La théorie anthropologique du didactique

a. Les notions d’institution et de rapport à un objet pour modéliser et analyser les relations entre les individus, les institutions et les objets de savoir

Les phénomènes mentionnés au chapitre un mettent en scène des élèves et des enseignants dans des classes, soumis à des contraintes diverses présentes dans ces classes, mais aussi dans des établissements, dans un système éducatif en général, et qui entretiennent des relations particulières avec des objets de savoir, comme celui sur les équations.

L’approche anthropologique développée par Chevallard ((Chevallard, 1992), (Chevallard, 1998), (Chevallard, 1999), (Chevallard, 2005)) fournit des outils pour étudier ces dif-

férents éléments. Chevallard définit une institution comme étant un dispositif social « total » permettant et imposant aux personnes qui occupent des positions offertes dans cette institution la mise en jeu de manières de faire propres et de manières de penser propres. Par exemple, une classe est une institution, avec deux positions : celle d’élève et celle d’enseignant. Le système éducatif est une autre institution.

Toute personne vivant dans une institution est un sujet de cette institution : l’élève est le sujet de son enseignant, lui-même sujet du système éducatif. L’insti- tution, même si elle les contraint, permet à ses sujets de faire et de penser : l’élève étudie les mathématiques parce qu’il trouve en classe les conditions pour le faire, conditions en partie mises en place par l’enseignant.

Une institution possède des attentes vis-à-vis de ses sujets en fonction des posi- tions qu’ils y occupent. En particulier, elle attend d’eux qu’ils entretiennent certains rapports à des objets. Un objet est à comprendre au sens large : il s’agit d’une entité matérielle ou immatérielle existant au moins pour un individu. Le rapport d’un in- dividu à un objet est l’ensemble de toutes les interactions que cet individu a avec cet objet. Dès qu’un objet existe pour au moins un individu, alors cet individu possède un rapport personnel à cet objet.

Le rapport institutionnel à un objet en une certaine position est le rapport qu’un sujet dans cette certaine position devrait avoir avec l’objet en question d’après les attentes de l’institution dont il est le sujet. Par exemple, à la fin de la classe de quatrième, l’institution système éducatif1 attend d’un élève qu’il sache ce que sont des équations du premier degré à une inconnue réelle et à coefficients réels et qu’il sache en résoudre certaines. Si tel est le cas, alors l’élève a développé un rapport

personnel à l’objet équation en fin de quatrième qui se confond avec un rapport institutionnel.

Il faut noter que l’évaluation du rapport personnel à un objet par un évaluateur connaissant le rapport institutionnel à cet objet ne peut qu’être apprécié. Ainsi, de manière générale, deux évaluateurs connaissant ce rapport institutionnel l’apprécie- ront différemment.

En résumé, les élèves – tout comme leurs enseignants – entretiennent des rap- ports personnels à des objets de savoir au sein de l’institution qu’est la classe, et l’enseignant souhaite qu’à travers son enseignement, ces rapports tendent vers des rapports institutionnels définis par les programmes officiels. Par conséquent, la com- préhension des apprentissages personnels des élèves passe en partie par l’analyse des apprentissages institutionnels : le savoir appris dépend de l’institution dans lequel il est appris et donc est liée aux rapports institutionnels aux objets de savoir. Une question vient alors naturellement : comment se construisent les rapports personnels des élèves au sein des différentes institutions (classes) dans lesquelles ils évoluent ?

b. La transposition didactique : un outil pour modéliser et analyser les transformations du savoir

Dans nos interrogations du chapitre un, les élèves ont appris dans des classes avec des enseignants mettant en œuvre un enseignement. L’enseignement est construit en fonction des contraintes imposées par des documents officiels et des institutions (comme l’inspection, le Ministère de l’Education Nationale), eux-mêmes soumis à d’autres contraintes émises par d’autres personnes (enseignants, formateurs, inspec- teurs, chercheurs, mathématiciens, ...). Ainsi, en descendant cette chaîne d’institu- tions exerçant des contraintes aux différents sujets y occupant certaines positions, le savoir savant issu des mathématiciens est transformé en un savoir à enseigner dans les documents officiels et les manuels, lui-même transformé en un savoir enseigné par les enseignants au sein des classes, lui-même transformé en un savoir appris par les élèves (voir figure 2.1).

