Évolution et organisation spatiale de la dynamique vibratoire des arbres au cours de leur développement

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vibratoire des arbres au cours de leur développement

Mathieu Rodriguez

To cite this version:

Mathieu Rodriguez. Évolution et organisation spatiale de la dynamique vibratoire des arbres au cours de leur développement. Engineering Sciences [physics]. Ecole Polytechnique X, 2009. English. �pastel-00005729�

Th`ese pr´esent´ee pour obtenir le grade de

DOCTEUR DE L’´ECOLE POLYTECHNIQUE

Sp´ecialit´e : M´ecanique par

Mathieu RODRIGUEZ

Evolution et organisation spatiale de la dynamique

vibratoire des arbres au cours de leur d´

eveloppement

Soutenue le 2 novembre 2009 devant le jury compos´e de :

Mme. Meriem FOURNIER Rapporteur LERFOB, AgroParisTech, Nancy

M. S´ebastien NEUKIRCH Rapporteur IJLRA, CNRS, Paris

M. Thierry FOURCAUD Pr´esident AMAP, CIRAD, Montpellier

M. Hanns-Christof SPATZ Examinateur Albert-Ludwigs Universit¨at, Freiburg

M. Benoˆıt ROMAN Examinateur PMMH, CNRS, Paris

M. Bruno MOULIA Co-Directeur de th`ese PIAF, INRA, Clermont-Ferrand M. Emmanuel de LANGRE Directeur de th`ese LADHYX, Ecole Polytechnique, Paris

Ce m´emoire est le point final de ces trois derni`eres ann´ees. Au moment de clore cette ´etape, et avant de commencer la prochaine, j’aimerais profiter de ces quelques lignes pour remercier les personnes qui en ont fait partie. En effet, j’ai grand plaisir `a me rem´emorer qu’au-del`a d’ˆetre une aventure scientifique et intellectuelle, cette th`ese a ´et´e avant tout une aventure humaine.

Je ne suis par arriv´e au Ladhyx par hasard, un matin, en poussant la porte apr`es avoir vu de la lumi`ere... Je dois `a Emmanuel de Langre d’avoir commenc´e cette th`ese. Merci de m’avoir pr´esent´e avec enthousiasme les perspectives `a explorer dans le domaine de l’interaction entre le vent et l’arbre, ce qui m’a conduit `a accepter le pari de poursuivre une th`ese sur ce sujet.

J’ai eu la chance d’avoir deux directeurs de th`ese, Emmanuel de Langre et Bruno Moulia, soit un double encadrement, et non pas un encadrement partag´e entre deux personnes, aux vues de leurs disponibilit´es et de leurs investissements pendant ces trois ann´ees. Merci de m’avoir suivi, encadr´e, conseill´e et encourag´e tout au long de ma th`ese ! ! Plus parti-culi`erement, je remercie Emmanuel pour m’avoir fait comprendre que la simplicit´e d’un mod`ele fait sa force par sa capacit´e `a expliquer clairement les m´ecanismes et `a convaincre le plus grand nombre. J’esp`ere aussi emmener avec moi une part de cette volont´e de synth`ese et de clart´e des r´esultats en vue de communiquer, `a l’oral ou l’´ecrit, que tu as essay´e de m’inculquer. De Bruno, j’aurai le souvenir de sa patience et sa d´etermination `a me faire prendre conscience de l’int´erˆet et de l’importance `a ne pas s’arrˆeter aux sciences techniques, mais de prendre part au d´ebat sur les questions biologiques plus fondamen-tales... J’essayerai de pers´ev´erer dans ce sens. Je te remercie aussi pour ton accueil `a Clermont-Ferrand, pour le plaisir que j’ai eu `a travailler avec toi, et `a s´ejourner pendant un an dans cette r´egion (bien au del`a de mes esp´erances).

qu’elles ne se r´ealisent jamais seul. Je remercie Pascal H´emon pour son aide au montage de la table vibrante, son expertise en mesure et traitement de signal, ainsi que pour nos discussions sur l’interaction fluide-structure. Je remercie St´ephane Ploquin pour la digi-talisation et l’analyse vibratoire du noyer. Aussi ta r´esistance au froid a ´et´e mise `a rude ´epreuve, et ton coup de massue jouit maintenant d’une grande renomm´ee ! Merci aussi `a Boris Adam et Nicolas Don`es pour leur aide dans les parties digitalisation et acquisition par capteurs de d´eplacement, et leur humour ! Je remercie St´ephane, Norbert Frizot et Patrice Chaleil pour leurs aides au montage et au d´eroulement de l’exp´erience sur les peupliers (qui a ´et´e longue, pleine d’impr´evus, et, `a vrai dire, un peu p´enible... mais au combien formatrice).

Ces trois ann´ees ont ´et´e partag´ees entre le Ladhyx et le Piaf. Au del`a de leurs styles propres, je me rappellerai du bon accueil re¸cu, de l’ambiance amicale, et de la culture du caf´e dans ces deux labos !

Un clin d’oeil particulier `a mes co-bureaux et quelques autres th´esards qui ont anim´e ces ann´ees de th`ese aux labos et en dehors : Fred, R´emi V., Christof, Renaud, Guillaume, R´emi W., Fabiano et Julien. Merci `a la salle d’escalade de l’Ecole Polytechnique pour tant d’heures d’amusements et de d´efoulements, ainsi qu’aux grimpeurs du Ladhyx ! Certains ne seront peut ˆetre pas d’accord, mais ce que je trouve de particulier avec la th`ese, c’est sa propension `a toujours vous occuper l’esprit une fois en dehors du labo. Pour finir, j’aimerais donc remercier mes amis et ma famille pour le plaisir que j’ai eu `a les cotoyer, soirs, week-ends et vacances, et pour leur soutien. Une mention sp´eciale pour mon fr`ere, Ben, qui plus que les autres, a du supporter mes rˆaleries.

Ils tiennent debout, ils bougent, il ne manque plus qu’ils nous parlent !

R´

esum´

e

Le vent est `a l’origine d’une excitation m´ecanique chronique des arbres. Malgr´e tout, ceux-ci se d´eveloppent continˆument, par la croissance et la ramification de leurs axes. Il en r´esulte une grande vari´et´e de g´eom´etries, fonctions `a la fois de l’esp`ece, et du milieu dans lequel l’arbre s’est d´evelopp´e. Tout au long de son existence, les caract´eristiques dynamiques de l’arbre sont l’´el´ement d´eterminant de son interaction avec le vent. Ainsi, cette th`ese porte sur l’´evolution et l’organisation spatiale de la dynamique des arbres au cours de leur d´eveloppement, et particuli`erement de l’influence de leurs g´eom´etries. Une exp´erience de suivi des caract´eristiques dynamiques de plantes, pendant leur d´evelop-pement, associ´ee `a un mod`ele m´ecanique de leurs oscillations en flexion, met en ´evidence le rˆole de leurs croissances primaires et secondaires sur l’´evolution temporelle de leurs fr´equences naturelles.

Une description g´en´erique de la g´eom´etrie de l’arbre, bas´ee sur l’architecture et la biom´etrie, suivie d’une analyse dimensionnelle de sa dynamique vibratoire, permet de d´eriver une loi d’´echelle d´ecrivant l’organisation spatiale de ses caract´eristiques dynamiques. Cette loi d’´echelle est appliqu´ee aux cas d’arbres dont les caract´eristiques dynamiques ont ´et´e d´etermin´ees soit par num´erisation puis analyse modale en utilisant la m´ethode des ´el´ements finis, soit par balayage en fr´equence sur table vibrante, soit `a partir de lˆacher. Une analyse dimensionnelle de l’interaction dynamique entre le vent et l’arbre permet de d´eriver des lois d’´echelle d´ecrivant la r´eponse multimodale de l’arbre au vent, et donc la r´epartition dans l’ensemble de l’arbre de sa r´eponse.

Le rˆole de la g´eom´etrie de l’arbre, et donc de son d´eveloppement continu par la crois-sance et la ramification de ces axes, sur son interaction dynamique avec le vent, est ainsi quantitativement mis en ´evidence.

Abstract

Trees are following a continuous development through growth and branching of axes, showing a large variety of geometries observed depending trees ages, species and growth conditions. Wind is responsible of a chronical mechanical excitation of trees. And throu-ghout its life, tree dynamical characteristics are determining its interaction with wind. Thus, this thesis is about the time evolution and the spatial organization of trees dyna-mical characteristics during growth, and the influence of trees geometries.

An experiment on plants under controlled growth conditions, combined with a mechanical model of plants oscillations under flexure, showed strong evidence of the role of primary and secondary growths on the time evolution of plants natural frequencies.

A general description of trees geometries, based on architecture and biometry, and a di-mensional analysis of trees dynamics, resulted in the derivation of a scaling law describing the spatial organization of trees dynamical characteristics. This scaling law is applied to a few trees, whose dynamical characteristics where determined from digitizing and modal analysis using finite element modelling, from shaking table analysis, and from rope release tests.

A dimensional analysis of wind and trees dynamical interactions resulted in the derivation of scaling laws describing trees multimodal response to wind, and thus the distribution of the response in its whole branching system.

The role of the tree geometry, and thus of its continuous development through growth and branching of axes, on its dynamical interaction with wind, is thus quantitatively discussed.

