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Le rôle de l’enseignant dans l’organisation de l’étude
personnelle hors la classe de collégiens : le cas des
équations du premier degré à une inconnue
Stephane Sirejacob
To cite this version:
Stephane Sirejacob. Le rôle de l’enseignant dans l’organisation de l’étude personnelle hors la classe de collégiens : le cas des équations du premier degré à une inconnue. Education. Université Sorbonne Paris Cité, 2017. Français. �NNT : 2017USPCC181�. �tel-02087144�
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Thèse de doctorat
de l’Université Sorbonne Paris Cité
Préparée à l’Université Paris Diderot
Ecole doctorale ED400 : Savoirs scientifiques : épistémologie, histoire des sciences et didactique des disciplines
Laboratoire de Didactique André Revuz
Le rôle de l’enseignant dans l’organisation de
l’étude personnelle hors la classe de collégiens : le
cas des équations du premier degré à une
inconnue
Par Stéphane Sirejacob
Thèse de doctorat de didactique des mathématiques
Dirigée par Madame Brigitte Grugeon-Allys
Présentée et soutenue publiquement à l’Université Paris Diderot 7 le 18 octobre 2018
Président du jury : Vandebrouck, Fabrice / Professeur des Universités / Université Paris Diderot 7 Rapporteurs : Coulange, Lalina / Professeure des Universités / Université de Bordeaux
Matheron, Yves / Professeur des Universités / IFE-ENS de Lyon
Examinatrices : Bosch, Marianna / Professeure des Universités / Universitat Ramon Llull Castela, Corine / Professeure des Universités / Université de Rouen
Pilet, Julia / Maître de conférences / Université Paris Est-Créteil
Sirejacob Stéphane – Thèse de doctorat - 2017
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Titre : Le rôle de l’enseignant dans l’organisation de l’étude personnelle hors la classe de collégiens :
le cas des équations du premier degré à une inconnue
Résumé : Ce travail de thèse s’articule autour de deux axes majeurs : d’une part, l’étude personnelle
hors la classe de collégiens, sujet d’actualité peu abordé en didactique des mathématiques ; d’autre part, l’enseignement des équations du premier degré à une inconnue en collège, thème agrégeant plusieurs notions d’algèbre élémentaire et source de difficultés pour les élèves. Dans le cadre de la théorie anthropologique du didactique (Chevallard, 1999), nous réinterrogeons ces difficultés d’un point de vue institutionnel : nous faisons l’hypothèse que certains besoins d’apprentissages, tant relatifs aux gestes d’étude hors la classe que disciplinaires (équations), sont implicitement laissés à la charge des élèves ou ignorés de l’institution (Castela, 2008), alors que ces apprentissages sont nécessaires à la construction d’un rapport personnel idoine aux équations. En appui sur une organisation mathématique épistémologique de référence (Bosch et Gascon, 2005) relative aux équations du premier degré et sur une synthèse de travaux de recherche sur l’étude personnelle, nous construisons et analysons les effets de la mise en œuvre d’un parcours d’étude et de recherche sur les apprentissages de collégiens.
Mots clefs : Travail hors la classe, travail personnel, équations, didactique
Title : The role of the teacher in the organization of private study of middle school students : the case
of equations of the first degree with one unknown
Abstract : This work is based on two main areas : on the one hand, the private study of middle school
students, a few discussed topic in science education (in mathematics) ; on the other hand, the teaching of the equations of the first degree with one unknown, which aggregates many elementary algebra concepts and which is a source of difficulties for students. Thanks to the Anthropological Theory of the Didactic (Chevallard, 1999), we re-examine these difficulties from an institutional point of view : we assume that some of the learning needs relative to private study and subject knowledge are not explicitly organized by the institution (Castela) while these needs are necesseray to build a an appropriate personal relationship to equations. Based on an epistemological mathematic organization reference (Bosch et Gascon, 2005) related to the equations of the first degree and on a research overview about private study, we build and analyse the impacts of a teaching sequence on students learnings.
Sirejacob Stéphane – Thèse de doctorat - 2017
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À mes élèves d’hier et d’aujourd’hui
Remerciements
« Dans un tourbillon de poussière qu’élève un vent impétueux, quelque confus qu’il paraisse à nos yeux, dans la plus affreuse tempête excitée par des vents opposés qui soulèvent les flots, il n’y a pas une seule molécule de poussière ou d’eau qui soit placée au hasard, qui n’ait sa cause suffisante pour occuper le lieu où elle se trouve, et qui n’agisse rigoureusement de la manière dont elle doit agir. »
Paul Henri Thiry d’Holbach Cette citation résume bien l’état d’esprit dans lequel je me trouve à l’heure où je rédige ces remerciements. Quand on « fait » une thèse, on ne commence pas à neuf heures le matin en arrivant au bureau et on ne s’arrête pas à dix-huit heures le soir après avoir fermé la porte. On le « fait » tout le temps, du lever au coucher, la nuit, le dimanche et les jours fériés. On le « fait » en prenant son petit-déjeuner, en se promenant dans le parc, en regardant par la fenêtre la pluie tomber. Une conversation attrapée au détour d’un café a peut-être planté une graine ; l’arc de cercle décrit par une grue dans le ciel gris a peut-être provoqué sa lente croissance ; un étrange motif sur papier peint a peut-être facilité sa rencontre avec une autre idée naissante ; et c’est cet air de jazz qui a peut-être créé cette ambiance tamisée propice au jaillissement d’une étincelle, cette même étincelle à l’origine du dix-huitième paragraphe du chapitre sept de ce manuscrit.
Alors, qui donc a contribué à construire cette thèse ? Beaucoup trop de personnes et d’évé-néments pour être tou.te.s cité.e.s. Je vais hélas tenter d’en nommer certain.e.s et renoncer à le faire pour bien d’autres. Puisse-t-on me pardonner.
Je remercie :
— ma directrice de thèse, Brigitte Grugeon-Allys, et Julia Pilet, qui l’a plus que largement co-encadrée ;
— les membres du jury : les rapporteurs Lalina Coulange et Yves Matheron ; les exami-nateurs Marianna Bosch, Corine Castela et Fabrice Vandebrouck ;
— Matthieu, Haifa et leurs élèves ;
— ma famille, en particulier : Alexis, Brigitte, Didi, Line, Cindy, Yoann, Papa et Maman ; — les doctorant.e.s qui ont partagé des moments de vie et d’étude durant ma thèse, et plus particulièrement : Alice, Faezeh, Frank, Huafeng, Inés, Jorge, Leonard, Luz, Parisa, Pooneh, Rodolfo, Ronnel, Rubén ;
— les parents, ami.e.s et connaissances, entre autres : Assia, Alejandro, Alexia, Amélie, Antoine, Arnaud, Audrey, Clara, Clélia, Chéryne, Delphine, David, Emilie, Emilie, Fanny, Florent, Gael, Gwenaël, Julie, Juliette, Luc, Nicolas, Marco, Martin, Michel-Pierre, Minh, Philippe, Michel-Pierre, Ratha, Renaud, Sébastien, Sébastien, Shiran, Quentin, Soledad, Sylvain, Turan, Véronique, Vito, ... ;
— les membres du LéA Pecanumeli et en particulier : Alberto, Florian, Geoffroy, Maëlle et Olivier ;
— les membres de la « Tâche 2 » du projet NéoPraeval et en particulier Françoise ; — les membres du Laboratoire de Didactique André Revuz, dont le groupe des jeunes
chercheur.e.s ;
— et bien sûr, mes élèves d’hier et d’aujourd’hui ; ils sont au cœur de tout ce travail.
