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Texte intégral

(1)

Chapitre 1

Nombres Complexes et géométrie

élémentaire

On note C l’ensemble des nombres complexes. Ils furent utiliser, sans démonstration de leur existence par Cardan (XVIème siècle) pour résoudre x3 = 15x + 6. Gauss en a donné

en 1810 une interprétation géométrique.

I

Deux ou Trois rappels

I.1

exp, cos, sin

et tan.

I.2

Un peu de trigonométrie

cos a = cos b ⇔        a ≡ b mod 2π ou a ≡ −b mod 2π sin a = sin b ⇔        a ≡ b mod 2π ou a ≡ π − b mod 2π

cos et sin d’une somme Formules de l’angle double

sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a sin(2a) = 2 sin a cos a,

sin(a − b) = sin a cos b − sin b cos a cos(2a) = 2 cos2a − 1 = 1 − 2 sin2a,

cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b cos(2a) = cos2a − sin2a,

cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b 1 − cos a = 2 sin2 a 2,

tan(a + b) = tan a + tan b

1 − tan a tan b, 1 + cos a = 2 cos

2 a

(2)

Sicocosicocosisi Tangente de l’angle moitié

sin a + sin b = 2 sina + b 2 cos

a − b

2 Si t = tan(a/2),

sin a − sin b = 2 cosa + b 2 sin

a − b

2 cos a =

1 − t2 1 + t2

cos a + cos b = 2 cosa + b 2 cos

a − b

2 sin a =

2t 1 + t2

cos a − cos b = −2 sin a + b 2 sin

a − b

2 tan a =

2t 1 − t2.

II

Deux notations des nombres complexes

II.1

Notation algébrique

Nous pouvons construire l’ensemble des nombres complexes simplement à l’aides nom-bres réels, de la manière suivante : On note C l’ensemble R×R muni des deux lois suivantes :

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d), (a, b) × (c, d) = (ac − bd, ad + bc).

En notant alors pour tout réel x, x = (x, 0) et i = (0, 1) nous voyons que tout complexe s’écrit (a, b) = a.(1, 0) + b.i et retrouvons ainsi que :

Définition II.1

Tout élément z ∈ C s’écrit de manière unique z = a + ib, avec a et b réels. a est la partie

réelle de z et b sa partie imaginaire.

C est muni de deux lois + et × dont les règles de calcul sont (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d), (a + ib) × (c + id) = (ac − bd) + i(bc + ad).

i est donc un complexe qui vérifie i × i = −1 ; on le notera j en physique et I en Maple. Muni de ces deux lois, C est un corps commutatif.

De cette définition1découle :

– si a, b, c, d sont quatre nombresREELS, alors

Si a + ib = c + id, alors    a = c, b = d. – Un nombre réel x est un nombre complexe : x = x + 0.i.

On appellera imaginaire pur tout complexe de la forme ix, où x est réel. L’ensemble des imaginaires purs sera noté iR.

1. (ce qui signifie pour l’instant l’autorisation pour vous de faire toutes les opérations usuelles : commuta-tivité, distribucommuta-tivité, associacommuta-tivité, élément neutre,...). C contient le sous-corps R, et l’ensemble des imaginaires purs iR.

(3)

Interprétation géométrique : SoitP un plan muni d’un r.o.n.d (O,~i,~j). Si a et b sont deux nombres

réels, on peut représenter a + ib par le point A de coordonnées (a, b) ou par le vecteur ~ude composantes (a, b). On parle d’affixe et d’image.

II.2

Conjugué et module

Définition II.2

On appelle conjugué de z = a + ib, où a et b sont réels le complexe ¯z = a − ib. On appelle module de z le réel positifz ¯z =x2+ y2,où x = Re z et y = Im z.