1 Introduction 1

1.1 L’arbre, un organisme en d´eveloppement . . . 2

1.1.1 Le d´eveloppement architectural de l’arbre . . . 2

1.1.2 Les mod`eles architecturaux . . . 4

1.1.3 L’analyse biom´etrique . . . 5

1.1.4 Une description g´eom´etrique g´en´erique . . . 6

1.2 Un milieu m´ecaniquement contraignant : le vent . . . 7

1.3 Etudier la dynamique sur base modale . . . 10

1.3.1 La base modale . . . 11

1.3.2 L’exemple de la poutre encastr´ee-libre . . . 11

1.3.3 Les caract´eristiques modales de l’arbre . . . 15

1.4 La dynamique de l’arbre au vent . . . 16

1.4.1 La r´epartition dans l’arbre de la r´eponse au vent . . . 16

1.4.2 La mod´elisation de la dynamique de l’arbre au vent . . . 19

1.5 L’acclimatation m´ecanique . . . 21

1.6 Probl´ematique de la th`ese . . . 23

2 Evolution temporelle de la dynamique de l’arbre 27 2.1 Exp´erience de suivi des fr´equences de peupliers . . . 28

2.1.1 Le mat´eriel v´eg´etal . . . 28

2.1.2 Le protocole de l’exp´erience . . . 29

2.1.3 Deux r´egimes d’´evolution des fr´equences . . . 31

2.1.4 Le d´eveloppement g´eom´etrique des peupliers . . . 34

2.1.5 Les caract´eristiques mat´erielles et la r´epartition des masses . . . . 38

2.2 Mod´elisation de l’effet de la g´eom´etrie sur les fr´equences . . . 43

2.2.1 Mod`ele m´ecanique de la flexion . . . 43

2.2.2 D´efinition d’une plante repr´esentative de l’exp´erience . . . 47

2.2.3 Simulation de l’´evolution des fr´equences . . . 47

2.3 Comparaison entre le mod`ele m´ecano-biom´etrique et les mesures . . . 48

2.4 Discussion . . . 50

3 Organisation spatiale de la dynamique de l’arbre 51 3.1 Le mat´eriel v´eg´etal . . . 52

3.1.1 M´ethode de num´erisation . . . 53

3.1.2 Un jeune noyer . . . 53

3.1.3 Un noyer adulte . . . 54

3.1.4 Une branche de charme . . . 54

3.1.5 Un jeune pin maritime . . . 56

3.2 Les m´ethodes de d´etermination des modes . . . 56

3.2.1 Excitation par lˆacher . . . 57

3.2.2 Balayage en fr´equence sur table vibrante . . . 57

3.2.3 Calcul par ´el´ements finis . . . 59

3.3 Les caract´eristiques modales . . . 60

3.3.1 Le jeune noyer . . . 61

3.3.2 Le noyer adulte . . . 66

3.3.3 La branche de charme . . . 68

3.3.4 Le jeune pin maritime . . . 70

3.3.5 Synth`ese sur l’analyse modale . . . 72

3.4 Lois d’´echelle . . . 73

3.4.1 Param`etres biom´etriques . . . 73

3.4.2 Analyse dimensionnelle . . . 74

3.4.3 Modes de vibrations . . . 75

3.5 Evaluation des pr´edictions par loi d’´echelle . . . 79

3.5.1 Param`etres biom´etriques . . . 79

3.5.2 Comparaison . . . 84

4 Organisation spatiale de la r´eponse de l’arbre au vent 91

4.1 Le couplage a´erodynamique entre le vent et l’arbre . . . 92

4.2 L’effort a´erodynamique statique . . . 94

4.3 L’amortissement a´erodynamique lin´eaire . . . 97

4.4 L’excitation al´eatoire par le vent turbulent . . . 99

4.5 Discussion . . . 104

5 Conclusion et perspectives 107 5.1 Conclusions . . . 108

5.2 Perspectives . . . 110

A Compl´ements au Chapitre 2 121 A.1 Evolutions des fr´equences des peupliers . . . 122

A.2 Caract´eristiques mat´erielles . . . 123

A.2.1 Module d’Young et raideur d’encastrement . . . 123

A.2.2 Masse volumique et feuillage . . . 127

A.3 Mod`ele biom´etrique du d´eveloppement des plantes . . . 130

A.3.1 La longueur . . . 130

A.3.2 Le diam`etre `a la base . . . 130

A.3.3 Le d´efilement du diam`etre . . . 131

Introduction

Les arbres sont des ´el´ements remarquables, presque toujours pr´esents dans notre en-vironnement. Tellement pr´esents qu’en 1805, lorsque l’amiral Francis Beaufort d´eveloppa une ´echelle de mesure du vent `a partir de l’observation de ses effets sur la surface de la mer, il inscrit aussi des observations terrestres, parmi lesquelles l’excitation de l’arbre par le vent. Ces observations de la r´eponse de l’arbre au vent soulignent la participation graduelle de l’ensemble de l’arbre au fur et `a mesure que la force du vent augmente : pour un vent de force 2, les feuilles bougent, `a force 4, les petites branches oscillent, `a force 6, les grandes branches se mettent en mouvement, et finalement, pour un vent de force 7, l’ensemble de l’arbre est excit´e.

Deux remarques ressortent de ces observations visuelles de sens commun. La premi`ere est que les diff´erents constituants de l’arbre participent `a des degr´es divers `a la r´eponse de l’arbre au vent. En effet, des ´el´ements de l’arbre de plus en plus grands sont sollicit´es au fur et `a mesure que le vent augmente. La seconde remarque est que la taille des parties de l’arbre en mouvement est un indicateur de la force du vent, plus l’arbre est grand et plus un vent fort va ˆetre n´ecessaire pour induire un mouvement global mobilisant tout le houppier.

Cette participation plus ou moins importante des diff´erents constituants de l’arbre `a l’excitation par le vent, du feuillage jusqu’au tronc, r´esulte en une dynamique com-plexe dont la mod´elisation num´erique pour l’animation de sc`enes virtuelles est d’un grand int´erˆet pour la communaut´e ≪graphique≫. La sollicitation de plus en plus

une pr´eoccupation majeure pour l’exploitation foresti`ere puisqu’elle peut ˆetre `a l’origine de ruptures ou de verses d’arbres. D’un point de vue de biologie fondamentale, l’excita-tion par le vent est d’un grand int´erˆet en temps que source de sollicital’excita-tions m´ecaniques chroniques de l’arbre.

Les pr´eoccupations de ces communaut´es se rejoignent dans un objectif large de com-prendre la dynamique de l’interaction entre le vent et l’arbre, son organisation `a un instant donn´e, et l’´evolution de cette dynamique au cours du d´eveloppement de l’arbre. Ce sont les points dont nous allons traiter ici.

1.1

L’arbre, un organisme en d´

eveloppement

Une ´etape indispensable de l’´etude des interactions entre le vent et l’arbre est la description de sa g´eom´etrie. Elle nous renseigne sur la r´epartition de sa masse, de sa rigi-dit´e, et donc sur ses caract´eristiques dynamiques. Mais comment d´efinir une g´eom´etrie de l’arbre lorsque celui-ci peut ˆetre un palmier, un pin ou noyer ? Et encore, comment d´efinir une g´eom´etrie de noyer quand celle-ci, suivant le stade de d´eveloppement de l’arbre, peut varier d’une simple tige `a une organisation en huit ordres de ramification ?

En effet, chaque arbre suit un d´eveloppement unique. L’existence d’un arbre peut durer jusqu’`a plusieurs si`ecles et, `a l’´etat adulte, certains arbres peuvent atteindre jus-qu’`a une centaine de m`etres de hauteur. Cependant, ce d´eploiement spatial de l’arbre en une g´eom´etrie complexe suit un processus organis´e dont une cons´equence est la mise en place d’un syst`eme tridimensionnel ramifi´e (Edelin et al., 1995). Malgr´e la grande varia-bilit´e inter et intra-esp`eces, un certain nombre de crit`eres morphologiques de l’arbre sont identifiables et permettent de d´ecrire et d´ecomposer son d´eveloppement. Les diff´erentes d´eclinaisons possibles de ces quelques crit`eres morphologiques forment les mod`eles d’ar-chitecture des arbres d´efinis par Hall´e & Oldeman (1970).

1.1.1

Le d´

eveloppement architectural de l’arbre

L’arbre se d´eveloppe dans le temps et se d´eploie dans l’espace par la mise en place d’une structure hi´erarchis´ee (Edelin et al., 1995). Ce d´eveloppement de l’arbre s’effectue

par la croissance d’axes existants, et par l’apparition de nouveaux axes lors de ramifi-cations (Moulia et al., 2006), Figure 1.1. La construction d’un axe s’organise selon sa croissance en longueur, appel´ee croissance primaire, ayant lieu au niveau du bourgeon terminal. De plus, un cambium se forme sur le p´erim`etre de la tige. Ce cambium est `a l’origine de la croissance en diam`etre de l’axe, appel´ee croissance secondaire. Elle est r´epartie sur tout l’axe et non uniforme. Le cambium est actif tout au long de la vie de l’arbre, `a la diff´erence du bourgeon terminal dont la croissance peut, dans certaines formes de d´eveloppement, d´efinitivement s’arrˆeter.

