9
Problèmes de constructions
géométriques
36
Leçon n°Niveau Tous niveaux
Prérequis homothétie, théorème de Thalès, construction à la règle et au compas Références [119], [120]
36.1
Programme de construction
Définition 36.1 — Programme de construction. Un programme de construction est un texte qui per-met d’établir une figure géométrique. On retrouve ce programme de construction au début d’un exercice de géométrie de collège ou de lycée.
Dans cette, leçon, on présente quelques programmes de construction pouvant être vus au collège ou au lycée. On donnera, en plus de la démonstration, une construction détaillée sur le logiciel Geo-Gebra. Tout ce qui est dans un cadre bleu est à taper sur la barre de saisie.
36.2
Un œuf
Cette activité peut être réalisée en classe de troisième.
Exercice 36.2 1. Tracer un cercle C de centre O et de rayon 3.
2. Soit I un point du cercle C, tracer un C0 de centre I et de rayon6 − 3√2.
3. Placer A et B tels que[AB] est un diamètre du cercle C perpendiculaire à (OI). 4. Tracer les droites(AI) et (BI).
5. Soit A0l’intersection de(BI) et du cercle C0tel que A0n’appartient pas au segment[BI].
6. Soit B0l’intersection de(AI) au cercle C0 tel que B0n’appartient pas au segment[AI].
7. Tracer les arcs de cercle suivants :
(a) l’arc de cercle de centre A passant par B et B0;
(b) l’arc de cercle de centreB passant par A et A0;
(c) l’arc de cercle de centre I passant par A0 et B0;
(d) l’arc de cercle de centre O passant par A et B.
Dv
•Construction sur GeoGebra —
O=(0,0) Cercle[O,3] I = Point(c)
Cercle[I,6-3*sqrt(2)] Droite[O,I]
Perpendiculaire[O,a] A = Intersection[c,b,2] B = Intersection[c,b,1] Droite[A,I] Droite[B,I] A’ = Intersection[d,e,2] B’ = Intersection[d,f,2] ArcCercle[B,B’,A] ArcCercle[I,B’,A’] ArcCercle[A,B,A’] ArcCercle[O,B,A] • O I A B A0 B0
36.3
Triangle d’or et pentagone
La construction du pentagone suivante est due à Euclide. L’élément de base de la construction est un triangle d’or, c’est-à-dire un triangle isocèle dont les angles avec la base sont double de l’angle au sommet.
36.3.1 Construction du triangle d’or
Soient A et C deux points du plan. 1. Placer I le milieu de[AC].
2. Tracer la droite(∆) perpendiculaire à (AC) passant par A. Construire le point B sur (∆) tel que AC = AB.
3. Placer le point D sur(AC) tel que IB = ID. 4. Construire E sur(∆) tel que AD = AE. 5. Tracer l’arc de cercleCB_ de centre A.
6. Placer le point F sur l’arcCB_ tel que BF = AE. Le triangle ABF est un triangle d’or.
36.3 Triangle d’or et pentagone 11
Dv
•Construction sur GeoGebra —
A = (0,0) C = (3,0) I = MilieuCentre[A,C] Droite[A,C] Perpendiculaire[A,a] Cercle[A,C] B = Intersection[a,c,2] Cercle[I,B] D = Intersection[d,a,2] Cercle[A,D] Droite[A,B] E = Intersection[b,e,2] Segment[A,E] ArcCercle[A,C,B] Cercle[B,f] F = Intersection[c,h,2] Polygone[A,B,F] A I C B D E F •
•Justification de la construction —D’après le théorème de Pythagore : IB= √5 2 Ainsi : AD= AE = BF = √5 − 1 2 =ϕ1 où ϕ est le nombre d’or.
Les dimensions du triangle ABF sont donc1 - 1 - 1
ϕ. C’est bien un triangle d’or. •
36.3.2 Construction du pentagone
1. À partir du triangle OA0C, construire le triangle d’or CDA grâce à l’arc de cercle de centre
A0et de rayon A0C.