La prise en compte des phénomènes liés à cette transposition didactique (Chevallard, 1985), au sein de laquelle le savoir subit des transformations, nous permet d’étudier l’évolution et la transmission des savoirs véhiculés au sein des institutions.

Dans notre cas, les élèves en quatrième construisent leurs rapports personnels aux équations grâce à l’enseignement prodigué par l’enseignant. Cet enseignement est lié au savoir à enseigner présent dans les manuels et les programmes officiels.

Figure 2.1 – La transposition didactique

Cependant, au regard de l’échec des élèves en algèbre, nous nous sommes interro- gés : l’institution fournit-elle explicitement aux enseignants et aux élèves les moyens de faire construire aux élèves des rapports institutionnels aux objets de l’algèbre ? Surtout, ces rapports institutionnels permettent-ils par la suite, lorsque les élèves changent d’institution (passent en classe supérieure) de construire les nouveaux rap- ports institutionnels attendus ? Comment ces rapports institutionnels sont-ils décrits dans les programmes officiels et les manuels ?

Chevallard (Chevallard, 1989a) fait la distinction entre le rapport institutionnel (qu’il appelle aussi le rapport officiel ) à un objet attendu au sein d’une institution et le rapport idoine à cet objet :

« La transposition didactique, qui modifie le fonctionnement des ob- jets de savoir, imprime une certaine spécificité au rapport officiel que l’enseignement prodigué propose à l’élève. Et ce rapport officiel engendre chez l’élève un rapport personnel qui, aussi conforme soit-il au rapport of- ficiel, jouira d’une idonéité limitée dès lors que l’objet de savoir concerné, ayant cessé d’être enjeu didactique pur, ne sera plus qu’outil de l’activité didactique-mathématique de l’élève [...] »

Autrement dit, l’enseignant souhaite que ses élèves entretiennent des rapports personnels aux objets de savoir à la fois proches des rapports institutionnels, mais aussi des rapports personnels idoines qui leur permettront, dans d’autres institu- tions, de construire de nouveaux rapports personnels idoines. Cependant, d’après Chevallard, rapport institutionnel et rapport personnel idoine ne sont pas toujours confondus.

c. Les organisations praxéologiques pour modéliser et analyser l’activité mathématique des élèves

Les élèves construisent des rapports personnels aux équations à travers l’ensei- gnement fourni par l’enseignant au sein de la classe. Concrètement, comment étudier ces rapports personnels ? Comment les mettre en relation avec les rapports institu- tionnels à l’œuvre dans les programmes et les manuels ?

Pour répondre à ces questions, et toujours en nous plaçant dans le cadre de la théorie anthropologique du didactique (abrégée TAD dans la suite), nous partons du postulat que toute action humaine procède d’une praxéologie : pour réaliser une tâche t relevant d’un certain type de tâches T , un individu va mettre en œuvre une manière de faire, une technique τ , qu’il justifiera par un discours rationnel, la technologie θ, elle-même éventuellement justifiée par un autre discours supérieur, la théorie Θ. Un quadruplet [T, τ, θ, Θ] constitue une organisation praxéologique ponctuelle et, dans le cas particulier des mathématiques, une organisation mathématique ponctuelle. Dans toute la thèse, nous désignerons par OM une organisation mathématique, et nous utiliserons indifféremment les termes d’organisations mathématiques ou de praxéologies mathématiques.

Il est à noter que la technologie θ peut être décrite à l’aide de deux composantes, l’une théorique, l’autre pratique (Castela, 2008). La composante théorique com- prend les définitions et théorèmes mathématiques ; la composante pratique renvoie au discours non mathématique qui guide la mise en œuvre d’une technique.

Par exemple, la tâche « Résoudre l’équation 3x + 1 = 6x + 5 » relève du type de tâches « Résoudre une équation du type ax + b = cx + d ». Une technique pour résoudre cette équation peut être de le faire en utilisant les propriétés de conservation de l’égalité, qui constituent la composante théorique de la technologie justifiant cette technique. Les discours comme « Isoler l’inconnue dans un membre » font partie de la composante pratique de la technologie. Enfin, la technologie peut elle-même être justifiée par une théorie, celle issue des propriétés du corps des réels.

