L29 [V2-VàC] – Droites remarquables du triangle

9

Droites remarquables du triangle

29

Leçon

n°

Niveau Lycée

Prérequis géométrie du triangle, théorème des milieux, construction à la règle et au compas,

propriétés du parallélogramme, théorème de Pythagore

Références [94], [95], [96]

29.1

Introduction

Définition 29.1 — Droite remarquable. On appelle droite remarquable dans un triangle une droite qui possède une propriété particulière quel que soit le triangle.

R 29.2 Dans le secondaire, on étudie quatre droites remarquables du triangle : — médiatrice, — médiane, — bissectrice, — hauteur.

29.2

Médiatrices

Définition 29.3 — Médiatrice. La médiatrice d’un segment[AB] est la droite perpendiculaire à (AB) et passant par le milieu I de[AB].

Propriétés 29.4 1. La médiatrice d’un segment est un axe de symétrie pour ce segment. 2. Si N est un point de la médiatrice de[AB] alors NA = NB.

3. Si NA= NB alors N st un point de la médiatrice de [AB].

29.2.2 Médiatrices d’un triangle

Propriété 29.5 Les trois médiatrices des côtés d’un triangle sont concourante. Le point d’intersection est le centre d’un cercle passant par les trois sommets du triangle.

A B C I J K O

Dv

•Démonstration —On note : — (d1) la médiatrice de [BC] ;

— (d2) la médiatrice de [AC] ;

— (d3) la médiatrice de [AB] ;

— O est le point d’intersection de(d1) et (d2).

Comme O appartient à la médiatrice [BC] alors OB = OC et comme O appartient à la médiatrice de[AC] alors OA = OC. Ainsi,

— OA= OB et O appartient à (d3), la médiatrice de [AB]

— O est égale distance de A, B et C. Conclusions :

— (d1), (d2) et (d3) sont concourantes en O.

— O est le centre du cercle qui passe par A, B et C.

•

Définition 29.6 Ce cercle s’appelle le cercle circonscrit au triangle. Le triangle est dit inscrit dans le cercle.

29.2.3 Construction à la règle et au compas

Pour tracer la médiatrice du segment[AB] à la règle et au compas,

— construire un cercle de centre A et de rayon r supérieur à la moitié de la longueur du segment [AB] ;

— construire un cercle de center B et de rayon r ;

— on obtient deux points C et D, points d’intersection des deux cercles construits.

A

B C

D

Dv

•Démonstration —[CA], [CB], [DA] et [DB] sont des rayons de cercles de même rayon donc CA= CB = DA = DB = r. Les points C et D sont donc deux points distincts de la médiatrice. La droite passant par C et D est nécessairement la médiatrice de[AB]. •

29.3 Hauteurs 11

29.3

Hauteurs

29.3.1 Définition

Définition 29.7 — Hauteur d’un triangle. Dans un triangle ABC, la droite perpendiculaire à(AB) et passant par C est la hauteur issue de C ou relative à[AB].

A

B C

P

Définition 29.8 Le point P , intersection de la hauteur issue de C et de la droite (AB), est appelé pied de la hauteur

29.3.2 Orthocentre

Propriété 29.9 Les hauteurs d’un triangle sont concourantes en un point appelé orthocentre.

A B C P Q R H Dv

•Démonstration —Soit ABC un triangle. On construit : — la parallèle à(AB) passant par C ;

— la parallèle à(BC) passant par A ; — la parallèle à(AC) passant par B ;

A B C J K I

Par définition,(AK) et (BC) sont parallèles et (BK) et (AC) sont parallèles donc AKBC est un parallélogramme ainsi AK = BC. On a aussi (AJ) parallèle à (BC) et (CJ) parallèle à(AB) donc ABCJ est un parallélogramme ainsi AJ = BC.

Comme A ∈ [JK] et AK = AJ, A st le milieu de [JK]. On peut montrer de même que B est le milieu de[IK] et C est le milieu de [IJ].

On construit(d1), la médiatrice de [JK]. Ainsi A appartient à (d1) car A est le milieu de

(JK). De plus, (d1) et (JK) sont perpendiculaires, (JK) et (BC) sont parallèles donc (d1)

est perpendiculaire à (BC). On peut en conclure que, dans le triangle ABC, (d1) est la

hauteur issue du sommet A.

On montre de même que (d2) médiatrice de [KI] est la hauteur issue du sommet B t (d3)

médiatrice de[IL] est la hauteur issue du sommet C.

Or, d’après la propriété29.5, les droites(d1), (d2) et (d3) sont concourantes. •

Conséquence 29.10 Si une droite passe par un sommet et l’orthocentre d’un triangle alors elle est perpendiculaire au côté du triangle opposé à ce sommet.

