Poly de traitement du signal

Table des Matieres

1 Introduction

3

2 Traitement du signal analogique

5

2.1 Filtrage lineaire homogene . . . 5

2.1.1 Dirac . . . 5

2.1.2 Reponse impulsionnelle . . . 7

2.1.3 Fonction de transfert . . . 9

2.2 Analyse de Fourier . . . 9

2.2.1 Transformee de Fourier dans

L

1( R) . . . 9

2.2.2 Transformee de Fourier dans

L

2( R) et Diracs . . . 11

2.2.3 Exemples de transformee de Fourier . . . 13

2.3 Synthese de ltres . . . 15

2.3.1 Filtres passe-bandes . . . 15

2.3.2 Filtrage par circuits electroniques . . . 16

2.3.3 Approximations par ltres rationnels . . . 17

2.4 Modulation d'amplitude . . . 19

2.4.1 Signal analytique et transformee de Hilbert . . . 20

2.4.2 Demodulation et detection synchrone . . . 21

3 Traitement du signal discret

23

3.1 Conversion analogique-digitale . . . 23

3.1.1 Echantillonnage . . . 23

3.1.2 Repliement spectral . . . 25

3.2 Filtrage discret homogene . . . 28

3.2.1 Convolutions discretes . . . 29

3.2.2 Series de Fourier . . . 30

3.2.3 Selection frequentielle ideale . . . 32

3.3 Synthese de ltres discrets . . . 32

3.3.1 Filtres recursifs . . . 32

3.3.2 Transformee en z . . . 34

3.3.3 Approximation de ltres selectifs en frequence . . . 37

3.3.4 Factorisation spectrale . . . 37

3.4 Signaux nis . . . 38

3.4.1 Convolutions circulaires . . . 38

3.4.2 Transformee de Fourier discrete . . . 39 1

3.4.3 Transformee de Fourier rapide . . . 40

3.4.4 Convolution rapide . . . 42

4 Traitement du signal aleatoire

43

4.1 Processus stationnaires au sens large . . . 43

4.1.1 Estimation de la moyenne et de l'autocovariance . . . 44

4.1.2 Operateur de covariance . . . 46

4.1.3 Puissance spectrale . . . 47

4.1.4 Filtrage homogene . . . 48

4.2 Filtrage de Wiener . . . 50

5 Traitement de la Parole

55

5.1 Modelisation du signal de parole . . . 55

5.1.1 Production . . . 55

5.1.2 Conduit vocal . . . 56

5.1.3 Excitation . . . 58

5.2 Processus autoregressifs . . . 60

5.3 Estimation d'un modele de parole . . . 62

5.3.1 Regression lineaire . . . 63

5.3.2 Compression par prediction lineaire . . . 66

5.3.3 Reconnaissance de la parole . . . 67

6 Analyse Temps-Frequence

69

6.1 Transformee de Fourier a fen^etre . . . 69

6.2 Frequence instantanee . . . 77

6.2.1 Frequence instantanee analytique . . . 77

6.2.2 Cr^etes de transformee de Fourier a fen^etre . . . 79

7 Information et Codage

87

7.1 Complexite et entropie . . . 87 7.1.1 Suites typiques . . . 87 7.1.2 Codage entropique . . . 90 7.2 Quantication scalaire . . . 96

8 Compression de Signaux

99

8.1 Codage compact . . . 99 8.1.1 Etat de l'art . . . 99

8.1.2 Codage dans une base orthogonale . . . 100

8.2 Bases de cosinus locaux . . . 104

8.3 Codage perceptuel . . . 106

8.3.1 Codage audio . . . 106

Chapitre 1

Introduction

Initialement applique aux telecommunications, le traitement du signal se retrouve a present dans tous les domaines necessitant d'analyser et transformer de l'information numerique. La manipulation de donnees obtenues par capteurs bio-medicaux, lors d'experiences physiques ou biologiques, sont aussi des problemes de traitement du signal. Le telephone, la radio et la television ont motive l'elaboration d'algorithmes de ltrage lineaires perme-ttant de coder des sons ou des images, de les transmettre, et de supprimer certains bruits de transmission. Le chapitre 2 introduit le ltrage analogique avec une application a la transmission par modulation d'amplitude.

Lorsque la rapidite de calcul le permet, le ltrage par circuits d'electronique analogique est remplace par des calculs numeriques sur des signaux digitaux. Le calcul digital est en eet plus able et ore une exibilite algorithmique bien plus importante. C'est pourquoi les disques et cassettes analogiques ont recemment ete remplaces par les disques com-pacts numeriques et les cassettes digitales. La conversion analogique-digitale est etudiee dans le chapitre 3 ainsi que l'extension des operateurs de ltrage aux signaux discrets. L'introduction de la transformee de Fourier discrete rapide par Cooley et Tuckey en 1965 a fait de l'analyse de Fourier un outil algorithmique puissant qui se retrouve dans la plupart des calculs rapides de traitement du signal.

Lorsque l'on veut decrire les proprietes d'une classe de signaux, comme un m^eme son prononce par dierents locuteurs, il est utile de se placer dans un cadre probabiliste. La variete des signaux d'une telle classe peut en eet ^etre caracterisee par un processus aleatoire. La modelisation de signaux par processus stationnaires est introduite dans le chapitre 4, ou nous etudions une application pour la suppression de bruits additifs.

Les problemes les plus diciles du traitement du signal sont souvent lies au traitement de l'information. Comment extraire l'information utile d'un signal ? La reconnaissance de la parole a motive un grand nombre de travaux dans ce domaine. La performance des systemes de reconnaissance de parole a progresse beaucoup plus lentement que les projections optimistes des annees 50. Les algorithmes de traitement doivent s'adapter au contenu complexe du signal, et sont donc beaucoup plus sophistiques que des ltrages lineaires homogenes. Le chapitre 5 etudie l'application des modeles autoregressifs. Ex-traire l'information d'un signal necessite souvent d'analyser les evolutions temporelles de ses \composantes frequentielles". Le chapitre 6 introduit des decompositions temps-frequence qui representent un signal en structures elementaires ressemblant a des notes

de musiques, an de plus facilement caracteriser son contenu.

La notion d'information contenue dans un signal peut se formaliser par la theorie de Shannon qui la relie au nombre de bits minimum pour coder le signal. L'entropie introduite dans le chapitre 7 mesure la quantite d'information d'un signal. Le chapitre 8 montre que ces conceptes permettent d'elaborer des algorithmes de compression qui suppriment la redondance interne d'un signal an de le representer avec un nombre de bits reduit. De tels algorithmes augmentent considerablement les capacites de stockage, et permettent de transmettre des signaux a travers des canaux a debits reduits. Par exemple, la transmission d'images sur Internet utilise l'algorithme de compression JPEG qui est decrit dans ce dernier chapitre.

Chapitre 2

Traitement du signal analogique

Le traitement du signal analogique repose essentiellement sur l'utilisation d'operateurs lineaires qui modient les proprietes d'un signal de facon homogene dans le temps. La transformees de Fourier diagonalise ces operateurs et appara^t donc comme le principal outil d'analyse mathematique. Nous etudions la synthese de ltres homogenes et une application a la transmission par modulation d'amplitude.

2.1 Filtrage lineaire homogene

Un signal analogique mono-dimensionnel est une fonction f(t) d'une variable continue

t 2 R, que nous supposerons ^etre le temps. De nombreux algorithmes de traitement

du signal tels que la transmission par modulation d'amplitude, le debruitage de signaux stationnaires ou le codage par prediction, s'implementent avec des operateurs lineaires homogenes dans le temps.

L'homogeneite temporelle d'un operateurL signie que si l'entree f(t) =f(t ) est

retardee par  2R alors la sortie L[f(t)] est aussi retardee par 

L[f(t)] =g(t))L[f(t)] =g(t ): (2.1)

Pour garantir une stabilite numerique, nous supposons aussi queLa une continuite faible. Pour tout t, la sortie L[f](t) est peu perturbee si f(t) est un signal regulier qui est legerement modie. Cette continuite peut ^etre formalisee dans le cadre de la theorie des distributions [4].

2.1.1 Dirac

Un Dirac est une masse ponctuelle qui est souvent utilisee pour simplier les calculs. C'est une \distribution" (t) dont le support est reduit au point t = 0 et d'integrale unite, si bien que pour toute fonction continue f(t)

Z +1

1

f(u)(u)du=f(0):

La theorie des distributions [4] denie formellement cette integrale comme une forme lineaire qui associe a toute fonction sa valeur en t = 0. Nous nous contentons ici

d'une denition plus intuitive d'un Dirac comme limite de \bosses" qui sont contractees indeniment.

Soit (t) une fonction continue a support dans [ 1;1] et de masse unite

Z +1

1

(u)du= 1: (2.2)

La fonction s(t) = 1

s(st) a un support dans [ s;s]. Avec le changement de variable

t0 = t s on montre que Z +1 1 s(u)du= Z +1 1 1 s(us)du= 1:

Soit f(t) une fonction continue, on verie facilement que lim s!0 Z +1 1 f(u)s(u)du=f(0):

Un Dirac se denit par

(t) = lim_s

!0

s(t);

ou la limite doit ^etre formellement prise au sens ou pour toute fonction continue f(t) lim s!0 Z +1 1 f(u)s(u)du= Z +1 1 f(u)(u)du=f(0): (2.3) Un Dirac (t) n'est pas une fonction mais la theorie des distributions montre que cela se manipule comme une fonction dans les calculs. On oubliera donc son statut de distribution par la suite. Ainsi, on peut denir un Dirac translate en  par

(t ) = lim_s

!0

s(t );

et on montre que pour toute fonction continue f(t)

Z +1

1

f(u)(u )du=f(): (2.4) On peut cependant eviter d'utiliser une limite et deduire simplement ce resultat de (2.2) par un changement de variable u0 =u+.