Géométriquement, l’image de ¯z est le symétrique orthogonal de z par rapport à l’axe des abscisses de l’image de z, alors que le module est la norme de l’image ~u de z. Enfin, A1A2 = |z2− z1| =

√ 2. Exemples : ♥

– Calcul des parties réelle et imaginaire de (x + iy)−1où x et y sont deux réels non simultanément nuls :

1 x + iy = x − iy (x + iy)(x − iy) = x x2+ y2 | {z } ∈R −i y x2+ y2 ∈R | {z } .

La partie réelle de (x + iy)−1 est donc x

x2+y2 et sa partie imaginaire est −

y x2+y2.

– Idem pour 3 + 6i 3 − 4i.

Voyons maintenant comment se comportent ces différentes fonctions par rapport aux opérations.

Propriétés II.3 (Conjugué)

Pour tous complexes z, z0 et tout réel a,

– Re (az+z0) = aRe (z)+Re (z0), Im (az+z0) = aIm (z)+Im (z0), az + z0 = a¯z+ ¯z0.

z + ¯z 2 =Re (z), z − ¯z 2i =Im (z). – z ∈ R ⇔ z = ¯z et z ∈ iR ⇔ z = −¯z . – ¯z = z, zz0 = ¯z ¯z0, z z0  = z¯ ¯ z0.

Démonstration : Notons z = x + iy et z0 = x0 + iy0, où x, x0, y, y0 sont des réels. Alors, par

exemple, az + z0 = (ax + x0) + i(ay + y0), où ax + x0 et ay + y0 sont réels. Ce sont donc

respectivement les parties réelle et imaginaire du complexe az + z0. Aucune identité ne pose problème, je vous les laisse donc.

Propriétés II.4 (Module)

Pour tous complexes z1, z2,

1. |z1| = 0 ⇔ z1 = 0, |¯z1| = |z1|, |Re z1| 6 |z1|. 2. |z1.z2| = |z1|.|z2|, et z1 z2 = |z1| |z2|. 3. |z1+ z2|2 = |z1|2+ |z2|2+ 2Re (z1z¯2).

(4)

4. Inégalité triangulaire : |z1+ z2| 6 |z1| + |z2|.

Démonstration : Nous noterons xk et yk les parties réelle et imaginaire de zk, pour k prenant

les valeurs 1 ou 2.

1. La première est très simple, tout comme la deuxième. Quant à la dernière :

|z1| =qx2

1+ y12>

q

x2

1 = |x1| = Re (z1),

l’inégalité provenant de la positivité de y2

1 et de la croissance de la fonction

√ . 2.

|z1z2|2 = (x1y1− x2y2)2+ (x1y2+ x2y1)2= (x21+ y12)(x22+ y22) = |z1|2|z2|2.

Quant au rapport, nous nous contenterons de prouver que 1 z2 = 1 |z2|. Le cas général

s’obtiendra avec ce qui précède et l’égalité z1 z2 = |z1| × 1 z2 : 1 z2 = 1 x2+ iy2 = x2 x2 2+ y22 − i y2 x2 2+ y22 = s  x 2 x2 2+ y22 2 +  y 2 x2 2+ y22 2 = s 1 x2 2+ y22 = 1 |z2|. 3. |z1+ z2|2 = (x1+ x2)2 + (y1 + y2)2 = |z1|2 + |z2|2 + 2(x1x2 + y1y2). Il suffit de faire

maintenant le calcul de Re (z1z¯2),que je vous laisse.

4. D’après le premier point de cette propriété, |Re z1z¯2| 6 |z1z¯2|. Ainsi,

|z1+ z2|2 6 |z

1|2+ |z2|2+ 2|z1z¯2| = |z1|2+ |z2|2+ 2|z1||z2| = |z1| + |z2|

2

.On conclut à nouveau grâce à la croissance de la racine carré.