29.3.3 Axe orthique

Soit ABC un triangle. On note : — A0_{le pied de la hauteur issue de A ;} — B0_{le pied de la hauteur issue de B ;} — C0 _{le pied de la hauteur issue de C.}

Définition 29.11 — Triangle orthique. Le triangle A0_B0_C0_{est appelé le triangle orthique.} On trace les droites(AB), (AC), (BC), (A0_B0_{), (A}0_C0_{) et (B}0_C0_{). On note :} — D le point d’intersection de la droite(AB) avec la droite (A0_B0_{) ;}

— E le point d’intersection de la droite(AC) avec la droite (A0_C0_{) ;} — F le point d’intersection de la droite(BC) avec la droite ((B0_C0_). Alors :

Propriété 29.12 D, E et F sont alignés sur une droite qu’on appelle axe orthique.

29.4 Médianes 13 A B C B0 A0 C0 F E D

29.4

Médianes

Définition 29.13 Dans un triangle ABC, le segment dont les extrémités sont le sommet A et le milieu

I du côté[CB] s’appelle la médiane issue de A ou relative à [CB].

A

B C

I

29.4.2 Centre de gravité

Propriété 29.14 Le trois médianes d’un triangle sont concourantes en un point appelé centre de gra-vité A B C I J K G

R 29.15 Le centre de gravité st situé au deux tiers de la longueur de chaque médiane à partir du sommet. C’est-à-dire : AG= AJ ; BG = BK ; CG = CI. Dv •Démonstration —Soit : — ABC un triangle ;

— (d1) = (AJ) la médiane du triangle ABC issue de B ;

— (d2) = (CI) la médiane du triangle ABC issue de C ;

— G est le point d’intersection de(IC) et (JA) ; — M est le symétrique de B par rapport à G.

A B C I J K G M

On a, d’après le théorème des milieux appliqué aux triangles BCM et BAM : — (IG) est parallèle à (AM)

— (JG) est parallèle à (CM)

donc AMCG est un parallélogramme, ses diagonales[GM] et [AC] ont le même milieu K. Donc(KB) = (d3) est la médiane du triangle ABC issue de B.

D’où :(d1), (d2) et (d3) sont concourantes en G. •

Dv

•Démonstration : les trois médianes sont concourantes en un point —Soit G l’isobary-centre de A, B et C (G baryl’isobary-centre de A(1), B(1), C(1)).

Par associativité, G est le barycentre de A(1) et A0_{(2) (A}0_{étant le barycentre de B(1) et C(1))}

donc G ∈ (AA0_{). De même G est le barycentre de B(1) et B}0_{(2) (B}0 _{étant le barycentre}

de C(1) et A(1)) donc G ∈ (BB0_{). Donc les médianes (AA}0_{) et (BB}0_{) ont pour point}

d’intersection G.

Pour montrer que G ∈ (CC0), on procède de la même façon. . . _•

Conséquences 29.16 1. Si une droite passe par un sommet et le centre de gravité d’un gravité d’un triangle alors elle coupe le côté opposé à ce sommet en son milieu.

2. Si un point est le point d’intersection de deux médianes d’un triangle alors il est situé aux deux tiers de chaque médiane à partir des sommets.

29.5 Bissectrices 15

Théorème 29.17— Théorème d’Appollonius. Soient ABC un triangle et(AI) la médiane du triangle

ABCissue de A. On a alors la relation suivante :

AB2+ AC2 = 2BI2+ 2AI2

ou

AB2+ AC2= 1

2BC2+ 2AI2

Dv

•Démonstration —On note H le pied de la hauteur issue de A. A

B

C I

H

Les triangles BHA, AHC et AHI sont donc rectangles, on peut appliquer le théorème de Pythagore : AB2= BH2+ AH2 (29.1) AC2= AH2+ HC2 (29.2) AI2= IH2+ AH2. (29.3) On obtient donc : AB2+ AC2= BH2+ 2AH2+ HC2.

B, H et I sont alignés donc BH = BI −IH et C, H et I sont alignés donc HC = IC +IH

et en plus, I milieu de[BC] donc IC = BI et donc HC = BI + IH. On a ainsi :

AB2+ AC2= (BI − IH)2+ 2AH2+ (BI + IH)2

= BI2

− 2BI · IH + IH2+ 2AH2+ BI2+ 2BI · IH + IH2 = 2BI2_{+ 2IH}2_{+ 2AH}2_{= 2BI}2_{+ 2(IH}2_{+ AH}2_).

Or, comme AHI est un triangle rectangle, IH2+AH2_{= AI}2_{et en remplaçant dans l’égalité}

précédente, on obtient :

AB2+ AC2= 2BI2+ 2AI2.