En plus de la croissance en longueur, le bourgeon terminal est `a l’origine de la pro-duction de feuilles sur l’axe, et de bourgeons lat´eraux positionn´es `a la base des feuilles, Figure 1.1. L’activation d’un bourgeon lat´eral entraˆıne la cr´eation d’un nouvel axe ´edifi´e `a partir de ce bourgeon, c’est le processus de ramification. L’ordre d’un axe dans l’arbre est N , s’il a N−1 axes qui le s´eparent du sol. Les axes, suivant leur ordre, peuvent avoir des morphologies tr`es diff´erenci´ees, par exemple par leur diam`etre basal, leur longueur, ou encore leur angle de ramification. Une fois tous les types d’axes mis en place, le syst`eme ramifi´e d´evelopp´e, appel´e ”Unit´e Architecturale”, peut atteindre jusqu’`a 11 ordres de ra-mifications d’axes (voir l’exemple du noyer, Figure 1.5a, avec 8 ordres de rara-mifications).

Figure 1.1 – Sch´ema du d´eveloppement des plantes par croissances primaires et secon-daires des tiges et par ramification, d’apr`es Moulia (2006).

Le mode de ramification de l’arbre peut ˆetre monopodial ou sympodial, Figure 1.2. Une ramification est sympodiale quand le fonctionnement du bourgeon terminal s’in-terrompt pour des causes d´eveloppementales internes, et qu’il n’y a qu’une ramification

lat´erale des branches. Une ramification est monopodiale quand il y a ramification lat´erale des branches, et la poursuite concommittante du fonctionnement du bourgeon terminal.

Figure 1.2 – Mode de ramifications : (a) sympodial, (b) monopodial.

Les relations d’ordre au sein du syst`eme ramifi´e peuvent ˆetre d´ecrites `a partir de la relation topologique entre les segments d’axes. Si l’on d´ecompose les axes de l’arbre en segments qui relient, sur un axe, un point de ramification au point de ramification pr´ec´edent, tous les segments peuvent ˆetre index´es en fonction du nombre de segments amonts qu’ils poss`edent. Ainsi, un segment est index´e (N,P) quand ce segment a, res-pectivement, N_{−1 et P−1 segments lat´eraux et axiaux parents, Figure 1.3 (pour plus de} d´etail sur l’indexation des ordres des segments de branches voir McMahon & Kronauer, 1976).

Figure 1.3 – Construction de l’unit´e architecturale de l’arbre par ramification.

1.1.2

Les mod`

eles architecturaux

La diversit´e des d´eveloppements observ´es dans la nature se regroupe en 23 mod`eles architecturaux (Hall´e & Oldeman, 1970). Ces mod`eles sont illustr´es `a la Figure 1.4. Ils repr´esentent les diff´erentes d´eclinaisons de crit`eres morphologiques identifi´es. Parmi ces crit`eres morphologiques, on retrouve le type de ramification, ou encore la variation de la

section des segments d’axes avant et apr`es la ramification (Edelin et al., 1995; Barthelemy & Caraglio, 2007). Le pin maritime (Pinus pinaster ) et le noyer (Julian regia), pr´esent´es `a la Figure 1.5, appartiennent respectivement aux mod`eles de Rauh et Leeuwenberg. Ils sont respectivement `a ramifications monopodiale et sympodiale, Figure 1.4.

Figure 1.4 – Mod`eles architecturaux d’arbres selon Hall´e & Oldeman (1970). Cependant les mod`eles architecturaux ne permettent pas de d´efinir la g´eom´etrie de l’arbre avec l’information n´ecessaire `a des analyses m´ecaniques. D’une part, les dimensions des axes (longueurs, diam`etres) r´esultant de leurs croissances primaires et secondaires ne sont pas d´efinies. D’autre part, les axes peuvent faire l’objet de croissance secondaire englobant les segments successifs (Hall´e, 2005), ainsi que de r´eorientation secondaire active lors de leur croissance (Moulia & Fournier, 2009), rendant la g´eom´etrie finale de l’arbre parfois tr`es diff´erente du sch´ema repr´esentant son mod`ele architectural, Figure 1.4.

1.1.3

L’analyse biom´

etrique

La description quantitative de la g´eom´etrie de l’arbre a ´et´e men´ee par une autre branche de la biologie, l’analyse biom´etrique, via la caract´erisation en particulier de l’´elancement et du d´efilement des axes. Ces deux param`etres morphologiques sont d´ecrits par des≪lois≫allom´etriques statistiques, dont les valeurs des coefficients sont d´etermin´ees

pour un individu, un peuplement d’arbres, ou une esp`ece donn´es (McMahon & Kronauer, 1976; Niklas & Spatz, 2004). En plus des traits architecturaux relatifs au d´eveloppement de l’arbre, l’analyse biom´etrique statistique rend aussi compte de l’effet des facteurs en-vironnementaux qui r´egulent ou perturbent son d´eveloppement.

La loi d’´elancement des axes relie leur diam`etre `a leur longueur, et donne une mesure de l’≪´equilibre ≫ entre la croissance primaire et la croissance secondaire de l’axe. La

loi d’´elancement est commun´ement d´efinie sous la forme d’une relation allom´etrique (loi puissance) entre la longueur, L, et le diam`etre, D, de l’axe, ´equation 1.1.

D_{∼ L}β (1.1)

La loi d’´elancement est discut´ee dans deux cas distincts. Elle permet de d´ecrire l’´elancement typique des troncs de populations d’arbres (McMahon & Kronauer, 1976; Moulia & Fournier-Djimbi, 1997; Niklas & Spatz, 2004), par exemple dans un peuplement donn´e, ou pour une certaine esp`ece d’arbres. Elle permet aussi de donner une description de la g´eom´etrie d’un arbre particulier, `a partir de l’´elancement typique des branches le consti-tuant (McMahon & Kronauer, 1976).

Le d´efilement du diam`etre le long de l’axe donne une mesure de la r´epartition de la croissance secondaire, en plus d’une mesure de l’≪´equilibre global≫ entre la croissance

primaire et secondaire. Le d´efilement d’un axe est souvent d´ecrit sous la forme d’une loi allom´etrique de d´efilement (McMahon & Kronauer, 1976; Moulia & Fournier-Djimbi, 1997), o`u l’on d´ecrit la variation du diam`etre, D(x), en fonction de sa distance relative, x/L, `a l’apex, c’est `a dire le bourgeon terminal, ´equation 1.2.

D(x) D(0) ∼ x L α (1.2)

1.1.4

Une description g´

eom´

etrique g´

en´

erique

Vue la grande variabilit´e intra-sp´ecifique et inter-sp´ecifique des g´eom´etries d’arbres, Figure 1.4, il semblait impossible de traiter le probl`eme de l’interaction entre le vent et l’arbre de mani`ere globale. Cependant les domaines de l’analyse architecturale et de l’analyse biom´etrique de l’arbre fournissent la possibilit´e de caract´eriser la g´eom´etrie ramifi´ee d’un arbre `a partir d’un faible nombre de crit`eres morphologiques et de quelques param`etres biom´etriques. On peut donc d´ecrire, de mani`ere g´en´erique, un maximum de

g´eom´etries en utilisant un minimum de param`etres, mais tout en couvrant un maximum de possibilit´es (Edelin et al., 1995).

(a) (b)

Figure 1.5 – Deux exemples d’arbres qui suivent des mod`eles architecturaux distincts : (a) un noyer, suivant le mod`ele de Leeuwenberg, et (b) un pin, suivant le mod`ele de Rauh. Ils ont ´et´e digitalis´es respectivement par Sinoquet & Rivet (1997) et Sellier & Fourcaud (2005). Le noyer est `a ramification sympodiale, alors que le pin est `a ramification monopodiale.

1.2

Un milieu m´

ecaniquement contraignant : le vent

Le d´eveloppement de l’arbre s’effectue en interaction avec le milieu ambiant (la lumi`ere, la temp´erature, les nutriments...) (Peltola et al., 2000). Tous ces facteurs influencent, r´egulent et limitent son d´eveloppement. Parmi ces facteurs externes, le vent implique le d´eveloppement de l’arbre dans un milieu m´ecaniquement contraignant. En effet, le vent chronique est `a l’origine de sollicitations m´ecaniques continuelles de l’arbre (Moulia et al., 2006), et les tempˆetes hivernales annuelles sont des ´ev´enements majeurs pouvant porter atteinte `a son int´egrit´e, par casse ou verse de celui-ci (Gardiner & Quine, 2000).

Si l’on prend l’exemple des climats oc´eaniques temp´er´es de la cˆote Est des Etats Unis, le temps de retour typique des perturbations m´et´eorologiques, `a l’origine du vent chronique, est de l’ordre de 100 heures, comme le montre le graphique `a la Figure 1.6,

tir´e de Stull (1988). Il faut ajouter, `a ce temps typique de retour des perturbations m´et´eorologiques, une variation journali`ere entre un vent diurne plus fort que le vent noc-turne. Cette variation journali`ere correspond au pic secondaire, d’une p´eriode de l’ordre de 20 heures, sur la mˆeme figure. A ces variations de grandes ´echelles se rajoutent des va-riations `a petites ´echelles correspondant aux ´echelles de la turbulence de la couche limite m´et´eorologique du vent au niveau du sol.

Figure 1.6 – Densit´e spectrale de puissance typique du vent proche du sol, d’apr`es Stull (1988).

