N ombres complexes

M ath ematiques ´ - ECS1

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N ombres complexes

Lyc´eeLaBruyere` 30avenue deParis 78000 Versailles

2017, Polycopié du cours de mathématiques de première année.c

3.1 Objectifs

Notation algébrique d’un nombre complexe, partie réelle et partie imaginaire.

Conjugué d’un nombre complexe.

On donnera l’interprétation géométrique d’un nombre complexe.

Notation exponentielle. Module, argument.

Formules d’Euler et de Moivre.

Brève révision de la trigonométrie.

Formules donnant cos(a+b) et sin(a+b).

Les racines n-èmes de l’unité pourront être étudiées comme exemples d’utilisation de la notation exponentielle.

3.2 Ensemble des nombres complexes

3.2.1 Le plan complexe

Plan complexe.Le plan étant rapporté à un repère orthonormé direct (O,→− i,→−

j), à tout pointM(a,b) on associe le nombre complexez=a+bi

Réciproquement, à tout nombre complexez=a+bion peut faire correspondre le point Mdu plan de coordonnées (a,b) ou le vecteur→−

u de coordonnées (a,b).

On dit quezestl’affixe du pointMou du vecteur→−

u et queM(ou→−

u) estl’imagedu nombre complexez.

<e(z)

=m(z)

b

a a+bi

O

On a donc une correspondance entre l’ensemble Cdes nombres complexes et l’en- semble des points du plan ou des vecteurs du plan

ϕ: R² −→ C

(a,b) 7−→ a+bi

Le plan ainsi utilisé pour représenter géométriquement les nombres complexes sera appeléplan complexe.

2

Partie réelle et partie imaginaire d’un nombre complexe.

Définition 1. Soitz=a+biun nombre complexe.

Les nombresaetbs’appellent respectivementla partie réelleetla partie imagi- nairedu nombre complexez. On les note<e(z) et=m(z).

Si<e(z)=0, on dit que le nombre complexezestimaginaire pur.

— Un nombre complexezest réel si et seulement si=m(z)=0.

— Un nombre complexe est imaginaire pur si et seulement si<e(z)=0.

Axe réel et axe imaginaire.L’axe (O,→−

i) du plan complexe est appeléaxe réelet l’axe (O,→−

j),axe imaginaire.

Forme cartésienne d’un nombre complexe.

Définition 2. L’écriturea+bid’un nombre complexezs’appelleforme cartésiennede z.

Cette écriture est unique : en effet, sia+bi=a⁰+b⁰ialorsa−a⁰ =(b⁰−b)iet en élevant au carré chaque membre, on obtient (a−a⁰)²+(b⁰−b)²=0. Une somme de réels positifs n’est nulle que si chacun des termes de cette somme est nul, donca−a⁰ = 0 et b⁰−b=0, donca=a⁰etb=b⁰.

3.2.2 Opérations dansC

addition de deux nombres complexes : Soientz1 etz2 deux nombres complexes. Le nombre complexez₁+z₂est déterminé par l’égalité

z1+z2=(<e(z1)+<e(z2))+(=m(z1)+=m(z2))i

multiplication d’un nombre complexe par un nombre réel : Soientλ ∈Retz∈C. Le nombre complexeλzest déterminé par

λz=λ<e(z)+(λ=m(z))i

définition de la multiplication : Soientz1 etz2deux nombres complexes. Le nombre complexez1×z2est déterminé par l’égalité

z1×z2=(<e(z₁)<e(z₂)− =m(z₁)=m(z₂))+(<e(z₁)=m(z₂)+<e(z₂)=m(z₁))i Exercice 1. Exprimer en fonction de x,y,x⁰,y⁰ les parties réelles et imaginaires des nombres complexes :A=(x+yi)(x⁰+y⁰i), B=(x+yi)³, C=(y+xi)(x+yi).

3.2.3 Conjugaison. Module

Conjugué d’un nombre complexe.

Définition 3. Le conjugué du nombre complexez = a+biest le nombre complexe a−biet est notéz.

Proposition 1. Un nombre complexe z est réel si et seulement si z=z.

Proposition 2. Soit z,z⁰deux nombres complexes. Alors z+z⁰=z+z⁰, zz⁰=z z⁰, zⁿ=zⁿ, z

z⁰ = z

z⁰.

Proposition 3. Pour tout z∈C,

<e(z)= z+z

2 , =m(z)= z−z 2i Exemple 1. Mettre sous forme cartésienne le nombre 3+6i

3−4i.

Exercice2. Discuter, suivant les réelsa,b,c, les solutions de l’équationaz+bz+c=0.

Module d’un nombre complexe.

Proposition 4. Soit z=a+bi un nombre complexe. Alors zz=a²+b².

Définition 4. La quantitézzest toujours positive et on appellemoduledezla quantité

√

zzqui est notée|z|.

Lorsquez=a+bi, on a donc|z|²=zz=a²+b²et|z|= √ a²+b².

Proposition 5. Soient z et z⁰deux nombres complexes. Alors (1) |zz⁰|=|z| × |z⁰|,

(2) z z⁰ = |z|

|z⁰|(lorsque z⁰,0),

(3) |z+z⁰| ≤ |z|+|z⁰|(inégalité triangulaire).

Corollaire 1. Soit n∈Ntel que n≥2.Pour tous nombres complexes z1,z2, . . . ,zn, (1)

n

Y

i=1

zi

=

n

Y

i=1

|zi|

(2)

n

X

i=1

zi

≤

n

X

i=1

|zi| (inégalité triangulaire)

Proposition 6. Pour tout z∈C, |z|=|z|.