Un Dirac est symetrique(t) =( t) car

Z +1 1 f(u)( u)du= Z +1 1 f( u)(u)du=f(0):

On peut donc reecrire (2.4) comme une decomposition de f(t) en une somme de Diracs translates en dierents points

f(t) =

Z +1

1

2.1. FILTRAGELIN  EAIRE HOMOG  ENE 7

2.1.2 Reponse impulsionnelle

En decomposant un signal comme une somme de Diracs translates, nous montrons que tout operateur homogene peut s'ecrire comme un produit de convolution. On a vu que

f(t) =

Z +1

1

f(u)(t u)du:

La continuite et la linearite de Lmontrent que

L[f(t)] =

Z +1

1

f(u)L[(t u)]du:

Soit h(t) la reponse deL pour une impulsion (t)

h(t) =L[(t)]:

L'homogeneite temporelle implique L[(t u)] =h(t u) et donc

L[f(t)] = Z +1 1 f(u)h(t u)du= Z +1 1 h(u)f(t u)du:

On note le produit de convolution de h avec f L[f(t)] =h ? f(t) =

Z +1

1

h(u)f(t u)du:

Un operateur lineaire homogene se calcule donc par un produit de convolution avec la reponse impulsionnelle.

On rappelle quelques proprietes importantes du produit de convolution :

 Commutativite

f ? h(t) =h ? f(t): (2.5)

 La convolution de f(t) avec un Dirac translate (t) =(t ) translate f(t) par

f ? (t) =

Z +1

1

f(t u)(u)du=f(t ): (2.6)

Stabilite et causalite

Un ltre est causal si et seulement si L[f(t)] ne depend que des valeurs f(u) pour u < t. Comme

L[f(t)] =

Z +1

1

h(u)f(t u)du;

cela signie que h(u) = 0 pouru <0. On dit alors queh(t) est une fonction causale. On exprime souvent les fonctions causale comme un produit avec une fonction echelon

avec (t) =  0 sit <0 1 sit 0 (2.7) Lorsque f(t) est bornee on veut garantir que L[f(t)] est aussi bornee. On dit alors que le ltre L et h(t) sont stables. Comme

jL[f(t)]jsup u2R jf(u)j Z +1 1 jh(u)jdu; (2.8) il sut que h2

L

1( R) Z +1 1 jh(u)jdu <+1:

On verie (exercice) que si h(t) est une fonction denie pour presque tout t 2R la

con-dition h2

L

1(

R) est aussi necessaire.

Exemples

Un systeme d'amplication par  et de delai par  est deni par

L[f(t)] = f(t ):

La reponse impulsionnelle de ce ltre est

h(t) =(t ):

La moyenne uniforme de f(t) dans un voisinage de tailleT est

L[f(t)] = 1_T Z t +T 2 t T2 f(u)du:

Cette integrale peut ^etre reecrite comme un produit de convolution avec

h(t) =  1 T sit 2[ T 2; T 2] 0 sijtj> T 2

Une moyenne ponderee correspond a une reponse impulsionnelle h(t) telle que Z +1 1 h(u)du= 1: L'integrale L[f(t)] = Z +1 1 h(u)f(t u)du

peut ^etre interpretee comme une moyenne ponderee par h(u) de f(u) au voisinage de t. Si f(t) = calors on verie que L[f(t)] = c. On verra comment optimiser le choix deh(u) pour enlever au mieux les uctuations irregulieres de f(t) dues a un bruit de mesure.

2.2. ANALYSE DE FOURIER 9

2.1.3 Fonction de transfert

Les exponentielles complexesei!t _{sont les vecteurs propres des operateurs de convolution.}

En eet

L[ei!t_{] =}Z +1

1

h(u)ei(t u)! du;

ce qui nous donne

L[ei!t_{] =e}it!Z +1

1

h(u)e i!u_du=eit!^_h(!);

avec pour valeur propre

^ h(!) = Z +1 1 h(u)e i!u _du:

La fonction ^h(!) est la transformee de Fourier deh(t) et est appelee fonction de transfert du ltre. Les exponentielles etant les vecteurs propres d'un systeme lineaire homogene, il est tentant d'essayer d'exprimer le signal f(t) comme somme d'exponentielles complexes, de facon a facilement calculer la reponse du ltre. L'analyse de Fourier prouve qu'une telle decomposition est possible, en imposant des conditions tres faibles sur f(t).

2.2 Analyse de Fourier

2.2.1 Transformee de Fourier dans L

1 (R)

Pour s'assurer que l'integrale de Fourier ^ f(!) = Z +1 1 f(t)e i!t_{dt (2.9)}

existe, on suppose que f(t) est integrable f(t) 2

L

1(

R). Cela nous permet d'etudier ses

proprietes principales avant de l'etendre a d'autres classes de fonctions. Lorsque f(t)2

L

1( R), jf^(!)j Z +1 1 jf(t)jdt: (2.10)

La transformee de Fourier est alors bornee et l'on peut verier que ^f(!) est continue (exercice). Si ^f(!)2

L

1(

R), on peut prouver [3] que l'operateur de Fourier s'inverse et

que f(t_{) = 12} Z +1 1 ^ f(!)ei!t_{d!: (2.11)}

La transformee de Fourier ^f(!) peut donc ^etre interpretee comme l'amplitude de la com-posante sinusodale ei!t _{de frequence ! dans f(t). Au lieu de decrire f(t) par ses valeurs}

a chaque instant, la transformee de Fourier donne une description de f(t) en somme de sinusodes totalement delocalisees dans le temps.

Regularite

Les composantes irregulieres de f(t) sont reconstruites par les sinusodes

^

f(!) decro^t rapidement, cela signie donc que f(t) est une fonction reguliere. Cette propriete se formalise en montrant que si

Z +1 1 jf^(!)j(j!j p_{+ 1)<+} 1;

alorsf(t) estpfois contin^ument derivable. Pour demontrer ce resultat, on prouve d'abord que la transformee de Fourier de dpf(t)

dtp 2

L

1(

R) est (i!)pf^(!) (exercice). On utilise

ensuite le fait que si ^g(!)2

L

1(

R) alors g(t) est bornee et continue, ce qui se montre en

utilisant (2.11). L'equivalence entre regularite temporelle et decroissance du module de la transformee de Fourier est particulierement importante pour analyser les proprietes d'un signal f(t).

Pour les applications au traitement du signal, le resultat le plus important est le theoreme de convolution.

Theoreme 2.1 (Convolution)

Soit f(t) 2

L

1( R) et h(t) 2

L

1( R). La fonction g(t) = h ? f(t)2

L

1(

R) et sa transformee de Fourier est

^ g(!) = ^h(!) ^f(!): (2.12)

Demonstration

^ g(!) = Z +1 1 e it! Z +1 1 f(t u)h(u)du  dt:

Comme jf(t u)jjh(u)jest sommable dans R

2, on peut appliquer le theoreme de Fubini

et le changement de variable (t;u)!(v =t u;u) nous donne

^ g(!) = Z +1 1 Z +1 1 e i(u+v)!f(v)h(u)dudv = Z +1 1 e iv!_f(v)dvZ +1 1 e iu!_h(u)du ; ce qui verie (2.12). 2

Filtrage

Le theoreme de convolution prouve que la transformee de Fourier d'un ltrage

L[f](t) =f ? h(t) est ^f(!)^h(!). La formule de reconstruction

f(t_{) = 12} Z +1 1

^

f(!)ei!t_{d!: (2.13)}

appliquee a L[f](t) implique donc

L[f](t_{) = 12} Z +1 1 ^ h(!) ^f(!)ei!t_{d!: (2.14)}

Chaque composante frequentielle ei!t _{de f(t) d'amplitude ^f(!) est donc ampliee ou}

attenuee par ^h(!). Ceci n'est pas surprenant puisque nous avons deja prouve que les expo-nentielles ei!t _{sont des vecteurs propres d'une convolution. Si ^h(!) = 0 pour !}2[!

1;!2],

les composantes frequentielles de f(t) pour ! 2 [!

1;!2] sont annulees par l'operateur L,

2.2. ANALYSE DE FOURIER 11

Proprietes generales

Le tableau qui suit resume certaines proprietes importantes de la tranformee de Fourier. Les demonstrations se font le plus souvent par un simple change-ment de variable dans l'integrale de Fourier.

