9
Suites arithmétiques, suites
géométriques
41
Leçon
n°
Niveau Première S
Prérequis définition de base sur les suites Références [60], [130], [131]
41.1
Suites arithmétiques
Définition 41.1 — Suite arithmétique. La suite(un)n∈Nest dite arithmétique si, pour tout n, un+1=
un+ r, où r est un nombre réel. Le nombre r s’appelle la raison de la suite arithmétique.
R 41.2 Une suite arithmétique est donc définie par son premier terme u0et sa raison r. On a alors : u1= u0+ r
u2= u1+ r = u0+ 2r
u3= u2+ r = u0+ 3r · · ·
Propriété 41.3 Si(un) est une suite arithmétique de premier terme u0et de raions r, alors, pour tout
n, on a un= u0+ nr.
Exemple 41.4 Soit u la suite arithmétique de premier terme1 et de raison 3. Exprimer le terme un
de la suite en fonction de n. En déduire les10 premières valeurs de la suite.
Dv
On a un= 3n + 1 et on obtient le tableau de valeurs suivant.
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
un 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31
Propriété 41.5 Soit une suite (un)n∈N. S’il existe deux nombres réels r et b tels que, pour tout n,
un= b + nr, alors la suite (un)n∈Nest arithmétique de raison r et de premier terme b.
Exemple 41.6 Soit la suite(un) définie par un= 152n+306 . Montrer que cette suite est arithmétique.
Dv
On a, pour tout n, un = 763 n+ 5 donc (un) est une suite arithmétique de raison 763 et de premier
terme5.
R 41.7
1. Soit(un) une suite arithmétique de raison r et de premier terme u0. Si n > m >0 alors :
un= um+ (n − m)r.
2. Soit (un) une suite arithmétique de raison r (r 6= 0) et de premier trerme u0. Pour tout n, on a :
— si r >0 alors un+1− un >0 et la suite (un) est strictement croissante ; — si r <0 alors un+1− un <0 et la suite (un) est strictement décroissante. 3. Soit(un) une suite arithmétique de raison r (r 6= 0) et de premier u0. Alors :
lim
n→+∞un= ±∞. (les suites arithmétiques ne convergent pas).
Propriété 41.8 Soit Snla somme u0+u1+· · ·+undes n+1 premiers termes d’une suite arithmétique
(un) de raison r. On a : Sn= (n + 1) u0+ un 2 Dv •Démonstration —Soit : Sn= u0+ u1+ · · · + un−1+ un (41.1) Sn= un+ un−1+ · · · + u1+ u0 (41.2) On en déduit que :
2Sn = (u0+ un) + (u1+ un−1) + (u2+ un−2) + · · · + (un−1+ u1) + (un+ u0). On a :
u0+ un= u0+ (u0+ nr) = 2u0+ nr
u1+ un−1= (u0+ r) + (u0+ (n − 1)r) = 2u0+ nr
u2+ un−2= (u0+ 2r) + (u0+ (n − 2)r) = 2u0+ nr · · ·
Toutes ces sommes sont égales à u0+ un. On obtient :
2Sn = (u0+ un) + (u0+ un) + · · · + (u0+ un). La somme précédente comporte(n + 1) termes égaux à (u0+ un), d’où :
2Sn = (n + 1)(u0+ un).
•
Exemple 41.9 Soit la suite(un) définie par un= 30n − 6. Calculer u0+ u1+ · · · + un.
Dv
On a :
u0+ u1+ · · · + un= (n + 1)u0+ u2 n = (n + 1)(15n − 6).
R 41.10 La somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique s’obtient par la formule :
41.2 Suites géométriques 11
Conséquence 41.11 La suite des entiers naturels non nuls est une suite arithmétique de premier terme1 et de raison 1 :
1 + 2 + · · · + n = n(n + 1)2 (41.3)
Dv
•Démonstration —On peut montrer la formule (41.3) par récurrence. Initialisation Pour n = 1, la formule est valable :
2 × 1 2 = 1. Hérédité On suppose que, pour un entier donné n, la formule
1 + 2 + · · · + n =Xn k=1
k= n(n + 1)
2 est vérifiée. On vérifie que la formule est vraie au rang n+ 1 :
1 + 2 + · · · + n + 1 = 1 + 2 + · · · + n + n + 1 = n X k=1 k+ n + 1 = n(n + 1)2 +2n + 22 = n2+ n + 2n + 22 = n2+ 3n + 22 = (n + 1)(n + 2)2 La formule est donc vérifiée pour le rang n+ 1.