Table des matières
1 Enjeux, questions initiales et contexte de la thèse 19
1.1 Objectifs du chapitre . . . 19
1.2 Enjeux de la thèse . . . 20
1.2.1 La question du travail personnel . . . 20
1.2.2 La question de l’algèbre élémentaire au collège . . . 26
1.3 Une première présentation du contexte de la recherche . . . 30
1.4 Conclusion . . . 32
2 Cadres théoriques, problématique et méthodologie générale 35 2.1 Objectifs du chapitre . . . 35
2.2 Présentation et motivation de l’usage de cadres théoriques, premiers éléments méthodologiques . . . 36
2.2.1 L’apport d’une approche anthropologique . . . 36
2.2.2 La théorie anthropologique du didactique . . . 37
2.2.3 Autres cadres théoriques : complémentarité et articulation avec la TAD . . . 52
2.3 Hypothèses et problématique de recherche . . . 56
2.4 Retour sur le contexte de la recherche . . . 57
2.4.1 Les travaux de Grugeon (1997) . . . 58
2.4.2 Les projets Pépite, Lingot, PépiMep et NeoPraeval et les tra-vaux de Pilet . . . 59
2.5 Méthodologie générale de la thèse . . . 62
2.6 Conclusion . . . 64
3 Une synthèse de travaux de recherche sur le thème de l’étude per-sonnelle 65 3.1 Objectifs du chapitre . . . 65
3.2.1 Etude hors classe, autonome, personnelle : de quoi parle-t-on ? 66 3.2.2 Développement sur l’autonomie : le modèle de structuration
du milieu . . . 70 3.2.3 Fonctions attribuées à l’étude personnelle . . . 73 3.2.4 Premières conclusions et interprétation en termes de recherche
en didactique . . . 76 3.3 L’étude personnelle : entre nécessité et controverse . . . 77
3.3.1 Une nécessité pour les programmes officiels, les enseignants et les élèves . . . 77 3.3.2 Le débat sur les inégalités scolaires et sociales, et l’influence
de l’étude personnelle sur ces inégalités . . . 78 3.3.3 Conclusion sur l’influence de l’étude personnelle sur la réussite
scolaire . . . 80 3.4 Organiser l’étude personnelle : quelles difficultés et quels leviers ? . . . 80
3.4.1 Le paradoxe de l’élève en difficulté vis-à-vis de l’étude person-nelle . . . 80 3.4.2 Impliquer les parents dans l’accomplissement de l’étude
per-sonnelle hors la classe : une illusion ? . . . 82 3.4.3 L’Aide au Travail Personnel . . . 83 3.4.4 L’utilisation du cahier de cours . . . 84 3.4.5 Sur la piste de leviers pour l’organisation de l’étude personnelle 86 3.4.6 Quels leviers existe-t-il pour les enseignants afin d’organiser
l’étude personnelle des élèves ? . . . 95 3.5 Conclusion . . . 105
4 Une première étude exploratoire avec des collégiens en REP 107 4.1 Objectifs du chapitre . . . 107 4.2 Les entretiens . . . 108 4.2.1 Présentation du déroulement des entretiens . . . 108 4.2.2 Justification de la manière dont nous avons menée les entretiens111 4.2.3 Questions posées aux élèves . . . 112 4.2.4 Questions posées aux enseignants . . . 114 4.3 Analyse des entretiens . . . 116 4.3.1 L’étude personnelle entre deux cours de mathématiques . . . . 116 4.3.2 Avant une évaluation sommative . . . 119 4.3.3 Conclusion . . . 142
4.4 Mise en relation de gestes (ou d’absence de gestes) d’aide à l’étude des enseignants avec les gestes d’étude hors la classe de leurs élèves . 142 4.4.1 Eléments sur les représentations des enseignants de l’étude
personnelle de leurs élèves . . . 143 4.4.2 Mise en relation de gestes d’étude d’élèves avec certaines
pra-tiques de leurs enseignants . . . 145 4.5 Conclusion . . . 146 4.5.1 Des gestes d’étude qui semblent liés au « profil » . . . 146 4.5.2 Des gestes d’étude qui semblent liés aux pratiques enseignantes 148 4.5.3 Une première étude exploratoire qui débouche sur de nouvelles
questions . . . 149
5 Modélisation de l’étude personnelle 151 5.1 Objectifs du chapitre . . . 151 5.2 Les principaux éléments dont le modèle doit pouvoir rendre compte . 152 5.3 Praxéologies d’étude supposées permettre de construire de manière
idoine des praxéologies mathématiques . . . 154 5.3.1 Présentation . . . 154 5.3.2 Des praxéologies d’étude ne dépassant pas le niveau pédagogique155 5.3.3 Les praxéologies d’étude supposées permettre la construction
idoine de praxéologies mathématiques . . . 156 5.3.4 Identifier un type de tâches mathématique, une technique
ma-thématique, une technologie mathématique . . . 157 5.3.5 Mettre en relation type de tâches avec une technique et
tech-nologie mathématiques . . . 159 5.3.6 Situer et articuler des OM entre elles . . . 160 5.3.7 Diagnostiquer l’état de ses apprentissages mathématiques et
réguler ses besoins d’apprentissages . . . 161 5.3.8 À propos du glissement métacognitif . . . 162 5.4 Opérationnalisation du modèle pour analyser les pratiques enseignantes
relatives à l’organisation de l’étude personnelle des élèves . . . 164 5.4.1 Un schéma pour une vue d’ensemble . . . 164 5.4.2 L’étude en classe et l’étude hors classe respectivement
5.4.3 Premier niveau d’analyse à partir du modèle : les praxéologies mathématiques travaillées en classe et effectivement mobilisées par les élèves . . . 165 5.4.4 Second niveau d’analyse à partir du modèle : les praxéologies
d’étude travaillées en classe et effectivement mobilisées par les élèves . . . 168 5.4.5 L’interprétation de l’autonomie dans laquelle l’élève est placé
lors de son étude personnelle hors la classe . . . 170 5.4.6 Les conditions sur la gestion et l’organisation didactique en
classe rendant possibles l’accomplissement d’une étude per-sonnelle idoine hors la classe . . . 171 5.5 Conclusion . . . 174
6 Eléments historiques et mathématiques sur les équations algébriques ; construction d’une référence épistémologique relative aux équa-tions du premier degré à une inconnue 177 6.1 Objectifs du chapitre . . . 177 6.2 Eléments sur l’histoire des équations algébriques . . . 178 6.2.1 Présentation . . . 178 6.2.2 Les équations chez les Babyloniens, Euclide et Diophante . . . 179 6.2.3 Les équations dans les travaux d’al-Khwârizmî et d’al-Khayyâm180 6.2.4 Les équations aux XVIème, XVIIème et XVIIIème siècles . . . . 182
6.2.5 La résolution algébrique des équations algébriques au XIXème
siècle : les réponses d’Abel et de Galois . . . 186 6.2.6 Conclusion sur les éléments historiques . . . 187 6.3 Eléments mathématiques et logiques . . . 187 6.3.1 Point de vue mathématique pour définir une équation algébrique187 6.3.2 Point de vue logique . . . 189 6.4 Construction de la référence épistémologique relative aux équations . 195 6.4.1 Approche anthropologique . . . 196 6.5 Approche cognitive . . . 204 6.5.1 Présentation . . . 204 6.5.2 L’étude des équations : ruptures et fausses continuités avec
l’arithmétique . . . 205 6.5.3 Les équations au sein des différentes sources de signification
6.5.4 Les équations au sein du modèle GTG de Kieran . . . 219
6.5.5 Conclusion sur l’approche cognitive : d’autres éléments épis-témologiques relatifs aux équations . . . 224
6.6 Conclusion sur la référence épistémologique relative aux équations . . 225
7 Organisation mathématique de référence relative aux équations du premier degré 227 7.1 Présentation . . . 227
7.2 L’OM de référence relative aux expressions algébriques (Pilet, 2012) . 228 7.3 Découpage de l’OM régionale relative aux équations . . . 229
7.4 Présentation des OM locales . . . 230
7.5 OM L1eq : génération des équations . . . 231
7.5.1 Présentation . . . 231
7.5.2 Principaux genres de tâches . . . 232
7.5.3 Principaux types de tâches . . . 233
7.5.4 Technique . . . 234
7.5.5 Eléments technologico-théoriques . . . 235
7.5.6 Quelques exemples de tâches relevant de types de tâches de OM L1eq . . . 236
7.6 OM L2eq : résolution . . . 236
7.6.1 Présentation . . . 236
7.6.2 Principaux genres de tâches . . . 237
7.6.3 Principaux types de tâches . . . 237
7.6.4 Techniques . . . 238
7.6.5 Eléments technologico-théoriques . . . 239
7.6.6 Eléments théoriques . . . 239
7.7 OM L3eq : structure des équations . . . 239
7.7.1 Présentation . . . 239
7.7.2 Principaux genres de tâches . . . 240