•

29.5

Bissectrices

Définition 29.18 La bissectrice d’un angle est l’axe de symétrie de cet angle.

A

B

C

Propriété 29.19 La bissectrice de l’angle partage cet angle en deux angles de même mesure.

29.5.2 Théorème de la bissectrice

Théorème 29.20— Théorème de la bissectrice. Tout point de la bissectrice d’un angle est à égale distance des côtés de cet angle.

Dv

•Démonstration —Soit(Oz) la bissectrice de l’angle dxOy. On note A un point appartenant à la demi-droite[Oz), B (resp. C) le projeté orthogonal de A sur [Ox) (resp. sur [Oy).

x y z O A B C

La distance AB correspond à la distance entre le point A et la droite[Ox) et la distance AC correspond à la distance entre le point A à[Oy).

On note : dxOz= dyOz= α.

Dans les triangles OAC et OAB, on a :

AB= OA × sin(α) AC= OA × sin(α)

et donc AB= AC. •

29.5.3 Cercle inscrit

29.5 Bissectrices 17

Propriété 29.22 Le point d’intersection de ces trois bissectrices est le centre d’un cercle intérieur au triangle et tangente aux trois côtés du triangle.

Le cercle s’appelle cercle inscrit, le triangle st dit circonscrit au cercle.

A B C I Dv •Démonstration —Soient : — ABC un triangle ; — (d1) la bissectrice de \BAC — (d2) la bissectrice de \ABC — (d3) la bissectrice de \ACB

— I est le point d’intersection de(d1) et (d2)

Comme I appartient à la bissectrice de \BACalors d(I, (AB)) = d(I, (AC)) (où d(I, (AB))

est la distance entre le point I et la droite (AB)). Comme I appartient à la bissectrice de \

ABCalors d(I, (AB)) = d(I, (BC)).

Ainsi :

— d(I, (AC)) = d(I, (BC)) et I appartient à (d3), la bissectrice de \ACB.

— I est à égale distance de(AB), (BC) et (AC).

Donc :(d1), (d2), (d3) sont concourantes en I et I est le centre du cercle qui est tangent à

(AB), (BC) et (AC). •

Conséquence 29.23 Si une droite passe par un sommet et le point d’intersection de deux bissectrices d’un triangle alors c’est une bissectrice de ce triangle.

29.5.4 Egalité de proportions

On considère ABC un triangle. On note : — BAla bissectrice de l’angle \BAC;

— BBla bissectrice de l’angle \ABC;

— BC la bissectrice de l’angle \ACB;

— B⊥

Ala perpendiculaire à BApassant par A ;

— B⊥

Bla perpendiculaire à BBpassant par B ;

— B⊥

C la perpendiculaire à BC passant par C.

On peut montrer que B⊥

A, B⊥B, BC⊥sont des bissectrices des angles \BAC, \ABC, \ACB. On les

Proposition 29.24 Si ABC n’est pas isocèle en A, alors en posant M = BA∩ (BC) et N = BA⊥∩ (BC), on a les égalités : M B M C = N B N C = AB AC. Dv

•Démonstration —On note KH(resp. KN) le projeté orthogonal de M (resp. N) sur(AB), et HM (resp. HN) celui de M (resp. N) sur(AC), et enfin L celui de A sur (BC).

A B C M N KM HM HN KN L Alors : A(AMB) A(AMC) = M B· AL M C_{· AL} = AB· MKM AC_{· MH}M .

Or MKM = MHM car M ∈ BA. D’autre part : A(ANB) A(ANC) = N B_{· AL} N C· AL = AB_{· NK}N AC· NHN. Comme précédemment, on a NKN = NHN car N ∈ B⊥

A. Au final : M B M C = N B N C = AB AC. •

29.6

Droites particulières d’un triangle isocèle ou équilatéral

29.6.1 Dans un triangle rectangle

Propriété 29.25 Soit ABC un triangle rectangle en A.(BA) et (CA) sont deux hauteurs qui sont confondues avec les côtés[BA] et [CA]. L’orthocentre du triangle ABC rectangle en A est donc A.

29.6 Droites particulières d’un triangle isocèle ou équilatéral 19

A B

C

29.6.2 Dans un triangle isocèle

Si le triangle est quelconque, les quatre familles de droites (médiatrices, bissectrices, médianes et hauteurs) que l’on a décrit ne se superposent pas et les quatre points particuliers sont des points distincts.

Si le triangle est isocèle, certaines droites particulières sont confondues.

Soit ABC un triangle isocèle en A et(d1) la médiatrice relative à la base [BC].