Conclusion pour tout n ∈ N∗:
n X k=1 k= n(n + 1)2 . •
41.2
Suites géométriques
Définition 41.12 — Suite géométrique. La suite(un) est géométrique si, pour tout un+1 = qun, où q
est un nombre réel non nul. Le nombre q s’appelle la raison de la suite géométrique.
R 41.13
1. Si les termes de la suite ne sont pas nuls, alors, pour tout n,un+1
2. Une suite géométrique est définie par son premier terme u0et sa raison q. On a :
u1= u0q
u2= u1q= u0q2 u3= u2q= u0q3
· · ·
Propriété 41.14 Si(un)n∈Nest une suite géométrique de raison q (q non nul) alors, pour tout n, on a : un= u0qn.
Exemple 41.15 Soit u la suite géométrique de premier terme1 et de raison 3. Exprimer le terme un
de la suite en fonction de n. En déduire les10 premiers termes de la suite.
Dv
On a : un= 3net on obtient le tableau de valeurs suivant.
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
un 1 3 9 27 81 243 729 2187 6561 19683 59049
Propriété 41.16 Soit une suite(un)n∈N. S’il existe deux nombres a et q non nuls tels que, pour tout
n∈ N, un= aqnalors la suite(un)n∈Nest une suite géométrique de raison q et de premier terme a. Exemple 41.17 Soit la suite(un)n∈N définie par un = 5 × 76
n
3n. Montrer que (un) est une suite
géométrique. Dv On a : un= 5 × 76 3 n
donc(un) est une suite géométrique de raison763 et de raison5.
R 41.18 Soit la suite géométrique(un) définie par un= qn(q > 0). Pour tout n, on a un+1− un= qn+1− qn=
qn(q − 1). Donc :
— si q >1, alors un+1− un>0 et la suite (un) est strictement croissante ; — si0 < q < 1 alors un+1− un <0 et la suite (un) est strictement décroissante ; — si q= 1 alors un+1− un= 0 et la suite (un) est constante.
R 41.19 Convregence et alternance
1. Une suite géométrique est convergente vers0 si et seulement si −1 < q < 1. 2. Si q <0, on dit que la suite géométrique est alternée.
Propriété 41.20 Soit Snla somme u0+u1+· · ·+undes n+1 premiers termes d’une suite géométrique
(un) de raison q (q différent de 1). On a : Sn= u0− un+1 1 − q = u01 − q n+1 1 − q .
41.3 Montrer qu’une suite est arithmétique ou géométrique 13
Dv
•Démonstration —Soit Snla somme des n+ 1 premiers termes de la suite. On peut écrire :
Sn = u0+ u1+ · · · + un
qSn = u1+ · · · + un+ un+1 Alors Sn− qSn = u0− un+1soit(1 − q)Sn = u0− un+1, d’où :
Sn= u0− un+1 1 − q = u0− u0q n+1 1 − q = u01 − q n+1 1 − q car q 6= 1. •
Exemple 41.21 Soit(un) la suite géométrique de raison 763 et de premier terme5. Calculer S3 =
u0+ u1+ u2+ u3.
Dv
On veut calculer la somme S3:= u0+ u1+ u2+ u3. On a :
S3 = 5 ×1 − 76 3 4 1 −76 3 = 228507527 .
Conséquence 41.22 Pour tout nombre réel x 6= 1, on a :
1 + x + x2+ · · · + xn= 1 − xn+1 1 − x . Exemple 41.23 1 + 2 + 22+ · · · + 29 = 1 − 210 1 − 2 = 210− 1 = 1023.
Méthode 41.24— Montrer qu’une suite est arithmétique ou géométrique. 1. Écrire le terme général sous la forme un+ nr = u0
— Montrer qu’il existe un nombre réel r tel que, pour tout n, un= nr + u0.
— Conclure que(un) est une suite arithmétique de raison r et de premier terme u0.
2. Étudier la différence un+1− un
— Calculer la différence un+1− unet montrer qu’elle est constante et égale à r.