La complexification du plan euclidien (i.e l’identification des points ou vecteurs avec leurs affixes) garde trace des deux outils fondamentaux que nous avons introduits dans le cours de géométrie :

Propriétés II.5 (Déterminant et Produit scalaire)

Soient z1, z2 ∈ C. Notons−→u1, −u2 leurs images. Alors

det(−→u1, −u2) = Im ( ¯z1z2), −→u1.−u2 =Re ( ¯z1z2),

ou autrement dit ¯z1z2 = −→u1.−u→2 + i det(−u1, −u2).

Démonstration :

(x1− iy1)(x2+ iy2) = x1x2+ y1y2+ i(x1y2− y1x2).

II.3

La fonction exponentielle complexe

(5)

Remarque :

– Parité des fonctions cos, sin, périodicité, cercle trigonométrique, (

cos a + b = cos a cos b − sin a sin b sin a + b = sin a cos b + sin b cos a. – Congruences : Soient m un réel > 0, x, y ∈ R. On dit que

xet y sontcongrus modulo m ⇐⇒ mdivise y − x, ⇐⇒ ∃k ∈ Z/y = x + km. On note alors x ≡ y mod m. Par exemple

x ≡ y mod 2π ⇔ x, yont même image par cos et sin.

Ces petits rappels achevés, nous pouvons étendre à C la fonction exponentielle que vous avez vue dans votre cours de Terminale S :

Définition II.6

La fonction exponentielle Pout tout x, y ∈ R, on note

exp(x + iy) := ex+iy := ex(cos y + i sin y) .

Exemples :

– Si z est réel, y est nul, et on retrouve la fonction exponentielle réelle.

– Si z est imaginaire pur, exp iy = cos y + i sin y appartient au cercle trigonométrique S1.

L’intéret essentiel de cette fonction est le suivant :

Propriétés II.7 (Morphisme de groupe)

Pour tous z, z0

∈ C, exp(z + z0) = exp z × exp z0

Démonstration : Avec les notations habituelles,

exp(z + z0) = exp (x + x0) + i(y + y0)

= ex+x0 cos(y + y0) + i sin(y + y0)

= ex+x0 (cos y cos y0− sin y sin y0) + i(sin y cos y0+ sin y0cos y)

= ex+x0 cos y + i sin y cos y0+ i sin y0 = ex(cos y + i sin y) | {z } =exp z × ex0(cos y0+ i sin y0) | {z } =exp z0

D’où on déduit facilement :

Corollaire II.8

Pour tout z ∈ C,

1. ez est non nul et (ez)−1 = e−z,

(6)

Démonstration : 1. ez × e−z = ez+(−z) = e0 = 1, donc ez 6= 0 et son inverse est bien le

complexe e−z.

2. On effectue une récurrence sur p ∈ N

Si p < 0, on peut utiliser ce résultat, car −p > 0 : (ez)−p = e−pz. Passons aux inverses :

celui de e−pz est epz d’après le premier point, et celui de (ez)−p est (ez)p d’après la

définition même des puissances d’exposant entier négatif. D’où (ez)p = epz.

II.4

le groupe des complexes de module 1

On note S1 l’ensemble des complexes de module 1.

Proposition II.9

1. S1 = {e, θ ∈ R}, ce qui signifie :

B pour tout x ∈ R, exp(ix) ∈ S1, et

B pour tout z ∈ S1, il existe θ ∈ R tel que z = e

2. Pour tout réel θ, (eiθ = 1) ⇔ θ ≡ 0 mod 2π.

3. Pour tous réels θ, θ0,

eiθ = e0 ⇔ θ ≡ θ0 mod π.

Démonstration : 1. Le premier B provient de la relation cos2+ sin2 = 1. Nous admettrons

temporairement le deuxième B. Un petit dessin vous convaincra de sa justesse. Sachez seulement qu’il utilise le TVI.

2. eiθ = 1 ⇔ cos θ = 1et sin θ = 0, mais l’hypothèse sur le cos contient celle sur le sin .

Donc l’exponentielle de iθ vaut 1 ssi cos θ = 1 qui est lui-même équivalent à θ ≡ 0 mod 2π.