Durant une perturbation m´et´eorologique, deux configurations typiques d’excitation de l’arbre par le vent sont observ´ees (de Langre, 2008), l’arbre isol´e ou en couvert : (a) Dans le cas de l’arbre isol´e, le profil de vent moyen, U , est un profil logarithmique, typique d’une couche limite (Cremonat & Foucriat, 2002), Figure 1.7a. Les fluctuations du vent sont d´ecrites par la r´epartition spectrale de l’´energie turbulente. Une formulation de cette r´epartition de l’´energie est celle de von Karman (Cremonat & Foucriat, 2002) :

Suu(f ) σ2 u = 4 l x u U (z) 1 h 1 + 70, 7 f lx u/U (z)
2i5/6 (1.3) Svv(f ) σ2 v = 4 l x v U (z) 1 + 188, 4 2f lx v/U(z)
2 h 1 + 70, 7 2f lx v/U (z)
2i11/6 (1.4)

Il s’agit de la densit´e spectrale de puissance, S(f ), dans chacune des directions horizon-tales du vent, u et v, et adimensionn´ee par rapport `a la variance de la vitesse fluctuante,

σ, dans la direction consid´er´ee. La densit´e spectrale de puissance, `a une hauteur donn´ee, d´epend de la vitesse moyenne longitudinale `a cette hauteur, U (z), et d’une ´echelle ca-ract´eristique de la turbulence de l’´ecoulement dans chacune des directions, respectivement lx

u et lxv.

Plus particuli`erement, dans le cas de l’arbre isol´e en rase campagne, les ´echelles ca-ract´eristiques de la turbulence valent lx

u = 100 m et lxv = 50 m (Cremonat & Foucriat,

2002). On d´eduit des ´equations 1.3 et 1.4 que dans la plage de fr´equence 0, 1_{≤ f(Hz)≤ 10,} typique des arbres r´epertori´es dans la lit´erature (McMahon & Kronauer, 1976; Moore & Maguire, 2004; Bruchert & Gardiner, 2006; James et al., 2006; Spatz et al., 2007; de Langre, 2008), et pour un vent inf´erieur `a 20 m/s `a la hauteur consid´er´ee, le profil spectral du vent fluctuant v´erifie :

S(f )_{∼ f}−_5/3

(1.5) Le vent subit par un arbre isol´e, sur un terrain plat et plutˆot d´egag´e, suit donc une d´ecroissance en puissance _{−5/3 caract´eristique de la cascade d’´energie turbulente de} Kolmogorov, Figure 1.7c.

(b) Dans le cas de l’arbre en couvert, la porosit´e du couvert modifie le profil de vitesse en induisant un point d’inflexion au niveau de la canop´ee, Figure 1.7b, et le spectre en fr´equence du vent est modifi´e par son interaction dynamique avec celle-ci (Raupach et al., 1996; Py et al., 2006), Figure 1.7d. Le point d’inflexion du profil de vitesse est `a l’origine d’une instabilit´e de type Kelvin-Helmholtz dont r´esulte l’existence de structures d’´echelles moyennes dans le couvert (A), pr´edominantes d’un point de vue ´energ´etique. Les organes des arbres du couvert sont, de part leur traˆın´ee, `a l’origine d’une dissipation accrue dans le couvert (B), et d’une ´emission de petites ´echelles fluctuantes (C) (de Langre, 2008).

L’analyse des caract´eristiques temporelles et spatiales du vent met en ´evidence toutes les conditions d’une excitation dynamique chronique de l’arbre par le vent. La partie suivante pr´esente l’int´erˆet de l’´etude des caract´eristiques dynamiques d’une structure, sur base modale, en pr´eambule de l’´etude de sa r´eponse `a une excitation.

Figure 1.7 – Caract´eristiques (a,c) spatiales et (b,d) spectrales typiques d’un vent rencontr´e, respectivement, dans le cas d’un arbre isol´e ou en couvert, d’apr`es de Langre (2008).

1.3

Etudier la dynamique sur base modale

La dynamique d’une structure en r´eponse `a une excitation, par exemple la r´eponse d’un arbre excit´e par le vent, r´esulte de l’interaction de trois composantes : (1) la force d’excitation, (2) les caract´eristiques dynamiques du syst`eme excit´e, (3) les processus de dissipation de l’´energie (Geradin & Rixen, 1994). Les caract´eristiques dynamiques de la structure d´ecrivent l’´echange d’´energie entre deux formes d’´energies m´ecaniques in-ternes, l’´energie cin´etique et l’´energie potentielle de d´eformation ´elastique. D´eterminer les caract´eristiques dynamiques d’une structure permet de comprendre son excitabilit´e intrins`eque. Ceci permet d’appr´ehender le comportement dynamique g´en´eral de la struc-ture, en amont de l’´etude de sa r´eponse `a une excitation particuli`ere.

1.3.1

La base modale

D´eterminer la base modale de vibration de la structure est une fa¸con pratique de ca-ract´eriser la dynamique lin´eaire d’un syst`eme continu (Geradin & Rixen, 1994). En effet, le comportement ´elastique dynamique d’une structure peut se repr´esenter sous la forme d’une superposition de modes de vibration qui forment la base modale.

Chaque mode de vibration est un mode propre d’´echange entre l’´energie cin´etique et l’´energie potentielle. Il se d´efinit par un champ de d´eplacement, appel´e aussi d´eform´ee modale, d´efinissant la forme de d´eformation associ´ee au mode, une fr´equence modale, d´efinissant le temps caract´eristique de l’´echange entre les deux types d’´energies, et une masse modale, caract´erisant l’´energie cin´etique associ´ee `a ce mode. La caract´erisation de la base modale permet ensuite d’effectuer une troncature de celle-ci, c’est `a dire de s´electionner un sous-ensemble de modes de vibration, en rapport avec les temps ca-ract´eristiques et les zones de d´eplacements, et de d´eformations, qui seront pertinents au regard des cas d’excitation consid´er´es, et permettront de rendre compte de la r´eponse de la structure avec une pr´ecision acceptable (Axisa, 2001a).

1.3.2

L’exemple de la poutre encastr´

ee-libre

Le cas de la poutre encastr´ee-libre, en tant que syst`eme dynamique typique de l’in-g´enierie, permet d’illustrer simplement la caract´erisation d’un syst`eme sur sa base modale. Supposons cette poutre encastr´ee-libre `a diam`etre constant et mat´eriau homog`ene et se d´eformant en flexion selon le mod`ele d’Euler, par des petits d´eplacements transverses, et d´eterminons sa base modale de vibration (Geradin & Rixen, 1994). Les premiers modes de vibration de la poutre sont pr´esent´es `a la figure 1.8.

L’´evolution des fr´equences modales, relativement `a la premi`ere, Figure 1.8a, met en ´evidence l’espacement des modes en ce qui concerne leurs temps caract´eristiques d’oscil-lations (noter l’´echelle logarithmique de l’axe des fr´equences propres dans la figure 1.8). Le deuxi`eme mode a d´ej`a une fr´equence naturelle proche de six fois celle du premier, et le sixi`eme a une fr´equence naturelle cent fois sup´erieure. Typiquement, les fr´equences d’une poutre encastr´e-libre augmentent au mˆeme rythme que le num´ero du mode au carr´e (Ge-radin & Rixen, 1994). On remarque, Figure 1.8b, que l’ensemble de la poutre se d´eforme lors de l’excitation des trois premiers modes, mˆeme si les champs de d´eplacement sont tr`es diff´erents. Toute la structure est donc concern´ee par une excitation des modes de la

poutre.

On a ici affaire `a un syst`eme dynamique, o`u les modes sont tr`es espac´es en fr´equence, mais o`u tous induisent des d´eformations sur l’ensemble de la structure.

La fr´equence d’une poutre, d’apr`es Geradin & Rixen (1994), s’´ecrit analytiquement sous la forme : fn= κn2 2πl2 s Ed4 ρd2 = κn2 2π d l2 s E ρ (1.6)

O`u l est la longueur de la poutre, et d, son diam`etre. Ed4 _{est la rigidit´e lin´eique en flexion}

de la poutre et ρd2_{, sa masse lin´eique. Les coefficients κ}

nsont uniquement d´ependant des

conditions limites de la poutre. Dans ce cas pr´ecis de poutre encastr´ee-libre `a section constante et `a mat´eriau homog`ene, une r´esolution analytique est possible. Pour le pre-mier mode, κ1 vaut 1.8751 (Geradin & Rixen, 1994).

(a) 1 2 3 4 5 6 100 101 102

N

N

f

/ f

1

2

3

Figure 1.8 – (a) R´epartition des fr´equences modales et (b) d´eform´ees modales des pre-miers modes dans le cas d’une poutre encastr´ee-libre en flexion.

Cas plus complexes

Dans des cas plus complexes, tels qu’une poutre `a section variable le long de son axe, ou avec une raideur d’encastrement en condition limite, il n’est plus possible d’ob-tenir une solution analytique de la fr´equence. Cependant, des tables rassemblent les

va-leurs des fr´equences des premiers modes, par exemple pour diff´erentes configurations de d´efilements ou de raideurs d’encastrement (Blevins, 1979), constituant ainsi un mod`ele semi-analytique.

Une r´esolution num´erique, par exemple en utilisant la m´ethode de Rayleigh-Ritz, per-met aussi de d´eterminer les modes de vibration (Geradin & Rixen, 1994). En utilisant cette m´ethode, les d´eform´ees modales sont d´etermin´ees sous la forme de combinaisons lin´eaires de fonctions choisies pour former une base libre satisfaisant les conditions li-mites du probl`eme. On obtient ainsi une forme approch´ee des d´eform´ees modales et une approximation des fr´equences modales. Cette m´ethode permet principalement une bonne approximation des fr´equences, dont la pr´ecision obtenue est d´ependante du nombre de fonctions formant la base d’approximation. Par contre, elle n´ecessite une description compl`ete de la structure m´ecanique.