— Conclure que(un) est une suite arithmétique de raison r.
3. Écrire le terme sous la forme un= u0qn
— Montrer qu’il existe un nombre réel q tel que, pour tout n, un= u0qn.
— Conclure que(un) est une suite géométrique de premier terme u0et de raison q.
4. Trouver une relation de la forme un+1 = qun
— Montrer que l’on peut écrire un+1 = qun(avec q 6= 0).
— Conclure que(un) est une suite géométrique de raison q.
R 41.25 Dans la méthode 4, on peut montrer aussi que le quotient un+1
un est constant sous conditions que tous les termes de la suite soient non nuls.
Exemples 41.26 1. Soit la suite(un) définie par un = −5n + 12 et la suite (vn) vérifiant
pour tout n, vn= 2un+ n + 5. Montrer que (vn) est une suite arithmétique.
2. Soit la suite(vn) définie par vn+1 = nvnn+1+4 et de premier terme v1 = 1. Montrer que la
suite(un) vérifiant un= nvnest une suite arithmétique.
3. Montrer que la suite(un) définie par un= 2(−5)n+1
10 3
n
est une suite géométrique. 4. Soit la suite(vn) de premier terme v0avec v0= 3 et définie par vn+1 = −7vn+8. Montrer
que la suite(un) vérifiant, pour tout n, un= vn− 1 est une suite géométrique.
41.4
Suites arithmético-géométriques
Définition 41.27 — Suite arithmético-géométriques. On dit qu’une suite(un) est arithmético-géométrique
s’il existe deux réels a et b tels que un+1 = aun+ b.
Exemple 41.28 La suite(un) définie par un+1= 2un+1 et de premier terme u0 = 1 est
arithmético-géométrique.
R 41.29 Une suite arithmético-géométrique n’est ni une suite arithmétique ni une suite géométrique.
Exemple 41.30 Soit (un) la suite arithmético-géométrique définie, pour tout n ≥ 0, par un+1 =
2un−3 et de premier terme u0 = 5. Montrer que la suite (vn) définie pour tout n ≥ 0, par vn= un−3
est une suite géométrique.
Dv
On a :
u1= 2 × 5 − 3 = 7
u2= 2 × 7 − 3 = 11
41.5 Quelques exercices [?] 15
Soit la suite(vn) définie, pour tout n ≥ 0, par : vn= un− 3. On a alors :
vn+1= un+1− 3 = 2un− 3 − 3
= 2un− 6 = 2(un− 3) = 2vn.
Donc la suite(vn) est géométrique de raison 2 et de premier terme v0 = u0− 3 = 5 − 3 = 2. On
peut donc en conclure que, pour tout n,
vn= v0× 2n= 2 × 2n.
Ainsi, un= vn+ 3 et on peut en déduire que un= 2 × 2n+ 3, pour tout n.
En résumé, le schéma de l’étude d’une suite arithmético-géométrique est toujours le même :
Méthode 41.31— Étude d’une suite arithmético-géométrique. 1. Introduction d’une suite auxi-liaire(vn) définie à l’aide de la suite (un).
2. Démontrer que la suite(vn) est géométrique.
3. En déduire une formule exprimant vnen fonction de n.
4. À partir de la relation entre(vn) et (un), en déduire une formule générale exprimant unen
fonction de n.
Pour fabriquer cette suite auxiliaire, voici comment orn procède. On suppose qu’on doit étudier la suite arithmético-géométrique (un) de premier terme u0 donné et défini, pour tout n ≥ 0, par :
un+1 = aun+ b (on suppose que a 6= 1 et b 6= 0). On résout l’équation x = ax + b et on note ` la
solution de cette équation. On a alors `= a` + b. Ainsi :
(
un+1= aun+ b
`= a` + b
et en soustrayant, un+1− ` = a(un− `). On pose alors vn = un− ` et on obtient ainsi que (vn) est
une suite géométrique.
41.5
Quelques exercices [?]
Exercice 41.32 — Intérêts simples. Un capital de5000 e est placé au taux annuel de 4% à intérêts
simples. Cela signifie que, chaque année, les intérêts sont fixes égaux à4% du capital initial. On note C0le capital initial et Cncelui disponible au bout de n années.
1. Calculer C1et C2.
2. (a) Quelle est la nature de la suite(Cn) ?