Propriete Fonction Transformee de Fourier

f(t) f^(!) Inverse f^(t) 2f( !) (2.15) Convolution f1? f2 f^1(!) ^f2(!) (2.16) Multiplication f1(t)f2(t) 1 2f^1?f^2(!) (2.17) Translation f(t t0) e it0!f^(!) (2.18) Modulation ei!0tf(t) f^(! ! 0) (2.19) Dilatation f(at) 1 jaj ^ f(!_a) (2.20) Dierentiation dpf(t) dtp (i!)pf^(!) (2.21) Multiplication Polyn^omiale ( it)p_f(t) dpf^(!) d!p (2.22) Complexe Conjugue f(t) f^ ( !) (2.23) Symetrie Hermitienne f(t) = Ref(t) ^f( !) = ^f(!) (2.24) Composante Reelle Ref(t) f^(!) + ^f( !) 2 (2.25) Composante Imaginaire

Im

f(t) f^(!) ^f( !) 2i (2.26) Composante Paire f(t)+f  ( t) 2 Re ^f(!) (2.27) Composante Impaire f(t) f  ( t) 2

Im

^ f(!) (2.28)

2.2.2 Transformee de Fourier dans L

2

(R)

et Diracs

Plut^ot que de travailler dans

L

1(

R), il est souvent plus facile de considerer les signaux

comme des elements de l'espace de Hilbert

L

2(

R) car on a alors acces a toutes les facilites

donnees par l'existence d'un produit scalaire. Le produit scalaire de f(t) 2

L

2(

R) et

g(t)2

L

2(

R) est deni par

< f;g >= Z +1 1 f(t)g (t)dt; et la norme kfk 2 =< f;f >= Z +1 1 jf(t)j 2dt:

Pour facilement travailler dans cette structure Hilbertienne, il nous faut y denir la trans-formee de Fourier. Cela pose un probleme car l'integrale de Fourier (2.9) d'une fonction

de carre integrable n'est pas toujours convergente.

Conservation d'energie

La transformee de Fourier s'etend a partir de

L

1(

R) par un

argument de densite qui utilise le fait qu'a une constante pres, la norme et les angles dans

L

2(

R) ne sont pas modies par transformee de Fourier.

Theoreme 2.2

Soient f(t) et h(t) dans

L

1(

R)\

L

2( R), < f;h >= Z +1 1 f(t)h(t)dt = 12 Z +1 1 ^ f(!)^h(!)d! = 12 <f;^ ^h > : (2.29)

Pour h=f on obtient la formule de Plancherel

jjfjj 2= Z +1 1 jf(t)j 2dt = 12 Z +1 1 jf^(!)j 2d! = 12jjf^jj 2: (2.30)

Demonstration de (2.29)

Prenonsg(t) =f ?~h(t) avec ~h(t) =h( t). Le theoreme de convolution en (2.12) et (2.23)

montre que ^g(!) = ^f(!)^h(!). La formule de reconstruction (2.11) appliquee a g(0) nous

donne Z +1 1 f(t)h(t)dt =g (0) = 12 Z +1 1 ^ g(!)d! _{= 12} Z +1 1 ^ f(!)^h(!)d!: (2.31) 2

Extension dans L

2(

R) Pour denir la transformee de Fourier de f(t) 2

L

2(

R), on

construit une famille ffngn

2Zde fonctions dans

L

1(

R)\

L

2(

R) qui convergent vers f

lim

n!+1

kf fnk= 0:

Ceci est possible car

L

1(

R)\

L

2(

R) est dense dans

L

2(

R). La familleffn(t)gn

2Zest une

suite de Cauchy, et donc kfn fpk est arbitrairement petit pour n et p susamment

grands. Comme fn(t)2

L

2(

R), la formule de Plancherel montre que ^fn(!) 2

L

2(

R). De

plus, ff^n(!)gn

2Zest aussi une suite de Cauchy car kf^n f^pk=

p

2kfn fpk

est arbitrairement petit pour n etp susamment grands. Comme toute suite de Cauchy converge dans

L

2( R), il existe ^f(!)2

L

2( R) tel que lim n!+1 kf^ f^nk= 0:

Par denition, ^f(!) est la tranformee de Fourier de f(t). On peut alors verier que le theoreme de convolution, la formule de Parseval et les proprietes (2.15-2.28) restent val-ables dans

L

2(

2.2. ANALYSE DE FOURIER 13

Dirac

La transformee de Fourier d'un Dirac peut simplement se calculer en se souvenant que pour toute fonction continue f(t)

Z +1

1

f(t)(t)dt=f(0):

La transformee de Fourier de (t) est donc

Z +1

1

e i!t_{(t)dt = 1:}

C'est la fonction constante egale a 1. La theorie des distributions [4] montre que l'on peut denir la transformee de Fourier pour toute distribution temperee.

2.2.3 Exemples de transformee de Fourier

 Une Gaussiennef(t) = e t 2

etant une fonction de la classe de Schwartz, sa transformee de Fourier est aussi une fonction

C

1 a decroissance rapide. Pour calculer sa transformee

de Fourier, on montre par une integration par partie (exercice) que sa transformee de Fourier ^ f(!) = Z +1 1 e t2 e i!t_dt

satisfait l'equation dierentielle

2 ^f0(!) +!f^(!) = 0:

La solution est une gaussienne

^ f(!) = Ke !2= 4; et comme ^ f(0) = Z +1 1 e t2 dt=p ; ^ f(!) =p e !2= 4: (2.32)  La fonction indicatrice f(t) = 1

[ T;T](t) est discontinue et donc a une transformee

de Fourier qui n'est pas dans

L

1(

R) mais qui est dans

L

2( R) ^ f(!) = Z T T e i!tdt = 2sin( T!) ! : (2.33) Le sinus cardinal f(t) = sint t est dans

L

2(

R) mais pas dans

L

1(

R). Sa transformee

de Fourier se deduit de (2.33) gr^ace a la propriete de symetrie (2.15) ^

f(!) = 1[ ;](!): (2.34)

 Un Dirac translate (t) = (t ) a une transformee de Fourier qui se calcul

directement ^ (!) = Z +1 1 (t)e i!tdt =e i!: (2.35)

La valeur principale f(t) = vp 1

t denit par convolution la transformee de Hilbert

H[g](t) =g ?vp 1 t = 1 Z +1 1 g(u)vp 1_{t udu:} (2.36)

On calcule la transformee de Fourier de vp1

t en observant que

tf(t) = 1_; ce qui se traduit en Fourier gr^ace a (2.22) par

df^(!) d! = 2i(!): Donc ^ f(!) = i sign(!) +c (2.37) avec sign(!) = 8 < : 1 si ! >0 0 si != 0 1 si ! <0

Comme f(t) est reelle antisymetrique, sa transformee de Fourier est imaginaire pure antisymetrique ce qui prouve que c= 0.

Le peigne de Dirac

c(t) = +1 X

n= 1

(t nT) (2.38)

est une distribution dont la transformee de Fourier se deduit de (2.35) ^

c(!) = +1 X

n= 1

e inT!_{: (2.39)}

La formule de Poisson prouve que ^c(!) est aussi egal a un peigne de Dirac dont l'espacement est 2

T .

Theoreme 2.3 (Formule de Poisson)

+1 X n= 1 e inT! _{= 2} T +1 X k= 1 (! 2_Tk): (2.40)

Demonstration

CommeC(!) =P +1 n= 1e

inT! _{est 2=T periodique, il sut de prouver}

que sa restriction a [ =T;=T] est egale a 2=T(!). Pour tout (!) 2

C

1

0 dont le

support est inclus dans [ =T;=T], on veut montrer que

< C; >= lim_N !+1 Z +1 1 +N X n= N e inT!_{(!)d!= 2} T (0): (2.41)

2.3. SYNTH 

ESE DE FILTRES 15

La somme de cette serie geometrique est

+N X n= N e inT! _{= sin[(}N + 1=2)T!] sin[T!=2] : (2.42) Donc < C; >= lim_N !+1 2 T Z +=T =T sin[(N + 1=2)T!] ! sin[T!=T!=22](!)d!: (2.43) Pour j!j< =T, on denit ^_{(!) = (!)} T!=2 sin[T!=2]

tandis que ^(!) = 0 si j!j > =T. Cette fonction est la transformee de Fourier de

(t)2

L

2(

R). Comme 2sin(a!)=! est la transformee de Fourier de 1

[ a;a](t), la formule de Parseval (2.29) implique < C; >= 2_T Z +1 1 sin[(N + 1=2)T!] ! ^(!)d! = 2T Z (N+1=2)T (N+1=2)T (t)dt: (2.44) Lorsque N tend vers +1 l'integral converge vers ^(0) = (0). 2

2.3 Synthese de ltres

2.3.1 Filtres passe-bandes

La transformee de Fourier d'un signal ltre g(t) = f ? h(t) est ^

g(!) = ^f(!)^h(!):

De nombreuses applications necessitent d'isoler les composantes du signal dans dierentes bandes de frequences.

Un ltre passe-bas ideal a une fonction de transfert denie par ^ h0(!) =  1 si j!j!c 0 si j!j> !c (2.45) Il elimine donc toutes les frequences de ^f(!) au dela de !c. On deduit de (2.34) que la

reponse impulsionnelle de ce ltre est

h0(t) = sin(

!ct)

t :

Ce ltre passe-bas ideal est ni causal ni stable. Le paragraphe suivant explique comme l'approximer avec un systeme physiquement realisable.

Un ltre passe-bande reel a une fonction de transfert qui supprime toute composante frequentielle en dehors de deux intervalles symetriques par rapport a != 0

^ h1(!) =  1 si j!j2[! 0 !c;!0+!c] 0 ailleurs (2.46)

Un tel ltre peut se deduire d'un ltre passe-bas. Comme ^

h1(!) = ^h0(! !0) + ^h0(!+!0):

Comme la transformee de Fourier de h0(t)e

i!0t est ^h

0(! !0) on deduit que

h1(t) = 2cos(!0t)h0(t) = 2cos(!0t) sin

!ct

t :

Ce ltre est generalement approxime par un ltre causal et stable, en remplacant h0(t)

par une approximation stable et causale.

2.3.2 Filtrage par circuits electroniques

Un ltrage lineaire analogique est le plus souvent implemente avec un circuit electronique. Le signalf(t) est represente par une dierence de potentielu(t) = f(t) appliquee a l'entree du circuit. Pour certaines reponses impulsionnellesh(t), nous allons montrer que l'on peut congurer le circuit de facon a ce que la dierence de potentiel v(t) a la sortie soit egale au produit de convolution v(t) =u ? h(t) (voire gure 2.1).