3. eiθ = e0 ⇔ ei(θ−θ0)≡ 1 mod 2π ⇔ θ − θ0 ≡ 0 mod π, d’après le point 2.

Corollaire II.10

La fonction exponentielle de C dans C∗ est surjective.

Démonstration : Soit w ∈ C. Notons r son module et α son argument. Posons alors z = ln r +

iθ ∈ C. z est un antécédent de w en vertu de la relation ez = exp(ln r + iθ) = eln re = re =

w.

II.5

Notation trigonométrique

On parle aussi de notation exponentielle, ou polaire. Pour tout complexe non nul z, le complexe z

|z| est de module 1. Il s’écrit ainsi d’après la proposition , z

|z| = e

. Ainsi, il existe un réel θ tel que z = |z|e.

Définition II.11 (Notation exponentielle)

(7)

On note alors arg z ≡ θ mod 2π.

Remarque :

– Ainsi, si θ0 est un argument de z, l’ensemble de tous ses arguments est l’ensemble des réels congrus à θ0

modulo 2π. On appelle argument principal l’unique argument dans ] − π, π].

– Si M a pour affixe z non nul, tout argument de z est une mesure de l’angle orienté θor(

− →

i ,−−→OM ). – Si z ∈ Cet si ρ et ϕ sont deux réels. Alors

z = ρeiϕ⇐⇒ (

ρ > 0et arg z ≡ ϕ mod 2π, ou ρ < 0et arg z ≡ ϕ + π mod 2π.

Propriétés II.12 ( de l’argument)

Soient z et z0 deux complexes non nuls. Alors :

1. z ∈ R ⇐⇒ arg z ≡ 0 mod π, et z ∈ iR ⇐⇒ arg z ≡ π/2modπ. 2. arg(zz0) ≡ arg z + arg(z0) mod 2π,

3. arg z

z0 ≡ arg z − arg(z

0) mod 2π.

Démonstration : Notons z = reet z0 = r0e0.

1. z ∈ R ⇔ Im z = 0 ⇔ r sin ϕ = 0 ⇔ sin ϕ = 0 ⇔ ϕ ≡ 0 mod π. L’autre point est identique.

2. zz0 = rr0ei(ϕ+ϕ0)

,et rr0 > 0, donc arg(zz0) ≡ ϕ + ϕ0.

3. z/z0 = r/r0ei(ϕ−ϕ0)

.

Exemples : Soit α ∈ [−π, π]. Montrer que le module de z = 1 + eiα est 2 cos α/2 et que son argument est

congru à α/2.

III

Quelques formules centrales

III.1

Formules d’Euler

Pour tout réel θ,

       cos θ = e + e−iθ 2 , sin θ = e − e−iθ 2i .

Les applications sont nombreuses. En voici une qui mérite un ♥ : Exemples :

1. Soit x un réel dans l’intervalle ] − π, π[. Calculons le module et un argument de z = 1 + eix:

z = eix/2 e−ix/2+ eix/2 = eix/2

× 2 cosx 2. Puisque cosx

2 > 0, le module de z est |z| = 2 cos

x

2 et son argument vérifie arg z ≡

x

2 mod 2π.

2. Soient x, y ∈ R. Faire de même avec z = eix+ e−ix, en factorisant par exp ii(x + y)

(8)

III.2

Binôme de Newton

Factorielles Soit n ∈ N. On note    0! = 1! = 1 (n + 1)! = (n + 1) × (n!)si n > 1.

Ainsi, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, 6! = 720, .... On écrit parfois :

n! = 1 × 2 × 3 × . . . × n.

Coefficients Binômiaux et triangle de Pascal

Nous donnerons une défintion en termes de dénombrements de ces coefficients dans le cours sur les entiers naturels. Pour l’instant, nous nous contenterons d’une définition purement pratique :

Soient n, p deux entiers naturels tels que 0 6 p 6 n. On note

n p ! = n! p! × (n − p)! = n(n − 1)(n − 2) . . . (n − p + 1) p!