2. En prenant les bissectrices des angles C et D en les prolongeant jusqu’au cercle, on obtient les deux sommets B et E manquant.
36.4
Dodécagone
Exercice 36.3 Le but de cet exercice de tracer un dodécagone avec une règle et un compas.
1. Tracer le cercle C de centre O et de rayon OI = 3. 2. Tracer le triangle équilatéral OIA.
3. Tracer la bissectrice de l’angle [AOI, elle coupe le cercle C en un point B.
4. Tracer la perpendiculaire de(OI) passant par O. Elle coupe le cercle C en un point J. 5. Tracer A0, B0, I0 les points symétriques de A, B et I (respectivement) par rapport à la droite
(OJ).
6. Tracer A00, B00, J0 les points symétriques de A, B et J par rapport à O.
7. Tracer A000, B000 les points symétriques de A et B par rapport à(OI).
En reliant par des lignes droites, les points I, B, A, J, A0, B0, I0, B00, A00, J0, A000, B000, on obtient un
36.4 Dodécagone 13 Dv •Construction de GeoGebra — O = (0,0) I = (3,0) Cercle[O,I] Cercle[I,O] A = Intersection[c,d,1] Segment[O,A] Segment[O,I] Bissectrice[a,b] SoitVisibleDansVue[f,1,false] B = Intersection[c,e,2] Perpendiculaire[O,b] J = Intersection[c,g,2] SoitVisibleDansVue[f,1,false] A’ = Symétrie[A,g] B’ = Symétrie[B,g] I’ = Symétrie[I,g] A’’ = Symétrie[A,O] B’’ = Symétrie[B,O] J’ = Symétrie[J,O] A’’’ = Symétrie[A,b] B’’’ = Symétrie[B,b] • O I A B J A0 B0 I0 B00 A00 J0 A000 B000
L’aire du dodécagone permet d’approximer π. Dv
est un triangle équilatéral car OB = OB000et \BOB000 = 60°. Ainsi, BB000 = 1. La hauteur BKdu triangle OAB est égale à 13 et l’aire du triangle est égale à 14. Le dodécagone a donc une aire égale à3. Elle est inférieure à l’aire du cercle C d’où 3 < π. On admettra que :
OHH= cos π 12 = √2 4 ( √3 + 1). En choisissant OP = 1
cos π/12 =√2(√3 − 1), on construit un dodécagone tangent extérieu-rement au cercle C d’aire 3, d’où OI2' 3, 22.
Ainsi,3 < π < 3, 22. •
36.5
Carré dont les côtés passent par quatre points
Le problème est le suivant : « Soient quatre A, B, C, D (qu’on suppose deux à deux distincts). Tracer quatre droites passant par chacun des points de telle sorte qu’elles déterminent un carré ».
Pour cela,
1. Construire le point D1tel que(DD1) soit perpendiculaire à (BC) et tel que BC = DD1.
2. Tracer la droite(AD1).
3. Tracer la droite perpendiculaire à(AD1) passant par B. On note M l’intersection de (AD1)
et de la perpendiculaire tracée.
4. Tracer la droite perpendiculaire à(BM) passant par D. On note Q l’intersection de (BM) et de la perpendiculaire tracée.
5. Tracer la droite perpendiculaire à(DQ) passant par C. On note P l’intersection de (DQ) et de la pependiculaire tracée et N l’intersection de(AM) et de la perpendiculaire tracée. Dv
•Construction avec GeoGebra —On place tout d’abord quatre points A, B, C et D dis-tincts deux à deux avec l’outil « Nouveau point ».
Segment[B,C]
Perpendiculaire[D,a] Cercle[D,a]
Intersection[b,c]
On obtient donc deux nouveaux points. On choisit un de ces deux points (qu’on nommera D1) et on n’affiche pas l’autre point.