Les circuits VLSI analogiques sont essentiellement composes de resistances, de ca-pacites, et d'amplicateurs operationnels, construits avec des transistors. Les inductances ne sont pas utilisees car elles demandent trop de place sur le silicium, mais elles sont rem-placees par des circuits equivalents. Ce type de circuit relie les dierences de potentiels a l'entree et a la sortie par une equation dierentielle a coecients constants

aNdN_dtv_N(t) +:::+a1 dv(t) dt +a0v(t) =bM dM_u(t) dtM +:::+b1 du(t) dt +b0u(t): (2.47)

On suppose que u(t) est un signal causal, u(t) = 0 pour t < 0, et l'on veut calculer la solution v(t) de cette equation dierentielle. Cette solution depend des conditions ini-tiales a la sortie du circuit speciees par f

dk_v(0)

dtk g

0k<N. Nous supposerons que le circuit

est initialement au repos ce qui signie que toutes ces derivees sont nulles. La sortie v(t) est alors reliee a u(t) par un operateur lineaire homogene dont nous calculons la fonction de transfert.

Fonction de transfert

La propriete de dierentiation (2.21) permet de calculer la trans-formee de Fourier de chaque c^ote de l'egalite (2.47)

aN(i!)Nv^(!) +:::+a1(i!)^v(!) +a0v^(!) =

2.3. SYNTH 

ESE DE FILTRES 17

La fonction de transfert est donc ^

h(!) = ^_uv_^(₍!_!)_{) =} bM(i!)M +:::+b1(i!) +b0

aN(i!)N +:::+a1(i!) +a0

: (2.48)

Cette fonction de transfert est aussi appelee l'impedance du circuit.

Dans le cas d'un circuit electronique, on a N M, car j^h(!)j ne peut pas tendre ver

+1 a haute frequences. La sortie du circuit initialement au repos peut s'ecrire

v(t) = Z +1 1 h()u(t )d = Z +1 0 h()u(t )d;

car la reponse impulsionnelleh(t) est causale.

Exemple

Le circuit RC avec amplication de la gure 2.1 est un exemple particulierement simple qui relie l'entree et la sortie par l'equation

RCdv_dt(t)+v(t) = (1 + R2

R1

)u(t):

L'impedance est donc

^

h(!) = 1 + R2

R1

1 +RCi!:

One peut verier (exercice) que la reponse impulsionnelle du ltrage homogene est causale et s'exprime a partir de la fonction echelon (2.7) par

h(t) = 1_RC (1 + R2 R1 )e RCt (t): R u(t )

AAA

AAA

AAA

AAA

AAA

AAA

+ -R₁ R₂ C _{V(t )}

Figure 2.1: Circuit RC avec un amplicateur operationnel

2.3.3 Approximations par ltres rationnels

Nous avons vu qu'un circuit electronique implemente un ltre dont la fonction de transfert est une fonction rationnelle de i!

^

ou N(u) et D(u) sont des polyn^omes a coecients reels. On peut demontrer (exercice) que le ltre est causal et stable si et seulement si D(s) est un polyn^ome dont les racines ont des parties reelles strictement negatives. Par ailleurs on montre aussi que si P(!) est une fonction rationnelle de i! avecP(!)0 pour tout! 2R, alors il existe une fonction

de transfert rationelle, correspondant a un ltre causal et stable, qui satisfait

j^h(!)j

2 =P(!):

Un ltre passe-bas ideal

^

h0(!) = 1[ !c;!c](!)

n'est pas realisable par un circuit electrique car sa fonction de transfert n'est pas ra-tionnelle. Le nombre d'elements (resistances, capacites, amplicateurs) necessaires pour implementer une fonction de transfert rationnelle ^h(!) est proportionnel au degre du denominateur. Pour limiter la complexite du circuit, on veut donc approximer j^h

0(!) j

2

par une fonction rationnelle de faible degre, tout en minimisant l'erreur d'approximation. L'erreur d'approximation est denie par un gabarit illustre par la gure 2.2, qui specie l'amplitude maximum des oscillations dej^h(!)j

2dans les bandes de passage et d'attenuation

ainsi que la largeur de la bande de transition. Le probleme est donc de trouver des fonc-tions rationnelles de degre le plus faible possible, qui satisfont les contraintes de gabarit imposees par une application. Les polyn^omes de Butterworth ou de Chebyshev ont des proprietes particulierement bien adaptees a ce type d'approximation.

AAAAAAAA

AAAAAAAA

AAAAAAAA

AAAAAAAA

AAAAAAAA

AAAAAAAA

AAAAAAA

AAAAAAA

AAAAAAA

AAAAAAA

AAAAAAA

AAAAAA

h(ω) ^ 2 1 1 - εp ω c ∆ ω ω εa

Figure 2.2: Le gabarit d'un ltre specie l'amplitude maximum des oscillations p et a

dans les bandes de passage et d'attenuation du ltre, ainsi que la largeur
! de la bande de transition

Filtres de Butterworth

Un ltre de Butterworth d'ordre n est deni par

j^hbn(!)j 2

= _{1 + (!=!}1 _c)2n: (2.50)

Plus n augmente plus le ltre est plat au voisinage de ! = 0 car les 2n 1 premieres derivees dej^h(!)j

2 sont nulles en!= 0. A la frequence de coupure!

c,j^hbn(!c)j 2 = 1

2.4. MODULATION D'AMPLITUDE 19

ltres convergent vers le ltre passe-bas ideal (2.45), au sens ou pour tout ! 2R f!cg

lim n!+1 j^hbn(!)j 2 = j^h 0(!) j 2:

Filtres de Chebyshev

Les ltres de Chebyshev ne sont pas plats au voisinage de != 0 mais ils ont des oscillations de tailles constantes dans la bande de passage. A degre egal, ils ont une bande de transition plus faible que les ltres de Butterworth. Ils sont denis par

j^hcn(!)j

2 = 1

1 +2C2

n(!=!c);

ou Cn(!) est un polyn^ome de Chebyshev de degre n qui peut s'ecrire

Cn(!) =  cos(ncos 1!) si 0 j!j1 cosh(ncosh 1!) si j!j1 (2.51) Ces polyn^omes peuvent aussi ^etre caracterises par recurrence

C0(!) = 1 ; C1(!) = !;

Cn+1(!) = 2!Cn(!) Cn 1(!):

Pour j!j < 1, jCn(!)j

2 oscille regulierement entre 0 et 1 tandis que lorsque

j!j > 1, le

cosinus hyperbolique augmente de facon monotone. En consequence j^hcn(!)j

2 oscille entre 1 et 1 1+ 2 lorsque 0  j!j=!c  1. Lorsque j!j=!c  1 alors j^hcn(!)j 2 a une decroissance monotone vers 0.

Il existe d'autres familles de fonctions rationnelles utilisees pour l'approximation du ltre passe-bas ideal et le choix d'une approximation pour une application est un art qui depend du type de distortions que l'on peut admettre.

2.4 Modulation d'amplitude

A travers un canal unique de transmission il est souvent necessaire de transmettre plusieurs signaux simultanement, comme par exemple des emissions de radio ou des conversations telephoniques. Lorsque ces signaux peuvent ^etre bien approximes par des fonctions dont la transformee de Fourier est a support compact, la modulation d'amplitude permet de multiplexer ces signaux pour les transmettre en m^eme temps. L'audition n'etant essen-tiellement sensible qu'a des sons entre 300Hz et 3300Hz, on peut limiter les sons par ltrage passe-bas a l'intervalle de frequence [ 3300;3300], lors de leur transmission telephonique ou radio.

On suppose que les signaux ffng

0n<N que l'on veut multiplexer ont tous une

trans-formee de Fourier dont le support est inclu dans [ b;b]. La modulation d'amplitude permet de multiplexer ces N signaux en un seul signal dont la bande de frequence est N

fois plus grande. Pour cela on transforme chaque signal fn(t) en un signal modulefnm(t)

choisissant !n = nb, le support de fnm(!) n'intersecte pas le support de fpm(!) si n 6= p.

A partir du signal multiplexe

M(t) =N 1 X

n=0

f_nm_{(t) (2.52)}

on peut recuperer chaque signalf_nm _{par ltrage passe-bande, puis on reconstruitfn(t) par}

demodulation. Les paragraphes suivants expliquent le calcul de ces dierentes etapes.

2.4.1 Signal analytique et transformee de Hilbert

Les signaux reels ayant une transformee de Fourier a symetrie hermitienne, leur support est symetrique par rapport a ! = 0. On veut donc transposer les frequences de fn(t) de

l'intervalle [ b;b] a un double intervalle symetrique [ !n b; !n][[!n;!n+b]. Pour

cela nous considerons separement les frequences positives et negatives de fn(t), comme

l'illustre la gure 2.3. Comme ^fn(!) = ^f

n( !), ^fn(!) est entierement caracterise par sa restriction a ! > 0

donnee par ^ fzn(!) = 8 < : 2 ^fn(!) si ! >0 ^ fn(0) si != 0 0 si ! <0 (2.53)

La fonction fzn(t) est appelee partie analytique de fn(t) car on peut demontrer qu'elle

admet une extension analytique dans la partie superieure du plan complexe que l'on construit gr^ace a la transformee de Laplace [Bony]. Les proprietes (2:25;2:26) de la transformee de Fourier montrent que la transformee de Fourier de la partie reelle de fzn(t)

est _^

fzn(!) + ^fz

n ( !)