(b) Exprimer Cnen fonction de n.
3. À partir de quelle année le capital disponible aura-t-il doublé ?
Dv
1. 4% de 5000 e correspond à 4
100× 5000 = 200. Donc chaque année, le capital augmente de200 e.
C1= 5000 + 200 = 5200
C2= 5200 + 200 = 5400
2. (a) La suite(Cn) est une suite arithmétique de premier terme 5000 et de raison 200. (b) De proche en proche :
Cn= Cn−1+ 200
Cn= Cn−2+ 200 + 200 = Cn−2+ 400 ... ...
Cn= C0+ 200n = 5000 + 200n. 3. Il faut résoudre l’équation :
5000 + 200n = 10000 ⇔ 200n = 5000 ⇔ n = 5000200 = 25. Le capital initial sera doublé au bout de25 années d’épargne.
•
Exercice 41.33 Un particulier effectue un devis auprès d’une entreprise de forage. Le coût de forage
d’un puits est calculé de la manière suivante : — le premier mètre coûte200 e
— chaque mètre supplémentaire coûte70 e de plus que le précédent. On note unle prix du nemètre foré. Ainsi u1 = 200.
1. Calculer u2 et u3.
2. Quelle est la nature de la suite(un) ? Donner l’expression de unen fonction de n.
3. Déterminer le prix à payer pour forer un puits de9 mètres de profondeur.
Dv
•Solution —
1. On creuse le premier mètre pour200 e et ensuite, le mètre supplémentairé foré côuté 70 e. Donc :
u2= 200 + 70 = 270
u3= 270 + 70 = 340 2. On obtient de proche en prochea:
un= 200 + 70(n − 1)
41.5 Quelques exercices [?] 17
3. On calcule :
u9= 200 + 70 × (9 − 1) = 200 + 70 × 8 = 200 + 560 = 760 Le prix à payer pour forer un puits de9 mètres de profondeur est de 760 e.
•
a. Pourquoi(n − 1) ? Parce qu’on commence à u1et non à u0.
Exercice 41.34 — Intérêts composées. Un capital de5000 e est placé au taux annuel de 3, 5% à
intérêts composés. On note C0le capital initial et Cncelui disponible au bout de n années.
1. Calculer C1et C2.
2. (a) Quelle est la nature de la suite(Cn) ?
(b) Exprimer Cnen fonction de n.
3. A l’aide de la calculatrice ou d’un tableur, déterminer à partir de quelle année le capital dispo-nible aura doublé ?
Dv
•Démonstration —
1. Un capital est placé à intérêts composés lorsque les intérêts de chaque période sont incor-porés au capital pour l’augmenter progressivement et porter intérêts à leur tour.
Donc :
C1= 5000 + 5000 ×3, 5100 = 5000 × 1, 035 = 5175
C2= 5175 × 1, 035 = 5356, 125
2. (a) La suite(Cn) est une suite géométrique de premier terme 5000 et de raison 1, 035. (b) On obtient, de proche en proche :
Cn = 5000 × 1, 035n. 3. On résout l’équation suivante :
5000×1, 035n= 10000 ⇔ 1, 035n= 2 ⇔ n ln(1, 035) = ln(2) ⇔ n = ln(2)
ln(1, 035) ≈20, 14. Le capital initial sera doublé après21 années d’épargne.
•
Exercice 41.35 — Augmentation. Un patron propose à ses employés deux modes d’augmentation
de leur salaire mensuel.
1. Option A : une augmentation fixe du salaire mensuel de50 e au premier janvier de chaque année.
Marie est embauchée dans l’entreprise avec un salaire de1500 e par mois. Elle choisit d’être augmentée suivant l’option A. On note Mnson salaire après n années passées dans
(a) Calculer M1 et M2.
(b) Exprimer Mn+1 en fonction de Mn. En déduire la nature de la suite(Mn).
(c) Exprimer Mnen fonction de n.
(d) Calculer M20.
(e) À partir de combien d’années son salaire mensuel sera-t-il d’au moins1800 e ?
2. Option B : une augmentation de 3% du salaire mensuel de l’année précédente au premier janvier de chaque année.
Jean est embauchée la même année que Marie avec un salaire de 1500 e par mois. Il choi-sit d’être augmenté suivant l’option B. On note Jn son salaire après n années passées dans
l’entreprise. On a J0= 1500. (a) Calculer J1et J2.
