Nombres complexes

I) Auto-test : Nombres complexes (I)

1. Donner la définition d’un groupe. Quantifiez tous les axiomes.

On appelle groupe un couple (G, ?)oùGest un ensemble et?est une loi interne surG.

i.e.?: G×G → G qui vérifie : (x, y) 7→ x ? y

1.?est associative i.e.∀(x, y, z)∈G³, x ?(y ? z) = (x ? y)? z

2.?admet un élément neutre dansGi.e.∃e∈G,∀x∈G, x ? e=e ? x=x 3. Tout élément deGest symétrisable i.e.∀x∈G,∃y∈G, x ? y=y ? x=e

Définition

On dit que le groupe (G, ?)est commutatif ou abélien lorsque :∀(x, y)∈G², x ? y=y ? x Définition

2. Donner 3 exemples usuels de groupes additifs et 3 exemples de groupes multiplicatifs.

Groupe additif :(R,+),(C,+),(Q,+),(Z,+)

Groupe multiplicatif : (R^∗,×),(C^∗,×),(R^∗+,×), (Q^∗,×)

3. SAVOIR REFAIRE : Qu’est ce que le groupe des permutations d’un ensemble ? Prouvez que c’est effectivement un groupe.

SoitE un ensemble.

On appelle permutation de E toute bijection deE dans lui-même.

L’ensemble des permutation de E dans lui même est notéσ(E) Définition

Si E est un ensemble non vide alors(σ(E),◦)est un groupe non commutatif en général.

Théorème

Preuve :

Montrons que(σ(E),◦)est un groupe : 1. (I) Soientf =E→E etg:E→E

Alorsf◦g:E→E est encore une fonction bijective.

Doncf◦g∈σ(E)

2. (A) Cela vient de l’associativité des fonctions. Sif,g ethsont dansσ(E), alors(f◦g)◦h=f◦(g◦h) 3. (N) Élément neutre : c’estIdE

En effet sif ∈σ(E), alorsf◦IdE= IdE◦f =f

4. (S) Soit f ∈ σ(E), f étant bijective on peut envisager sa réciproque. On a f ◦f⁻¹ = f⁻¹◦f = IdE. Donc f est symétrisable.

Conclusion :(σ(E);◦)est un groupe.

4. Donner la définition d’un sous-groupe.

Soit(G, ?)un groupe.

SoitG⊂Gun sous ensemble.

On dit queH est un sous-groupe deGlorsque 1.1G∈H, H contient le neutre de G

2.H est stable par?i.e.∀(x, y)∈H², x ? y∈H

3.H est stable par passage au symétrique i.e.∀x∈H, x⁻¹∈H Définition

Si H est un sous-groupe de(G, ?) Alors(H, ?)est lui même un groupe.

Théorème

5. À l’aide de la conjugaison complexe : donner les parties réelle et imaginaire et le module d’un nombre complexe z. Caractériser le fait que z est réel/imaginaire pur.

z∈Cssiz=ai+b avec(a, b)∈R²

a=<(z)partie réel etb==(z)partie imaginaire.

z∈Cest imaginaire pur lorsque<(z) = 0i.e.z=iy oùy∈R z∈Cest un réel pur lorsque=(z) = 0doncz∈R.

Le module dezest |z|=p

a²+b²(correspond à la distanceOz) 6. Qu’est ce qu’un morphisme de groupe ?

Soient (G, ?)et (K,•)des groupes, f =G→K une fonction.

On dit quefest une morphisme de groupe de(G, ?)dans(K,•)lorsque∀(x, y)∈G², f(x?y) =f(x)•f(y) Définition

7. Si z₁ etz₂ sont dans C, alors |z₁+z₂|²=...?

∀(z1, z2)∈C² alors|z1+z2|²=|z1|²+|z2|²+Z<(z1+z2) Lemme(du carré du module)

8. SAVOIR REFAIRE : Énoncer et prouver l’inégalité triangulaire et son cas d’égalité.

Soient zet z⁰ dansC

Alors |z+z⁰| ≤ |z|+|z⁰| avec égalité ssi ∃λ∈ R+, z= λz⁰ ou z⁰ =λz ssi z et z⁰ sont sur une même demi-droite issue de l’origine