Droite[A,D_1] Perpendiculaire[B,d] M = Intersection{d,e] Perpendiculaire[D,e] Q = Intersection{e,f] Perpendiculaire[C,f] P = Intersection[f,g] N = Intersection[g,d] Polygone[M,N,P,Q]
36.6 Quelques quadratures du carré 15 • A B C D D1 M Q P N Dv Justification de la construction
• Démonstration — Par construction, MNP Q est un rectangle (trois angles droits). On montre que le rectangle MNP Q a deux côtés consécutifs de même longueur. On note B0 le projeté orthogonal de B sur(NP ) et D0le projeté orthogonal de D sur(MN).
Les triangles B0BC et D0DD1ont leurs côtés deux à deux perpendiculaires. L’hypoténuse [BC] est perpendiculaire à [DD1] avec BC = DD1. Les triangles sont semblables et BB0= DD0. Ce qui prouve que deux côtés consécutifs ont même longueur : MNP Q est un carré. •
36.6
Quelques quadratures du carré
Définition 36.4 Soit F une figure rectiligne donné. On appelle quadrature du carré relatif à F, un
carré dont l’aire est égale à l’aire de F.
36.6.1 Une construction dite de Sulbastra
Soit ABCD un rectangle. 1. Tracer le carré ADF E.
2. Tracer la médiatrice de[CF ]. Elle coupe [CF ] en H et [EB] en G. 3. Tracer le rectangle DF IJ tel que DF = HG et F I = HC. 4. Tracer le carré AGKJ.
5. Tracer le cercle de centre J passant par A et coupe[DH] en L. [DL] est le côté du carré qui a même aire que le rectangle ABCD.
Dv
A = (0,0) B = (4,0) C = (4,2) D = (0,2) Polygone[A,B,C,D] Cercle[A,D] Intersection[e,a] Cercle[D,A] Intersection[f,c] Segment[E,F] Médiatrice[C,F] G = Intersection[a,h] H = Intersection[c,h] J = (0,3) I = (2,3) Segment[I,J] Segment[J,D] Segment[F,I] Cercle[J,A] L = Intersection[p,c] Polygone[D,L,4] • A B C D E F G H J I L K M 36.6.2 La construction d’Euclide
On donne une interprétation moderne de la construction d’Euclide pour la quadrature d’un carré. On se donne ABCD un rectangle.
1. Tracer la droite(AB).
2. Tracer un cercle C1de centre B et de rayon[BC]. Il intersecte la droite (AB) en E tel que E
n’appartient pas au segment[AB]. 3. Tracer un cercle C2de diamètre[AE].
4. Tracer la droite(BC). Elle intersecte le cercle C2en T .
36.6 Quelques quadratures du carré 17
Dv
•Construction sur GeoGebra —
A = (0,0) B = (4,0) C = (4,2) D = (0,2) Polygone[A,B,C,D] Droite[A,B] Cercle[B,C] E = Intersection[f,e,2] I = MilieuCentre[A,E] Cercle[I,A] Droite[B,C] T = Intersection[g,h,2] Polygone[T,B,4] • A B C D E I T G H
36.6.3 Quadrature du carré de Wallis
Soit ABCD un rectangle.
1. Tracer le cercle C1 de centre A et de rayon[AD]. Il intersecte [AB] en D0.
2. Tracer la médiatrice de[D0B]. Soit O un point de cette médiatrice.
3. Tracer le cercle C2de centre O qui passe par D0. B appartient aussi au cercle tracé car OD0=
OB (O est sur la médiatrice de[D0B]).
4. Tracer la tangente au cercle C2 passant par A.
Dv
•Démonstration —La puissance du point A par rapport au cercle est : AT2= AD0× AB = AD × AB
D’où le carré AT UV a même aire que le rectangle ABCD. • •Construction sur GeoGebra —
A = (0,0) B= (4,0) C = (4,2) D = (0,2) Cercle[A,D] D’ = Intersection[e,a] Médiatrice[D’,B] O = Point[f] Cercle[O,D’] Tangente[A,g] T = Intersection[g,h] Polygone[A,T,4] • A B C D D0 O T E F
36.7
Autres problèmes de construction
36.7.1 Problème 1
Soit ζ un cercle de centre O ; I est un point du disque ouvert de frontière ζ. Construire les points
P et Q de ζ tels que I soit le milieu du segment[P Q].
