Applications linéaires III

(1)

IUT Rodez Ann´ee universitaire 2008/2009

Informatique 1◦_ann´_ee _{TD de math´}_{ematiques n}◦26

TD n

◦

26 _{. Applications lin´}

_{eaires III.}

Exercice 1 _{Soit f : R}2

→ R5

l’application d´efinie par

f(x, y) = (x + 2y, −2x + 3y, x + y, 3x + 5y, −x + 2y). 1. Quels sont l’espace de d´epart et l’espace d’arriv´ee de f ?

2. Montrer que f est une application lin´eaire.

3. Donner la matrice de f dans les bases canoniques B2 et B5 de R 2

et R5

. 4. En d´eduire la dimension de Im(f ), ainsi qu’une base.

5. En d´eduire Ker(f ).

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Exercice 2 On note {−→e1, −→e2, −→e3, −→e4} la base canonique de R 4 et {−→f1, − → f2, − → f3} la base canon-ique de R3

. On d´efinit une application lin´eaire u de R4

vers R3 en posant : u(−→e1) = − → f1 − − → f2 + − → f3, u(−→e2) = − − → f1 − − → f2, u(−→e3) = −4 − → f2 + 2 − → f3, u(−→e4) = 2 − → f1 + − → f3.

1. ´Ecrire la matrice de u dans les bases canoniques. 2. Donner explicitement u(x, y, z, t).

3. D´eterminer une base du noyau et une base de l’image de u.

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Exercice 3 On consid`ere les vecteurs −→u = (2, 1, −1), −→v = (1, −1, 3), −→w = (3, 3, −5) de R3 et on note F = Vec(−→u , −→v , −→w) le sous-espace vectoriel engendr´e par {−→u , −→v , −→w}.

1. D´eterminer une base de F .

(2)

2. On d´efinit l’application f : R3

→ R3

de la fa¸con suivante : f(x, y, z) = (3x + z, x − y + z, −3x − 3y + z). 3. Montrer que f est lin´eaire.

4. Déterminer une base de Ker(f ) et une base de Im(f ). 5. Les vecteurs −→u , −→v , −→w sont-ils des éléments de Im(f ) ? 6. Montrer que l’ensemble F ∩ Im(f ) est un SEV de R3

. 7. D´eterminer une base et la dimension de F ∩ Im(f ).

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