(b) Exprimer Jn+1en fonction de Jn. En déduire la nature de la suite(Jn).
(c) Exprimer Jnen fonction n.
(d) Calculer J20. (Arrondir au centième près).
(e) À l’aide de la calculatrice, déterminer à partir de combien d’années son salaire mensuel sera d’au moins1800 e ?
3. À partir de combien d’anneés passées dans l’entreprise, le salaire mensuel de Jean sera-t-il supérieur à celui de Marie ?
Dv •Solution — 1. (a) On a : M1= 1500 + 50 = 1550 et M2= 1550 + 50 = 1600. (b) Soit n ∈ N. On a alors : Mn+1= Mn+ 50
D’où : la suite(Mn) est une suite arithmétique de premier terme M0 = 1500 et de raison50.
(c) De proche en proche, on obtient :
Mn= 1500 + 50n. (d) D’après la question précédente :
M20= 1500 + 50 × 20 = 1500 + 1000 = 2500. Le salaire de Marie sera de2500 e au bout de la vingtième année. (e) On doit résoudre l’équation suivante :
1500 + 50n = 1800 ⇔ 50n = 300 ⇔ n = 30050 = 6. Le salaire de Marie sera d’au moins1800 e à partir de la sixième année. 2. (a) On a : J1 = 1500 + 1500 × 3
100 = 1500 × 1, 03 = 1545 et J2 = 1545 × 1, 03 = 1591, 35.
41.5 Quelques exercices [?] 19
(b) Soit n ∈ N. On a alors :
Jn+1= Jn× 1, 03.
La suite(Jn) est une suite géométrique de raison 1, 03 et de premier terme 1500. (c) De proche en proche, on obtient :
Jn= 1500 × 1, 03n. (d) On calcule :
J20= 1500 × 1, 0320= 2709, 17
Le salaire de Jean sera d’environ2709, 17 e au bout de la vingtième année. (e) On doit résoudre l’équation suivante :
1500 × 1, 03n= 1800 ⇔ 1, 03n= 1800
1500 = 1, 2 ⇔ n =
ln(1, 2)
ln(1, 03) ≈6, 16. Le salaire de Jean sera d’au moins1800 e à partir de la septième année.
3. On ne peut pas résoudre algébriquement l’équation :1500 + 50n = 1500 × 1, 03n. On va utiliser un tableur pour répondre à la question.
— Sur une première colonne, on met le nombre d’années écoulées.
— Sur une deuxième colonne, on met le salaire de Marie au cours du temps. — Sur une troisième colonne, on met le salaire de Jean au cours du temps.
Donc : le salaire de Jean sera supérieur à celui de Marie à partir de la huitième année. •
Exercice 41.36 — L’hypothèse de MALTHUS(1766-1834). phideaux L’économiste britannique Thomas
Robert MALTHUS est connu pour ses travaux sur le rapport entre l’accroissement de la population et celui de la nourriture.
En 1789, il publie Essai sur le principe de population d’où sont extraites les phrases suivantes : « Nous pouvons donc tenir pour certain que, lorsque la population n’est arrêtée par aucun obstacle, elle va doublant tous les vingt-cinq ans, et croit de période en période selon une progression géométrique.[...]
Nous sommes donc en état de prononcer, en partant de l’état actuel de la terre habitée, que les moyens de subsistance, dans les circonstances les plus favorables à l’industrie, ne peuvent jamais augmenter plus rapidement que selon une progression arithmétique. »
En 1800, l’Angleterre comptait8 millions d’habitants. Faisons les hypothèses suivantes :
H1 : La population de l’Angleterre suit une progression géométrique en augmentation de 2, 8% par an.
H2 : En 1800, l’agriculture anglaise permet de nourrir 10 millions d’habitants et son amélioration permet de nourrir400000 habitants supplémentaires par an, suivant une progression arithmé-tique.
Notons(pn) la population d’Angleterre en (1800 + n). Ainsi, p0 = 8000000.
Notons(qn) la population qui permet qui peut être nourrie par l’agriculture anglaise en (1800+n).
Ainsi, q0 = 10000000.