Analyse dimensionnelle

A d´efaut de d´eterminer les fr´equences, effectuer une analyse dimensionnelle du probl`eme permet de d´eduire l’influence sur les fr´equences des diff´erentes grandeurs caract´erisant le syst`eme. En effet, l’analyse dimensionnelle a pour but d’interpr´eter le probl`eme `a partir des grandeurs physiques en jeu (Niklas, 1994; de Langre, 2002). Elle utilise le fait que les lois physiques sont ind´ependantes des unit´es dans lesquelles elles sont exprim´ees.

Dans le cas de la poutre, trois quantit´es d´efinissent la m´ecanique en flexion de la poutre : sa dimension caract´eristique, sa rigidit´e en flexion, et sa masse lin´eique. La lon-gueur de la poutre, l, fournit une dimension caract´eristique pour l’abscisse curviligne. Un diam`etre de la poutre, fournit un ordre de grandeur de la dimension transverse, dont d´ependent la rigidit´e en flexion et la masse lin´eique. Par exemple, dans le cas o`u le diam`etre de la poutre est `a section variable, on peut choisir de d´efinir la rigidit´e et la masse lin´eique par rapport au diam`etre `a la base, d, et on obtient respectivement Ed4 _et

ρd2_.

On en d´eduit que la fr´equence doit s’exprimer `a partir de ces trois grandeurs : f = F l, ρd2, Ed4

Or ces quantit´es ont les dimensions suivantes : f _{∼ T emps}−₁ (1.8) l _{∼ Longueur} (1.9) ρd2 _{∼ Masse Longueur}−1 (1.10) Ed4 _{∼ Masse Longueur}3 T emps−₂

(1.11) On remarque que ces quatre grandeurs s’expriment selon trois dimensions. Le th´eor`eme de π_{−Buckingham (de Langre, 2002) implique qu’il existe un unique nombre sans dimension} (4 grandeurs - 3 dimensions = 1 combinaison possible) reliant ces quatre quantit´es. Donc :

T−₁

= La M _{· L}−₁
b

M_{· L}3_{· T}−₂
c

(1.12) D’o`u on d´eduit a = _{−2, b = −1/2 et c = 1/2.}

Les quatres variables du probl`eme se recombinent donc sous la forme du param`etre sans dimension suivant : f l2 ρd2
1/2 Ed4
−_1/2 (1.13) Ce qui implique : f l2 ρd2
1/2 Ed4
−_1/2 = constante (1.14) Ou encore : f _{∼ dl}−2 E ρ 1/2 (1.15) Cette formule obtenue par analyse dimensionnelle, sans explicitation ni r´esolution des ´equations aux d´eriv´ees partielles r´egissant la dynamique vibratoire, peut ˆetre compar´ee avec la formule semi-analytique de l’´equation 1.6. Elles ont les mˆemes d´ependances di-mensionnelles et mat´erielles. L’analyse dimensionnelle permet ainsi de discuter comment les fr´equences modales vont ˆetre influenc´ees par le diam`etre et la longueur caract´eristique du syst`eme. On en d´eduit que les fr´equences naturelles de la poutre varient lin´eairement en fonction du diam`etre, et selon l’inverse du carr´e de la longueur caract´eristique :

f _{∼ l}−₂

, (1.17)

d’o`u d´ecoulent les deux observations suivantes :

(a) Une poutre identique, mais avec un diam`etre multipli´e par 10, aura des fr´equences naturelles multipli´ees par 10.

f2

f1

= d2 d1

= 10 (1.18)

(b) Une poutre identique, mais avec une longueur multipli´ee par 10, aura des fr´equences naturelles 100 fois plus petites.

f3 f1 = l1 2 l32 = 10−₂ (1.19) L’influence du mat´eriau homog`ene est aussi d´ecrite par l’´equation 1.15. On remarque que le mat´eriau de la poutre intervient dans la valeur des fr´equences modales au travers du rapport E/ρ. Celui-ci agit sur les fr´equences du syst`eme en puissance 1/2, et donc dans une moindre mesure que les caract´eristiques g´eom´etriques du syst`eme.

1.3.3

Les caract´

eristiques modales de l’arbre

La d´etermination de la base modale de deux arbres, par calcul par ´el´ements finis, pour un pin maritime et un h´ev´ea, dans des versions simplifi´ees de leurs g´eom´etries (mais n´ecessitant quand mˆeme la position dans l’espace du tronc et de toutes les branches de second ordre, leurs connectivit´es, leurs diam`etres et leurs caract´eristiques m´ecaniques), a ´et´e effectu´ee par Fournier et al. (1993). L’implication des branches dans la dynamique de l’arbre a ´et´e mise en ´evidence par cette ´etude. En effet, un grand nombre de modes avec des d´eformations localis´ees principalement sur les branches ont ´et´e d´etermin´es. Les fr´equences de ces modes ´etaient `a peine sup´erieures `a celle du premier mode, dont les d´eformations sont localis´ees sur le tronc. Cette ´etude souligne la n´ecessit´e de prendre en compte la dynamique des branches, et d’´etudier la dynamique de l’arbre au vent en consid´erant un grand nombre de modes `a la fois.

D’un point de vue exp´erimental, l’´etude de Sellier & Fourcaud (2005) soutient cette affirmation. Lors d’excitations `a l’aide d’une corde attach´ee au tronc de jeunes pins ma-ritimes, Sellier & Fourcaud (2005) ont mis en ´evidence des fr´equences mesur´ees sur les branches, mais pas sur le tronc, et sup´erieures `a la fr´equence fondamentale des oscillations en flexion du tronc des pins. La r´eponse de plusieurs modes a donc ´et´e observ´ee ici aussi.

L’utilit´e de prendre en compte l’ensemble de la g´eom´etrie de l’arbre lors de l’´etude de ces caract´eristiques dynamiques, et l’int´erˆet d’une ´etude sur base modale, contenant un grand nombre de modes, sont ici clairement soulign´es.

1.4

La dynamique de l’arbre au vent

L’importance des effets dynamiques, dans l’interaction entre le vent et l’arbre, a ´et´e montr´ee par Mayer (1987) et Gardiner & Quine (2000). En effet, la seule traˆın´ee statique ne suffit pas `a expliquer les d´eformations des arbres sous le vent, ni leurs vitesses critiques de ruptures et de verses. La prise en compte de l’inertie de l’arbre et de l’´echange d’´energie entre l’´energie cin´etique et l’´energie ´elastique est donc cruciale dans la mod´elisation de son excitabilit´e dynamique par le vent. Toutefois, ces ´etudes se concentraient sur le cas de conif`eres, `a forte r´eduction de sections `a la ramification, o`u la d´eformation du tronc ´etait la pr´eoccupation principale, et o`u le reste de l’arbre n’´etait consid´er´e que sous la forme d’une masse suppl´ementaire r´epartie sur le tronc (Gardiner, 1992; Spatz & Zebrowski, 2001). Comme le fait judicieusement remarquer l’´echelle de Beaufort, la participation dy-namique des branches de diff´erentes dimensions `a la r´eponse de l’arbre au vent, s’observe visuellement dans le cas d’un arbre `a la ramification plus complexe.

1.4.1

La r´

epartition dans l’arbre de la r´

eponse au vent

Baker (1997) a mesur´e, `a l’aide d’un interf´erom`etre laser, le d´eplacement sous faible vent du tronc de plusieurs tilleuls (Tilia europea, mod`ele de Troll, Millet et al., 1998). Les g´eom´etries des tilleuls variaient en fonction de leurs proximit´es plus ou moins pro-nonc´ees avec des arbres voisins (et probablement de l’´elagage artificiel, ´etant donn´e qu’il s’agit d’arbres urbains). Trois types de tilleuls ont ´et´e d´efinis, Figure 1.9. Les arbres de type I, dit normals, avaient des branches ayant un angle de 20-30 degr´es par rapport `a la verticale. Les voisins de ces arbres ´etaient `a une distance de l’ordre d’une demi hau-teur de l’arbre. Les arbres de type II, ´etaient des arbres isol´es, de moindre hauhau-teur, et dont le branchage ´etait tr`es d´evelopp´e. Les arbres de type III ´etaient des arbres dont les branches avaient une inclinaison de l’ordre de 10 degr´es. Les voisins de ces arbres ´etaient tr`es proches, de l’ordre d’un cinqui`eme de la hauteur des arbres. Les spectres en fr´equence des d´eplacements des troncs des arbres se distinguent selon les types d’arbres. On observe

un pic de forte amplitude pour les types I et III, et un spectre plat pour le type II, dont le branchage a pu ˆetre pleinement d´evelopp´e en l’absence de voisins. Ces r´esultats mettent en ´evidence une forte influence de la g´eom´etrie de l’arbre sur les mouvements du tronc de l’arbre lors d’une excitation par le vent.

Figure 1.9 – Tilleuls de diff´erentes g´eom´etries instrument´es par Baker (1997). Type (a) I, (b) II et (c) III.