7.7.3 Principaux types de tâches . . . 240
7.7.4 Techniques . . . 241
7.7.5 Eléments technologico-théoriques . . . 241
7.7.6 Elément théorique . . . 242
7.8 Techniques et technologies non algébriques relatives à la résolution des équations . . . 242
7.10 Conclusion sur l’OM de référence relative aux équations algébriques . 243
8 Analyse des OM et des praxéologies d’étude présentes dans les programmes officiels et les manuels scolaires 245
8.1 Objectifs du chapitre . . . 245
8.2 Analyse de l’OM à enseigner présente dans les programmes officiels et les documents d’accompagnement . . . 246
8.2.1 Analyse praxéologique des programmes de 2008 . . . 246
8.2.2 Analyse des documents d’accompagnement . . . 248
8.2.3 Analyse des manuels . . . 251
8.2.4 Conclusion sur l’OM à enseigner relative aux équations pré-sente dans les documents officiels et les manuels . . . 266
8.3 Analyse des praxéologies d’étude présentes dans les programmes et les manuels . . . 267
8.3.1 Les praxéologies d’étude présentes dans les programmes . . . . 267
8.3.2 L’aide à l’organisation de l’étude personnelle dans les manuels 269 8.3.3 Conclusion sur l’analyse des manuels . . . 277
9 Elaboration d’un Parcours d’Etude et de Recherche sur les équa-tions 281 9.1 Objectifs du chapitre . . . 281
9.2 Vision générale et fondements théoriques du PER . . . 282
9.2.1 Outils théoriques pour construire le PER . . . 282
9.2.2 Schémas récapitulatifs : vision générale du PER . . . 283
9.2.3 L’appui sur le test Pépite pour construire une partie du PER . 284 9.2.4 Les trois étapes du PER et leurs fondements théoriques . . . . 286
9.2.5 Les moments de l’étude au sein du PER . . . 288
9.2.6 Des praxéologies d’étude travaillées à chaque étape . . . 289
9.2.7 Les différentes phases de mise en œuvre des situations didac-tiques . . . 290
9.2.8 Les types de tâches mathématiques donnés à travailler en au-tonomie en appui sur des milieux riches et favorisant le déve-loppement de praxéologies d’étude . . . 291
9.3 Etape 1 du PER : introduction et motivation des équations . . . 293
9.3.1 Enoncé de la situation d’introduction . . . 293
9.3.3 Analyse a priori des tâches préparatoires . . . 295
9.3.4 Déroulement proposé et analyse a priori de ce déroulement . . 297
9.3.5 Types de tâches mathématiques donnés à faire en autonomie et travail des praxéologies d’étude en autonomie ; analyse a priori . . . 303
9.4 Etape 2 : résolution algébrique d’équations . . . 308
9.4.1 Enoncé de la situation . . . 308
9.4.2 Analyse a priori de la situation didactique . . . 309
9.4.3 Analyse a priori des tâches préparatoires . . . 310
9.4.4 Déroulement proposé et analyse a priori de ce déroulement . . 311
9.4.5 Déroulements alternatifs . . . 318
9.4.6 Types de tâches mathématiques donnés à faire en autonomie et travail des praxéologies d’étude en autonomie ; analyse a priori . . . 319
9.5 Etape 3 : résolution algébrique de problèmes conduisant à une équation322 9.5.1 Enoncé de la situation . . . 322
9.5.2 Analyse a priori de la situation didactique . . . 322
9.5.3 OM que doivent avoir construites les élèves au préalable . . . 323
9.5.4 Tâche préparatoire . . . 324
9.5.5 Déroulement proposé et analyse a priori de ce déroulement . . 324
9.5.6 Types de tâches mathématiques donnés à faire en autonomie . 329 9.5.7 Des types de tâches « méta-mathématiques » finalement non inclus dans le PER (risque de glissement méta-cognitif) . . . . 330
9.6 Conclusion . . . 331
10 Analyse a posteriori de la mise en œuvre du PER sur les équations par un enseignant de collège 335 10.1 Objectifs du chapitre . . . 335
10.2 Mise en œuvre du PER . . . 336
10.2.1 Pratiques de l’enseignant sur le chapitre des équations l’année précédant la mise en œuvre du PER chercheur . . . 336
10.2.2 Brève description de la mise en œuvre du PER professeur . . . 342
10.2.3 Echanges entre chercheur et enseignant pour la mise en œuvre du PER . . . 343
10.3 Analyse a posteriori de la mise en œuvre du PER relatif aux équa-tions : côté enseignant . . . 347 10.3.1 Eléments méthodologiques . . . 347 10.3.2 Analyse détaillée de la séance 1 du PER professeur . . . 353 10.3.3 Analyse synthétique de l’ensemble des séances du PER
pro-fesseur . . . 367 10.3.4 Conclusion sur l’analyse a posteriori de la mise en œuvre du
PER professeur . . . 393 10.4 Analyse a posteriori de la mise en œvre du PER relatif aux équations :
côté élèves . . . 395 10.4.1 Présentation : analyse des OM apprises à partir des
produc-tions d’élèves sur une évaluation sommative relative aux équa-tions . . . 395 10.4.2 Présentation générale de l’évaluation . . . 396 10.4.3 Méthodologie pour les analyses . . . 397 10.4.4 Analyse des erreurs à l’exercice 2 : résolution algébrique
d’équa-tions . . . 398 10.4.5 Analyse des erreurs à l’exercice 3 : tester si un nombre est
solution d’une équation . . . 404 10.4.6 Analyse des erreurs à l’exercice 4 : programmes de calcul à
égaliser . . . 407 10.4.7 Commentaires sur l’exercice 1 : vocabulaire sur les équations . 409 10.4.8 Commentaires sur l’exercice 5 : périmètres de figures
dyna-miques à égaliser . . . 410 10.4.9 Conclusion sur l’analyse des effets de la mise en œuvre du
PER professeur sur l’étude personnelle hors la classe des élèves 412 10.5 Analyse a posteriori du PER relatif aux équations : mise en relation
des gestes de l’enseignant avec ceux des élèves . . . 413 10.5.1 Mise en relation des OM enseignées avec celles qui semblent
apprises . . . 414 10.5.2 Mise en relation des praxéologies d’étude travaillées en classe
avec celles qui semblent mobilisées hors la classe ; comparaison avec celles mobilisées lors de l’étude exploratoire . . . 416 10.5.3 Conclusion sur la mise en relation des gestes de l’enseignant
avec ceux mobilisés par les élèves hors la classe . . . 424 10.6 Conclusion du chapitre . . . 424
11 Conclusion sur le rôle de l’enseignant dans l’organisation de l’étude personnelle des élèves relative aux équations du premier degré à
une inconnue 433
11.1 Objectifs du chapitre . . . 433 11.2 Rappel des objectifs de la thèse, de la problématique de recherche et
des principaux éléments méthodologiques . . . 434 11.3 Principaux résultats de la thèse . . . 436 11.3.1 L’étude personnelle de collégiens hors la classe en algèbre . . . 436 11.3.2 Un modèle de l’étude personnelle opérationnalisé pour
analy-ser les pratiques enseignantes et les mettre en relation avec les gestes d’étude des élèves . . . 436 11.3.3 Une OM épistémologique de référence sur les équations
opé-rationnalisée pour analyser les OM à enseigner et enseignées et les OM construites par les élèves . . . 438 11.3.4 Un PER sur les équations avec des effets positifs sur les
ap-prentissages des élèves . . . 440 11.4 Perspectives de recherche . . . 443
11.4.1 Des analyses à étendre sur des échantillons plus vastes et sur un temps plus long . . . 443 11.4.2 Des OM épistémologiques de référence en algèbre à construire
en appui sur celles relatives aux expressions algébriques et aux équations . . . 443 11.4.3 Un modèle de l’étude personnelle à adapter mais
portentiel-lement transférable à d’autres domaines, d’autres niveaux et d’autres disciplines . . . 445 11.4.4 Des éléments du PER sur les équations pour l’étude hors la
classe à informatiser . . . 445 11.4.5 Des résultats de recherche potentiellement utilisables pour
ren-forcer les dispositifs d’aide à l’étude existants . . . 446 11.5 Des perspectives pour nos propres pratiques enseignantes . . . 447
Introduction
Notre travail de thèse s’articule autour de deux axes majeurs. Le premier concerne le travail personnel des élèves à l’école primaire et dans l’enseignement secondaire. Il s’agit d’un sujet d’actualité, pourtant peu abordé en recherche en didactique des mathématiques. Le second porte sur l’algèbre (les équations du premier degré à une inconnue), domaine des mathématiques qui s’avère fréquemment source de difficultés pour les collégiens.