Proposition 7. Pour tout z∈C, <e(z)

≤ |z|et =m(z)

≤ |z|

Remarque1.On a l’équivalence :<e(z)=|z|si et seulement siz∈R⁺.

Exercice3. Montrer que quelques soient les nombres complexesu,v∈C,

|u+v|²+|u−v|²=2(|u|²+|v|²).

Exercice4. Soit (a,b)∈R².Résoudre l’équation :|z|+z=a+bi.

3.2.4 Argument d’un nombre complexe. Notation exponentielle.

Argument d’un nombre complexe.Le plan étant rapporté à un repère orthonormé direct (0,→−

i,→−

j), à tout nombre complexeznon nul, on peut associer l’angle orienté (→− i,−−→

OM) où Mest l’image dez.

Siθ∈Rest une mesure de cet angle orienté alors tout réel de la formeθ+2kπ,k∈Z est aussi une mesure de l’angle orienté.

Réciproquement, siθ⁰ ∈Rest une autre mesure de l’angle orienté il existek ∈Ztel queθ⁰=θ+2kπ.

Deux nombres réels xetx⁰ tels qu’il existem ∈ Ztel que x⁰ = x+2mπsont dits congrus modulo 2πet on notex≡x⁰[2π].

x y

−1 1

−1 1

cosθ

sinθ U(w)

θ I

J

O

Définition 5. On appelleargumentdez,0 et on note arg(z) une mesure quelconque de l’angle orienté (→−

i,−−→

OM) oùMest l’image dez.

Le nombre complexew = z

|z| est de module 1 et son imageU est donc situé sur le cercle trigonométrique. Comme les vecteurs−−→

OMet−−→

OUsont colinéaires de même sens, les angles orientés (→−

i,−−→

OM) et (→− i,−−→

OU) sont égaux. Il existe donck∈Ztel que arg(w)= arg(z)+2kπ.

Forme trigonométrique et notation exponentielle.Siθ = arg(z) alorsθest aussi un argument dewet le pointU a pour coordonnées (cosθ,sinθ). On peut donc écrirew = cosθ+(sinθ)ide sorte quez=|z|(cosθ+(sinθ)i) oùθest un argument dez.

Définition 6. L’écriture précédente du nombre complexez z=|z|(cosθ+(sinθ)i)

oùθest un argument dez, s’appelle laforme trigonométrique ou polairedez.

Important1.Un nombre complexe est caractérisé par son module et par l’un de ses argu- ments.

Théorème 1. Deux nombres complexes non nuls sont égaux si et seulement si ils ont même module et si leurs arguments sont congrus modulo2π.

Etant donné deux nombres complexes z et z⁰, z=z⁰⇐⇒

( |z|=|z⁰| arg(z)≡ arg(z⁰)[2π].

Remarque2.Un argument dezdésignera l’une quelconque de ces mesures, alors que l’ar- gument dezdésigne la classe de toutes les mesures de l’angle orienté. Parmi toutes ces mesures, il en existe une et une seule dans tout intervalle de la forme[a,a+2π[oùaest un nombre réel.

Poura =0, la mesure de l’angle orienté(→− i,−−→

OM)comprise dans l’intervalle[0,2π[

s’appellel’argument principal dez.

Pour t ∈ R, on note e^it le nombre complexe cost+(sint)i : c’est l’exponentielle complexe.

La formule d’Abraham de Moivre¹

Proposition 8. Formule de Moivre.

(1) Pour tout n∈N,et tout t∈R, (cost+(sint)i)ⁿ=cosnt+(sinnt)i.

(2) On a (cost+(sint)i)⁻¹ = 1

cost+(sint)i = cos(−t)+(sin(−t))i de sorte que la formule précédente est vraie pour tout n∈Z.

Sizest un nombre complexe non nul et siθest un de ses arguments alors la forme trigonométrique dezs’écrit donc aussiz=|z|e^iθ.

La forme trigonométrique d’un nombre complexe fournit le module et un argument de ce nombre complexe : siz=r(cost+(sint)i) oùr∈R,r>0 etθ∈Ralors|z|=retθest un argument dez.

Soitθetθ⁰deux réels. On a alors :

e^iθe^iθ0=(cosθ+(sinθ)i)(cosθ⁰+(sinθ⁰)i)

=(cosθcosθ⁰−sinθsinθ⁰)+(cosθsinθ⁰+cosθ⁰sinθ)i

=cos(θ+θ⁰)+(sin(θ+θ⁰))i

=e^i(θ+θ0)

Proposition 9. Soit z,z⁰deux nombres complexes non nuls s’écrivant sous forme trigo- nométrique z=|z|e^iθ,z⁰=|z⁰|e^iθ0. Alors

zz⁰=|z||z⁰|e^i(θ+θ0), z z⁰ = |z|

|z⁰|e^i(θ−θ0). Conséquence .Soientz,z⁰∈C,z,0, z⁰,0 etn∈N^∗.

arg(zz⁰)≡ arg(z)+ arg(z⁰) [2π], arg

z z⁰

≡ arg(z)− arg(z⁰) [2π]

arg(zⁿ)≡narg(z) [2π]

arg(z)≡ −arg(z) [2π].