Détaillons les valeurs particulières que nous rencontrerons le plus souvent : n 0 ! = n n ! = 1, n 1 ! = n n − 1 ! = n, n 2 ! = n n − 2 ! = n(n − 1) 2 .

Ajoutons deux propriétés centrales : n p ! = n n − p ! , n + 1 p + 1 ! = n p + 1 ! + n p !

Les preuves se font aisément, sauf pour la formule de récurrence, que nous détaillerons quand nous aurons mûri un peu.

Celle-ci est au coeur de la construction du triangle de Pascal.

Formule du binôme de Newton Théorème III.1

Soient a, b deux complexes, et n ∈ N. Alors :

(a + b)n = an+ n 1 ! an−1b + n 2 ! an−2b2+ . . . + n n − 1 ! abn−1+ bn = n X k=0 n k ! akbn−k

(9)

Nous ferons également cette preuve plus tard. Elle constituera votre horizon en terme de preuves incluant les signesP

Exemples : 1.

(a + b)3 = a3+ 3a2b + 3ab2+ b3

(a + b)4 = a4+ 4a3b + 6a2b2+ 4ab3+ b4

(a + b)5 = a5+ 5a4b + 10a3b2+ 10a2b3+ 5ab4+ b5.

2. ♥(x + 1)n = n X k=0 n k  akbn−k.

3. On se sert de cette formule pour linéariser des fonctions du type cos4, cos2sin2:

(cos x)4 =  e ix+ e−ix 2 4 = 1 16 e

4ix+ 4e2ix+ 6 + 4e−2ix+ e−4ix

= 1 16 2 cos(4x) + 8 cos(2x) + 6 = cos(4x) 8 + cos(2x) 2 + 3 8.

III.3

Formules de Moivre

Pour tout x ∈ R et n ∈ N :

cos(nx) + i sin(nx) = (eix)n

Démonstration : Il s’agit de prouver que einx = eixn

, ce qui repose essentiellement sur la propriété de morphisme de l’exponentielle.

Pour cela, on peut faire une récurrence sur l’entier n, en utilisant

(exp(ix))n+1= (exp(ix))n× eix= exp(ixn) × eix = einx+ix.

Exemples : Soit x ∈ R. Exprimer cos 4x en fonction de puissances de cos x : cos 4x = Re e4ix = Re  eix4

=Re  cos x + i sin x4

= Re cos4x + 4i cos3x sin x − 6 cos2x sin2x − 4i cos x sin3x + sin4x = cos4x − 6 cos2x sin2x + sin4x

= cos4x − 6 cos2x(1 − cos2x) + (1 − cos2x)2, que je vous laisse simplifier.

III.4

Sommes géométriques

B La forme la plus commune est :

Pour tout z ∈ C \ {1}, ∀n ∈ N, n X k=0 zk= 1 − z n+1 1 − z .

(10)

B Une forme plus générale est la suivante :

Pour tout z ∈ C\{1}, et ∀n, p ∈ N vérifiant 0 6 p < n, zp+ zp+1+ . . . + zn= z

p− zn+1

1 − z .

Démonstration : Fixons p > 0 et prouvons pour tout n > p la véracité de

P(n) zp+ zp+1+ . . . + zn= z p− zn+1 1 − z  . • Pour n = p + 1, zp+ zp+1= zp(1 − z) = zp1 − z2 1 − z = zp− zp+2 1 − z . • Supposons queP(n) est vraie pour un entier n. Alors

zp+ zp+1+ . . . + zn+ zn+1 = z p− zn+1 1 − z + z n+1par HdR, = z p− zn+1 1 − z + zn+1(1 − z) 1 − z = zp− zn+2 1 − z . Remarque :