2 = ^fn(!);

et donc que Refzn(t) = fn(t). De m^eme la transformee de Fourier de sa partie imaginaire

est _^

fzn(!) ^fz

n ( !)

2i = i sign(!) ^fn(!): (2.54)

Nous avons vu en (2.37) que i sign(!) est la fonction de transfert du ltre de Hilbert. La partie imaginaire de fzn(t) est donc la transformee de Hilbert de f(t)

Im

fzn(t) =H[fn](t) =fn?vp 1 t = 1 Z +1 1 fn(u) vp 1_{t udu:} (2.55)

Modulation d'amplitude

Pour transposer en frequence ^fn(!) et obtenir une fonction

^

f_nm_{(!) dont le support est [ b !n; !n]}[[!n;!n+b], on decale de !n les frequences

positives ^fzn(!) et de !n les frequences negatives ^fzn( !) (gure 2.3)

^

f_nm_{(!) =} f^zn(! !n) + ^fz

n ( ! !n)

2.4. MODULATION D'AMPLITUDE 21

On calcule avec (2.25) et (2.19) la transformee de Fourier inverse du c^ote droit de cette equation, ce qui nous donne

f_nm_{(t) = Re[fzn(t)e}i!nt_]: _(2.57)

Comme fzn(t) = fn(t) +iH[fn](t), la modulation d'amplitude s'exprime a partir de la

transformee de Hilbert par

f_nm_{(t) = fn(t)cos(!nt)}

H[fn](t)sin(!nt): (2.58)

Figure 2.3: Multiplexage par modulation d'amplitude

2.4.2 Demodulation et detection synchrone

Le signal multiplexeM(t) (2.52) est la somme de signaux modulesf_nm_{(t) dont les supports}

frequentiels ne s'intersectent pas. On denit un ltre passe-bande dont le support est le m^eme que celui de ^f_nm_(!)

^

hn(!) =



1 si j!j2[!n;!n+b]

On a alors

f_nm_{(t) =M ? hn(t):}

Le signalfn(t) se reconstruit a partir defnm(t) en supprimant la modulation d'amplitude.

L'equation (2.58) montre que

gn(t) = 2fnm(t)cos(!nt) =fn(t) +fn(t)cos(2!nt) H[fn](t)sin(2!nt); (2.60)

ce qui s'ecrit en Fourier ^

gn(!) = ^fn(!) + f^n(! 2!n) + ^₂ fn(!+ 2!n) (2.61)

+ H[^fn](! 2!n) H[^fn](!+ 2!n)

2i :

Comme le support de ^fn(!) et de ^H[fn](!) est [ b;b] et que !n > b, on separe ^f(!) des

autres composantes frequentielles avec la fonction de transfert ^ h0(!) =  1 sij!jb 0 ailleurs : (2.62) On deduit de (2.61) que fn(t) =gn? h0(t) = (2f m n (u)cos(!nu)? h0(u))(t):

Chapitre 3

Traitement du signal discret

Le traitement du signal discret a pris son essor dans les annees 70 gr^ace a l'apparition des microprocesseurs et a l'utilisation de la transformee de Fourier rapide. Il remplace progressivement le traitement du signal analogique dans la majorite des applications telles que l'enregistrement digital, la television, le traitement de la parole et de l'image. Le calcul informatique permet la mise en place d'algorithmes nettement plus sophistiques et plus precis que le calcul analogique dont la abilite est limitee par les bruits de circuits et les erreurs de calibrage des composants electroniques. Le traitement du signal analogique reste cependant beaucoup plus rapide ce qui est fondamental pour certaines applications en temps reel.

Les signaux etant le plus souvent d'origine analogique, nous etudions la conversion analogique-digitale et les conditions permettant d'eectuer la transformation inverse. Le ltrage homogene est etendu au calcul discret et nous introduisons le calcul rapide par transformee de Fourier discrete.

3.1 Conversion analogique-digitale

L'approche la plus simple pour discretiser une fonctionf(t) est d'eectuer un echantillonnage avec un intervalle T uniforme, en enregistrant les valeurs ff(nT)gn

2Z. Pour eectuer la

transformation inverse, nous etudions l'existence d'algorithmes d'interpolation permettant de reconstruire f(t) a partir de ses echantillons.

3.1.1 Echantillonnage

Pour traiter les signaux discrets dans le m^eme cadre que les signaux analogiques, nous les representons par des distributions de Dirac. Un echantillon f(nT) est represente par un Dirac d'amplitude f(nT) centre en nT. L'echantillonnage uniforme de f(t) correspond a la distribution fd(t) = +1 X n= 1 f(nT)(t nT): (3.1) 23

Puisque f(nT)(t nT) =f(t)(t nT), fd(t) =f(t) +1 X n= 1 (t nT):

Un echantillonnage uniforme est donc obtenu par multiplication avec le peigne de Dirac

c(t) = +1 X

n= 1

(t nT): (3.2)

Les proprietes de cet echantillonnage s'etudient plus facilement dans le domaine de Fourier. Si ff(nT)gn

2Zest borne, fd(t) est une distribution temperee [3] dont la

trans-formee de Fourier ^fd(!) est bien denie. La transformee de Fourier de (t nT) etant

e inT!_{, on deduit de (3.1) que ^fd(!) est une serie de Fourier} 2

T periodique ^ fd(!) = +1 X n=0 f(nT)e inT!_{: (3.3)}

Pour comprendre comment reconstruire f(t) a partir de ses echantillons, nous expri-mons ^fd(!) en fonction de ^f(!). Commefd(t) =f(t)c(t), sa transformee de Fourier peut

aussi s'ecrire

^

fd(!) = 12_f ?^ ^c(!):

La formule de Poisson (2.40) prouve que la transformee de Fourier du peigne de Dirac

c(t) est ^ c(!) = 2_T +1 X k= 1 (! 2_Tk): (3.4) Comme ^f ? (! 2k T ) = ^f(! 2k T ), ^ fd(!) = 1_T +1 X k= 1 ^ f(! 2_Tk): (3.5)

Echantillonner un signal est donc equivalent a une periodisation de sa transformee de Fourier, obtenue en additionnant les translatees ^f(! 2k

T ). Le theoreme de Nyquist

donne une condition susante sur le support de ^f(!) pour reconstruire f(t) a partir des echantillonsf(nT). Cette condition garantit quef(t) n'a pas d'oscillations violentes entre chaque paire d'echantillons.

Theoreme 3.1 (Nyquist)

Soit f(t) un signal dont la transformee de Fourier ^f(!) a un support inclus dans [ 

T;T]. Alors f(t) peut ^etre reconstruite en interpolant ses

echantillons f(t) = +1 X n= 1 f(nT)hT(t nT); (3.6) avec hT(t) = sinc(t_T ) = sin_ttT T : (3.7)

3.1. CONVERSION ANALOGIQUE-DIGITALE 25

Demonstration

Comme le support de ^f(!) est inclus dans [ 

T;T], si n 6= 0 le support de ^f(! 2n

T )

n'intersecte pas le support de ^f(!). En consequence (3.5) prouve que ^

fd(!) = f^(_T!) si j!j



T : (3.8)

Soit ^hT(!) la fonction de transfert d'un ltre passe-bas ideal

^ hT(!) =  T sij!j  T 0 sij!j>0 (3.9) et dont la reponse impulsionnelle hT(t) est donnee par (3.7). On deduit de (3.8) que

^

f(!) = ^hT(!) ^fd(!)

ce qui se traduit en variable de temps par

f(t) = hT ? fd(t) =hT ? +1 X n= 1 f(nT)(t nT) = +1 X n= 1 f(nT)hT(t nT): 2

Le theoreme d'echantillonnage de Nyquist donne une condition necessaire pour recon-struire un signal a partir de ses echantillons etant donnee une information a priori sur son support frequentiel. L'echantillonnage et l'interpolation sont illustres par la gure 3.1, dans les domaines temporels et frequentiels. D'autres caracterisations peuvent ^etre obtenues en imposant des contraintes dierentes sur f(t).

3.1.2 Repliement spectral

Si le support de ^f(!) n'est pas inclus dans [ 

T;T], la formule d'interpolation (3.6) ne

re-construit pas f(t). Nous etudions les proprietes de l'erreur de reconstruction ainsi qu'une procedure de ltrage pour la reduire.

Recouvrement frequentiel

La transformee de Fourier dehT ?fd(t) a un support inclus

dans [ 

T;T] et donc ne peut ^etre egale af(t) dont la transformee de Fourier a un support

qui s'etend au-dela de [ 

T;T]. Nous avons vu que

^ fd(!) = 1_T +1 X k= 1 ^ f(! 2_Tk): (3.10)

Lorsque le support de ^f(!) n'est pas inclus dans [ 

T;T], pour certaines frequences ! 2

[ 

T;T] il existe des entiers k 6= 0 pour lesquels ^f(! 2k

T ) 6= 0 (voire gure 3.2). Dans

ce cas, ^fd(!) est la somme de ^f(!) plus certaines composantes de hautes frequences

^

f(! 2k

T ). La valeur de ^fd(!)^hT(!) peut donc ^etre tres dierente de ^f(!) m^eme lorsque

! 2[

 T;T].

f(ω) ^ fd(ω) ^ ω f(t) t hT(ω) ^ f(ω) ^ hT(ω) ^ -Π T Π T 0 ω ω ω -3Π T 3Π T fd hT(t) t t t hT(t) fd(t) * -2T 0 2T T -T 1 T -Π T Π T 0 -Π T Π T 0 -Π T Π T 0

3.1. CONVERSION ANALOGIQUE-DIGITALE 27

Considerons par exemple le signal

f(t) = cos(!0t) = ei!0t+e i!0t 2 avec 2 T > !0 > 

T. Sa transformee de Fourier etant

^

f(!) = 

(! !0) +(!+!0) 

;

la periodisation (3.5) nous donne ^ fd(!) = _T +1 X k= 1  (! !0 2k T ) +(!+!0 2k T )  :

Les seules composantes dans [ 

T;T] sont (! !0+ 2

T ) +(!+!0 2

T ) donc apres

ltrage par le ltre passe-bas hT(!), on obtient

fd? hT(t) = cos



(2_{T !} 0)t 

:

Le repliement spectral reduit la frequence du cosinus de !0 a 2

T !0

2 [ 

T;T]. Ce

repli frequentiel s'observe lorsque l'on lme un mouvement trop rapide avec un nombre insusant d'images par seconde. Une roue de voiture tournant a grande vitesse appara^t comme tournant beaucoup plus lentement dans le lm.