1. Abraham de Moivre, 1667-1751. Il quitte la France pour Londres à l’âge de huit ans lors de la révocation de l’édit de Nantes en 1685. Il se lie avec Newton et Halley. Ses travaux portent surtout sur la trigonométrie mais commence vers 1709 à étudier les probabilités à partir des travaux de Huygens et MontMort. Son traitéDoctrines of chances, paru en 1716, est resté la référence en calcul des probabilité jusquà la parution en 1812 de celui de Laplace ,Théorie analytique des probabilités.

Exercice5. Soientu=

√ 6−i

√ 2

2 etv=1−i. Calculer le module et un argument deu etv. En déduire le module et un argument dew=u

v.

Exercice6. Soitzle nombre complexe 1+i

√ 3

1+i . Dire en justifiant si chacune des affir- mations est vraie ou fausse.

(a) 1 z¹²

!

= 1 64 (b) z³⁰=2¹⁵ (c) (iz)¹⁵ ∈R

(d) pour toutk∈N^∗, z^12k∈R

3.2.5 Exemples et applications Formules d’Euler.²

Proposition 10. Pour toutθ∈R

cos(θ)=e^iθ+e^−iθ

2 , sin(θ)= e^iθ−e^−iθ 2i .

2. Leonhard Euler, 1707-1783. Fils d’un pasteur élève de Jakob Bernoulli, il fait de brillantes études de philosophie et reçoit des cours particuliers de Johann Bernoulli. Il part à St Petersbourg en 1727, où il obtient (sur recommandation de Daniel Bernoulli) une chaire de philosophie naturelle en 1730 et la chaire de mathématiques (abandonnée par D. Bernoulli) en 1733. Il perd l’oeil droit à cause du climat rude du pays en 1735. En 1741, il est nommé directeur de la section mathéma- tiques et physique à l’académie des sciences de Berlin etFrederick II dira : « J’ai ici un gros cyclope de géomètre. . . il ne reste plus qu’un oeil à notre homme, et une courbe nouvelle, qu’il calcule à présent, pourrait le rendre aveugle tout à fait. » En 1732, il montre que le nombre de FermatF₅=2²⁵+1 et le nombre de MersenneM₃₁=2³¹−1 ne sont pas premiers. Il prouve la généralisation du (petit) théorème de Fermat : siaetmsont premiers entre eux alorsa^φ(m)−1 est divisible parmoùφ(m) est le nombre d’entiers naturels inférieurs àmqui sont premiers avecm (φest dite fonction d’Euler). Il note e la base du logarithme népérien : « ubi e denotat numerum, cuius logarithmus hyperbolicus est 1 » (Mechanica, 1736). En 1738, il montre le théorème de Fermat pour les valeursn=3,4. Euler apporte une contribution principale à l’évolution de la notion de fonction : il est le premier à regarder une fonction comme la donnée d’une courbe dans un repère possédant un unique point d’intersection avec les droites verticales et développa les deux points de vues en parallèle. Il développe l’idée de Johann Bernouilli selon laquelle la trigo- nométrie est une branche de l’analyse et montre que les fonctions sin,cos et exp sont reliées par la formule qui porte son nom :

cos(θ)+sin(θ)i=e^iθ.

Il remarqua qu’en retranchant lnnaux sommes partielles 1+1

2+. . .+1

nde la série harmonique divergente, la différence approchait une valeur limite≈0.577216, appelée maintenant costante d’Euler et notéeγ. En géométrie élémentaire, il découvre que le centre de gravité, l’orthocentre et le centre du cercle circonscrit pour un triangle sont alignés sur une droite (droite d’Euler d’un triangle). Il prouve aussi que pour un polyhèdre, on a la relation S+F =A+2 oùSest le nombre de sommets,Fle nombre de faces, etAle nombre d’arêtes. En cherchant à interpoler la factorielle, il introduit la fonction∆(x)=Z1

0

(−lnt)^xdtqu’ Adrien Marie Legendre (1752-1833) modifiera par le changement de variabley=−lntpour obtenir la fonctionΓd’Euler

Γ(x)= ∆(x−1)=Z₊∞ 0

y^xe^−ydy.

Module et argument de1+e^iθ,1−e^iθete^iα+e^iβoùθ, α, βsont des nombres réels.

1+e^iθ=e^iθ2(e^−iθ2+e^iθ2)=2 cosθ 2e^iθ2 Discussion :

— si cos(₂^θ)>0 alors le module de 1+e^iθest 2 cos(₂^θ) et un argument est θ 2,

— si cos(₂^θ)<0 alors le module de 1+e^iθest−2 cos(^θ₂) et un argument estπ+θ 2,

— si cos(₂^θ)=0 alors 1+e^iθ=0.

Pour 1−e^iθ, il suffit de remarquer que

1−e^iθ=1+e^i(π+θ) et d’utiliser ce qui précède.

La même technique de factorisation donne

e^iα+e^iβ=e^iα+β2 (e^iα−β2 +e^i−α+β2 )=2 cosα+β 2 e^iα+β2 et la discussion est identique.

Module et argument de nombres complexes remarquables 1+i= √

2e^iπ4, −1+i= √ 2e^i3π4

√

3+i=2e^iπ6, −

√

3+i=2e^i5π6

−2i=2e^−iπ2

3.2.6 Applications à la trigonométrie

Calcul decos(nθ).La méthode est la suivante : on écrit cos(nθ)=<e ((cos(θ)+isin(θ))ⁿ) puis on ne garde dans le développement de (cos(θ)+isin(θ))ⁿ que les termes ayant une contribution réelle.