B C

A

I

Cette droite passe par le milieu de la base [BC] et lui est perpendiculaire. C’est le lieu géométrique des points équidistants des sommets B et C. Comme le triangle ABC est isocèle, AB = AC et le sommet A appartient donc à la médiatrice de la base[BC]. Par conséquent, la médiatrice de base d’un triangle isocèle est aussi un axe de symétrique du triangle ABC.

On en déduit les propriétés suivantes d’un triangle isocèle.

Propriété 29.26 Dans un triangle isocèle, les deux angles à la base ont même amplitude. Les deux angles sont images l’un et l’autre par une symétrie orthogonale.

Propriété 29.27 Dans un triangle isocèle, la médiatrice de la base est aussi la bissectrice de l’angle au sommet.

La médiatrice relative à la base de cet angle en deux angles de même amplitude puisqu’elle est un axe de symétrie.

Propriété 29.28 Dans un triangle isocèle, la médiatrice de la base est aussi la hauteur relative au sommet.

C’est la droite passant par A et perpendiculaire au côté opposé.

Propriété 29.29 Dans un triangle isocèle, la médiatrice de la base est aussi la médiane relative à ce côté.

B C A

I

29.6.3 Dans un triangle équilatéral

Un triangle équilatéral ayant trois côtés de même longueur, chacun de ces côtés peut être consi-déré comme la base d’un triangle isocèle. Toutes les droites remarquables relatives à cette base se superposent.

On en déduit les propriétés suivantes d’un triangle équilatéral :

Propriété 29.30 Dans un triangle équilatéral, toutes les droites remarquables relatives à une base se superposent.

A B

C

29.7

Compléments

29.7.1 Droite d’Euler

Définition 29.31 Le cercle d’Euler d’un triangle est l’unique cercle passant par : — les trois milieux des trois côtés du triangle ;

— le pied de chacune des trois hauteurs du triangle ;

— le milieu de chacun des trois segments reliant l’orthocentre à un sommet du triangle. Proposition 29.32 Dans un triangle, l’orthocentre, le centre du cercle circonscrit, le centre de gravité et le centre du cercle d’Euler sont alignés. La droite qui passe par ces quatre points particuliers du triangle est appelé droite d’Euler.

Dv

•Démonstration —Soit M le point défini parΩM =# » # » ΩA+# » ΩB+# » ΩC. La relation de Chasles donne # » ΩM =# » ΩA +# »

29.7 Compléments 21

Or I1est le milieu de[BC] donc

# » I1B+ # » I1C= #»0 . D’où : # » ΩM −# » ΩA = 2# » ΩI1⇒ # » AM = 2ΩI.# »

Par définition deΩ, la droite (ΩI1) est la médiatrice du segment [BC], donc lui est

perpen-diculaire. La relation vectorielle établie juste au-dessus montre alors que la droite(AM) est aussi perpendiculaire à[BC], donc (AM) est une hauteur du triangle ABC.

De même, on montre que(BM) et (CM) sont les hauteurs de ABC donc M appartient aux trois hauteurs de ce triangle et en est donc l’orthocentre H.

On a donc # » ΩH = # » ΩA +# » ΩB +# » ΩC. Par la relation de Chasles, on a :

# » ΩH = 3# »

ΩG + # »

GA+GB# »+GC.# »

OrGA# »+GB# »+GC# »= #»0 (car G est le centre de gravité du triangle ABC). Donc, on obtient

finalementΩH = 3# » # »

ΩG, ce qui montre que les points Ω, G et H sont alignés dans cet ordre. •

29.7.2 Droite de Simpson

Proposition 29.33 _{Soit ABC un triangle, M un point du plan P et P, Q, R ses projetés orthogonaux} sur les trois côtés du triangle. Alors P, Q, R sont alignés si et seulement si M est sur le cercle circonscrit au triangle ABC. Si c’est le cas, la droite(P Q) est appelée droite de Simpson.

A B C O M P Q R Dv

•Démonstration —On a :_{(AC) ⊥ (RM) et (AB) ⊥ (QM) donc \}(# »

AR,AQ# ») = \(AB,# » AC# ») =

\ (# »

M R,M Q# ») (mod π). Par le théorème de cocyclicité, les points A, M, R et Q sont

cocy-cliques et la réciproque du théorème donne aussi : \ (# »

RQ,RM# ») =(AQ,# »\AM# »).

On montre de même que (BC) ⊥ (PM) et (AC) ⊥ (RM) impliquent (# »\

RM ,RP# ») = \ (# » CM ,CP# ») (mod π). Donc : \ (# » RQ,RP# ») =(RQ,# »\RM# ») =(RM ,# »\RP# ») =(AQ,# »\AM# ») +(CM ,# »\CP# ») (mod π)

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