Nous faisons l’hypothèse que l’institution laisse implicites certains besoins d’ap-prentissages des élèves tant en algèbre qu’au niveau du travail personnel et cherchons à déterminer des conditions pour que l’enseignant puisse organiser en classe ce tra-vail, afin que les élèves construisent les apprentissages relatifs aux équations du premier degré à une inconnue et ceux relatifs à l’autonomie en mathématiques.
Onze chapitres structurent notre travail de thèse.
Le premier chapitre pose les questions initiales de la thèse, le contexte de re-cherche et les enjeux de notre travail dans un langage informel. Il s’agit d’amener progressivement une problématique soulevée par le thème du travail personnel des collégiens, en lien avec l’enseignement et l’apprentissage des équations du premier degré à une inconnue.
Dans le chapitre deux, nous formalisons le questionnement initial en précisant les cadres théoriques dans lesquels nous nous plaçons. Nous y délimitons notre sujet de thèse, précisons nos hypothèses de travail et de recherche, formulons la problé-matique de recherche et donnons les principaux éléments méthodologiques.
Dans le chapitre trois, nous réalisons une synthèse de travaux sur le travail per-sonnel de l’école primaire au lycée afin d’identifier des obstacles et des leviers po-tentiels pour organiser ce travail personnel.
Une première étude exploratoire auprès de collégiens fait l’objet du chapitre quatre. Nous y analysons les entretiens que nous avons menés avec différents élèves sur la manière dont ils organisent leur travail hors la classe en algèbre élémentaire.
des élèves au collège en mathématiques. Nous opérationnalisons ce modèle pour l’analyse des pratiques enseignantes relatives à l’organisation en classe de cette étude. Notre thèse relevant de la didactique des mathématiques, nous prenons en compte les spécificités et la complexité de l’activité mathématique dans notre travail. Dans le chapitre six, nous établissons une référence épistémologique relative aux équations du premier degré à une inconnue.
Cette référence nous sert d’appui pour construire une organisation mathématique (OM) épistémologique de référence relative aux équations du premier degré à une inconnue dans le chapitre sept.
Nous opérationnalisons l’OM de référence pour analyser dans le huitième chapitre les programmes et les manuels afin de déterminer la part des enjeux d’apprentissages relatifs aux équations laissés implicites par l’institution.
Le chapitre neuf constitue un point de concours des résultats obtenus dans les précédents chapitres : en appui sur la synthèse de travaux sur l’étude personnelle, sur l’étude exploratoire menée auprès de collégiens, sur la référence épistémologique et l’OM de référence relatives aux équations, sur les enjeux d’apprentissages laissés implicites dans les programmes et les manuels, nous construisons un parcours d’étude et de recherche sur les équations prenant en compte les besoins d’apprentissages des élèves relatifs aux équations et à l’autonomie.
Dans le chapitre dix, nous réalisons une analyse a posteriori de la mise en œuvre du parcours d’étude et de recherche par un enseignant. Nous analysons les effets potentiels des gestes d’aide à l’étude de l’enseignant sur la construction des appren-tissages des élèves relativement aux équations et sur l’évolution dans leur manière d’organiser leur travail en autonomie hors la classe.
Le chapitre onze est un chapitre conclusif qui met en avant les principaux résul-tats de notre travail de thèse et ouvre sur des perspectives de recherche.
Chapitre 1
Enjeux, questions initiales et
contexte de la thèse
Enjeu, n. m. : Ce que l’on peut gagner ou perdre dans une entreprise quelconque.
1.1
Objectifs du chapitre
Dans ce chapitre introductif, nous exposons les principaux enjeux de la thèse, les questions initiales qui l’ont motivée et le contexte de la recherche. Il s’agit d’un chapitre quelque peu informel dans le sens où les premières questions posées, naïves, ne sont ni tout à fait délimitées, ni formulées en des termes de recherche ; où la problématique y apparaît seulement en filigrane des paradoxes et obstacles évoqués, et où les cadres théoriques patientent encore en coulisses. Notre but consiste essen-tiellement à développer nos motivations originelles qui impulsent le travail de thèse tout entier. Elles viendront en assez grande partie justifier les formalisations opérées à partir du chapitre deux (problématique de recherche, choix des outils théoriques et de la méthodologie) et tisseront un fil rouge dans les chapitres suivants.
Nous présentons d’abord les deux thèmes majeurs étudiés : d’une part le travail personnel des collégiens en mathématiques, d’autre part les apprentissages relatifs aux équations en classe de quatrième (classe désormais dissoute dans le cycle 4 des nouveaux programmes de 2016). Pour chacun de ces deux thèmes, nous cherchons à illustrer la manière dont ils occupent selon nous une place importante dans la scolarité de tout élève, et nous soulevons des premiers problèmes apparents qui leur sont relatifs. Nous expliquons ensuite comment l’étude du premier thème se fera à travers celle du second, nous plaçant ainsi d’emblée dans une perspective de recherche en didactique des mathématiques, c’est-à-dire en prenant en compte de
façon prédominante ce que la discipline a de spécifique.
Nous décrivons dans un second temps le contexte de recherche dans lequel s’ins-crit la thèse de manière brève. Ce dernier permet de comprendre en partie les choix que nous avons effectués pour les deux principaux thèmes retenus, et dans une autre mesure d’épaissir les enjeux.
1.2
Enjeux de la thèse
1.2.1
La question du travail personnel
a. Introduction
Il nous a semblé important de partir de notre propre expérience de praticien en collège pour aborder la question du travail personnel. En effet, nous faisons l’hy-pothèse que les questionnements que nous nous sommes initialement posés en tant qu’enseignant sont partagés par d’autres de nos (anciens) collègues et reflètent cer-taines représentations communes du métier autour du travail personnel. Nous abor-dons dans un ordre prémédité plusieurs éléments que nous avons jugés intéressants parce qu’ils nous ont posé problème dans notre pratique, et qui seront progressive-ment développés tout au long de la thèse. À partir de ces éléprogressive-ments, nous interrogeons ensuite quelques textes officiels. Nous le verrons, ces derniers n’apporteront que des réponses partielles à nos préoccupations enseignantes et ouvriront la porte à de nou-velles questions. Nous synthétisons alors les points problématiques soulevés dans cette section.
Nous rappelons que les développements opérés le sont dans un langage enseignant dans ce chapitre (d’où l’utilisation fréquente de guillemets). Ils ne seront reformulés en termes de recherche qu’à partir du chapitre deux.
b. Notre expérience d’enseignant sur le travail personnel
« Cet élève paraît sérieux en classe, il écoute, il participe, mais les résultats ne sont pas au rendez-vous. Son travail personnel est probablement insuffisant. » Voilà le genre de phrases que nous1 avons souvent entendues au détour de la salle des
professeurs ou lors de conseils de classe, moments fatidiques des bilans trimestriels. Fréquemment décrit en termes de manque ou d’inexistence, responsable désigné de
1. Dans cette sous-section, il faut considérer le sujet « nous » comme désignant le narrateur, c’est-à-dire l’enseignant que nous étions, et non pas forcément l’ensemble des enseignants.
certains échecs, le travail personnel nous a semblé régulièrement évoqué comme s’érigeant en condition sine qua non à la réussite scolaire.
Durant notre enseignement, nous avons fait l’expérience de la nécessité d’un tel travail. En effet, comme d’autres de nos collègues, nous nous sommes sentis contraint de nous reposer sur (et donc de croire en l’existence de) ce travail personnel car deux objectifs incompatibles nous paraissaient devoir être atteints simultanément : d’une part, réussir à faire rencontrer aux élèves toutes les notions mathématiques exigées par le programme officiel, ce qui impose un rythme cadencé de travail en classe et une incompressibilité du temps où ces notions sont présentées ; d’autre part, faire se réaliser les apprentissages relatifs à ces notions à des élèves qui les construisent – ou ne les construisent pas – à des vitesses très variées en raison de leurs différentes difficultés, ce qui exige (ou plutôt exigerait ) d’étendre le temps disponible en fonction de chacun. Or celui-ci, nous l’avons dit, n’est pas extensible à loisir.