Proposition 11. Soit a un nombre réel.

cos(2a)=2 cos²(a)−1=1−2 sin²(a)=cos²(a)−sin²(a) sin(2a)=2 sin(a) cos(a)

tan(2a)= 2 tan(a) 1−tan²(a)

Formules d’addition.

Retenir les for- mules pour l’ar- gument a +b.

Les autres s’ob- tiennent en sub- stituant−bàb.

Proposition 12. Soient a et b deux réels.

cos(a+b)=cos(a).cos(b)−sin(a).sin(b) cos(a−b)=cos(a).cos(b)+sin(a).sin(b) sin(a+b)=sin(a).cos(b)+sin(b).cos(a) sin(a−b)=sin(a).cos(b)−sin(b).cos(a) tan(a+b)= tan(a)+tan(b)

1−tan(a).tan(b) tan(a−b)= tan(a)−tan(b)

1+tan(a).tan(b)

Pour obtenir la formule pour sin(a−b), on écrira sin(a−b)=Im(e^i(a−b))

=Im(e^iae^−ib))

=Im((cosa+isina)(cosb−isinb))

=Im((cosacosb−sinasinb)+i(sinacosb−sinbcosa))

=sinacosb−sinbcosa

Transformation de produits en sommes. Les formules d’Euler permettent de linéa- riser les expressions faisant intervenir des produits de la forme cos(ax) sin(by) comme des sommes de cosinus et de sinus sans aucun terme produit. Par exemple le produit cos(ax) sin(by) devient

cos(ax) sin(by)= e^iax+e^−iax 2

! e^iby−e^−iby 2i

!

=e^iax+iby+e^−iax+iby−e^iax−iby−e^−iax−iby 4i

=e^iax+iby−e^−iax−iby

4i +e^−iax+iby−e^iax−iby 4i

=1

2sin(ax+by)−1

2sin(ax−by) et s’exprime comme somme de deux sinus.

Proposition 13. Soit a et b deux nombres réels.

cosacosb=1

2[cos(a+b)+cos(a−b)]

sinasinb=1

2[cos(a−b)−cos(a+b)]

sinacosb=1

2[sin(a+b)+sin(a−b)]

Exercice7. Soitz∈C^∗. On suppose qu’il existeθ∈Rtel quez+1

z =2 cosθ. Montrer que pour toutn∈N^∗, zⁿ+ 1

zⁿ =2 cosnθ.

Exercice8. Linéariser cos²xsin³xpuis cos⁴(2x) et déterminer une primitive des fonc- tionsx7→cos²xsin³xetx7→cos⁴(2x).

Calcul de cosⁿθousinⁿθ.Exposons la méthode. On écrit cosⁿθ = <e

e^iθ+e^−iθ 2

!n!

puis on regroupe après développement de e^iθ+e^−iθ 2

!n

les termes de la forme (e^{i`θ</sup>+e<sup>−i`θ}).

Par exemple,

2⁴cos⁴θ=<e((e^iθ+e^−iθ)⁴)

=e^4iθ+e^−4iθ+4(e^2iθ+e^−2iθ)+6

=2 cos 4θ+8 cos 2θ+6 donc cos⁴θ= 1

8cos 4θ+1

2cos 2θ+3 8 Autres formules

Proposition 14.

cosp+cosq=2 cosp+q

2 cosp−q 2 cosp−cosq=−2 sinp+q

2 sin p−q 2 sinp+sinq=2 sin p+q

2 cos p−q 2 sinp−sinq=2 sin p−q

2 cos p+q 2

Formules sommatoires. On considère, pour a ∈ R et θ ∈ R, les expressions S =

La méthode est

à retenir. Xⁿ

k=0

sin(a+kθ) etC=

n

X

k=0

cos(a+kθ) qu’on cherche à simplifier, c’est à dire à les exprimer sans symboleP:

C+iS =

n

X

k=0

cos(a+kθ)+i

n

X

k=0

sin(a+kθ)

=

n

X

k=0

cos(a+kθ)+isin(a+kθ)

=

n

X

k=0

e^i(a+kθ)

=

n

X

k=0

e^iae^ikθ

=e^ia

n

X

k=0

(e^iθ)^k Discussion :

— si e^iθ=1, c’est à dire, siθest un multiple entier de 2πalorsC+iS =(n+1)e^iadonc C=(n+1) cosaetS =(n+1) sina

— sinon,

C+iS =e^iae^(n+1)θ−1 e^iθ−1

=e^iae^(n+1)θ2 (2isin(⁽ⁿ⁺₂^1)θ)) e^iθ22isin₂^θ

= sin((n+1)^θ₂)) sin(^θ₂)) e^i(a+nθ2) donc

C=sin((n+1)^θ₂))

sin(^θ₂)) cos (a+nθ

2) et S =sin((n+1)₂^θ))

sin(^θ₂)) sin (a+nθ 2).

3.3 Equations du second degré dansC

3.3.1 Racines carrées d’un nombre complexe non nul

Problème. Étant donné un nombre complexe a ∈ Cnon nul, existe t-il des nombres complexesztels quez² =a?