Preltrage

Supposons que le pas d'echantillonnage est limite a une valeur T par des contraintes de temps calcul ou de memoire et que !0 >



T. A defaut de reconstruire

exactement f(t), on veut recuperer la meilleure approximation de f(t) par interpolation d'un echantillonnage avec hT(t). Une telle interpolation est une convolution avec hT(t) et

a donc une transformee de Fourier dont le support est inclus dans [ 

T;T]. Soit

V

l'espace

des fonctions dont les transformees de Fourier ont un support inclus dans [ 

T;T]. La

fonction de

V

qui est la plus proche def(t) est la projection orthogonalePVf(t) de f(t)

dans

V

qui minimise

kf P Vf k 2 = 12 Z +1 1 jf^(!) ^P Vf(!) j 2d!: (3.11) Comme PVf(t)

2

V

, le support de sa transformee de Fourier ^P

Vf(!) est incluse dans

[ 

T;T]. La distance (3.11) est minimisee si

^

PVf(!) = ^f(!) pour j!j

 T:

La projection orthogonale est donc obtenue par le ltrage lineaire

PVf(t) = 1

qui enleve toute composante frequentielle au dela de la frequence d'echantillonnage  T.

Puisque PVf

2

V

, le theoreme de Nyquist prouve que

PVf(t) = +1 X

n= 1

PVf(nT)hT(t nT):

On calcule la projection orthogonale de f(t) sur

V

en preltrant f(t) avec (3.12) et cette projection orthogonale est reconstruite a partir de son echantillonnage uniforme. Un convertisseur analogique digital est donc compose d'un ltre qui limite la bande de frequence du signal a [ 

T;T] suivi d'un echantillonnage uniforme avec intervalles T. En

pratique, l'implementation par circuit electronique necessite d'approximer le ltre passe-bas ideal hT(t) par un ltre realisable (par exemple Butterworth ou Chebyshev).

^_f(ω) ^ f_d(ω) ^ f_d(ω) h^_T(ω) f(t) f_d(t) f_{d *} h_T(t) ω ω ω t t t -3Π T 3Π T -Π T Π T 0 -Π T Π T 0 -Π T Π T 0 T .

Figure 3.2: Cette gure illustre le recouvrement spectral cree par un pas d'echantillonnage trop grand. Le signal reconstruit fd  hT(t) peut ^etre tres dierent de f(t)

3.2 Filtrage discret homogene

Les operateurs analogiques de ltrage lineaire homogene s'etendent aux signaux discrets en remplacant les integrales par des sommes discretes. La transformee de Fourier est alors remplacee par les series de Fourier. Les proprietes des ltres discrets s'analysent souvent plus facilement avec la transformee en z qui etend les series de Fourier a tout le plan complexe. Pour simplier les notations, nous supposons que l'intervalle d'echantillonnage est T = 1 et les echantillons d'un signal discret sont notes f[n].

3.2. FILTRAGEDISCRET HOMOG 

ENE 29

3.2.1 Convolutions discretes

Dans le cas discret, l'homogeneite temporelle se limite a des translations sur la grille d'echantillonnage. Un operateur lineaire discret L est homogene dans le temps si et seulement si pour tout f[n] et tout decalagefp[n] =f[n p] avec p2Z

Lfp[n] =Lf[n p]:

Reponse impulsionnelle

On note [n] le Dirac discret

[n] =



1 sin = 0 0 sin 6= 0

: (3.13)

Tout signal f[n] peut ^etre decompose comme somme de Diracs translates

f[n] = +1 X

p= 1

f[p][n p]:

Soit L[n] = h[n] la reponse impulsionnelle de cet operateur. La linearite et l'invariance temporelle impliquent

Lf[n] = +1 X

p= 1

f[p]h[n p] =f ? h[n]:

Un operateur lineaire homogene est donc un produit de convolution discret.

Stabilite et causalite

Un ltre discret L est causal si et seulement si Lf[p] ne depend que des valeurs de f[n] pourn p. Cela implique donc que h[n] = 0 sin < 0. La reponse

impulsionnelleh[n] est causale. On represente souvent un signal causal gr^ace a la fonction de Heavyside discrete [n] =  1 si n 0 0 si n <0 (3.14) car h[n] =h[n] [n].

Pour qu'un signal d'entree borne produise un signal de sortie borne il sut que

+1 X n= 1 jh[n]j<+1; (3.15) car jLf[n]jsup n2Z jf[n]j +1 X k= 1 jh[k]j:

On peut verier (exercice) que cette condition susante est aussi necessaire. On dit alors que le ltre et la reponse impulsionnelle sont stables.

Fonction de transfert

Comme dans le cas continu, les vecteurs propres de ces operateurs de convolutions sont des exponentielles complexes e![k] =ei!k,

Le![n] = +1 X k= 1 ei!(n k)h[k] =ei!n +1 X k= 1 h[k]e i!k_{: (3.16)}

Les valeurs propres correspondantes sont donc obtenues par la serie de Fourier ^

h(ei!_{) =} +1 X

k= 1

h[k]e i!k_{; (3.17)}

que l'on appelle fonction de transfert du ltre.

3.2.2 Series de Fourier

La transformee de Fourier d'un signal discret f[n] est denie par ^

f(ei!_{) =} +1 X

k= 1

f[k]e i!k_{: (3.18)}

C'est la transformee de Fourier de sa representation par somme de Dirac

fd(t) =

+1 X

n= 1

f[n](t n):

Toutes les proprietes de la transformee de Fourier (2.15-2.28) restent donc valables sifd(t)

est une distribution temperee, ce qui est le cas si jf[n]jest borne.

On peut aussi demontrer [3] que la famille feik!gk

2Zest une base orthonormale de

L

2[ ;] muni du produit scalaire

< a(!);b(!)>_{= 12}Z 

a(!)b

(!)d!:

Sif[n]2

l

2(

Z), la serie (3.18) peut alors s'interpreter comme la decomposition de ^f(ei!)2

L

2[0;2] dans cette base orthonormale. Les coecients de decomposition sont obtenus

par produit scalaire

f[n] =<f^(ei!_);e i!n _{>= 12}



Z 

f^(ei!)ei!nd! ; (3.19)

et l'on obtient des formules de Parseval

+1 X n= 1 f[n]g[n ] = 12 Z  f^(ei!) ^g(ei!)d! (3.20) et de Plancherel +1 X n= 1 jf[n]j 2 = 12 Z  jf^(e i!₎ j 2d!: (3.21)

3.2. FILTRAGEDISCRET HOMOG 

ENE 31

Filtrage discret

Les exponentielles complexes etant les vecteurs propres des operateurs de convolution discrete, il en resulte le theoreme suivant.

Theoreme 3.2 (Convolution discrete)

Soient f[n] et h[n] deux signaux dans

l

2( Z).

La transformee de Fourier de g[n] =f ? h[n] est ^

g(ei!_{) = ^f(e}i!_)^h(ei!_{): (3.22)}

La demonstration est formellement identique a la demonstration du theoreme 2.1 si on remplace les integrales par des sommes discretes et que l'on suppose que f[n] et h[n] sont dans

l

1(

Z). Le m^eme resultat dans

l

2(

Z) s'obtient par un argument de densite.

La formule de reconstruction (3.19) montre qu'un signal ltre s'ecrit

f ? h[n_{] = 12} Z 

^h(ei!) ^f(ei!)ei!nd!: (3.23)

La fonction de transfert ^h(ei!_{) amplie ou attenue les composantes frequentielles ^f(e}i!₎

de f[n] dans l'intervalle de frequence [ ;].

On verie de m^eme qu'une multiplication temporelle est equivalente a une convolution dans le domaine frequentiel. Si g[n] =f[n]w[n] alors

^ g(ei!_{) = 12}  Z  f^(eiu) ^w(ei (! u))du:

Exemple

La moyenne discrete uniforme denie par

Lf[n] = 1_{2N + 1} +N X

p= N

f[n p];

est un ltre dont la reponse impulsionnelle est

h[n] =  1 2N+1 si N n N 0 sijnj> N (3.24) La fonction de transfert est la serie de Fourier

^ h(ei!_{) = 1} 2N + 1 +N X n= N e in! _{= 1} 2N + 1sin(N + 1 2)! sin!=2 : Ce ltre attenue surtout les frequences au-dela de 2=(2N + 1).