Cette tension permanente (repérée par Castela (Castela, 2008) comme une ten-sion entre le temps didactique et le temps praxique, comme nous l’expliciterons dans le chapitre deux) entre avancer suivant les demandes de l’institution et avancer sui-vant les besoins de chaque élève, nous a conduit à accepter le fait que le temps des « apprentissages officiels » devait se prolonger d’une manière ou d’une autre en au-tant de temps d’« apprentissages personnels » qu’il y avait d’élèves, c’est-à-dire des temps nécessaires à chacun pour construire les apprentissages qui auraient « dû » l’être durant le temps « officiel » et qui n’ont pas pu l’être. Mais nous pensons qu’il ne s’agit pas seulement d’une question d’heures supplémentaires passées à travailler. Même en augmentant indéfiniment la durée de travail pour les élèves en difficulté, ceux-ci auraient-ils construit davantage les apprentissages ? Nous en doutons et nous interrogeons : n’y avait-il pas, outre ce problème de temps, un problème d’ordre orga-nisationnel ? Les élèves savaient-ils ce qu’il « convenait » de faire durant leur travail personnel ? Il s’agit là d’un point de vue sur les difficultés qui n’est peut-être pas celui communément adopté dans la profession : au-delà des difficultés cognitives seules, peut-être davantage attribuées à l’élève uniquement, nous posons la ques-tion de la relaques-tion entre ces difficultés et d’éventuels décalages instituques-tionnels qui en seraient potentiellement à l’origine. Nous formaliserons ce changement de point de vue en nous plaçant, au chapitre deux, dans le cadre de la théorie anthropologique du didactique (Chevallard, 1992), (Chevallard, 1998), (Chevallard, 2002a), qui per-met d’interroger les difficultés des élèves en mathématiques en lien avec l’institution dans laquelle ils apprennent et en prenant en compte les phénomènes transpositifs du savoir.
Le fait que l’élève ait à sa charge d’organiser son travail personnel conduit à l’idée que l’accomplissement d’un tel travail requiert une certaine autonomie. Celle-ci n’est bien sûr pas « totale » : par exemple, les élèves ne choisissent pas d’étudier telle ou telle notion mathématique de manière parfaitement arbitraire, ils le font parce qu’elles leur auront été a minima présentées en classe. Ou encore, l’enseignant peut aider l’élève à accomplir ce travail personnel et donc quelque part « diminuer » cette autonomie – reste à voir comment il le fait. Mais cette autonomie existe du fait que tous les besoins d’apprentissages n’ont pas pu être assouvis lors du travail en classe par l’enseignant et appellent à l’être notamment quand les interactions avec ce dernier sont interrompues. L’adjectif « personnel » signifie que l’élève, d’une ma-nière distincte de ce qui est collectivement orchestré par l’enseignant, doit accomplir un travail qui lui est spécifique, particulier, qui relève de son investissement propre. L’autonomie, du grec autos, « soi-même », et nomos, « la loi », implique que l’élève doit faire siennes certaines règles liées au travail en mathématiques pour que l’ensei-gnant n’ait plus à les lui rappeler. Ceci suppose que ces règles aient été clairement explicitées d’une part, et que l’élève dispose de moyens pour les intégrer et ensuite les appliquer seul d’autre part.
Or, nous avons constaté que le travail personnel, d’autant plus nécessaire pour les élèves en difficulté, demeurait de manière visible insuffisamment accompli par ces derniers. L’adverbe « insuffisamment » ne renvoie pas forcément à une idée de quan-tité : nous avons vu des élèves aux résultats très faibles fournir des efforts massifs, sur des temps très longs. Ceci nous amène à poser la question des « règles » relatives au travail en mathématiques – nous gardons volontairement le terme assez vague de « règles » pour le moment. Avions-nous suffisamment explicitées ces dernières à nos élèves ? Leur avions-nous réellement donné les moyens de se les approprier ?
Avant de développer ce point, notons ici l’apparition d’un paradoxe éclatant : ceux pour qui le travail personnel est le plus conséquent sont potentiellement ceux qui, de fait, ont le moins suivi le rythme imposé du travail en classe ; généralement, ce sont aussi ceux qui ont le plus de difficultés à construire leurs apprentissages, même avec l’aide de l’enseignant, et à faire preuve d’autonomie dans ces apprentissages. Or, c’est à ceux-là mêmes que l’on demande d’accomplir un travail supplémentaire considérable : ils ont non seulement le plus grand « retard » à rattraper, mais ils doivent en plus le faire en autonomie !
Revenons à présent aux « règles » qui, une fois qu’il les a intégrées, permettraient à l’élève d’accomplir un travail personnel efficace, c’est-à-dire favorisant la construc-tion de ses apprentissages. En quoi consiste un tel travail précisément ? Quelles sont
ces « règles » qui le régissent ? En tant qu’enseignant, nous avions la conception d’un travail personnel comme étant un travail englobant des tâches aussi larges que « refaire les exercices », « réviser régulièrement pour le prochain contrôle », ou en-core « apprendre les leçons tous les jours », tâches que le temps officiel en classe ne permettait pas d’accomplir pour tous (surtout pour les plus « en retard ») et que nous estimions nécessaires à la réussite et fonction des besoins de chacun (d’où le « personnel »). Parfois, nous ajoutions des nuances, du type « attention, n’apprenez surtout pas par cœur, l’essentiel est de comprendre » ; mais cela apportait-il un quel-conque éclaircissement sur ce qu’il convenait de faire concrètement pour vraiment comprendre ? Qu’attendions-nous exactement lorsque nous exigions de nos élèves qu’ils « révisent » ? Comment devaient-ils apprendre une leçon en mathématiques ? Au vu de ces questions que nous nous sommes – et donc que nous avons auprès de nos élèves – insuffisamment posées, était-il raisonnable d’attendre de ces derniers l’autonomie indissociable du travail personnel et à laquelle nous ne les préparions pas spécialement en classe ? Les plus en difficulté avaient-ils seulement les capacités d’assumer une charge de travail d’autant plus importante qu’ils étaient, justement, en difficulté ? Quelles aides – quelles « balises » – aurions-nous pu ou dû leur appor-ter ?
c. Le travail personnel : un enjeu pour l’enseignement
Dans les paragraphes précédents, nous posions la question de la définition et des « règles » régissant le travail personnel, ainsi que la manière de l’organiser pour aider les élèves à l’accomplir. Dans cette sous-section, nous étudions à présent quelques documents officiels : que disent-ils à propos du travail personnel ? Ce dernier y est-il clairement défini et si oui, comment ? Des éléments précis pour aider à l’organiser sont-ils présentés ?
À l’école élémentaire, le travail personnel est évoqué par les textes officiels dans le cadre des activités pédagogiques complémentaires (APC) et associé à un besoin d’individualisation du travail pour combler des difficultés :
« Les APC offrent un large champ d’action pédagogique et permettent d’apporter aux élèves un accompagnement différencié, adapté à leurs besoins, pour susciter et renforcer le plaisir d’apprendre. Les enseignants peuvent aider les élèves lorsqu’ils rencontrent des difficultés dans leurs apprentissages, les accompagner dans leur travail personnel ou
leur proposer une activité prévue dans le cadre du projet d’école. » (Site Eduscol2)
Au collège (cycle 4), le travail personnel est mentionné comme une composante du travail de l’élève favorisant l’acquisition d’une autonomie sans laquelle la poursuite des études n’est pas possible :
« Etre élève s’apprend par l’exemple des adultes mais aussi en s’ap-propriant des règles et des codes que ce domaine3 explicite. Il s’agit
du travail en classe et du travail personnel de l’élève qui aug-mente progressivement dans le cycle. Ils permettront l’autonomie nécessaire à des poursuites d’étude. Il ne s’agit ni d’un enseignement spécifique des méthodes, ni d’un préalable à l’entrée dans les savoirs : c’est dans le mouvement même des apprentissages disciplinaires et des divers moments et lieux de la vie scolaire qu’une attention est portée aux méthodes propres à chaque discipline et à celles qui sont utilisables par toutes. » (Bulletin Officiel Spécial de 20154)
Au collège et au lycée (cycle 5), l’accompagnement personnalisé (AP) est un dispositif qui prend le relais des activités pédagogiques complémentaires. Une cir-culaire5 du B.O. de 2011 décrit l’AP d’une manière très globale : elle en donne des
« principes généraux » (comme le fait qu’un enseignant, quelle que soit sa discipline, peut organiser l’AP des élèves), détaille des « domaines d’activités prioritaires » (avec des recommandations générales comme « soutenir » les élèves dans leurs ap-prentissages, « leur faire acquérir une autonomie et des méthodes de travail », « les aider à approfondir leurs connaissances ») et des modalités de mise en œuvre. Au lycée6, l’AP consiste à mettre l’accent sur des éléments méthodologiques ou des
com-pétences transversales, entre autres « apprendre à argumenter », « gérer son stress pour mieux apprendre », « construire une carte mentale pour apprendre une leçon ». À travers ces quelques exemples, nous pouvons constater que l’institution sou-ligne la nécessité du travail personnel des élèves : il s’agit d’un enjeu d’enseignement
2. Voir : http ://eduscol.education.fr/cid74795/les-activites-pedagogiques-complementaires.html
3. Il est question du domaine numéro 2, « Méthodes et outils pour apprendre », qui jouxte d’autres domaines décrits dans les textes officiels de 2015.