Si un tel nombre complexe z existe alors nécessairement |z| = √

|a| et arg(z²) = arg(a)[2π] donc arg(z) = 1

2 arg(a)[π]. Ainsi, si z vérifie z² = a alors |z| = √

|a| et il existe k ∈ Z tel que arg(z) = 1

2 arg(a) +kπ, c’est à dire qu’il existe k ∈ Z tel que z = √

|a|e^i(12θ0+kπ), où θ₀ est un argument dea. Réciproquement, tout nombre complexe zde la forme √

|a|e^i(12θ0+kπ)aveck∈Zvérifiez²=a. En effet, (p

|a|e^i(12θ0+kπ))²=|a|e^{2i(12θ0+kπ)} =|a|e^iθ0e^2ikπ=a

Voyons maintenant quel est le nombre de solutions au problème. Pourk∈Z,posonszk=

√

|a|e^i(12θ0+kπ). On vient de voir que tous les nombreszkpourk∈Zvérifiez²_k =a. A quelle condition deux de ces nombres sont-ils égaux ? Soientm,ndeux entiers relatifs :

zm=zn⇐⇒ p

|a|e^i(12θ0+mπ)= p

|a|e^i(12θ0+nπ)

⇐⇒e^imπ=e^inπ

⇐⇒e^i(m−n)π=1

⇐⇒m−npair

Par conséquent, deux tels nombres complexes ayant des indices de même parité sont égaux, et commez1=−z0, il n’y a que deux solutions au problème initial opposées l’une de l’autre.

Théorème et définition 1. Etant donné un nombre complexe a non nul, il existe deux nombres complexes z tels que z² = a. Ces deux nombres complexes ont pour module

√|a| et pour arguments respectifs, 1

2 arg(a)et 1

2 arg(a)+π. Ils sont opposés l’un de l’autre et sont appelés lesracines carréesdu nombre complexe a.

Exemple 2. a= √

3+i=2e^iπ6 a pour racines carrées

√

2e^i12π et−

√ 2e^i12π

Recherche algébrique.Le théorème ci-dessus précise des arguments pour les racines carrées à condition de connaître explicitement un argument du nombre complexeadont on cherche les racines carrées.

Il arrive souvent que les arguments d’un nombre complexes ne soient pas directement accessibles et une recherche algébrique est alors bien adaptée à la recherche de racines carrées.

Exposons la méthode.

On suppose donné le nombre complexeasous la formeX+iYavecY ,0 (sinonaest réel et le problème devient trivial). On cherche les racines carrées sous la formez=x+iy où (x,y)∈R².

(x+iy)²=X+iY ⇐⇒x²−y²=Xet 2xy=Y,

⇐⇒















x²−y²=X xy= Y

2 x²+y²= √

X²+Y²(équation des modules)

⇐⇒





















 x²=1

2(X+√

X²+Y²) y²=−1

2(X−

√

X²+Y²) xy= Y

2

Introduisonsε(Y) le signe deY :ε(Y)=1 siY>0 etε(Y)=−1 siY<0, et posons x0=

r1 2(X+√

X²+Y²), y0 =ε(Y) r1

2(

√

X²+Y²)−X.

Les deux racines carrées deacherchées sont alorsx0+iy0et−x0−iy0.

Exemple 3. Cherchons les racines carrées de−3−4ien suivant la métode ci dessus. On cherche doncxetytels que

(x+iy)²=−3−4i⇐⇒















x²−y²=−3 xy=−2 x²+y²= √

3²+4²=5

⇐⇒









 x² =1 y²=4 xy=−2

⇐⇒

(x=1 y=−2 ou

(x=−1 y=2 Les racines carrées de−3−4isont donc 1−2iet−1+2i.

Exercice 9. Trouver les racines carrées des nombres complexes suivants 3+4i, 5+ 12i, 9+40iet 4ab+2(a²−b²)ioùaetbsont des nombres réels.

Exercice10. En calculant les racines carrées du nombre complexe

√

3+ide deux façons, déterminer les valeurs de cos π

12et sin π 12.

3.3.2 Equations du second degré dansC

Problème.Étant donnés tros nombres complexesa,b,caveca,0, l’équationaz²+bz+ c=0 a-t-elle des solutions dansC?

On peut écrire

az²+bz+c=a z+ b 2a

!2

+c−b² 4a donc

az²+bz+c=0⇐⇒a z+ b 2a

!2

+c−b² 4a =0

⇐⇒ z+ b 2a

!2

=b²−4ac 4a² .

Sib²−4ac=0 alors l’équationaz²+bz+c=0 possède une unique solution qui est

−b 2a.

Sib²−4ac,0, appelonsωet−ωles racines carrées complexe deb²−4ac. Dans ce cas,

az²+bz+c=0⇐⇒ z+ b 2a

!2

=ω 2a

2

⇐⇒ z+ b 2a− ω

2a

! z+ b

2a+ ω 2a

!

=0

⇐⇒z=−b−ω

2a ouz=−b+ω 2a

Définition 7. La quantitéb²−4acs’appellediscriminantdu trinômeaX²+bX+c.

Cas oùa,b,csont réels.

— Si∆ =b²−4ac>0 alorsωet−ωsont réels et l’équationaz²+bz+c=0 possède deux solutions réelles distinctes qui sont

−b−√

∆

2a et−b+√

∆ 2a

— Si∆ = b²−4ac =0 alors l’équationaz²+bz+c = 0 possède une seule solution réelle :−b

2a

— Si∆ =b²−4ac<0 alors∆ =(i

√

−∆)²et l’équationaz²+bz+c=0 possède deux solutions complexes distinctes conjuguées qui sont

−b−i

√

−∆

2a et−b+i

√

−∆ 2a

Exemple 4. Soit à résoudre l’équationz²−2(2+i)z+(6+8i) = 0. Le discriminant du trinôme associée est∆ =(2(2+2i))²−4(6+8i)=4(−3−4i)=(2(1−2i))². Les solutions de l’équation sont donc

2(2+i)−2(1−2i)

2 =1+3iet 2(2+i)+2(1−2i)

2 =3−i.