Théorème(Inégalité triangulaire et son cas d’égalité)

Preuve :

Cas de l’inégalité :

Soientz etz⁰ dansC

|z+z⁰|² = |z|²+|z⁰|²+Z<(zz⁰) (|z|+|z⁰|)² = |z|²+|z⁰|²+ 2|z||z⁰|

= |z|²+|z⁰|²+ 2|zz⁰| car|z⁰|=|z⁰| Or∀ω∈C,|<(ω)| ≤ |ω|et|=(ω)| ≤ |ω|

On applique ceci avecω=zz⁰

|z+z⁰|²=|z|²+|z⁰|²+ 2<(zz⁰)≤ |z|²+|z⁰|²+ 2|zz⁰|= (|z|+|z⁰|)² Doncp

|z+z⁰|²≤ q

(|z|+|z⁰|)² car√

.est croissante surR+

Donc|z+z⁰| ≤ |z|+|z⁰| Cas d’égalité :

On procède par double implication

Supposons qu’il existeλ∈R+ tqz=λz⁰ (idem pourz⁰=λz)

|z+z⁰| = |λz⁰+z⁰|

= |z⁰||1 +λ|

= |z⁰|(1 +λ) car1 +λ≥0 Par ailleurs

|z|+|z⁰| = |λz⁰|+|z⁰|

= |λ||z⁰|+|z⁰|

= (1 +λ)|z⁰| carλ≥0 Donc|z+z⁰|=|z|+|z⁰|

Réciproquement, supposons que|z+z⁰|=|z|+|z⁰|.

Donc|z+z⁰|²= (|z|+|z⁰|)² D’après le lemme

|z|²+|z⁰|²+ 2<(zz⁰) = |z|²+|z⁰|²+Z|zz⁰|

<(zz⁰) = |zz⁰| On poseω=zz⁰, siω=x+iy avec(x, y)∈R²

alors<(ω) =|ω| ⇒x=p x²+y²

⇔







x≥0 x²=x²+y²

⇔





 x≥0 y²= 0

⇔ω∈R+

D’oùµ∈R+ tqzz⁰ =µ

zz⁰z⁰=µz⁰ =|z⁰|² Si|z⁰|²6= 0 alorsz= µ

|z⁰|² ×z⁰ d’oùλ∈R+ tqz=λz⁰

Si|z⁰|²= 0, alorsz⁰ = 0, on pose alorsλ= 0,z⁰=λz(0 = 0) D’où le résultat.

9. Si z₁ etz₂ sont dans C énoncer une minoration classique de |z₁+z₂|.

∀(z, z⁰)∈C²,||z| − |z⁰|| ≤ |z+z⁰| Corollaire(minoration de|z+z⁰|)

10. Donner la définition de e^iθ pour θ ∈ R, ainsi que ses propriétés essentielles. À quelle condition a-t-one^iθ=e^iθ0 pour θ etθ⁰ dans R?

Soitθ∈R

On posee^iθ= cos(θ) + sin(θ) ainsi<(e^iθ)=cos(θ)et =(e^iθ) = sin(θ) Formule d’Euler :

cos(θ) =e^iθ+e^−iθ

2 sin(θ) =e^iθ−e^−iθ 2i Définition

Soitϕ: R → C θ 7→ e^iθ

1.ϕest2πpériodique et siθetθ⁰ sont réels alors,e^iθ=e^iθ0 ⇔ ∃k∈Z, θ=θ⁰+ 2πk 2.∀(θ, θ⁰)∈R², e^i(θ+θ0)=e^iθ×e^iθ0

3.∀θ∈R, e^iθ =e^−iθ= 1 e^iθ 4.ϕest paramétrable deS¹ -∀θ∈R,|e^iθ= 1|(i.e.Imf ⊂S¹)

- Par ailleurs toutz∈S¹peut s’écrire z=e^iθ pour un certainθ∈R. Plus précisément :∀z∈S¹,∃!θ₀∈]−π, π], e^iθ0 =z

5. Siθ∈R, e^iθ= 1⇔θ= 2πkoùk∈Z Théorème

11. Donner la définition de l’ensemble noté S¹. Comment caractériser ses éléments à l’aide de l’ex- ponentielle complexe ? Et à l’aide de la conjugaison ?