4. Disponible sur le site Eduscol à l’adresse suivante :
http ://www.education.gouv.fr/pid285/bulletin_officiel.html ?cid_bo=94717
5. Voir : http ://www.education.gouv.fr/pid25535/bulletin_officiel.html ?cid_bo=57154 6. Voir par exemple : http ://eduscol.education.fr/cid55003/accompagner-le-lyceen-methodologie.html
majeur, puisque le travail personnel prend de plus en plus d’importance au fur et à mesure que l’élève progresse dans sa scolarité. Il devient une condition nécessaire à la réussite dans la construction de ces apprentissages, notamment au lycée et dans le supérieur où, à temps d’enseignement égal, les notions à étudier sont plus nombreuses et plus complexes.
Paradoxalement, si l’institution propose des dispositifs pour accompagner ce tra-vail personnel, si elle affirme que ce dernier ne doit pas faire l’objet d’un enseignement propre et que toutes les disciplines concourent, de par leurs spécificités, à l’accom-plir, elle n’explicite jamais en quoi il consiste précisément, et les dispositifs, orientés sur l’individualisation, la gestion de l’hétérogénéité ou l’acquisition de compétences générales, le sont sans prise en compte des spécificités des disciplines.
Résumons les points importants développés dans les paragraphes précédents : − Le travail personnel concentre des enjeux d’apprentissages et d’enseignement
d’envergure : selon les programmes, il se pose en condition nécessaire à la réussite scolaire et augmente progressivement de l’école élémentaire jusqu’au lycée et au-delà.
− Ce travail vient en sus du travail en classe et s’avère nécessaire parce que le temps officiel des apprentissages imposé par le programme et le temps requis par chaque élève pour construire ces apprentissages ne coïncident pas toujours, le premier étant incompressible alors que le second astreint à une flexibilité.
− Le travail personnel, du fait qu’il a lieu en supplément du travail en classe, suppose une certaine autonomie, toutefois modulée par l’enseignant qui pré-sente au minimum les notions mathématiques et peut guider l’élève dans son travail personnel.
− Les programmes officiels n’explicitent pas en quoi consiste le travail personnel, dans tous les cas pas en mathématiques. Les dispositifs proposés semblent davantage d’ordre méthodologique et ne prennent pas en compte les contenus propres à chaque discipline, avec les difficultés spécifiques d’apprentissage qui leur sont relatives.
Ces éléments donnent naissance à un paradoxe majeur : l’élève le plus en dif-ficulté pour construire ses apprentissages en classe avec l’aide de l’enseignant est potentiellement celui pour qui le travail personnel est le plus conséquent et requiert davantage d’autonomie. Il peut éprouver, plus que les autres, un besoin fort d’ex-plicitation des « règles » relatives à ce travail personnel et d’une aide adaptée à ses
besoins, besoins qui portent sur des contenus mathématiques. Or, du fait de ses difficultés scolaires, des implicites non levés par les programmes ou les enseignants à propos de la définition et de l’organisation de ce travail personnel, de la non prise en compte des spécificités de la discipline dans les dispositifs proposés par l’institution, cet élève se trouve probablement dans l’incapacité d’assumer cette charge.
La principale question que nous formulons à ce stade de la réflexion est donc la suivante : comment définir et organiser le travail personnel des élèves pour qu’il favorise la construction de leurs apprentissages en mathématiques ?
Pour prendre en compte dans notre travail les spécificités de la discipline, nous avons choisi de nous concentrer sur un thème d’étude : les équations. Nous expliquons dans les paragraphes qui suivent le choix d’un thème algébrique.
1.2.2
La question de l’algèbre élémentaire au collège
a. Introduction
Comme précédemment, nous relatons dans les lignes qui suivent notre expérience personnelle d’enseignant sur le second thème majeur de cette thèse, les équations – et plus généralement, l’algèbre élémentaire. Nous supposons que les questions qui nous ont traversé durant notre enseignement en collège7 dans ce domaine
mathéma-tique cristallisent des problémamathéma-tiques enseignantes générales8 (comme les difficultés
de gestion de l’hétérogénéité des apprentissages en algèbre) et à ce titre sont inté-ressantes.
Encore une fois, nos interrogations ne sont pas ici énoncées en des termes de recherche et le seront à partir du chapitre deux.
b. Notre expérience d’enseignant sur l’enseignement de l’algèbre et des équations
« 3x + 2, ça fait 5x ». Combien de nos élèves ont-ils commis un jour cette erreur ? En tant qu’enseignant, nous nous sommes rapidement senti démuni pour mettre en œuvre un enseignement de l’algèbre en collège qui nous paraisse satisfaisant. Bien qu’ayant le sentiment de respecter le programme officiel, d’épuiser la variété des exercices présents dans les manuels, de posséder une progression dite spiralée en
7. Entre 2010 et 2014, donc avant les programmes de 2015-2016.
8. C’est la deuxième fois que nous faisons cette hypothèse. Nous la justifierons théoriquement au chapitre cinq, en partant du postulat que les pratiques enseignantes – au moins pour les professeurs en activité depuis quelques années – sont stables et cohérentes (Robert & Rogalski, 2002).
algèbre pour entretenir les notions tout au long de l’année et d’utiliser des dispo-sitifs dits de « remédiation » de l’erreur en algèbre, différenciés de surcroît, nous nous sommes heurté à des élèves toujours en proie aux mêmes difficultés que nous qualifiions ainsi : un symbolisme incompris, des règles mathématiques appliquées à l’aveugle, souvent fausses ou déformées, une absence de sens donné à la lettre, une incapacité à contrôler les résultats.
Nos difficultés semblaient partagées par d’autres enseignants autour de nous, même ceux possédant une plus longue expérience que la nôtre. Nous avons entendu des collègues de lycée faire le constat d’un niveau très faible en algèbre chez les élèves nouvellement arrivés en classe de seconde générale. En particulier, les « plaintes » portaient sur l’incapacité de ces élèves à appliquer les techniques élémentaires de cal-cul algébrique. Pourtant, répondaient les enseignants de collège, ces techniques sont longuement travaillées en quatrième et en troisième. En effet, les manuels scolaires de 2011 débordent d’innombrables exercices uniquement consacrés au développement et à la factorisation d’expressions ou à la résolution algébrique d’équations.