Exercice11. Résoudre l’équationz²−(5−14i)z−2(12+5i)=0.

3.3.3 Racinesn-èmes d’un nombre complexe non nul oùn≥2.

Problème. Étant donné un nombre complexe a ∈ Cnon nul, existe t-il des nombres

Cette section est à la limite du programme.

Elle n’est pas exigible mais il est profitable de comprendre la méthode.

complexesztels quezⁿ =a?

On reprend la démarche adoptée pour le cas des racines carrées.

Si un tel nombre complexe z existe alors nécessairement |z| = √ⁿ

|a| et arg(zⁿ) = arg(a)[2π] donc arg(z) = 1

n arg(a)

"2π n

#

. Ainsi, si z vérifie zⁿ = a alors |z| = √ⁿ

|a| et il existek ∈ Z tel que arg(z) = 1

n arg(a)+ 2kπ

n , c’est à dire qu’il existek ∈ Ztel que z=√ⁿ

|a|e^{i(1nθ0+2kπn )}, oùθ₀est un argument dea.

Réciproquement, tout nombre complexezde la forme√ⁿ

|a|e^{i(1nθ0+2kπn )}aveck∈Zvérifie zⁿ=a. En effet,

(pⁿ

|a|e^{i(1nθ0+2kπn)})ⁿ=|a|e^{ni(1nθ0+2kπn)}=|a|e^iθ0e^2ikπ=a Voyons maintenant quel est le nombre de solutions au problème.

Pourk∈Z,posonszk =√ⁿ

|a|e^{i(1nθ0+2kπn )}. On vient de voir que tous les nombreszkpour k∈Zvérifiezⁿ_k =a. A quelle condition deux de ces nombres sont-ils égaux ? Soientm,m⁰ deux entiers relatifs :

zm=z⁰_m⇐⇒pⁿ

|a|e^{i(1nθ0+2mπn )} =pⁿ

|a|e^i(1nθ0+2m

0π n )

⇐⇒e^2imπn =e^2im

0π n

⇐⇒e^2i(m−m

0)π

n =1

⇐⇒ il existe`∈Z, m−m<sup>0</sup>=`n

Par conséquent, si la différence des indicesm−m⁰est multiple den, les nombres complexes zm,z⁰_msont égaux.

Si les deux indicesm,m⁰sont tels que 0 ≤ m < m⁰ ≤ n−1 (c’est à dire tous deux compris entre 0 etn−1 mais distincts) il est impossible pour m−m⁰d’être un multiple entier denet donczmetz⁰_msont distincts. Les nombres complexesz0,z1, . . . ,zn−1sont donc des solutions deux à deux distinctes de l’équationzⁿ =a.Il y a donc au moinsnsolutions.

Soit un indicek∈Z. Par division euclidienne, il existe un quotientq∈Zet un rester avec 0≤r≤n−1 tel quek=nq+r. On a alors

zk=pⁿ

|a|e^{i(1nθ0+2kπn)}

=pⁿ

|a|e^{i(1nθ0+2(nq+r)πn )}

=pⁿ

|a|e^{i(1nθ0+2rπn+2qπ)}

=pⁿ

|a|e^{i(1nθ0+2rπn)}

=zr

On vient de montrer que tout nombre complexe solution est égal à l’un des nombres com- plexesz0,z1, . . . ,zn−1et il y a donc au plusnsolutions à l’équationzⁿ=a. Par suite, il y en a exactementn.

Théorème et définition 2. Etant donné un nombre complexe a non nul et un entier n ≥ 2, il y a exactement n nombres complexes z tels que zⁿ = a. Ces nombres sont appelés lesracinesn-èmesdu nombre complexe a. Ce sont les nombres complexes

zk=√ⁿ

|a|e^{i(1nθ0+2kπn)}

où k est un entier tel que0≤k≤n−1etθ₀un argument de a.

Remarque 3.Si n ≥ 3 et M_k est l’image du nombre complexez_k = ⁿ|a|e^{i(1nθ0+2kπn)} pour 0≤k≤n−1alors lesnpointsM0,M1, . . . ,Mn−1sont les sommets successifs d’un polygone régulier àncôtés inscrit dans le cercle de centreOet de rayon√ⁿ

|a|.

Cas particulier poura =1: racinesn-èmes de l’unité.Sia=1 lesnracinesn-èmes de 1 sont appelées racinesn-èmes de l’unité. Ce sont les nombres complexes e^2ikπn oùkest un entier tel que 0≤k≤n−1.

Exemple 5. Cas simples :n=2,3,4.

— R₂(1)={−1, +1}

— R₃(1)={1, j, j²}avec j=e^2iπ3 .

— R₄(1)={−1,+1,−i,+i}

1 i

−1

−i j

j²

1 w=e^2iπ7 w²

w³

w⁴

w⁵

w⁶

Méthode de recherche des racines n-èmes d’un nombre complexea non nul.Soit a∈C, a,0 :a=|a|e^iθ, θ∈R. Posonsz0=√ⁿ

|a|e^iθn. zⁿ=a⇐⇒zⁿ=zⁿ₀

⇐⇒ z z0

!n

=1

⇐⇒ il existeλracinen−eme de l⁰unite tel quez=z0λ

Pour obtenir toutes les racinesn-ème dea, il suffit de multiplier l’une d’entre elles par toutes les racinesn-èmes de l’unité.

