L’effort a´erodynamique statique

La force a´erodynamique statique appliqu´ee `a l’arbre a ´et´e pr´esent´ee `a l’´equation 4.2. Afin d’´etudier la r´epartition dans l’arbre de la r´eponse `a la traˆın´ee statique, la force est projet´ee sur les modes de vibrations de l’arbre (Geradin & Rixen, 1994), ce qui permet d’analyser la r´eponse par comparaison des contributions modales. En effet, dans le cas d’un probl`eme statique, la r´eponse `a l’excitation peut s’analyser en utilisant la d´ecomposition sur base modale et en effectuant la somme des contributions modales, comme dans le cas d’une excitation dynamique. La force projet´ee sur un mode de vibration s’´ecrit : FN = 1 2ρCdU 2 Z Ω D|eU∧ s| 2 e(s,U )· ϕ_N(s)ds (4.5)

o`u le champ de d´eplacement modal du mode N s’´ecrit ϕ_N, s est l’abscisse curviligne le long de l’arbre, et eU est le vecteur directeur du vent moyen.

Etant donn´e que les d´eplacements modaux sont transverses aux branches, ils sont dans le plan normal `a l’abscisse curviligne, ce qui implique e_{(s,U )· ϕ}

N(s) = eU· ϕN(s), soit : FN = 1 2ρCdU 2Z Ω D_{|eU ∧ s|}2e_{U · ϕ} N(s)ds (4.6)

L’´equation de l’´equilibre statique projet´ee sur un mode est :

kNqN = FN (4.7)

o`u qN est l’amplitude modale qui mesure la contribution du mode `a la r´eponse de l’arbre,

et kN est la raideur modale. La raideur modale peut s’´ecrire en fonction de la masse

modale, mN et de la pulsation modale, ωN : kN = mNωN2. On obtient ainsi la contribution

de chaque mode `a la r´eponse de l’arbre, induite par la traˆın´ee statique, en fonction de la projet´ee modale de la force et des caract´eristiques modales :

qN = 1 kN FN = 1 mNω2N FN (4.8)

L’expression sous forme d´evelopp´ee de la contribution modale s’´ecrit : qN = ρCdU2 2mNωN2 Z Ω D_{|eU ∧ s|}2e_{U · ϕ} N(s)ds (4.9)

Etant donn´e que l’on s’int´eresse `a la forme g´en´erale de la r´epartition de la r´eponse `a la traˆın´ee a´erodynamique, on peut ´ecrire cette contribution modale en fonction de la vitesse longitudinale du vent, U , suppos´ee uniforme, en d´efinissant un facteur de contribution g´eom´etrique modale `a l’excitation a´erodynamique statique, d´ependant uniquement de la direction du vent : BN,U = Z Ω D_{|eU ∧ s|}2e_{U · ϕ} Nds (4.10)

La contribution modale se r´eecrit ainsi sous la forme : qN =

ρCdBN,U

2mNωN2

U2, (4.11)

o`u sont s´epar´es l’effet de la direction du vent et l’effet de son intensit´e sur l’amplitude modale r´esultante.

Ainsi l’´etude d’un cas d’arbre en particulier se r´esume `a la d´etermination des facteurs de contributions modales, BN,U, qui fournissent une ´evaluation pr´ecise de la r´epartition

de la r´eponse `a la traˆın´ee statique induite par le vent. Ce calcul n´ecessite uniquement de connaˆıtre la g´eom´etrie tridimensionnelle de l’arbre, par exemple `a partir de sa num´erisation pr´ealable selon la m´ethode de Sinoquet & Rivet (1997).

Malheureusement, cette approche au cas par cas ne laisse, une fois de plus, que peu de place `a la g´en´eralisation. Par contre, une analyse dimensionnelle de la contribution modale permet de d´evelopper une loi d’´echelle de la r´epartition de la r´eponse `a l’effort a´erodynamique statique dˆu au vent. Des lois d’´echelle pour la pulsation modale et pour la masse modale ont ´et´e d´evelopp´ees respectivement dans le chapitre 3 et dans Rodriguez et al. (2008) :

ω_{∼ dl}−₂

(4.12)

m_{∼ d}2l (4.13)

La masse volumique de l’air est ind´ependante de la g´eom´etrie, et, au premier ordre, on peut effectuer la mˆeme approximation pour le coefficient de traˆın´ee. Il suffit donc d’analyser dimensionnellement l’int´egrale contenue dans la d´efinition du coefficient BN,U,

sion. Le domaine sur lequel est d´efinie l’int´egrale d´epend de l’´echelle de longueur l, et la fonction int´egr´ee d´epend de l’´echelle de longueur transverse d. On obtient :

B _{∼ dl} (4.14)

Et en utilisant la relation allom´etrique d´ecrivant l’´elancement dans l’arbre qui relie ces deux ´echelles de longueur, on a :

B _{∼ d}(1+β)/β _{∼ l}1+β (4.15)

On en d´eduit ensuite la loi d’´echelle pour la r´epartition de la r´eponse `a l’effort a´ero- dynamique statique dˆu au vent :

q _{∼ d}−3

l4 _{∼ d}4/β−3_{∼ l}4−3β (4.16)

Ainsi dans le cas d’un arbre `a ramification sympodiale, le rapport entre les contribu- tions modales s’´ecrit :

qN qI = dN dI (4−3β)/β = lN lI 4−3β , (4.17)

et en tenant compte du param`etre biom´etrique d´ecrivant la r´eduction des sections `a la ramification, on obtient :

qN

qI

= λ(N −1)(4−3β)/2β _(4.18)

Cette loi d’´echelle pr´edit ainsi la r´epartition de l’excitation a´erodynamique statique, dans le cas de l’arbre sans feuille, uniquement en fonction de deux param`etres descriptifs de la g´eom´etrie de l’arbre.

Illustrons la r´epartition de la r´eponse pr´edite par cette loi d’´echelle dans le cas d’un arbre sympodial, ayant un ´elancement β = 3/2, et un coefficient de r´eduction des sections `a la ramification λ = 1/2, Figure 4.2. L’amplitude modale relative `a celle de premier groupe de modes, trac´ee en fonction du groupe de modes, est une fonction faiblement croissante. On pr´edit, par cette mod´elisation de la traˆın´ee, une r´eponse fortement multi- modale de cet arbre `a l’excitation a´erodynamique statique.

Dans la plage typique de variation des coefficients allom´etriques d´ecrivant l’´elancement des branches (1 ≤ β ≤ 2), la contribution modale est une fonction croissante du groupe de mode, ce qui signifie que plus les modes sont localis´es dans des branches d’ordres sup´erieurs, plus ils contribuent `a la r´eponse. De mˆeme, une r´eduction des sections plus forte augmente la contribution relative des groupes de modes d’ordre sup´erieurs. Il y a, dans tous les cas, une r´eponse multimodale de l’arbre `a la traˆın´ee statique.

1 2 3 4 0 0.5 1 1.5 2 2.5

N

Figure 4.2 – R´epartition modale de la r´eponse `a un effort a´erodynamique statique du au vent, dans le cas d’un arbre sympodial avec un coefficient d’´elancement, β = 3/2, et un coefficient de r´eduction de la section `a la ramification, λ = 1/2.