Plus r´ecemment, James et al. (2006) ont instrument´e les troncs d’arbres d’architec-tures tr`es diff´erentes : un cypr`es, un eucalyptus, un araucaria et un palmier, Figure 1.10. L’analyse spectrale de signaux enregistr´es sur les jauges de d´eformation, lors d’une exci-tation par le vent, a mis en ´evidence des spectres tr`es distincts suivant l’importance du syst`eme ramifi´e des arbres consid´er´es. En effet, le pic de la fr´equence principale ´etait tr`es prononc´e dans le cas du palmier et du cypr`es, alors qu’il ´etait plus large dans les cas de l’araucaria et de l’eucalyptus, Figure 1.10.

Afin d’expliquer les diff´erents spectres observ´es, James et al. (2006) ont propos´e un mod`ele o`u l’ensemble du syst`eme ramifi´e de l’arbre serait un assemblage d’oscillateurs amortis, Figure 1.11. Les branches auraient ainsi le rˆole d’amortisseurs dynamiques envers le tronc. En effet, selon ce principe, la r´eponse `a l’excitation serait r´epartie sur l’ensemble de la structure, et non concentr´ee sur le tronc. Ce m´ecanisme aurait l’avantage de r´eduire l’amplitude des oscillations du tronc, dont la rupture nuirait `a l’int´egrit´e de la structure. Cette description souligne le rˆole de chacun des constituants de l’arbre dans la dynamique

Figure 1.10 – Arbres d’architectures contrast´ees ´etudi´es par James et al. (2006), et formes des spectres en fr´equence de leur r´eponse au vent.

au vent et fournit un premi`ere explication du rˆole du syst`eme ramifi´e. Cette explication du rˆole du syst`eme ramifi´e n’est malheureusement que qualitative. La v´erification de la participation des branches `a la dynamique des arbres analys´es n’a pu ˆetre confirm´ee dans leur ´etude, ´etant donn´e que seuls les mouvements des troncs ont ´et´e enregistr´es par des capteurs pos´es sur ceux-ci.

Figure 1.11 – Rˆole du branchage dans la r´epartition de l’excitation selon James et al. (2006).

Spatz et al. (2007) ont propos´e un concept analogue pour discuter le rˆole et l’int´erˆet de la ramification de l’arbre dans son interaction dynamique avec le vent. Un arbre dont toutes les fr´equences de branches seraient tr`es proches, constituerait un syst`eme

d’oscilla-teurs amortis coupl´es permettant une dissipation optimale de l’´energie. Cette dissipation optimale serait `a la fois due `a une r´epartition de l’excitation dans l’ensemble de la struc-ture, et au transfert de l’´energie entre les branches de fr´equences proches. La concentra-tion en fr´equence des branches de l’arbre et la diminuconcentra-tion progressive des fr´equences des branches (isol´ees exp´erimentalement de la structure) avec l’augmentation de la longueur de celles-ci ont ´et´e montr´ees sur un sp´ecimen de pin de Douglas. Il est cependant impor-tant de rappeler que les modes de vibrations d’une structure compos´ee de sous-structures assembl´ees ne sont pas les modes de vibrations de chaque structure s´epar´ee (Geradin & Rixen, 1994).

Les ´etudes de Baker (1997), James et al. (2006) et Spatz et al. (2007) montrent donc une influence de l’ensemble du syst`eme branch´e de l’arbre sur la r´eponse de son tronc `a une excitation par le vent. Les mod`eles conceptuels propos´es par James et al. (2006) et Spatz et al. (2007) expliquent cette influence par le rˆole dynamique des branches des arbres dans la r´eponse au vent. Malheureusement, la participation des branches `a la r´eponse de l’arbre n’a pour l’instant pas ´et´e montr´ee exp´erimentalement. De plus, ces concepts, mˆeme s’ils proposent un rˆole des branches dans la dynamique, ne permettent pas de quantifier ce rˆole. Et ils ne permettent pas non plus de comparer une g´eom´etrie d’arbre ramifi´e `a une autre.

1.4.2

La mod´

elisation de la dynamique de l’arbre au vent

La mod´elisation m´ecanique de la dynamique de l’arbre au vent permet de rendre compte des efforts appliqu´es `a l’arbre et d’´etudier la r´eponse de celui-ci aux ´episodes ven-teux. Gardiner (1992) a propos´e un mod`ele unidimensionnel, applicable aux conif`eres, o`u les troncs de ceux-ci sont consid´er´es comme des poutres d’Euler en flexion, `a diam`etres variables. La masse du reste de l’arbre est prise en compte comme une masse ponctuelle situ´ee au centre de masse du branchage. L’effort a´erodynamique est lui aussi consid´er´e comme une force ponctuelle fonction de la surface foliaire de l’arbre. Ce type de mod`ele monomodal, propos´e aussi par Mayer (1987) dans le cas d’un diam`etre de tronc non va-riable (d´efilement nul), ne tient compte que de la masse des branches dans leur globalit´e, et non, par exemple, de leur r´epartition sur le tronc.

Pour essayer de mieux rendre compte de la dynamique de l’arbre au vent, Kerzenma-cher & Gardiner (1998) ont mod´elis´e la r´epartition massique sur le tronc de l’ensemble des branches, de mˆeme que la r´epartition sur le tronc de l’effort a´erodynamique. Cette augmentation de la complexit´e du mod`ele n’a pas permis de rendre compte de la r´eponse des pins au vent avec suffisamment de pr´ecision. Kerzenmacher & Gardiner (1998) ont ainsi sugg´er´e la n´ecessit´e de mod´eliser la dynamique des branches de l’arbre en plus de celle du tronc.

Plus r´ecemment, Moore & Maguire (2008), Sellier et al. (2008) et Sellier & Fourcaud (2009) ont d´evelopp´e des mod`eles num´eriques de la dynamique de l’arbre au vent, r´esolus par la m´ethode des ´el´ements finis, et incluant la dynamique des branches d’ordres deux et trois. L’effort a´erodynamique consid´er´e est lui aussi r´eparti sur les branches en fonction de la surface foliaire qu’elles portent. La meilleure description g´eom´etrique des arbres, permise par ces mod`eles plus complexes, reproduit mieux la dynamique de l’arbre au vent puisqu’elle prend en consid´eration la r´epartition de l’excitation sur plusieurs ordres de branches.

Cependant, comme l’ont fait remarquer respectivement Moore & Maguire (2008) et Sellier & Fourcaud (2009), ces mod`eles demandent une description intensive de la g´eom´etrie de l’arbre, alors que les r´esultats obtenus montrent une grande sensibilit´e aux param`etres g´eom´etriques. En d´epit de la meilleur compr´ehension du rˆole des branches dans la dynamique de l’arbre fournie par ces mod`eles, la port´ee de leurs r´esultats s’en trouve limit´ee. Ils sont couteux, et l’analyse d’un cas n’est pas g´en´eralisable du fait de la variabilit´e g´eom´etrique observ´ee entre esp`eces, Figure 1.10, mais aussi entre individus d’une mˆeme esp`ece suivant leurs conditions de croissance, Figure 1.9.

On voit donc tout d’abord le besoin de d´evelopper un mod`ele quantitatif et g´en´erique permettant de pr´edire l’organisation des caract´eristiques dynamiques de l’arbre en fonc-tion de la g´eom´etrie de son syst`eme ramifi´e, et de discuter l’effet de la variabilit´e archi-tecturale et biom´etrique des arbres.

Etant donn´e le coˆut des simulations de cas d’interaction vent-arbres, il a aussi ´et´e sou-lign´e le grand int´erˆet `a d´evelopper, `a partir du mod`ele de pr´ediction de l’organisation des caract´eristiques dynamiques, un mod`ele quantitatif et g´en´erique pr´edisant la r´epartition dans l’arbre de sa r´eponse `a une excitation par le vent en fonction de la g´eom´etrie de son syst`eme ramifi´e.

1.5

L’acclimatation m´

ecanique

L’arbre est un organisme en d´eveloppement continu et ces sollicitations m´ecaniques chroniques par le vent, discut´ees dans la partie pr´ec´edente, induisent une r´eponse physio-logique de celui-ci (Telewski, 2006). Cette modulation du d´eveloppement sous contraintes m´ecaniques, appel´ee thigmomorphog´en`ese, agit principalement sur la croissance des axes (Moulia et al., 2006), mais aussi sur les propri´et´es mat´erielles du bois nouvellement cr´e´e (Telewski, 1989).

La modulation du d´eveloppement agit `a la fois sur la croissance primaire et secon-daire (Moulia et al., 2006), et a ´et´e quantifi´ee dans le cas d’une plante soumise `a des flexions contrˆol´ees par Coutand & Moulia (2000) et Coutand et al. (2009). Une baisse de la croissance en longueur, induite par le stimulus en flexion, a ´et´e reli´ee `a l’int´egrale des d´eformations longitudinales sur la tige qui mod´elise la m´ecanoperception cumul´ee des d´eformations subies par l’ensemble des cellules de la tige (Coutand & Moulia, 2000). Une augmentation de la croissance en diam`etre en un endroit est reli´ee `a l’int´egrale des d´eformations induites au voisinage du point d’int´erˆet (Coutand et al., 2009). On d´eduit donc que l’acclimatation m´ecanique tend `a augmenter le diam`etre `a la base et le d´efilement du diam`etre le long de l’axe, mais aussi `a r´eduire sa longueur et son ´elancement.

Telewski (1989) a aussi mis en ´evidence que les flexions impos´ees `a des plantes tendent `a produire un bois ayant un plus faible module d’Young.