3.2.3 Selection frequentielle ideale

La fonction de transfert d'un ltre discret etant 2 periodique, elle est speciee sur l'intervalle [ ;]. La fonction de transfert du ltre discret passe-bas ideal est denie pour !2[ ;] par ^ h0(e i!_{) =}  1 si j!j!c 0 si j!j> !c (3.25) Sa reponse impulsionnelle calculee gr^ace a l'integrale (3.19) est

h0[n] = sin

!cn

n : (3.26)

C'est l'echantillonnage uniforme de la fonction de transfert d'un ltre analogique passe-bas ideal.

La fonction transfert d'un ltre passe-bande discret ideal est ^ h1(e i!_{) =} 1 sij!j2[! 0 !c;!0+!c] 0 ailleurs (3.27) Comme ^h1(e i!_{) = ^h} 0(e i(! !0)) + ^h 0(e

i(!+!0)), on peut en deduire que sa reponse

impul-sionnelle est

h1[n] = 2cos(!0n) h0[n]:

La convolution discrete d'un signal f[n] avec un ltre passe-bas ou passe-bande ideal ne peut se calculer exactement avec un nombre ni d'operations. Il est donc necessaire d'approximer ces ltres par des operateurs de convolutions qui se calculent en temps ni.

3.3 Synthese de ltres discrets

Lors de la synthese de ltres discrets, tout comme dans le cas analogique, on impose des conditions d'attenuation sur le gain du ltre j^h(ei!)j. Le probleme est d'obtenir des ltres

tels que j^h(ei!)j satisfasse aux conditions d'attenuation et dont la structure permette de

calculer les convolutions discretes avec le moins d'operations possibles.

3.3.1 Filtres recursifs

Pour eectuer des calculs numeriques, on utilise une classe de ltres pour lesquels la convolution discrete se calcule avec un nombre ni d'operations par echantillon. La sortie

g[n] =Lf[n] est reliee a f[n] par une equation de dierences

N X k=0 akg[n k] = M X k=0 bkf[n k]; (3.28)

ou ak et bk sont des reels eta0

6 = 0. Donc g[n] = 1_a 0 M X k=0 bkf[n k] N X k=1 akg[n k] !

3.3. SYNTH 

ESE DE FILTRES DISCRETS 33

se calcule a partir de son passe et de f[n] avec N +M multiplications et additions. Etant donne un signal causal f[n], le calcul de g[n] necessite la connaissance de \con-ditions initiales", par exempleN valeurs consecutives deg[n]. Si l'on impose que g[n] = 0 pour N n <0, alors g[n] est entierement caracterise pour tout n 2Z. L'operateur L

est alors un ltre lineaire homogene causal.

SiN = 0 alors le tre a une reponse impulsionnelleh[n] nie de taille M g[n] =XM

k=0

bk

a0

f[n k] =h ? f[n]:

Si M = 0, on dit que le ltre est autoregressif

g[n] = b0 a0 f[n] XN k=1 ak apg[n k]:

Fonction de transfert

Pour caracteriser la classe des operateurs de convolutions L

qui satisfont (3.28), nous evaluons la condition imposee sur la fonction de transfert en calculant la transformee de Fourier de chaque c^ote de l'egalite (3.28). Si ^f(ei!_{) est la}

transformee de Fourier de f[n] alors la transformee de Fourier def[n k] est e ik!_f^_(ei!_).

La transformee de Fourier de (3.28) est donc

N X k=0 ake ik!g^(ei!) = M X k=0 bke ik!f^(ei!);

d'ou l'on deduit que

^ h(ei!_{) = ^}g(ei!) ^ f(ei!_{) =} PM k=0bke ik! PN k=0ake ik!: (3.29)

La fonction de transfert d'un ltre recursif est donc un rapport de polyn^omes en e i!_.

Les proprietes du module et de la phase s'analysent plus facilement en calulant les p^oles dk et les zeros ck de la fonction rationnelle (3.29)

^ h(ei!_{) =} b0 a0 QM k=1(1 cke i!₎ QN k=1(1 dke i!₎:

Le module de la transformee de Fourier est donc

j^h(e i!₎ j= jb 0 j ja 0 j QM k=1 j1 cke i!j QN k=1 j1 dke i!j :

L'amplitude de la fonction de transfert est le plus souvent calculee en decibels (db) qui mesurent 20log10 j^h(e i!₎ j= 10log 10 jb 0 j 2 ja 0 j 2 + M X k=1 10log10 j1 cke i! j 2 N X k=1 10log10 j1 dke i! j 2:

Les p^oles et les zeros ne se distinguent donc que par un changement de signe. La phase complexe de ^h(ei!_{) se mesure de m^eme par}

arg^h(ei!_{) = arg}b0 a0 +XM k=1 arg(1 cke i!) N X k=1 arg(1 dke i!):

Exemple

Prenons le cas d'un p^ole ou d'un zero situe en rei _{et etudions le module}

et la phase de (1 rei_e i!_). 10log10 j1 re i_e i! j 2 = 10log10[1 +r 2 2rcos(! )]:

Le module est donc minimum pour ! =  ou il vaut 20log10

j1 rj et maximum en

! = + ou il vaut 20log10

j1 +rj. Suivant que ce facteur est un p^ole ou un zero, il

produit une attenuation ou une amplication au voisinage de !=. La phase complexe est arg^h(ei!_{) = arctan} rsin(! ) 1 rcos(! )  :

3.3.2 Transformee en z

Pour etudier plus facilement les proprietes des fonctions de transfert des ltres discrets, et en particulier des ltres recursifs, on introduit la transformee en z qui etend la serie de Fourier ^ h(ei!_{) =} +1 X n= 1 h[n]e in! _(3.30)

a tout le plan complexe z 2C, avec la serie de Laurent

^

h(z) = +1 X

n= 1

h[n]z n_{: (3.31)}

Anneau de convergence

On dit que la serie de Laurent ^h(z) est convergente si

+1 X n= 1 jh[n]jjzj n_<+ 1:

Le domaine de convergence ne depend que de jzj et est donc isotrope. La proposition

suivante montre que le domaine de convergence est un anneau dans le plan complexe.

Proposition 3.1

Il existe 1 et 2 tels que ^h(z) est convergente pour 1 <

jzj <  2 et divergente pour jzj <  1 ou jzj >  2. On note A(^h) l'intervale de

jzj sur lequel ^h(z) est

3.3. SYNTH 

ESE DE FILTRES DISCRETS 35

La demonstration est laissee en exercice. Dans le cas ou la transformee en z est con-vergente pourjzj= 1, la transformee de Fourier est egale a la restriction de la transformee

en z au cercle unite du plan complexe.

Stabilite et causalite

Le domaine de convergence (absolu) de la transformee enz depend des proprietes de causalite et de stabilite du ltre. Le ltre est causal si h[n] = 0 pour

n < 0 d'ou l'on deduit que si ^h(z) converge pour jzj = alors il converge pour jzj  .

L'anneau de convergence s'etend donc a l'inni (2 = + 1).

Le ltre est stable si et seulement si

+1 X

n=0

jh[n]j<+1:

Cela signie que l'anneau de convergence contient jzj= 1. Si le ltre est causal et stable,

on deduit donc que ^h(z) est convergente pourjzj1.

Inverse

La transformee enz peut s'inverser mais le calcul de h[k] a partir de ^h(z) depend du domain de convergence choisi. La formule generale d'inversion se fait par une integrale de Cauchy qui calcule h[k] en integrant ^h(z) le long d'un contour inclu dans l'anneau de convergence. Dans le cas ou l'anneau de convergence inclu le cercle unite, cette integrale peut se faire le long du cercle unite, auquel cas on obtient la transformee de Fourier inverse

h[k_{] = 12}Z 

^h(ei!)eik!d!:

Pour montrer que h[k] ne depend pas seulement de ^h(z) mais aussi du domaine de convergence choisi, prenons par exemple

^

h(z) = ₁ 1_az 1:

La reponse impulsionnelle correspondant a la region de convergence a l'exterieur du cercle

jzj=a est causale et se calcule par un developement en serie de 1 1 x ^ h(z) = +1 X n=0 an_z n_;

d'ou h[n] =an _{[n]. Pour que la region de convergence soit} jzj< a on reecrit

^

h(z) = a 1z

1 a 1z:

En utilisant la decomposition en serie de 1

1 x on obtient une reponse impulsionnelle

anti-causale

h[n] =



an _{si n} 1

Exemples

On utilise generalement un ltre causal, ce qui impose que l'anneau de con-vergence s'etende a l'inni.

 Si h[n] =[n k] alors ^ h(z) =z k _(3.32) et A(^h) =]0;+1[.  Si h[n] =an [n] alors ^ h(z) = ₁ 1_az 1 (3.33) A(^h) =]jaj;+1[.  Si h[n] =nan [n] alors ^ h(z) = az 1 1 az 1 A(^h) =]jaj;+1[.