Un type de tâches peut relever d’un genre de tâches. Par exemple, le type de tâches « Résoudre une équation du type ax + b = cx + d » relève du genre de tâches « Résoudre une équation ». La précision avec laquelle on décide de formuler types et genres de tâche relève de choix dépendant de ce que l’on veut étudier et du grain d’analyse souhaité.

d. Les différents niveaux d’OM pour analyser les agrégations entre OM

Dans le chapitre un, nous avons vu que les équations constituaient un thème riche dans le sens où il articule plusieurs notions : calcul sur les nombres relatifs, sur les fractions, sur les expressions algébriques, etc. Autrement dit, les OM ponctuelles relatives aux équations ne sont pas esseulées, elles forment généralement des agré- gats. Ces phénomènes d’agrégation entre OM, dont nous supposons qu’ils peuvent être en partie à l’origine des difficultés des élèves, peuvent être analysés à l’aide des différents niveaux d’OM que nous détaillons ici.

Une même technologie θ peut permettre de justifier plusieurs techniques τi pour

réaliser des types de tâche Ti. Une OM définie par le bloc [Ti, τi, θ, Θ] est une OM

locale. Par suite, ces OM locales s’agrègent en OM régionales [Tij, τij, θj, Θ] où une

même théorie Θ justifie plusieurs technologies θj. Enfin, les OM régionales s’agrègent

en OM globales correspondant à une agrégation de théories Θk et formant des blocs

[Tijk, τijk, θjk, Θk].

Dans notre problème d’enseignant, par exemple, les types de tâches relevant du genre de tâches « Résoudre une équation du premier degré à une inconnue réelle et à coefficients réels » peuvent être réalisés par des techniques algébriques justifiées par une même technologie (propriétés de conservation de l’égalité), elle-même justifiée par une théorie (propriétés du corps des réels). Ceci forme une OM locale. D’autres OM locales (par exemple, l’OM locale autour de la mise en équation) prennent place au sein d’une OM régionale relative aux équations, elle-même se situant dans une OM de niveau supérieur : l’OM globale « Algèbre ».

Nous verrons dans les paragraphes suivants la puissance octroyée par l’étude de ces OM, en particulier pour traquer des OM ponctuelles qui sont en réalité ignorées par l’institution et pourtant nécessaires pour la réussite des élèves.

Nous pouvons étudier les rapports personnels des élèves à un objet de savoir en analysant les techniques et les technologies qu’ils utilisent, et juger si celles-ci ne sont pas idoines vis-à-vis des types de tâche donnés. Par exemple, en fin de quatrième, un élève qui utilise systématiquement une technique d’essais/erreurs pour résoudre des équations de la forme ax + b = cx + d ou qui écrit que l’équation 3x = 2 est équivalente à l’équation x = ₋₃2 n’aura pas construit un rapport idoine aux équations. Il est possible de faire des hypothèses sur les technologies mobilisées par cet élève, en particulier de supposer que ces dernières sont utilisées en dehors de leur domaine de validité.

Sans prétendre à l’exhaustivité, l’identification des organisations praxéologiques permet d’émettre des hypothèses probables sur les rapports personnels des élèves aux objets de savoir, en particulier sur les technologies qu’ils utilisent, pour déterminer quels sont les rapports qui constituent des points d’appui et quels sont ceux qui constituent des obstacles ; elle donne des pistes pour mettre en place des situations d’enseignement qui ciblent avec une relative précision les OM à travailler ou les techniques à déstabiliser.

Concernant l’étude des rapports institutionnels, l’analyse des types de tâches, techniques et technologies présents dans les programmes et les manuels fournit des indicateurs sur ces rapports institutionnels attendus.