On appelleS¹l’ensemble des complexes de module 1

S¹={z∈C/|z|= 1}

On l’appelle le cercle unité Une autre notation est U

Définition

12. SAVOIR REFAIRE : Montrer queS¹ est un sous groupe de (C^∗,×) Montrons queS¹est un sous-groupe de(C^∗,×)

1. Le neutre de(C^∗,×)i.e. A est bien dansS¹car|1|= 1 2. Montrons queS¹ est stable par×

Soientz etz⁰ dansS¹ i.e.|z|= 1et |z⁰|= 1 Montrons quez×z⁰∈S¹

Or|z|timesz⁰=|z| × |z⁰|= 1×1 = 1 donczz⁰∈S¹

3. Montrons queS¹ est stable par passage au symétrique (ici c’est l’inverse) Soitz∈S¹,

1

|z|

= 1

|z| = 1 1 = 1

Conclusion :S¹ est un sous-groupe de(C^∗,×)

13. Donner la définition de l’exponentielle complexeexp :C7→C^∗. Indiquer ses principales propriétés.

Soitz=x+iy (oùxety sont réels)

On définit alors e^z=e^x×e^iy D’où une fonction exp_C: C → C z 7→ e^z Définition(exponentielle complexe)

1.exp_Cest un prolongement deexp_R àC 2.∀(z, z⁰)∈C², e^z+z0 =e^z×e^z0

3.∀z∈C,|e^z|=e^<(z)ete^z=e^z 4.Im(exp_C) =C^∗

Théorème

14. SAVOIR REFAIRE : Montrer que l’image de l’exponentielle complexeexp_C est C^∗2. Montrons queIm(exp_C) =C^∗

On procède par double implication.

Montrons queIm(exp_C)⊂C^∗

Soitz∈C, Montrons que e^z∈C^∗, Montrons que z^z6= 0 Or|e^z|=e^<(z)>0

Donc|e^z| 6= 0, donce^z6= 0 d’où la première inclusion.

Montrons queC^∗⊂Im(exp_C) Soitω∈C^∗

On cherchez∈Ctqω=e^z J’affirme que ω

|ω| ∈S¹ En effet

ω

|ω|

=|ω|

|ω| = 1

d’où d’après le cercle unité, un certainω∈Rtq ω

|ω| =e^iθ Doncω=|ω|e^iθ

or|ω| ∈R^∗+et R^∗+= exp(R) d’où un certainx∈Rtq|ω|=e^x Ainsiω=e^x×e^iθ

On posez=x+iθ

Ainsiω=e^z doncω∈Im(exp_C)

15. Soit z ∈C^∗. Qu’est ce qu’un argument de z? Que dire de deux arguments de z? Qu’est ce que l’argument principal de z? Donner les propriétés de l’argument.

Soitz∈C^∗ on appelle argument deetout nombre réelθ tq z

|z| =e^iθ

Deux argument deesont égaux modulo [2π],arg(z)est l’ensemble des arguments dez arg(z) ={θ∈R/ z

|z| =e^iθ} Définition(Argument de z)

Soitz∈C^∗, on appelle argument principal dezl’unique argument deequi est dans]−π;π]

On le noteArg(z) Définition

Soient zet z⁰ dansC^∗ (non nul) 1.Arg(zz⁰) = Arg(z) + Arg(z⁰)[2π]

2. Argz z⁰

= Arg(z)−Arg(z⁰)[2π]

3.Arg ¹_z

=−Arg(z)[2π]

4.Arg(z) =−Arg(z)[2π]

5.Arg(−z) = arg(z) +π[2π]

6.∀n∈N,Arg(zⁿ) =nArg(z)[2π]

Théorème

16. Qu’est ce qu’une écriture polaire d’un nombre complexe ?

Soitz∈C^∗. On appelle écriture polaire/trigonométrique deztoute écriture de la forme z=re^iθ oùr >0et θ∈R

Définition

Dans ce cas on a forcement r=|z|etθ= Arg(z)[2π]

Théorème

17. Donner la définition de l’ensemble notée Rn des racines n-ièmes de l’unité (n∈N^∗). Décrire cet ensemble, donner son cardinal et préciser ses propriétés géométriques.