Convolution

Toutes les proprietes de la transformee de Fourier s'etendent directement a la transformee en z. En particulier, si g[n] =f ? h[n] alors la transformee en z de g[n] est le produit

^

g(z) = ^f(z)^h(z) et son anneau de convergence est

A(^g) =A( ^f)\

A(^h):

Filtres recursifs

Nous avons vu en (3.29) que la fonction de transfert d'un ltre recursif est une fonction rationnelle. Sa tranformee en z peut donc s'ecrire

^ h(z) = PM k=0bkz k PN k=0akz k: (3.34)

La reponse impulsionnelle causale h[n] se calcule facilement en decomposant ^h(z) en elements simples. Si ^h(z) a des p^oles simples situes en dk, on peut montrer par

identi-cation des coecients (exercice) qu'il peut s'ecrire sous la forme ^ h(z) =M NX r=0 Brz r+ N X k=0 Ak 1 dkz 1:

Le ltre causal correspondant a une reponse impulsionelle qui se calcule avec (3.32) et (3.33) h[n] =M NX r=0 Br[n r] + N X k=0 Ak(dk)n [n]:

Dans le cas de p^oles multiples, la decomposition fractionnelle s'etend avec des puissances aux denominateurs des fractions. On distingue les ltres a reponse impulsionnelle nie

3.3. SYNTH 

ESE DE FILTRES DISCRETS 37

dont la transformee enz est un polyn^ome en z 1 (N=0) et les ltres a reponse

impulsion-nelle innie pour lesquels N >0.

On observe que la reponse impulsionelle h[n] est causale et stable si et seulement si pour tout k, jdkj < 1. Cela signie donc que tous les p^oles de ^h(z) ont un module plus

petit que 1.

3.3.3 Approximation de ltres selectifs en frequence

Tout comme pour la synthese de ltres analogiques, on approxime un ltre passe-bas ideal (3.25) par un ltre recursif dont la fonction de transfert satisfait les conditions imposes par un gabarit qui limite les oscillations dans la bande passante et la bande d'attenuation (voir gure 2.2). La technique de synthese la plus courante est de transformer un ltre passe-bas analogique rationnel

^

ha(!) = N_D(_(i!i!)₎

en un ltre discret recursif par un changement de variable

i! =F(ei!_);

ou F est une fonction rationnelle de ei! _{qui envoie ] ;[ sur ]} 1;+1[. La fonction

de transfert

^

hd(ei!) = N_D((F_F(e(e_i!i!₎₎))

est une fonction rationnelle de ei! _{et donc la fonction de transfert d'un ltre discret}

recursif. Le changement de variable F(ei!_{) qui associe ] ;[ a l'axe reel} R doit ^etre

aussi \regulier" que possible pour ne pas trop modier les proprietes de la fonction de transfert ^h(!). On utilise souvent l'application

F(ei!_{) = 2}

T tan(!2) = T2 1 e

i!

1 +e i!:

Le facteur T est un parametre de dilatation qui peut ^etre ajuste arbitrairement.

Par exemple, on peut construire un ltre passe-bas dont la frequence de coupure est en !c a partir d'un ltre analogique de Butterworth (2.50). On obtient

j^h(e i!₎ j 2 = 1 1 + tan (!=2) tan (!c=2)  2N:

L'ordre N du ltre doit ^etre adapte aux conditions imposees par le gabarit du ltre passe-bas.

3.3.4 Factorisation spectrale

Lors de la synthese d'un ltre recursif, une fois que l'on a calcule j^h(ei!)j

2 pour satisfaire

les conditions d'amplication ou d'attenuation, il reste a adapter la phase pour que ^h(ei!₎

soit un ltre causal et stable. Le module est donne par

jh^(e i!₎ j 2 = ^h(ei!_)^h (ei!_{) = ^h(z)^h} (1=z );

avec z = ei!_{. Pour un ltre recursif,} ^ h(z) = b0 a0 QM k=1(1 ckz 1) QN k=1(1 dkz 1) : et C(z) = ^h(z)^h(1=z) = jb 0 j 2 ja 0 j 2 QM k=1(1 ckz 1)(1 c kz) QN k=1(1 dkz 1)(1 d  kz): La donnee de j^h(ei!)j

2 impose la position des zeros et des p^oles de C(z). Les zeros et

les p^oles de C(z) vont par paires (ck;1=c

k) et (dk;1=d

k). Pour chaque paire, il y a un

element dans le cercle unite et l'autre a l'exterieur, a moins qu'ils ne soient confondus sur le cercle unite. On peut construire ^h(z) en choisissant arbitrairement un p^ole et un zero dans chaque paire. Pour que ^h(z) soit la transformee en z d'un systeme stable et causal, nous avons vu que tous les p^oles doivent ^etre strictement dans le cercle unite. Cela laisse libre le choix des zeros. Un choix particulier des zeros est de les prendre tous dans le cercle unite. Un ltre dont les zeros et les p^oles sont dans le cercle unite est appele ltre a phase minimale.

Filtre inverse

Le ltre inverse d'un ltre h est le ltrehi tel que pour toutf[n]

f ? h ? hi[n] =f[n]:

Cela signie que les zones de convergence de ^h(z) et de ^hi(z) s'intersectent et que sur ce

domaine

^

h(z)^hi(z) = 1:

Le ltre inverse d'un ltre a phase minimale est stable et causal. En eet, les p^oles de ^

hi(z) sont les zeros de ^h(z) et inversement. Or, pour que ^hi(z) soit stable et causal, il

faut et il sut que ses p^oles soient dans le cercle unite et donc que les zeros de ^h(z) soient dans le cercle unite.

3.4 Signaux nis

Nous avons suppose jusqu'a present que nos signaux discrets f[n] sont denis pour tout

n 2 Z. Le plus souvent, f[n] est connu sur un domaine ni, disons 0  n < N. Il faut

donc adapter les calculs de convolutions en tenant compte des eets de bord en n = 0 et

n = N 1. Par ailleurs, pour utiliser la transformee de Fourier comme outil de calcul numerique, il faut pouvoir la redenir sur des signaux discrets nis. Ces deux problemes sont resolus en periodisant les signaux nis. L'algorithme de transformee de Fourier rapide est decrit avec une application au calcul rapide des convolutions.

3.4.1 Convolutions circulaires

Soient ~f[n] et ~h[n] des signaux de N echantillons. Pour calculer la convolution ~ f ?~h[n] = +1 X p= 1 ~ f[p]~h[n p]

3.4. SIGNAUX FINIS 39

pour 0n < N, il nous faut conna^tre ~f[n] et ~h[n] au-dela de 0n < N. Une approche

possible est d'etendre ~f[n] et ~h[n] avec une periodisation sur N echantillons

f[n] = ~f[n modulo N] ; h[n] = ~h[n modulo N]:

La convolution circulaire de ces deux signaux de periode N est reduite a une somme sur leur periode f? h[n] = N 1 X p=0 f[p]h[n p]:

Les vecteurs propres d'un operateur de convolution circulaire

Lf[n] =f? h[n]

sont les exponentielles discretes ek[n] =ei2k

N n. En eet, Lek[n] =ei2k N nN 1 X p=0 h[p]e i2k N p;

et les valeurs propres sont donnees par la transformee de Fourier discrete de h[n] ^ h[k] =N 1 X p=0 h[p]e i2k N p:

3.4.2 Transformee de Fourier discrete

L'espace des signaux discrets de periode N est de dimension N et l'on note le produit scalaire

< f;g >=N 1 X

n=0

f[n]g[n]: (3.35)

Le theoreme suivant demontre que tout signal de periode N peut s'ecrire comme une transformee de Fourier discrete.

Theoreme 3.3

La famille d'exponentielles discretes(ek[n])0k<N

ek[n] =ei2k

N n; (3.36)

est une base orthogonale de l'espace des signaux de periode N.

Pour prouver ce theoreme, il sut de montrer que cette famille de N vecteurs est orthogonale (exercice). Comme l'espace est de dimension N, c'est donc une base de l'espace. Tout signal f[n] de periode N peut se decomposer dans cette base

f[n] = N 1 X k=0 < f;ek > kekk 2 ek[n]: (3.37)

La transformee de Fourier discrete de f[n] est ^ f[k] =< f;ek>= N 1 X n=0 f[n]e i2n N k: (3.38) Comme kek[n]k 2 =N, f[n] = 1_N N 1 X k=0 ^ f[k]ei2k N n: (3.39)

L'orthogonalite implique une formule de Plancherel

N 1 X n=0 jf[n]j 2 = 1_N N 1 X k=0 jf^[k]j 2: (3.40)

Eets de bord

La transformee de Fourier discrete d'un signal de periode N se cal-cule a partir des valeurs de f[n] pour 0  n < N. Pourquoi se soucier du fait que ce

soit un signal de periode N plut^ot qu'un signal de N echantillons ? La somme de Fourier (3.38) denit un signal de periodeN pour lequel l'echantillonf[0] etant le m^eme quef[N] se retrouve place a c^ote de f[N 1]. Sif[0] etf[N 1] sont tres dierents, cela induit une transition brutale dans le signal periodise qui se traduit par l'apparition de coecients de Fourier de relativement grande amplitude aux hautes frequences. Par exemple, le signal apparemment regulierf[n] =npour 0n < N a une transition brutale en n=pN pour

p2Z, une fois periodise. Cette transition appara^t dans sa serie de Fourier.

Filtrage ni

Comme ei2k

N n sont les vecteurs propres des operateurs de convolution

cir-culaire, on deduit un theoreme de convolution.

Theoreme 3.4 (Convolution Circulaire)

La convolution circulaire g[n] = f? h[n]

est un signal de periode N dont la transformee de Fourier discrete est ^

g[k] = ^f[k]^h[k] (3.41)

La demonstration de ce theoreme est identique a la demonstration des deux theoremes de convolution precedents et laissee en exercice. Ce theoreme montre que la convolution circulaire est un ltrage frequentiel. Il ouvre aussi la porte au calcul rapide de convolutions en utilisant la transformee de Fourier rapide.

3.4.3 Transformee de Fourier rapide

Pour un signal f[n] de N points, le calcul direct de la transformee de Fourier discrete ^ f[k] = N 1 X n=0 f[n]e i2k N n; (3.42)