Cependant, l’étude des rapports personnels des élèves et des rapports institu- tionnels n’est pas suffisante pour déterminer si ces derniers sont idoines. Les points soulevés au chapitre un questionnent directement l’idonéité des rapports institution- nels, en remettant potentiellement en question les OM à enseigner présentes dans les manuels et les programmes. Qu’est-ce qui permet de juger de cette idonéité ?

e. L’OM de référence épistémologique : un outil pour analyser l’incom- plétude des OM à enseigner, enseignées, apprises et pour concevoir un parcours d’étude et de recherche sur les équations

Bosch, Fonseca et Gascon (Bosch, Fonseca, & Gascón, 2004) et Bosch et Gascon (Bosch & Gascón, 2005) introduisent la notion d’incomplétude des OM locales pour décrire certains déficits praxéologiques dans les OM à enseigner, enseignées ou ap- prises. Une OM locale est dite incomplète lorsqu’elle est composée d’OM ponctuelles « rigides », « isolées », c’est-à-dire sans discours technologique θ justificateur et unifi- cateur. Par exemple, un manuel scolaire proposant de travailler des types de tâches de manière isolée, en faisant peu ou prou référence à un discours technologique, présente une OM locale incomplète.

À l’inverse, une OM locale relativement complète est une OM locale qui intègre et articule les OM ponctuelles qui la composent.

Bosch et Gascon (Bosch & Gascón, 2005) proposent alors de faire intervenir une OM de référence épistémologique dans le schéma de la transposition didactique(voir figure 2.2).

Une telle OM de référence est une OM construite à partir d’une référence épis- témologique. Elle présente des OM locales relativement complètes, qui intègrent et articulent des OM ponctuelles. Contrairement à l’OM savante qui n’est pas direc-

Figure 2.2 – La transposition didactique chez Bosch et Gascon (2005)

tement visible et accessible dans la réalité, l’OM de référence est une OM tangible. Elle ne coïncide pas forcément avec l’OM savante.

La construction d’une OM de référence relative aux équations du premier degré, que nous présenterons au chapitre six, est un résultat majeur de notre travail de thèse et constitue un outil adapté aux problèmes d’enseignant que nous avons posés : la comparaison des OM locales de l’OM de référence épistémologique aux OM à enseigner présentes dans les programmes et les manuels permet de détecter des OM ponctuelles isolées et rigides, mais également des OM ponctuelles absentes et pourtant nécessaires d’un point de vue épistémologique pour la construction de rapports personnels idoines. Toutefois, comme nous l’argumenterons plus tard, si disposer d’une OM de référence relative aux équations nous semble être une condition nécessaire à l’établissement d’un rapport personnel idoine à ces équations, il ne s’agit pas selon nous d’une condition suffisante : d’autres facteurs, dont beaucoup ne seront considérés que comme des « paramètres » dans cette thèse car situés hors du champ de la recherche en didactique, contribuent très probablement à la construction de ce rapport personnel idoine.

Cette méthodologie a été éprouvée par Pilet (2012), Grapin (2015) et Rinaldi (2016) dans leurs travaux, avec l’obtention de résultats probants dans l’analyse des déficits praxéologiques des OM à l’œuvre dans les institutions qu’elles ont respecti- vement étudiées2_{. Pilet (2012) a montré, en la comparant avec une OM de référence}

relative aux expressions algébriques, que l’OM à enseigner relative aux expressions

2. Grugeon (Grugeon, 1995) avait également employée une méthodologie similaire mais à par- tir de la définition d’une autre référence, la compétence algébrique, pour comparer les rapports institutionnels à l’algèbre dans deux institutions et montrer les décalages importants.

algébriques dans les programmes et les manuels de collège n’était pas complète, que certaines OM ponctuelles étaient peu travaillées, et que d’autres l’étaient de manière isolée, avec un manque de discours technologique unificateur. Nous ferons de même avec l’OM à enseigner relative aux équations du premier degré.