– Il faut savoir la reconnaître lorsque la raison est −z, i.e lorsqu’elle apparaît sous la forme

n X k=0 (−1)kzk =1 − (−z) n+1 1 + z , ainsi que dans sa version polynômiale factorisée :

zn− 1 = (z − 1) n−1 X k=0 zk ! . – ♥ Calcul de En= n X k=0 ekixet de Sn= n X k=0 sin(kx):

Si x est un multiple de 2π, il est clair que En= n + 1et que Snest nul. Sinon, d’après la formule de Moivre,

En = n X k=0 eixk= 1 − e ixn+1 1 − eix = 1 − ei(n+1)x 1 − eix = ei(n+1)x2  ei(n+1)x2 − ei(n+1)x2  eix2(eix2 − eix2) = einx2  ei(n+1)x2 − ei(n+1)x2  eix2 − eix2 = einx2  −2i sin (n+1)x2  −2i sin x 2  = sin (n+1)x 2  sin x2 e inx 2 .

Quant à Snc’est la partie imaginaire de En, donc Sn =

sin (n+1)x2  sinnx2 sin x2 .

IV

C et la géométrie plane

(11)

B Caractérisation en terme de complexes de la colinéarité et de l’orthogonalité de deux vecteurs.

B L’angle orienté entre−−→M Aet−−→M B est arg b − m a − m.

B Définition d’une similitude directe du plan f : z 7→ az + b, et cas des translations, homothéties, et rotations.

Si a 6= 1, f possède un unique point fixe w, et ∀z ∈ C, f(z) = w + a(z − w) .

B Une similitude directe conserve les barycentres, l’alignement, l’othogonalité, les angles orientés, et les rapports de distances.

B L’ensemble des similitudes directes est stable par passage à l’inverse et par composi-tion.

V

Equations Algébriques sur C

On appelle équation algébrique en z toute équation du type P (z) = 0, où P est un polynôme à coefficients complexes. Vous savez depuis bien longtemps résoudre les équa-tions de degré 1. Nous allons voir celles de degré 2, puis le calcul de racines n−ièmes.

V.1

Racines carrées

Ici, la situation est bien plus limpide que dans l’ensemble des complexes où un nombre peut ne pas avoir de racines carrées.

Proposition V.1 (Racines carrées)

Soit a ∈ C non nul. Alors, il existe exactement deux nombres complexes z solutions de z2 = a. Ces deux nombres sont opposés.

Démonstration : On résout cette équation avec les notations trigonométriques.

Du point de vue pratique, on utilise la notation algébrique en écrivant, si x est la partie réelle de z et y sa ârtie imaginaire :

z2 = a ⇒    Re z2 =Re a, |z2| = |a|. ⇒    x2− y2 =Re a, x2+ y2 = |a|. .

On obtient quatre solutions z = x + iy de ce système, dont deux s’éliminent à l’aide du signe de xy qui nous est donné par l’égalité des parties imaginaires.

Exemples : Déterminons les complexes z qui vérifient z2= i − 2.

V.2

Equations d’ordre 2

] La résolution de cette équation est toute entière basée sur le calcul de racine carrée, grâce à la forme canonique, tout comme dans le cas réel.

(12)

Soient a, b, c trois complexes où a est non nul. Soit l’équation

(E) az2+ bz + c = 0

Théorème V.2

Notons ∆ = b2− 4ac son discriminant.

– Si ∆ = 0, il n’y a qu’une solution : −b 2a ; – Si ∆ 6= 0, il ya deux solutions : −b + δ 2a et −b − δ 2a , où δ vérifie δ 2 = ∆. Remarque :

– Si a, b, c ∈ R et δ > 0, on retrouve ce que l’on savait puisque δ =√∆. Si ∆ < 0 de même puisque δ = i√−δ. le soltuions sont conjuguées.

– Si θ ∈ R, z2− 2z cos θ + 1 = (z − e)(z − e−iθ).

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