wo Reδν ≈ 300
Table 5.1: Récapitulatif des études expérimentales menées dans la littérature.
Les principales études réalisées sont regroupées de la tableau 5.1. Dans ce tableau on peut se rendre compte de la diversité des paramètres utilisés par les différents expérimentateurs pour caractériser l’écoulement. D’une manière générale, l’étude d’un écoulement oscillant nécessite l’introduction d’un paramètre d’amplitude (qui caractérise l’écoulement) et d’un paramètre de fréquence (qui rend compte de l’instationnarité). On peut par exemple caractériser l’écoulement à l’aide du nombre de Reynolds Reδν et du nombre de Womersley Wo
Wo = √ ω′= R √ 2 ν , (5.6)
où ω′ est la fréquence adimensionnelle. Les travaux de Merkli et Thomann en 1975 ont par
ailleurs permis de montrer que pour des guides d’onde suffisamment larges, le nombre Reδνpeut
5.2. Formulation théorique de la vitesse particulaire dans les couches limites de Stokes 87
[53]. À travers ces paramètres adimensionnels, les expériences menées par les différents auteurs peuvent être comparées dans un diagramme de stabilité figure 5.5 qui est exprimé en fonction des paramètres les plus courants (Reδν, Wo). Dans ce diagramme sont tracées les valeurs limites
de transition obtenues par différents expérimentateurs. L’analyse de ces résultats fait ressortir des différences dans les limites de transition à la turbulence. Blondeaux et Vittori ont souligné l’influence des conditions expérimentales (par exemple les imperfections pariétales) sur le déclenchement de la turbulence [10]. Toutefois, pour beaucoup d’expérimentateurs, on retrouve une valeur limite de l’ordre de Re = 500 − 550. De plus, la grande majorité des études décrites ont été effectuées sous l’hypothèse de fluide incompressible (eau ou fluide oscillant à très basse fréquence). En ce qui concerne les travaux effectués à des fréquences acoustiques audibles, les études réalisées par Merkli et Thomann [53], Boucheron [11], et Moreau [54] se rejoignent sur une valeur inférieure du nombre de Reynolds critique de Reδν ≈ 300.
5.1.3 Conclusion
Dans cette partie, une étude bibliographique des méthodes d’analyse et des principaux résultats obtenus en turbulence de paroi des écoulements continus a tout d’abord été effectuée afin de souligner les liens existants entre l’étude de la turbulence « classique » et celle des écoulements oscillants. À la suite de cette description, une bibliographie détaillée de la couche limite des écoulements oscillants a été menée. Les différents régimes d’écoulement observés dans la littérature sont rappelés ici : laminaire, laminaire perturbé, turbulent intermittent et complètement turbulent. Des disparités ont été observées en ce qui concerne les seuils de passage d’un régime d’écoulement à un autre notamment entre les nombreuses études réalisées dans l’hypothèse de fluide incompressible et les quelques études réalisées à des fréquences audibles. L’objectif de la présente étude est donc de préciser la caractérisation de la transition à la turbulence en guide d’onde acoustique en déterminant un nombre de Reynolds Reδνcritique
pour le passage en régime non laminaire et en décrivant les caractéristiques de l’écoulement obtenu dans ce cas.
5.2 Formulation théorique de la vitesse particulaire dans les couches
limites de Stokes
Afin d’étudier expérimentalement l’évolution de la couche limite se Stokes dans la suite de ce chapitre et en distinguer les différents régimes, il est nécessaire de bien définir le régime laminaire de l’écoulement. De cette façon, les profils de vitesse particulaire acoustique pourront être comparés aux profils de vitesse par phase du cycle pour le régime laminaire.
Les premières mesures expérimentales en écoulement induit par un gradient de pression oscillant dans un guide cylindrique ont été réalisées par Richardson et Tyler [73]. Une solution analytique à été apportée par Sexl par la suite [78].
88 Chapitre 5. Étude de la couche limite de Stokes
Figure 5.5: Diagramme de stabilité regroupant les mesures des travaux trouvés dans la littéra- ture. Adapté de [54]
5.2. Formulation théorique de la vitesse particulaire dans les couches limites de Stokes 89
On considère une onde sinusoïdale de fréquence fac qui se propage selon l’axe x dans un
guide d’onde cylindrique de rayon R. Le champ de vitesse acoustique dépend de x, de r la distance par rapport à l’axe central et de t et s’écrit en l’absence d’écoulement moyen et de source extérieure
~uac(x, r, t) = uac(x, r)eiωt~x + vac(x, r)eiωt~r , (5.7)
et la pression
Pac(x, t) = P0+paceiω(t−x/c0) , (5.8)
avec ω = 2π fac, la pulsation du mouvement et c0la célérité du son.
Les hypothèses simplificatrices suivantes sont retenues : – La théorie est linéaire,
– les parois sont supposées rigides et fixes,
– les effets de sources extérieures de débit, de force et de chaleur sont négligées,
– la composante de la vitesse selon r est supposée négligeable par rapport à la composante axiale (uac(x, r) >> vac(x, r)),
– la variation de de la vitesse suivant r, ∂
∂r, est très grande devant la variation suivant x, ∂x∂,
– l’écoulement est supposé parallèle selon l’axe x.
Avec ces hypothèses, l’équation de conservation de la quantité de mouvement pour la com- posante axiale de la vitesse s’écrit
∂uac ∂t =− 1 ρ0 ∂pac ∂x +ν ∂2uac ∂r2 +ν 1 r ∂uac ∂r , (5.9)
avec ρ0la masse volumique du fluide et ν son coefficient de viscosité cinématique.
Les conditions aux limites sont déterminées par la condition d’adhérence à la paroi r = R, u(±R, t) = 0. Les conditions initiales sont simplement u(±r, 0) = 0 .
Ainsi, l’équation (5.9) admet une solution exacte satisfaisant la condition initiale et la con- dition aux limites de la forme
uac(x, r, t) = i ρ0ω ∂pac ∂x 1 − J0(r√−iω/ν) J0(R√−iω/ν) ! , (5.10)
où J0est la fonction de Bessel d’ordre zéro.
On obtient finalement l’expression pour la vitesse uac(x, r, t) = Aeiω(t−x/c) 1 − J0
(r√−iω/ν) J0(R√−iω/ν)
!
, (5.11)
90 Chapitre 5. Étude de la couche limite de Stokes
Figure 5.6: Phases du cycle du signal acoustique.
Pour différentes phases du cycle représentées figure 5.6, les profils théoriques sont tracés sur la figure 5.7. La distance par rapport à la paroi du guide est adimensionnée par l’épaisseur de la couche limite visqueuse δνet la vitesse est normalisée par l’amplitude de la vitesse acoustique
au centre du guide. Cette normalisation permet de faire apparaître le phénomène appelé l’ « annular effect » (découvert par Richardson [73]). En effet, le caractère oscillant de l’écoulement engendre une zone autour de (R − r)/δν ≈ 2 dans laquelle la vitesse est légèrement supérieure