Exemple 6. Cherchons les racines quatrièmes de 3+4i. Pour obtenir une racine particulière, il suffit de chercherz₀ ∈Ctel quez²₀ =3+4ipuis à nouveau de chercherz₁ ∈Ctel que z²₁=z₀.On a vu précédemment que (2+i)²=3+4i, on prendra doncz₀=2+i.Effectuons ensuite une recherche algébrique pour obtenir une racine carrée de 2+i. On cherche donc xetytels que















x²−y² =2 x²(−y²)=−1

4 xy>0

x²et−y²sont donc les solutions de l’équationt²−2t−1

4 =0. Celle ci possède2−

√ 5 2 et 2+ √

5

2 comme solution, doncx² = 2+ √ 5 2 ety²=

√ 5−2

2 . Comme le produitxydoit être strictement positif, on peut prendrez1 =

s 2+√

5 2 +i

s√ 5−2

2 . Les autres racines quatrièmes de 3+4isont alors−z1,iz1,−iz1.

3.4 Exercices.

Manipulations algébrique des nombres complexes.

Exercice12. Déterminer les nombres réelsxetytels que (1+2i)x+(3−5i)y=1−3i

Exercice13. Déterminer les nombres réelsx,y,zetttels que les deux égalités ci-dessous soient simultanément vérifiées :

(1+i)x+(1+2i)y+(1+3i)z+(1+4i)t=1+5i (3−i)x+(4−2i)y+(1+i)z+4it=2−i

Exercice14. Mettre sous forme cartésienne les nombres complexes suivants (1+2i)⁶, (1+2i)⁵−(1−2i)⁵

Exercice15. Etablir l’égalité ci-dessous

cosπ

7 +isinπ 7







 1−i

√ 3 2







(1+i)= √

2 cos5π

84+isin5π 84

!

Exercice16. Ecrire sous forme trigonométrique les nombres complexes suivants : A= 1+itanα

1−itanα, B=(1−i)⁵−1

(1+i)⁵+1, C=(1+i

√ 3)⁷ 3+√

3i

Exercice17. On posej=−1+i√ 3 2 =e^2iπ3.

— Calculer j²et j³.

— Développer, réduire et simplifier (a+b j+c j²)(a+b j²+c j).

— Développer, réduire et simplifier (a+b)(a+b j)(a+b j²).

Exercice18. Montrer que, pour toutz∈C,

(z+1)(z+j)(z+j²)=(1+z)(1+jz)(1+j²z).

où jdésigne le nombre complexe e^2iπ3 .

Conjugaison, module, argument

Exercice19. On suppose quex+yi=(s+ti)ⁿ. Montrer quex²+y²=(s²+t²)ⁿ

Exercice20. Montrer que pour tout réelx,

|e^ix−1| ≤ |x|

Exercice21. Montrer en raisonnant par l’absurde que quelque soient les nombres com- plexesaetb,

|a+b|

1+|a+b|≤ |a|

1+|a|+ |b|

1+|b|

Exercice22. Soienta,bdeux nombres complexes distincts et de module 1. Montrer que pour toutz∈C,

iz+abz−(a+b)

a−b ∈R

Exercice23. Soienta,b,ctrois nombres complexes de module 1 tels queb,c. Montrer queb(c−a)²

a(c−b)² ∈R⁺.

Trigonométrie

Exercice24. Calculer 1 sin₁₈^π −

√ 3 cos₁₈^π .

Exercice25. Transformer les produits suivants en somme : cos²xsin³x, cos⁵x

Exercice26. Soientaetbdeux réels tels que sin(a)+sin(b)= ^√₂²et cos(a)+cos(b)= ^√₂⁶ Déterminer sin(a+b).

Utilisation des nombres complexes pour simplifier des sommes

Exercice 27 (Formules sommatoires). Trouver des formules sommatoires pour les sommes suivantes :

(1) sn=1 2cosπ

3+1 4cos2π

3 +. . .+ 1 2ⁿcosnπ

3 (2) sn=sin^2π₆ +sin^{2 2π}₆ +· · ·+sin^2nπ₆

Racines carrées, équations du second degré

Exercice28. Soitx+yiune racine carrée complexe dea+bi. Déterminer les racines carrées complexes de−a−biet−a+bi.

Exercice29. Déterminer les racines carrées des nombres complexes suivant : 1±i, 1±

√3, 1+i

1−i, 1±j, 45−28i, 5±12i, −55±48i, 2ab±(a²−b²)i, jdésignant le nombre complexe de module 1 : j=e^2π3i.

Exercice30. Déterminer des nombres complexesa,b,cetdtels que

∀z∈C, z⁴+16=(z−a)(z−b)(z−c)(z−d)

Exercice31. Résoudre les équations suivantes : 1. 9z²−3(3−i)z+4−3i=0,

2. 6z²−(5+i)z+3+i=0, 3. z²−2zcosα+1=0

4. z⁴−(5−14i)z²−2(12+5i)=0 5. z⁴+6z³+9z²+100=0 6. z⁶+z³+1=0

Exercice32. Comment choisirm∈Cpour que l’équationz²−(2+mi)z+(1+mi)=0 admette deux solutions complexes imaginaires purs conjuguées ?

Equations faisant intervenir la recherche de racines de l’unité

Exercice33. Résoudre dansCl’équation ¯z=z³.