L’´etude des parties a´eriennes d’un peuplement de pins par Bruchert & Gardiner (2006) a mis en ´evidence l’acclimatation de l’arbre dans son ensemble. En caract´erisant le d´egr´e d’exposition au vent des arbres en fonction de leur distance `a la clairi`ere, Bruchert & Gardiner (2006) ont mis en ´evidence un ≪diam`etre `a hauteur de poitrine≫ (appellation

foresti`ere correspondant `a une hauteur de 1,3 m`etres au dessus du sol) et un d´efilement du tronc plus important pour les arbres les plus expos´es, de mˆeme qu’une hauteur plus faible et, en cons´equence, un ´elancement du tronc r´eduit. Plus largement, il est connu que le port des arbres isol´es est tr`es diff´erent de ceux de la mˆeme esp`ece en couvert (voir Figure 1.9). La r´eponse thigmomorphog´en´etique au vent est tr`es probablement impliqu´ee dans cette diff´erence (Telewski, 2006; Moulia et al., 2006), tout en ´etant combin´ee dans des proportions inconnues aux r´eponses morphog´eniques induites par d’autres facteurs (lumi`ere, temp´erature, etc.).

ne faut pas non plus n´egliger l’excitation par le vent des parties souterraines responsables, entre autres, de l’ancrage au sol : Il en r´esulte une modification de l’allocation de masse entre les parties a´eriennes et souterraines (Coutand et al., 2008), ce qui `a terme renforce l’ancrage au sol de l’arbre.

De mani`ere ´etonnante, aucune ´etude ne semble avoir port´e sur les effets thigmomor-phog´en´etiques du vent sur le positionnement et le dimensionnement de la ramification (mˆeme si les arbres en situations vent´ees ont visiblement des morphologies modifi´ees tra-duisant une forte modulation de leur d´eveloppement par le vent), Figure 1.12.

Figure 1.12 – Arbre dont le d´eveloppement et la ramification ont ´et´e modul´es par le vent (MR, Puy Pariou, mars 2008).

L’excitation chronique de l’arbre par le vent est donc responsable d’une modulation de son d´eveloppement. Cette modulation est d’autant plus importante pour la croissance et la survie de l’arbre qu’il va ˆetre soumis au cours de son d´eveloppement architectural `a des vents impliquant des efforts m´ecaniques croissants (Moulia et al., 2006) : d’autant plus forts que l’arbre grandit, tout en ayant une prise au vent croissante avec le d´eveloppement de son syst`eme ramifi´e et de son feuillage. On comprend ainsi l’importance d’une acclima-tation thigmomorphog´en´etique au vent. Cependant, ce sont les d´eformations de l’arbre, et non l’excitation elle-mˆeme, qui sont `a l’origine de la thigmomorphog´en`ese (Moulia et al., 2006). Or, ce sont les caract´eristiques dynamiques de l’arbre qui d´eterminent les d´eformations r´esultant d’une excitation. Ceci fait des caract´eristiques dynamiques de l’arbre un maillon central de sa chaˆıne d’acclimatation m´ecanique, Figure 1.13. De plus,

ces caract´eristiques dynamiques sont fonction de la g´eom´etrie, des propri´et´es mat´erielles de l’arbre, et de son encastrement. Autant de param`etres qui sont modifi´es par le proces-sus d’acclimatation.

Malheureusement, il n’y a pas eu pour l’instant d’´etude s’´etant int´eress´ee `a l’´evolution temporelle des caract´eristiques dynamiques d’arbres au cours de leurs d´eveloppements, et notamment au lien entre l’´evolution de leurs caract´eristiques dynamiques et leurs croissances g´eom´etriques. Ce qui est pourtant un point central pour la compr´ehension du m´ecanisme d’acclimation m´ecanique de l’arbre.

Figure 1.13 – Sch´ema de la chaˆıne d’acclimatation m´ecanique de l’arbre au vent.

1.6

Probl´

ematique de la th`

ese

Les caract´eristiques dynamiques de l’arbre sont un point central de son interaction dy-namique avec le vent. D’elles d´ependent les d´eformations induites, autant dans le contexte du vent chronique, responsable d’une acclimatation m´ecanique de l’arbre, que dans le cas d’un ´episode venteux exceptionnel o`u sa r´esistance m´ecanique est en jeu. Or l’arbre est un organisme en d´eveloppement continuel par la croissance de ces axes et leurs ramifications. Le deuxi`eme chapitre de th`ese d´eveloppe donc la question suivante :

Pour apporter une r´eponse `a cette question, la premi`ere fr´equence modale de peupliers est suivie au cours de leurs d´eveloppements. L’´evolution des fr´equences des plantes est ensuite analys´ee en rapport avec leurs croissances g´eom´etriques. Il est ensuite d´evelopp´e un mod`ele m´ecanique de la flexion de la tige d’une plante, permettant de pr´edire sa premi`ere fr´equence modale en fonction de sa g´eom´etrie, et ainsi de discuter dans quelle mesure la croissance g´eom´etrique des plantes suivies explique l’´evolution dans le temps de leurs fr´equences.

Ce d´eveloppement des arbres par la croissance de leurs axes et leurs ramifications r´esulte en une grande vari´et´e de g´eom´etries, dues `a la fois aux diff´erents mod`eles archi-tecturaux suivis, et `a l’interaction des arbres avec leurs environnements qui modulent leurs d´eveloppements. Pourtant aucun mod`ele m´ecanique ne permet d’expliquer quan-titativement l’influence de la g´eom´etrie de l’arbre sur l’organisation spatiale de ses ca-ract´eristiques dynamiques, c’est `a dire o`u sont localis´es les d´eplacements modaux et `a quelles fr´equences modales sont-ils associ´es, ce qui permettrait ensuite d’´etudier le rˆole de la g´eom´etrie de l’arbre dans la r´epartition de sa r´eponse `a l’excitation par le vent. Le troisi`eme chapitre de th`ese d´eveloppe ainsi la question suivante :

Existe-il une organisation spatiale des caract´eristiques dynamiques de l’arbre ? Pour r´epondre `a cette question, les modes de vibration de quatre arbres de dimen-sions et d’architectures distinctes sont d’abord d´etermin´es et compar´es. Il est ensuite d´evelopp´e un mod`ele pr´edisant l’organisation spatiale des caract´eristiques dynamiques de l’arbre selon sa g´eom´etrie. Celui-ci est obtenu par une analyse dimensionnelle du probl`eme, afin de d´eterminer des lois d’´echelle pr´edisant les caract´eristiques des modes de vibration de l’arbre. La g´eom´etrie de l’arbre est caract´eris´ee par un nombre r´eduit de pa-ram`etres biom´etriques qui permettent de d´ecrire un maximum de g´eom´etries en utilisant un minimum de param`etres, mais tout en couvrant un maximum de possibilit´es. Enfin, les pr´edictions par les lois d’´echelle sont compar´ees aux caract´eristiques dynamiques des arbres analys´es pr´ec´edemment. Les lois d’´echelles permettent de discuter l’influence de la g´eom´etrie de l’arbre sur l’organisation spatiale de ses caract´eristiques dynamiques.

Dans la mesure o`u un mod`ele pr´edictif de la r´epartition spatiale des caract´eristiques dynamiques de l’arbre est d´evelopp´e, il ouvre la voie `a la possibilit´e de pr´edire de mani`ere

g´en´erique la r´epartition dans l’arbre de sa r´eponse `a une excitation par la vent. Le quatri`eme chapitre de th`ese d´eveloppe finalement la question suivante :

Comment est r´epartie dans l’arbre la r´eponse `a une excitation par le vent ? Dans une premier temps, la force d’interaction a´erodynamique, entre le vent et l’arbre, est d´ecompos´ee selon trois contributions : la traˆın´ee a´erodynamique statique, l’amortis-sement a´erodynamique lin´eaire et l’excitation al´eatoire par la turbulence. La r´epartition de la r´eponse `a chaque source est mod´elis´ee. Ensuite, l’analyse dimensionnelle de chaque composante projet´ee sur les modes, et sa combinaison avec les lois d’´echelle pr´edisant l’´evolution des caract´eristiques modales, permet de d´evelopper de nouvelles lois d’´echelle. Celles-ci comparent les contributions des diff´erents modes de l’arbre `a la r´eponse `a l’excita-tion, toujours en fonction de param`etres biom´etriques d´ecrivant la g´eom´etrie de celui-ci. Elles permettent de discuter l’effet de l’architecture de l’arbre sur la r´epartition de la r´eponse au vent.

Une derni`ere partie permet ensuite de revenir sur les r´eponses apport´ees `a toutes ces questions et d’´elaborer les perspectives ouvertes par ces nouvelles conclusions.

Evolution temporelle de la

dynamique de l’arbre

L’´evolution temporelle des caract´eristiques dynamiques de l’arbre au cours de son d´eveloppement n’a pas encore ´et´e explor´ee. C’est pourtant un aspect central de l’inter-action dynamique, `a long terme, de l’arbre avec le vent. Une approche exp´erimentale de ce probl`eme est maintenant pr´esent´ee. Elle consiste `a suivre la fr´equence du premier mode de vibration de plantes au cours de leur d´eveloppement. Un mod`ele m´ecanique de la plante en flexion pr´edisant sa premi`ere fr´equence modale en fonction de sa g´eom´etrie est aussi d´evelopp´e. Il permet de discuter dans quelle mesure la croissance g´eom´etrique explique l’´evolution dans le temps de la fr´equence.

