3.4 Signaux nis
3.4.4 Convolution rapide
L'algorithme rapide de la transformee de Fourier discrete permet d'utiliser le theoreme 3.4 pour calculer ecacement les convolutions discretes de deux signaux a support ni. Soient f[n] et h[n] deux signaux ayant des echantillons non nuls pour 0 n < M. Le
signal causal
g[n] = f ? h[n] = +1 X
k= 1
f[k]h[n k]; (3.47)
n'a de valeurs non-nulles que pour 0 n < 2M. Le calcul direct de ce produit de
convolution, en evaluant la somme (3.47), demande O(M2) additions et multiplications.
Le theoreme de convolution circulaire 3.4 suggere un procede plus rapide base sur des convolutions circulaires.
Pour reduire le calcul de la convolution non-circulaire (3.47) a une convolution circu- laire, on de nit deux signaux de periode 2M
a[n] = f[n] si 0n < M 0 siM n <2M (3.48) b[n] = h[n] si 0n < M 0 siM n <2M (3.49) Il est maintenant facile de veri er que la convolution circulaire
c[n] =a ? b[n]
satisfait
c[n] =g[n] pour 0n <2M: (3.50)
On peut donc calculer les valeurs non-nulles deg[n] en calculant les transformees de Fourier discretes de a[n] etb[n], en les multipliant et en calculant la transformee de Fourier inverse du resultat. En utilisant l'algorithme de transformee de Fourier rapide, ce calcul demande un total de O(Mlog2M) additions et multiplications, au lieu de O(M
2).
Cet algorithme rapide de calcul de convolutions est utilise pour la convolution de signaux par des ltres de reponse impulsionnelle nie. Si le signal f[n] a N points non- nuls et le ltreh[n] aLechantillons non-nuls, l'algorithme de convolution peut ^etre modi e pour calculer la convolution h ? f[n] en O(Nlog
Chapitre 4
Traitement du signal aleatoire
Pour analyser les proprietes d'une classe de signaux, tels que des signaux de paroles en general ou le son \s" prononce par di erents locuteurs, on utilise une modelisation par des processus stochastiques qui re ete les proprietes communes de ces signaux. Cette modelisation permet de separer le signal d'un bruit dont les caracteristiques stochastiques sont di erentes, de coder ecacement les signaux d'une classe, ou m^eme de les identi er. Nous ne considerons ici que des signaux reels stationnaires, dont les proprietes ne changent pas au cours du temps.
L'hypothese de stationnarite nous ramene dans le champ de la transformee de Fourier, qui permet de de nir la puissance spectrale d'un processus. Nous nous concentrons sur les proprietes du second ordre des processus stationnaires, dont la modelisation se reduit a la recherche d'un ltre parametre. Nous etudions une application au debruitage de signaux par ltrage lineaire.
4.1 Processus stationnaires au sens large
Un processus discret a valeurs reelles est une suite de variables aleatoires fX[n]gn 2Z
de nies sur un espace de probabilite (;A;P). Ce processus est caracterise par la loi de
probabilite
P(X[n1] 2[a
1;b1];:::;X[nk]
2[ak;bk])
de tout sous-ensemble de kvariables aleatoires, pour tout intervalle [ai;bi] avec 1ik.
La realisation d'un tel processus est un signal discretx[n] qui donne les valeurs prises par chaque variable aleatoireX[n] lors d'une observation. On modelise une classe de sig- naux par un processus aleatoire dont les realisations correspondent a l'ensemble de tous les signaux de cette classe. Par exemple, des enregistrements de temperature en di erents points de la terre peuvent ^etre modelises par un processus discret. Une realisation de ce processus est l'ensemble des enregistrements de temperatures a un moment donne.
Stationnarite
Le processus est strictement stationnaire si sa loi de probabilite ne change pas avec un decalage temporel. Pour tout p 2 Z et tout sous-ensemble de k vari-ables aleatoires, la loi de probabilite de fX[n
1];:::;X[nk]
g est la m^eme que celle de
fX[n
1+p];:::;X[nk+p]
g. Cela implique que la moyenne ne depend pas de l'instant
[n] =EfX[n]g=; (4.1)
et que l'autocovariance ne depend que de la di erence de position
Cov(X[n];X[m]) = Ef(X[n] [n])(X[m] [m])g=RX[n m]: (4.2)
En traitement du signal, on observe le plus souvent une seule realisation, a partir de laquelle on veut estimer certains parametres du processus sous-jacent. La pauvrete de cette information numerique nous limite generalement a l'etude de la moyenne et de l'autocovariance. Puisque l'on n'etudie que les moments d'ordre 2 du processus, au lieu d'imposer que le processus soit strictement stationnaire, nous supposons simplement que la moyenne et la covariance satisfont aux proprietes de stationnarite (4.1) et (4.2). Si de plus la variance du processus est nie
EfjX[n]j 2
g<+1; (4.3)
on dit que le processus est stationnaire au sens large (SSL).
Exemple
Un processus X[n] est gaussien si et seulement si pour tout k et n1, ..., nk,le vecteur de k variables aleatoires (X[n1];:::;X[nk]) est gaussien. On rappelle [8] qu'un
vecteur de p variables aleatoires (X1;:::;Xp) est gaussien si et seulement si la densite de
probabilite peut s'ecrire sous la forme
p(x1;:::;xp) = 1 (2)p=2 j
R
j 1=2 exp 1 2(x m
)tR
1(x m
) ;ou
x
= (x1;:::;xp) est le vecteur de valeurs,m
= (1;:::;p) est le vecteur de moyennesavec i = EfXig,
R
= (Cov(Xn;Xm))1np;1mp est la matrice de covariance des p
variables aleatoires,
R
1 son inverse etj
R
j son determinant. Un processus gaussienest donc entierement de ni par sa moyenne et sa covariance. Si X[n] est gaussien et stationnaire au sens large (SSL), on veri e facilement qu'il est aussi stationnaire au sens strict.
En l'absence d'information sur les moments d'ordre superieur a 2, on suppose souvent par defaut que le processus etudie est gaussien. Les processus gaussiens apparaissent dans de nombreux phenomenes physiques a cause du theoreme de limite centrale [8] qui demontre que la somme de variables aleatoires independantes converge vers une variable aleatoire gaussienne.