3.5 Exercices avancés

Exercice34. On poseP=cos^π₇cos^2π₇ cos^4π₇. (1) CalculerPsin^π₇ et en déduireP.

(2) Montrer que 4P=cos^π₇ +cos^3π₇ −cos^2π₇ −1

(3) En déduire une équation du 3-ème degré dont cos^π₇ est solution.

Exercice35. Soita∈R.Résoudre le système :

(cosa+cos(a+x)+cos(a+y) = 0 sina+sin(a+x)+sin(a+y) = 0

Exercice36. Soientz, z⁰deux nombres complexes. On désigne parul’une des racines carrées du nombrezz⁰. Démontrer l’égalité

|z|+|z⁰|=

z+z⁰ 2 +u

+

z+z⁰ 2 −u

.

Exercice37. A quelle condition nécéssaire et suffisante sur les nombres complexeszet z⁰a-t-on|z+z⁰|=|z|+|z⁰|?

Exercice38.(1) Soitzun nombre complexe tel que|1+z|< 1

2. Montrer que 1+z²

>

1.

(2) Soitzun complexe de module 1 tel que|1+z|<1. Montrer que 1+z²

>1.

(3) Soientz1 etz2 deux nombres complexes de même module supérieur à 1. Montrer que|z1+z2| ≥1 ou

z²₁+z²₂ ≥1.

Exercice39. Déterminer les triplets (x,y,t) de nombres complexes de module 1 tels que x+y+t=1 etxyt=1

Exercice40. Soienta,b,ctrois nombres complexes de module 1. Montrer que

|a+b+c|=|ab+ac+bc|

Exercice41. Soitαune racine réelle de l’équationz³+pz+q =0 où p,qsont réels.

Montrer queαq≤ ^p2

4.

Exercice42. Soienta,bdeux nombres complexes non nuls etz1,z2les solutions (éven- tuellement confondues) de l’équationz²+az+b= 0. Montrer que

|z₁|=|z₂|=1⇐⇒

( |b|=1, |a| ≤2 arg(b)≡2 arg(a) mod (2π)

Exercice43. Soienta,bdeux nombres complexes. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que l’équationz² +az+b = 0 admette deux solutions ayant même module.

Exercice 44. Soitn un entier supérieur ou égal à 2 etωune racine n-ème de l’unité distincte de 1. Simplifier le nombreA=1+2ω+3ω²+. . .+nωⁿ⁻¹.

Exercice45. Soitn∈Ntel quen≥2.Résoudre dansCl’équation (z+i)ⁿ+(z−i)ⁿ=0.

Exercice46. Trouver les fonctions f :C−→Cvérifiant

∀z∈C, f(z)+z f(1−z)=1+z

3.6 Indications pour les exercices

Indication pour l’exercice2. Poserz=x+yi.

Indication pour l’exercice4. Poserz=x+yi.

Indication pour l’exercice7. Raisonner par récurrence.

Indication pour l’exercice19. Penser à l’identitéx²+y²=|x+yi|²

Indication pour l’exercice20. Etudier la fonction définie par f(x)=|e^ix−1|²− |x|² Indication pour l’exercice21. Supposez qu’il existea∈Cetb∈Ctels que |a+b|

1+|a+b| >

|a|

1+|a| + |b|

1+|b|. Alors |a+b|(1+|a|)(1+|b|) > (|a|(1+|b|)+|b|(1+|a|))(1+|a+b|) Développez chaque membre et constatez une absurdité.

Indication pour l’exercice22. PoserZ=iz+abz−(a+b)

a−b et calculerZ−Z.

Indication pour l’exercice23. Posera =e^ix,b =e^iyetc=e^izpuis penser à transforma- tion e^ix−e^iy=e^ix+y2 (· · · − · · ·)

Indication pour l’exercice24. 1 sin₁₈^π −

√ 3 cos₁₈^π =2×

1

2cos₁₈^π −

√3 2 sin₁₈^π sin₁₈^π cos₁₈^π

Indication pour l’exercice26. Effectuer les produits (sina+sinb)(cosa+cosb),(sina+ sinb)²et (cosa+cosb)².

Indication pour l’exercice27. (1) Remarquer que le terme général 1

2^kcos^kπ₃ est la partie réelle de 1

2^ke^ikπ3 = 1 2e^iπ3

!k

(2) Une linéarisation de chaque terme peut aider...

Indication pour l’exercice32.

Indication pour l’exercice33. Il y a une solution triviale qui estz=0. Pour le casz,0, on pourra multiplier chaque membre parz.

Indication pour l’exercice36. Calculer le carré de chaque membre

Indication pour l’exercice37. Etudier le problème en élevant chaque membre au carré.

Indication pour l’exercice39. On commencera par calculerxy+yt+txpuis on introduira le polynômeP(z)=(z−x)(z−y)(z−t) dont sont racinesx,yett.

Indication pour l’exercice40. Observer qu’on peut supposer a = 1 puis penser qu’un nombre complexe et son conjugué ont même module...

Indication pour l’exercice43. Chercher d’abord l’exercice précédent.

Indication pour l’exercice44. Simplifier le nombre (ω−1)Aen n’oubliant pas queωest une racinen-ème de l’unité.

Une racine n- ème de l’unité est un nombre complexe z vé- rifiantzⁿ=1.

Indication pour l’exercice45. Se ramener à l’équationZⁿ =−1.

Indication pour l’exercice46. Poserx= f(z) ety= f(1−z) et former un système d’équa- tions dontx,ysont solutions.