Le respect du programme officiel et l’appui sur les manuels pour le travail de la technique semblaient ainsi avoir trop peu d’influence sur la réussite des élèves en algèbre. Nous nous sommes alors interrogé : le programme officiel n’était-il pas « incomplet » à ce sujet, dans le sens où il omettrait des éléments cruciaux pour que se réalisent les apprentissages en algèbre ? Les manuels proposaient-ils des acti-vités et des exercices « pertinents » en regard de ces apprentissages ? Les raisons de notre échec n’étaient-elles pas plus profondes que ces questions d’entraînements tech-niques ? Ne touchaient-elles pas de près à la compréhension des objets de l’algèbre, à leur motivation, à la justification des techniques associées(Chevallard, 1998) ; Bosch et Gascon, (Bosch & Gascón, 2005) ? Finalement, en tant qu’enseignant, disposions-nous d’outils pour permettre à nos élèves de réussir en algèbre en collège ?
c. L’algèbre et les équations en collège : un enjeu pour l’enseignement des mathématiques
Dans les programmes de 20089(et les programmes actuels aussi), c’est au collège
que l’étude de l’algèbre élémentaire commence « sérieusement » même si, à l’école
9. Voir le Bulletin Officiel de 2008, disponible par exemple à l’adresse suivante : http ://media.education.gouv.fr/file/special_6/52/5/Programme_math_33525.pdf
Nous nous focaliserons sur ces programmes car ce sont eux que nous avons largement analysés dans cette thèse. Les programmes plus récents ont été publiés tardivement par rapport à nos recherches.
élémentaire, quelques formules géométriques font leur apparition (périmètre et aire du rectangle et du carré par exemple). L’étude des expressions algébriques (dé-veloppement, factorisation) démarre en classe de cinquième et se prolonge jusqu’en troisième. En fin de cinquième, une « initiation » aux équations est suggérée, ces der-nières étant davantage travaillées en quatrième et en troisième. L’étude des fonctions arrive en fin de collège et nécessite de savoir manipuler les équations algébriques. Au lycée et dans le supérieur, l’algèbre devient un domaine pilier de l’étude des mathématiques ou d’autres disciplines comme les sciences physiques. Entre autres, les carrefours avec l’analyse ou la géométrie se multiplient : on parle par exemple de topologie ou de géométrie algébriques à l’université.
L’entrée dans l’algèbre élémentaire constitue donc un tournant majeur pour les élèves dans leur scolarité en mathématiques. Beaucoup de nos anciens collègues en-seignants s’accordent à dire que la classe de quatrième est une classe particulièrement « difficile », notamment à cause de cette algèbre qui selon eux est en grande partie responsable du « décrochage » de nombreux collégiens en mathématiques. Dans le supérieur, nous avons rencontré des enseignants-chercheurs qui déploraient un ni-veau « catastrophique » de certains étudiants dans ce domaine en licence, avec des lacunes qui remonteraient au collège. En bref, « rater » le passage d’une arithmétique travaillée et ancrée depuis l’école élémentaire à une algèbre où se mêlent symboles, lettres, opérations suspendues et qui sera le pivot dans l’étude de nombreuses no-tions ultérieures ne peut donc qu’être lourd de conséquences dans la construction des apprentissages mathématiques.
d. Le travail personnel des élèves sur les équations
Nous faisons à présent le pont entre le thème du travail personnel et celui sur les équations.
Notre travail de thèse s’inscrit dans une recherche en didactique des mathéma-tiques. À ce titre, nous partons du postulat que les spécificités de la discipline ont une importance primordiale dans les phénomènes d’apprentissages et d’enseigne-ment. Par conséquent, nous cherchons à étudier la manière dont les élèves accom-plissent leur travail personnel – et la manière dont leurs enseignants l’organisent – sur le thème des équations, en mettant en avant ce que ce thème a de particulier, dans une institution donnée : les difficultés qui semblent être récurrentes en algèbre chez les élèves, les nouvelles propriétés mises en jeu, les nouveaux types d’exercices pouvant être résolus avec les équations, etc ; nous supposons que ce travail ne serait
pas identique dans une autre matière (histoire, français, biologie, ...) ni même dans un autre domaine mathématique (géométrie, analyse). Or, nous l’avons vu, les docu-ments officiels et les dispositifs mis en place par l’institution paraissent peu prendre, voire ne pas prendre en compte ces spécificités.
De plus, les équations, parce qu’elles agrègent plusieurs notions comme, entre autres, le calcul sur les nombres relatifs, sur les fractions ou sur les expressions algébriques, parce qu’elles nécessitent des « ruptures » avec une pensée arithmétique – il s’agit de ruptures épistémologiques et didactiques (Vergnaud, Cortes et Favre-Artigue, (Vergnaud, Cortes, & Favre-Favre-Artigue, 1987)) que nous préciserons dans le chapitre six –, nous paraissent constituer un thème mathématique intéressant pour reprendre nos questionnements sur le travail personnel. En effet, c’est sur un chapitre comme celui-ci que nous avons pu voir en tant qu’enseignant s’opérer de grands décalages entre le temps « officiel » que nous accordions à ce chapitre et que nous ne pouvions pas dépasser pour pouvoir traiter toutes les autres notions du programme, et le temps nécessaire à chaque élève pour construire les apprentissages relatifs aux équations. Là où certains semblaient ne rencontrer aucune difficulté particulière et résolvaient correctement les équations proposées en classe, de nombreux autres paraissaient constamment en proie soit à des difficultés liées à l’apprentissage de nouvelles notions ou en lien avec d’anciennes notions (calcul sur les nombres relatifs, les fractions, les expressions, etc.), soit peut-être à des difficultés liées à des choix didactiques mais que nous ne parvenions pas à identifier avec précision.
Dans tous les cas, l’entraînement répétitif sur des exercices techniques n’effaçait visiblement pas ces difficultés, et la diversité et la pluralité de ces dernières, que nous ne réussissions pas toutes à étiqueter, nous conduisait une nouvelle fois à nous reposer sur « l’espoir » que les élèves, en dehors du temps alloué en classe à l’étude des équations, s’investiraient dans leur travail personnel pour combler leurs lacunes. Une gageure pour les plus en difficulté, comme nous l’avons déjà souligné : comment pouvaient-ils d’une part identifier ce qui leur posait problème dans la compréhension du calcul sur les équations alors que leur propre enseignant n’y parvenait pas, et d’autre part apporter des réponses adaptées à leurs besoins d’apprentissages alors même que notre mise en œuvre des objets de savoir, inspirée des programmes et des manuels, ne semblait pas les leur avoir fournies ?
Nous retenons des paragraphes précédents les points suivants :
− Les apprentissages en algèbre élémentaire débutent de manière importante en collège, se poursuivent et deviennent essentiels au lycée et dans le
supé-rieur. Les équations, abordées en classe de quatrième (programmes 2008), constituent donc un enjeu fort dans la scolarité des élèves en mathématiques. − Malgré un apparent respect des programmes officiels et un appui sur les manuels scolaires, certains enseignants semblent peiner à faire se construire les apprentissages en algèbre au collège.
− Les équations articulent plusieurs thèmes et les besoins des élèves peuvent rapidement s’avérer très divers. La gestion de l’hétérogénéité de ces besoins d’apprentissages par l’enseignant devient essentielle, mais ce dernier peut se retrouver démuni pour diagnostiquer puis répondre de manière adéquate à ces besoins.
− Par conséquent, le paradoxe des élèves en difficulté apparaît encore plus fla-grant sur le thème des équations : leur travail personnel en algèbre, domaine d’étude qui provoque des ruptures avec l’arithmétique du primaire et agrège une multitude de notions antérieures et nouvelles, explose potentiellement alors même que leur enseignant n’est pas toujours en mesure de l’organiser explicitement, notamment en raison des besoins d’apprentissages qui ne sont pas toujours identifiés.