Soitn∈N^∗

On dit quez∈Cest racinen^ième (complexe) de l’unité lorsquezⁿ= 1. Leur ensemble est noté R_n R_n ={z∈C/zⁿ= 1}

Définition

Soitn∈N^∗. On poseω=e^i2πn Alors :

1.

Rn = {ω^k/k∈Z}

= {ω^k/k∈J0;n−1K}

= {e^iπnk/k∈J0;n−1K}

2. Rn est fini de cardinalni.e. l’équation zⁿ = 1admet exactementnsolutions dans C.

3. Aspect géométrique : Les éléments de Rn sont les sommets d’un polynôme régulier àncotés inscrit dansS¹

Théorème

18. Tout sur j.

j =e^i2π3 =−1 2+i

√3

2 j²=j j³= 1

1 +j+j²= 0

R3={z∈C/z³= 1}alors R3={1, j, j²}

19. SAVOIR REFAIRE : pour n∈N^∗, calculer X

α∈Rn

α^p en fonction de p∈Z. On décrit Rn.

Soitω=e^i2πn

Rn={ω^k/k∈J0;n−1K} On noteS_n = X

α∈Rn

α^p

Sn=

n−1

X

k=0

ω^kp

=

n−1

X

k=0

(ω^p)^k 1^ercas : Siω^p= 1, alorsS_n= 0

2^ème cas : Siω^p6= 1, alorsSn =1−ω^pn 1−ω^p Orω=e^i2πn, doncω^pn= (ωⁿ)^p=

e^i2πnp

= 1

ω^p= 1 ⇔ e^i2πpn = 1

⇔ 2πp

n ≡0[2π]

⇔ 2πp

n = 2πk oùk∈Z

⇔ ∃k∈Z, p=kn

⇔ pest un multiple de n

⇔ n|p

Conclusion : Sin-palorsS_n= 0et si n|palorsS_n= 0

20. Déterminer pour n ∈ N^∗ les racines n-ièmes d’un nombre complexe donné sous forme polaire.

Expliquer comment on se ramène aux racines complexes de l’unité. Savoir résoudre le cas particulier des racines carrées complexes en cherchant les solutions sous la forme z=x+iy.

Racinesn-ièmes dea=f e^iθ (f >0,θ∈R)

Rn(a) ={z∈C/zⁿ=a}

— Solution particulière =z0=f¹ⁿe^iθn

— Solution générale : Rn(a) ={z0.ω^k/k∈J0, n−1K}oùω=e^i2πn.

"On fait tournerz₀autour de l’origine en multipliant par les racinesn-ièmes de l’unité" R_n(a)forme encore les sommets d’un polygone régulier àncotés, mais de rayonfⁿ¹ et partant dez0 et non pas de l’origine.

Racines carrés complexes∆a+ib

— On cherche des solutions entières z=x+iy etz²=x²−y²+ 2ixy

— Sinon on cherchez sous la forme

z=x+iy : z²=a+ib x²−y2 =a 2xy=b Ruse : ajouter l’équation|z|²=|a+ib|qui donnex²+y²=√

a²+b²

21. Équation du second degré dansC. Poura,b,c dansC,a6= 0, exprimer les solutions de l’équation az²+bz+c= 0. Donner les relation coefficients/racines.

Équation du second degré dansC

az²+bz+c= 0 aveca, b, cdansCet a6= 0 Discriminant :∆ =b²−4ac

Si δ∈Cest une racine complexe de∆(i.e.δ²= ∆) Alors

1. (E) admet deux solutions :

z1= −b+δ

2a et z2=−b−δ 2a 2.z1=z2ssi∆ = 0

3. Relation coef/racines :

z1+z2=−b

a z1z2= c a 4. Factorisation :∀z∈C, az²+bz+c=a(z−z₁)(z−z₂)

Théorème