2.1

Exp´

erience de suivi des fr´

equences de peupliers

2.1.1

Le mat´

eriel v´

eg´

etal

Quatorze jeunes peupliers (Populus alba) issus de microboutures par rejets sur plantes m`eres ont ´et´e utilis´es. Il s’agit de clones au mˆeme stade de d´eveloppement et dans le mˆeme ´etat physiologique. Ces plantes, une fois dans des pots contenant de la perlite, ont ´et´e mises en place sur une table de culture avec subirrigation fertilisante (10 minutes, trois fois par jour : 6h, 16h, 23h, m´elange N-P-K : 20%-20%-20% `a 0,5g/L). L’ensemble du syst`eme ´etait install´e sous serre, dans des conditions thermiques semi-contrˆol´ees (_{≤ 25}◦

) par refroidissement automatique. Les plantes telles qu’elles ´etaient install´ees en serre sur la table de culture sont pr´esent´ees `a la figure 2.1.

(a) (b)

Figure 2.1 – (a) Montage exp´erimental avec les peupliers sur la table de croissance, et (b) photo d’une plante avant son excitation m´ecanique journali`ere.

L’exp´erience a eu lieu du 21 aoˆut au 25 septembre 2008. Au d´ebut de l’exp´erience, les plantes avaient une hauteur moyenne de 77,5 cm (´ecart-type : 10,6 cm), et un diam`etre moyen de 5,6 mm (´ecart-type : 0,6 mm). A la fin de l’exp´erience, elles avaient une hauteur moyenne de 92,5 cm (´ecart-type : 11,42 cm), et un diam`etre moyen `a la base de 8,6 mm (´ecart-type : 0,6 mm). Elles ont donc grandi en moyenne de 19,4%, et leurs diam`etres `a la base ont augment´e en moyenne de 53,6%.

2.1.2

Le protocole de l’exp´

erience

Une excitation m´ecanique journali`ere etait appliqu´ee aux plantes. Il s’agit d’un d´epla-cement lat´eral impos´e, ´egal `a un dixi`eme de la hauteur de la plante, et appliqu´e au deux tiers de sa hauteur, Figure 2.2. La mise en traction, jusqu’`a la position souhait´ee, ´etait effectu´ee `a l’aide d’un moteur appliquant un d´eplacement de 0,9 mm/s. Une fois la condi-tion de d´eplacement impos´e obtenue, celle-ci ´etait conserv´ee durant une minute. Deux conditions de retour distinctes ´etaient impos´ees, chacune `a une moiti´e de plantes : traite-ment ≪retour lent≫, et traitement ≪lˆacher≫). Traitement ≪retour lent≫ : Les plantes

paires ´etaient ramen´ees par le moteur jusqu’`a sa position initiale, `a une vitesse identique `a celle de la mise en flexion. Traitement ≪lˆacher≫: Les plantes impaires ´etaient lˆach´ees

par une rupture du fil de traction `a l’aide d’une flamme. Avant le d´ebut de l’exp´erience, les plantes ont ´et´e appari´ees deux `a deux sur des crit`eres de taille (hauteur de la tige, diam`etre `a la base, nombre de feuilles). Puis chaque paire a ´et´e r´epartie entre les deux types de traitements, afin de contrˆoler encore mieux la variabilit´e inter-plantes.

Figure 2.2 – Sch´ema des conditions du lˆacher appliqu´e journali`erement aux peupliers.

D´etermination de la fr´equence

Le retour des plantes impaires, qui s’effectuait par des oscillations amorties, ´etait film´e tous les trois jours afin de d´eterminer ult´erieurement la fr´equence du premier mode de

vibration par traitement de vid´eos. La premi`ere fr´equence modale des plantes impaires ´etait donc r´eguli`erement mesur´ee.

Afin de d´eterminer les fr´equences d’oscillations, l’analyse se concentrait sur une ligne horizontale de la vid´eo. La figure 2.3a montre l’´evolution d’une ligne analys´ee. Le d´epla-cement de la plante entre deux images successives est obtenu par la recherche du maxi-mum de corr´elation entre cette mˆeme ligne, mais prise `a deux pas de temps successifs. Obtenir le d´eplacement entre deux images successives permet de reconstruire la vitesse d’oscillation de la plante entre chaque image, Figure 2.3b. La fr´equence des oscillations est ensuite d´etermin´ee par ajustement de la vitesse des oscillations amorties d’un syst`eme dynamique `a un degr´e de libert´e sur l’´evolution temporelle, d´eduite par corr´elation entre pas de temps successifs, Figure 2.3b.

(a) (b) 0 1 2 3 4 −500 −250 0 250 500 t(s) ∆y/∆t (p/s)

Figure2.3 – D´etermination de la fr´equence du premier mode de vibration des plantes par enregistrement et analyse des vid´eos de lˆachers. (a) Exemple d’´evolution de la composante verte de la vid´eo sur une ligne. (b) (_{·) Vitesse d’oscillation d´eduite de (a) par corr´elation} entre les pas de temps successifs, et courbe interpol´ee des oscillations amorties d’un syst`eme `a un degr´e de libert´e.

D´etermination de la g´eom´etrie

De plus, des mesures g´eom´etriques de l’ensemble des plantes ´etaient effectu´ees avec la mˆeme r´egularit´e que les mesures des fr´equences. La longueur des plantes ´etait mesur´ee par

l’analyse de photos prises apr`es avoir plac´e une ´echelle `a cot´e de la plante. Le d´efilement des tiges des plantes ´etait obtenu par une mesure du diam`etre prise tous les dix centim`etres depuis la base, et jusqu’`a environ trente centim`etres du bourgeon terminal, afin d’´eviter d’appliquer un stress m´ecanique dans la zone de la plante o`u a lieu la croissance primaire. Outils statistiques

Des mod`eles statistiques (suivant les cas lin´eaires par morceaux, lin´eaires et non lin´eaires globaux mixtes) sont ajust´es aux mesures de la premi`ere fr´equence modale des plantes et de la g´eom´etrie de leurs tiges (diam`etre `a la base, longueur, d´efilement du diam`etre) afin de d´eterminer un mod`ele d’´evolution moyenne pour chaque quantit´e. Des test de conformit´e sont aussi effectu´es dans le but de v´erifier si les r´esultats observ´es sont statistiquement significatifs.

2.1.3

Deux r´

egimes d’´

evolution des fr´

equences

L’´evolution de la fr´equence du premier mode de la plante 1, mesur´ee tout au long de l’exp´erience, est pr´esent´ee `a la figure 2.4 (les ´evolutions des autres plantes sont montr´ees en Annexe A.1). La fr´equence de la plante 1 varie entre 1,21 et 1,42 Hertz. Cela cor-respond `a une variation globale de 17,4% sur les 35 jours de l’exp´erience. L’´evolution se d´ecrit selon deux r´egimes tr`es distincts l’un de l’autre :

- Un premier r´egime (I) dure environ 20 jours. La fr´equence du premier mode reste quasiment constante pendant ce r´egime. En effet, on observe une variation de 3,3%, pro-bablement de l’ordre de l’incertitude de notre mesure.

- Le deuxi`eme r´egime (II) dure les 15 derniers jours de l’exp´erience. La fr´equence du pre-mier mode de la plante augmente lin´eairement, ce qui repr´esente une variation de 16,4% sur le deuxi`eme r´egime d’´evolution de la fr´equence.

0 5 10 15 20 25 30 35 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

J

f (Hz)

Figure 2.4 – Evolution temporelle de la premi`ere fr´equence modale mesur´ee pour la plante 1. Les ´evolutions pour les autres plantes sont pr´esent´ees en Annexe A.1.

Afin d’obtenir une description globale des fr´equences de l’ensemble des plantes, un mod`ele lin´eaire par morceaux, ´equation 2.1, a ´et´e ajust´e `a l’ensemble des ´evolutions des premi`eres fr´equences modales des plantes suivies par un lˆacher. Ce mod`ele d’´evolution de la fr´equence, fi, s’´ecrit sous la forme :

fi(j) =

(

ai j + bi+ ǫi,j, si j ≤ jt

ci (j− jt) + (ai jt + bi) + ǫi,j, si j ≥ jt

(2.1)

O`u i est le num´ero de la plante, et j est le jour de mesure. L’erreur de r´egression pour la plante i au jour j est ǫi,j. Le jour de transition entre les deux r´egimes lin´eaires est jt.

Les moyennes et les ´ecart-types de chaque coefficient de la r´egression lin´eaire par morceaux, ainsi que du jour de transition, sont rassembl´es au tableau 2.1. Le maximum des ´ecart-types d’erreurs de r´egression obtenus pour chaque plante est 0,027, alors que le coefficient de d´etermination minimum est de 94%. L’ajustement de r´egressions lin´eaires par morceaux aux ´evolutions dans le temps des premi`eres fr´equences modales des plantes, est donc tout `a fait satisfaisant. La r´egression par morceaux obtenue pour la premi`ere plante est pr´esent´ee `a la figure 2.5a.

Une ´evolution moyenne est obtenue `a partir des r´egression lin´eaires ajust´ees pour chaque plante, 2.5b. Cette ´evolution moyenne suit, elle-aussi, une r´egression lin´eaire par morceaux, dont les cofficients sont les moyennes donn´ees au tableau 2.1.