Dv
•Observation —On suppose l’existence de points P et Q de ζ tels que I soit le milieu du segment[P Q].
P et Q ne sont pas confondus car I n’est pas un point de ζ. O est équidistant de P et Q, donc Oappartient à la médiatrice[P Q]. I étant le milieu de [P Q], la droite (OI) est la médiatrice
de(P Q). •
•Construction et justificiation —Construire la perpendiculaire(∆) à (Oi) en I ; ∆ coupe ζ en deux points P et Q car I est « intérieur à ζ.
On a alors : OP = OQ donc O appartient à la médiatrice de (P Q), ce qui prouve que I est
le milieu de[P Q]. •
•Construction sur GeoGebra —
36.7 Autres problèmes de construction 19 Cercle[O,3] I = (2,2) Droite[O,I] Perpendiculaire[I,a] P = Intersection[b,c,1] Q = Intersection[b,c,2] • O I P Q 36.7.2 Problème 2
Soient A et B deux points du plan et soit O le milieu du segment[AB]. Γ est le demi-cercle de diamètre[AB]. Construire les points P , Q, R et S tels que :
— P et Q appartiennent à(AB) — R et S appartiennent àΓ — P QRS est un carré.
Dv
•Démonstration —La difficulté provient du fait que les trois conditions doivent être simul-tanément satisfaites. L’idée est d’en oublier une dans un premier temps.
On construit aisément un carré ayant deux sommets sur[AB], les deux autres n’appartenant pas nécessairement àΓ ; on construit, par exemple, celui de côté [AB] et inclus dans le demi-plan de frontière(AB) contenant Γ. On note que Γ est nécessairement « à l’intérieur » de ABCD.
A B C D
O
Comment transformer ABCD en un carré vérifiant toutes les conditions imposées ?
Soient R le point d’intersection de la droite(OC) et de Γ, S le point d’intersection de la droite (OD) et de Γ. Q et P les projetés orthogonaux respectifs de R et de S sur la droite (AB). Les points O, R et C sont alignés, dans cet ordre ; il existe donc une homothétie h de centre Oet de rapport k >0 transformant C en R.
On a donc :OR# »= kOC# »; c’est-à-dire R= h(C). De plus, on sait :
— OR= OS (car [OR] et [OS] sont des rayons d’un même cercle),
— OC= OD (car les triangles rectangles BOC et AOD sont isométriques et ont respecti-vement pour hypoténuses[OC] et [OD]),
— O, S, D sont alignés dans le même ordre, doncOS# »= kOD# »; c’est-à-dire S= h(D).
D’autre part, les droites (P S) et (AD) sont parallèles, car toutes deux perpendiculaires à (AB) ; d’après le théorème de Thalès, on a :
# »
OP = kOA,# » c’est-à-dire P = h(A) De même on montre :
# »
OQ= kOB,# » c’est-à-dire Q= h(B)
On a prouvé que P , Q, R, S sont les images respectives de A, B, C, D par h. Comme l’homothétique d’un carré est un carré, P QRS est un carré.
Finalement, on a bien :
— P et Q sont des points de(AB) ; — R et S sont des points deΓ ; — P QRS est un carré.
• •Construction sur GeoGebra —
A = (0,0) B = (3,0) C = (3,3) D = (0,3) O = MilieuCentre[A,B] Demi-Cercle[A,B] Segment[O,C] Segment[O,D] R = Intersection[e,f] S = Intersection[e,g] Segment[R,S]
36.7 Autres problèmes de construction 21 Perpendiculaire[R,h] Perpendiculaire[S,h] P = Intersection[j,a] Q = Intersection[i,a] Polygone[P,Q,R,S] • A B C D O R S P Q
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