1.3
Une première présentation du contexte de la
re-cherche
a. L’influence du contexte sur les thèmes étudiés dans la thèse
Notre travail de thèse se situe par rapport à différents travaux et projets de re-cherche (Grugeon, 1997) ; Jean, (Jean, 2000) ; Delozanne, Prévit, Grugeon et Chene-votot (Delozanne, Prévit, Grugeon, & CheneChene-votot, 2008), (Delozanne, Prévit, Gru-geon, & Chenevotot, 2010) ; GruGru-geon, (GruGru-geon, 2009) ; Chenevotot et GruGru-geon, (Chenevotot & Grugeon, 2009) ; Darwesh, (Darwesh, 2010) ; Pilet, (Pilet, 2012) qui expliquent en partie notre choix d’étudier les questions du travail personnel et de l’enseignement des équations en collège, et qui permettent de mieux saisir les enjeux de notre travail de thèse au sein de la recherche en didactique des mathématiques. Nous n’en parlons pas ici en détails ; nous exposons de manière concise et tempo-rairement superficielle les enjeux généraux en recherche en didactique autour des questions relatives au travail personnelle et aux équations car pour être pleinement compris, ces enjeux de recherche nécessiteraient de petits développements théoriques que nous avons choisis d’effectuer dans le chapitre suivant.
b. La question du travail personnel : un enjeu peu abordé dans la re-cherche en didactique des mathématiques
Comme nous le verrons dans le chapitre trois, le travail personnel est l’objet d’étude de peu de travaux de recherche en didactique des mathématiques. Il est davantage analysé en sociologie ou en sciences de l’éducation (voir par exemple le dossier de veille de l’IFE de Thibert (Thibert, 2016), mais ces dernières ne donnent pas la primauté aux spécificités des contenus mathématiques dans l’enseignement et l’apprentissage. Cette rareté de travaux de recherche en didactique s’explique en partie par des difficultés d’ordre méthodologique : le travail personnel est plutôt ob-servable en dehors du cours de mathématiques (où a principalement lieu le travail en classe) ce qui le rend potentiellement peu accessible aux chercheurs. Les données que nous pouvons recueillir sur ce travail personnel sont donc d’autant plus précieuses qu’elles ne sont pas aisées à obtenir.
De plus, même au sein des recherches en didactique, qui se situent plus souvent au niveau du lycée ou du supérieur qu’à celui du collège, la prise en compte des spécificités d’un thème particulier dans l’accomplissement du travail personnel au collège est quasiment absente. Les élèves ou les étudiants observés ou interrogés sur leur travail personnel le sont certes en lien avec leur apprentissage des mathématiques (voir par exemple Félix, (Félix, 2002) ; Castela, (Castela, 2007a)), mais la nature précise des contenus travaillés est peu considérée. En nous focalisant sur le thème particulier des équations en classe de quatrième en collège, nous mettons davantage en avant les liens entre les spécificités d’un contenu mathématique et les (difficultés d’) apprentissages qui lui sont relatifs.
Enfin, nous avons illustré le fait que le travail personnel accrochait plusieurs problématiques enseignantes générales, comme l’autonomie des élèves ou la gestion de l’hétérogénéité des besoins d’apprentissages. Ces questions sont également des questions vivantes en recherche en didactique, et le travail personnel est une occasion de les traiter d’une manière originale sous certains aspects.
c. La question de l’enseignement des équations : un thème d’actualité dans la recherche en didactique des mathématiques
Contrairement au travail personnel, l’enseignement et l’apprentissage de l’al-gèbre sont très largement étudiés en didactique des mathématiques, et les nombreux travaux de recherche sur le sujet témoignent de son importance et de son
actua-lité10. Notre travail s’insère dans divers projets de recherche et dans la continuité
de plusieurs travaux en didactique de l’algèbre. Nous poursuivons notamment des travaux relatifs à l’enseignement des expressions algébriques, ces dernières consti-tuant des notions préalables à l’étude des équations. Nos résultats ont de plus servi à des enseignants et des chercheurs pour concevoir des parcours d’enseignement11 sur les équations et des ressources écrites à destination des enseignants à propos de l’évaluation en algèbre. Nous présentons tout ceci plus en détail dans le chapitre deux.
Le fait de choisir d’étudier le travail personnel sur le thème des équations nous paraît cohérent dans la mesure où nous disposons pour le second de nombreux élé-ments théoriques sur lesquels nous pourrons nous appuyer pour analyser la manière dont le premier, peu étudié en recherche, est accompli par les élèves et organisés par leurs enseignants.
1.4
Conclusion
Nous avons présenté les deux thèmes principaux de la thèse dans ce chapitre introductif. Pour chacun d’eux, nous avons exposé des questions et des problèmes qui témoignent d’enjeux forts tant du point de vue de l’enseignement des mathématiques que de la recherche en didactique.
À l’issue de ce premier chapitre, nous nous posons les principales questions sui-vantes :
1. Les difficultés des élèves à réaliser un travail personnel efficace ne proviendraient-ils pas d’un manque d’explicitation des attentes vis-à-vis d’un tel travail par les programmes officiels et les enseignants ?
2. Ce manque d’explicitation autour du travail personnel ne serait-il pas lui-même issu d’un manque d’identification par les programmes et les enseignants des besoins d’apprentissages des élèves, en lien avec le contenu mathématique étudié ?
3. Ainsi, l’identification des besoins d’apprentissages relatifs aux équations ne permettrait-elle pas d’expliciter une organisation de ce travail personnel fa-vorisant les apprentissages en lien avec les spécificités des contenus mathé-matiques correspondants ?
10. Une synthèse de travaux de référence sur les équations est présentée dans le chapitre six de cette thèse.
Ces questions montrent l’intérêt de passer d’une approche uniquement cognitive pour expliquer les difficultés des élèves à une approche anthropologique prenant en compte la structure même de l’activité mathématique et de son étude au cours de la transposition didactique, approche présentée dans le chapitre suivant.
Chapitre 2
Cadres théoriques, problématique et
méthodologie générale
« Il y aura juste proportion si l’on ne parle ni sans art sur des questions d’une haute importance, ni solennellement sur des questions secondaires, et pourvu que l’on n’adapte pas un terme fleuri au nom d’une chose ordinaire ; sinon, la comédie apparaît. »
Aristote, La Rhétorique, Livre III
2.1
Objectifs du chapitre
Dans ce deuxième chapitre, nous formalisons à l’aide de cadres et outils théo-riques les phénomènes et interrogations abordés dans le chapitre précédent, et nous exposons la méthodologie générale de la thèse.
Nous commençons par présenter les principaux cadres théoriques dans lesquels nous nous plaçons en nous efforçant d’en expliquer les raisons : pourquoi tel et tel cadres théoriques nous semblent pertinents pour étudier tel et tel aspects du travail personnel et de l’enseignement des équations en collège. L’explicitation des cadres théoriques permet simultanément celle des principales hypothèses de travail sur lesquelles nous nous appuierons, et celle de quelques limites au-delà desquelles nous ne nous prononcerons pas. Ils guident également la méthodologie générale ; celle-ci se précisera dans les chapitres qui suivent en fonction des besoins théoriques et des résultats obtenus au fur et à mesure.
Une fois mis à notre disposition, les principaux outils théoriques nous servent ensuite à élaborer une problématique formelle et à esquisser des premières hypothèses
de recherche. Ils sont aussi l’occasion de revenir sur le contexte dans lequel s’inscrit la thèse, leur absence nous ayant conduit à seulement aborder ce contexte en surface dans le chapitre un.
Enfin, les éléments développés ici aident à comprendre la structure du plan de thèse, qui complète les éléments méthodologiques fournis auparavant et que nous annonçons à l’issue de ce deuxième chapitre.
2.2
Présentation et motivation de l’usage de cadres
théoriques, premiers éléments méthodologiques
2.2.1
L’apport d’une approche anthropologique
Nous allons dans un premier temps motiver le recours aux cadres et outils théo-riques dans notre travail de thèse. Notre but est de reformuler de manière progressive et argumentée nos questions d’enseignant en questions de recherche et d’exposer des éléments méthodologiques pour y répondre.
Rappelons les interrogations qui ont clôturé le chapitre un :
1. Les difficultés des élèves à réaliser un travail personnel efficace ne proviendraient-ils pas d’un manque d’explicitation des attentes vis-à-vis d’un tel travail par les programmes officiels et les enseignants ?
2. Ce manque d’explicitation autour du travail personnel ne serait-il pas lui-même issu d’un manque d’identification par les programmes et les enseignants des besoins d’apprentissages des élèves, en lien avec le contenu mathématique étudié ?
3. Ainsi, l’identification des besoins d’apprentissages relatifs aux équations ne permettrait-elle pas d’expliciter une organisation de ce travail personnel fa-vorisant les apprentissages en lien avec les spécificités des contenus mathé-matiques correspondants ?
Ces questions nécessitent pour être traitées d’adopter une approche prenant en compte le savoir mathématique et sa transposition dans différentes institutions, et donc ce qu’est l’activité mathématique et ce que sont les pratiques enseignantes pour organiser didactiquement l’étude de leurs élèves. La théorie anthropologique du didactique, que nous présentons ci-après, constitue à ce titre une telle approche multidimensionnelle permettant de réinterroger et de faire évoluer ces premières questions.