L’OM de référence nous sert également à concevoir des Parcours d’Etude et de Recherche (Chevallard, 2011), abrégés PER par la suite. Un PER modélise un proces- sus d’étude où l’on cherche à répondre en partie ou totalement à une « grande » ques- tion dans un projet social, cette question pouvant donner lieu à des sous-questions plus « petites » et isolées, qui font potentiellement l’objet d’Activités d’Etude et de Recherche (AER). Comme pour les types ou les genres de tâches, ou les OM locales au sein d’une OM régionale, nous considérons que la formulation et le découpage de PER en AER sont fonctions des questions de recherche et de la finesse d’analyse désirée. Le PER – du moins, c’est ainsi que nous l’avons appelé en regard de notre compréhension de cet outil théorique – que nous avons conçu et qui sera présenté au chapitre neuf se veut être une réponse à une grande question que nous formulons comme suit : comment résoudre un problème du premier degré ? Plusieurs étapes, correspondant à ce que nous considérons comme des AER, décomposent la recherche de la réponse à cette grande question. La première étape motive la production d’une équation du premier degré à une inconnue ; la deuxième donne une raison d’être à la technique de résolution algébrique d’une telle équation ; la troisième fait travailler la mise en équation de problèmes du premier degré.

f. Convocations d’OM et phénomènes silencieux d’apprentissage

Depuis quelques paragraphes, nous laissons sous-entendre que l’Institution ignore certains besoins d’apprentissage des élèves, que certaines OM ponctuelles sont peu présentes dans les programmes et les manuels. Chevallard (Chevallard, 1998) évoque de tels phénomènes lorsque des élèves sont confrontés pour la première fois à un nouvel objet d’étude annoncé par le professeur :

« S’il existe en effet des premières rencontres annoncées [...], il existe aussi, à l’autre extrême, des premières rencontres vraies, qui, pourtant, passent presque entièrement inaperçues parce que, dans l’institution où elles se produisent, l’objet rencontré est en quelque sorte de deuxième, voire de troisième rang, et qu’il n’est rencontré que parce qu’il vit en étroite association avec l’objet véritable de la rencontre. [...] Pour [l’or- ganisateur de l’étude], seuls certains objets appellent une mise en scène

introductive, tandis que les autres sont censés s’introduire sans façon, comme silencieusement, dans l’organisation mathématique qui se construit. » (p. 20)

Dans ses travaux, Castela (Castela, 2008) parle d’enjeux « non explicités d’ap- prentissage en mathématiques, c’est-à-dire [des] apprentissages qui doivent être réali- sés par les élèves pour réussir dans la classe de mathématiques alors même que l’ins- titution d’enseignement n’organise aucun système didactique visant explicitement à permettre la réalisation des apprentissages en question. » (p. 137). En particulier, la réalisation d’un même type de tâche peut impliquer plusieurs OM ponctuelles, dont, pour certaines, la convocation est laissée à la charge des élèves.

En s’appuyant sur les travaux de Robert et Rogalski (Robert & Rogalski, 2002), et Robert et Pouyanne (Robert & Pouyanne, 2004), Castela précise ces convocations d’OM en termes d’OM R-convoquée et d’OM T -convoquée. Une OM est R-convoquée lorsque la tâche ne fait pas explicitement référence à une technique à mettre en œuvre pour la réaliser ; à l’inverse, une OM est T -convoquée lorsque la tâche rend plus ou moins explicite la technique à utiliser ou lorsqu’est telle que l’élève reconnaît une situation « prototypique » appelant telle ou telle technique.

Pilet (Pilet, 2012) a montré l’existence de différentes convocations entre OM ponctuelles des OM locales de l’OM de référence relative aux expressions, dont certaines n’étaient pas prises en charge par les manuels et n’étaient pas explicitées par les programmes.

L’étude de ces phénomènes silencieux, par la traque d’OM ponctuelles interve- nant dans la réalisation de certains types de tâche, et qui sont ignorées par l’Institu- tion, est en lien direct avec notre problème d’enseignant, qui interroge les conditions mises en place par cette Institution et dans lesquelles les élèves construisent leurs rapports personnels aux objets de savoir.

g. Temps didactique, temps praxique, curriculum praxique : des ou- tils pour décrire la tension entre temps officiel des apprentissages et temps nécessaire aux élèves pour réaliser ces apprentissages

Notre problème d’enseignant pose la question du temps disponible en classe et qui n’est pas extensible pour travailler des objets de savoir, en particulier des objets