1. Vérifier que l’hypothèseH1 est en accord avec l’affirmation de Malthus « elle va doublant tous les vingt-cinq ans ».
2. (a) Calculer p1et p2.
(b) Exprimer pn+1en fonction de pn.
(c) En déduire la nature de la suite(pn).
(d) Exprimer pnen fonction de n.
3. (a) Calculer q1et q2.
(b) Exprimer qn+1en fonction de qn.
(c) En déduire la nature de la suite(qn).
(d) Exprimer qnen fonction de n.
4. Calculer p25et q25.
5. Déterminer, selon l’hypothèse de Malthus, l’année à partir de laquelle l’agriculture anglaise ne permet plus de nourrir la population anglaise.
Dv
•Solution —
1. Au bout de la25eannée, la population de l’Angleterre sera de8000000 × 1, 02825 ≈
15955773. L’hypothèse H1 est vérifiée. 2. (a) On calcule :
p1= 8000000 × 1, 028 = 8224000
p2= 8224000 × 1, 028 = 8454272 (b) On a ainsi : pn = pn−1× 1, 028.
(c) La suite(pn) est une suite géométrique de raison 1, 028 et de premier terme p0 = 8000000.
(d) De proche en proche, on obtient : pn = 8000000 × 1, 028n. 3. (a) On calcule :
q1= 10000000 + 400000 = 10400000
41.5 Quelques exercices [?] 21
(b) qn+1= qn+ 400000
(c) La suite(qn) est une suite arithmétique de raison 400000 et de premier terme q0 = 10000000.
(d) De proche en proche, on obtient qn= 10000000 + 400000n. 4. On a calculé p25≈ 15955773. On calcule :
q25= 10000000 + 400000 × 25 = 20000000. 5. Calculons :
q50= 30000000.
Selon l’hypothèse de Malthus, au bout de 50 ans, l’agriculture anglaise ne pourra pas nourrir toute la population anglaise.
•
Exercice 41.37 — Modèle de Harrod (1900-1978). L’économiste britannique Roy Forbes HARROD
est connu pour ses travaux sur la croissance économique.
Pour l’année(2010 + n), on note Snl’épargne, Ynle revenu et Inl’investissement.
Supposons que Y0soit égal à500 (milliards d’euros).
1. Chaque année, l’épargne est égale à20% du revenu. Déterminer une relation liant Snet Yn.
2. On admet que, pour tout entier naturel n, In= 2, 2(Yn− Yn−1). L’équilibre est réalisé lorsque l’épargne est égale à l’investissement.
Déterminer une égalité liant Ynet Yn−1à l’équilibre.
3. Quelle est la nature de la suite(Yn) ? En déduire l’expression de Ynen fonction de n.
4. On suppose ce modèle encore valable en 2020. Quel sera alors le revenu en 2020 ?
Dv
•Solution —
1. Si l’épargne est égale à20% du revenu alors Sn=10020Yn= 15Yn. 2. L’équilibre est réalisé quand In = Sn, soit :
2, 2(Yn− Yn−1) = 0, 2Yn ⇔ 2Yn− Yn−1 = 0 ⇔ Yn= 12Yn−1.
3. La suite(Yn) est une suite géométrique de raison 12et de premier terme Y0= 500 × 109. On a alors : Yn= 500000000000 × 12 n . 4. On calcule : Y10= 500000000000 × 12 10 ≈ 488281250. Le revenu sera de488281250 e en 2020. • Exercice 41.38 Julie joue avec des allumettes. Elle construit une figure de la façon suivante :
Première étape
Deuxième étape
Troisième étape
Elle voudrait réaliser une « pyramide » de20 étages. Combien doit-elle prévoir d’allumettes ?
Dv
• Solution — On remarque que pour passer dans un étage à un autre, il faut rajouter 2 au nombre d’allumettes à placer. Si on note (an) le nombre d’allumettes nécessaire pour construire l’étage n, on a alors :
an = an−1+ 2.
La suite(an) est donc une suite arithmétique de raison 2 et de premier terme a1= 2. Le nombre nécessaire pour construire une « pyramide » de20 étages est de :
A20= 20 X k=1 ak = 20 X k=1 2k = 2X20 k=1 k= 2 ×20 × 21 2 = 20 × 21 = 440. •
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