Algèbre linéaire partie 01 / 4e  / 20-21

ALGÈBRE LINÉAIRE

PARTIE 01

4

ème

_année

2.1 Calcul matriciel

1

2.1.1 Introduction

1

2.1.2 Opérations sur les matrices

3

2.1.3 Déterminant d’une matrice carrée

16

2.1.4 Résolution d’un système d’équations

linéaires n×n

22

2.1.5 Matrices carrées inversibles

28

2.1.6 Ce qu’il faut absolument savoir

37

AVANT-PROPOS

 Ce document a été conçu pour l’enseignement des mathématiques dispensé au Collège de

Genève en quatrième année, en algèbre linéaire. Cela dit, il peut servir de support de cours

pour d’autres filières d’enseignement.

 Vous trouverez dans ce chapitre de la théorie (définitions, théorèmes, démonstrations, etc.) et des exercices qui vous permettront progressivement de vous familiariser et de maîtriser les diverses notations et concepts mathématiques. À la fin du chapitre se trouvent les solutions des exercices.

 La théorie et les exercices accompagnés d’un astérisque (*), sont destinés aux élèves ayant choisi l’option, niveau avancé (MA2).

 Pour mieux repérer les points importants de la théorie, les définitions sont dans un encadré

blanc et les théorèmes dans un encadré grisé.

 Pour vérifier votre niveau de compréhension à la fin de l’étude d’un sous chapitre, vous pouvez vous référer à la section : « Ce qu’il faut absolument savoir ».

 Des QR CODES apparaissent à certains endroits du cours. Une fois scannés avec vos smartphones, ils donnent (aux personnes ayant un compte EDUGE) accès à la lecture de vidéos dont le contenu est en lien avec certains sujets du cours.

 Vous pouvez télécharger ce document au format PDF à l’adresse suivante :

http://www.sismondi.ch/disciplines/mathematiques/espace-perso-profs/serge-picchione

 Pour finir, un grand merci aux collègues de divers établissements scolaires qui ont partagé leurs cours : Nicolas Chabal, Yves Drevous, Bernard Gisin, Alain Klopfenstein, Maurizio Lalicata, Bernard Lenggenhager, Romanita Nagy Gauxachs, Adrien Schleining et Serge Zoutter.

2.1 Calcul matriciel

2.1.1 Introduction

Définitions

Soient n et p deux entiers naturels non nuls. On appelle matrice de format n×p un tableau

à n lignes et p colonnes :

( )

…    _…    = =    _…    11 12 1 p 21 22 2 p ij n1 n 2 np a a a a a a A a a a a

   dont les aij sont des nombres réels

appelés éléments de la matrice.

L’élément a_ij a pour adresse la ième ligne et la jème colonne. Remarque

L’ensemble de toutes les matrices à coefficients réels de type n x p est noté M_n,p. Exemples a) =  _ −   1 3 1 A

0 1 2 est une matrice de format 2 3 × A∈M2,3

On a, par exemple, a₁₂ =3 et a₂₁=0. b) =  _

 

7 2 B

1 3 est une matrice de format 2 2× B∈M2,2

On a, par exemple, b₁₁ =7 et b₂₂=3.

c) Pour sauvegarder une image dans un ordinateur, on utilise une matrice de nombres réels qui indiquent pour chaque pixel (point-image) le niveau de gris correspondant (1 pour noir,

0 pour blanc).   =     0.38 0.75 0.55 P 0.00 1.00 0.41 P∈M2,3

La taille de ces matrices peut devenir énorme. Pour des photos numériques en couleur, on utilise trois matrices qui donnent les intensités de trois couleurs primaires : le rouge, le vert et le bleu (RVB).

Définition

Deux matrices sont égales si elles sont de même format et que tous leurs éléments correspondants sont égaux.

a) Les matrices

( )

4 0,5 0 9 2      ₋    et 2 1 / 2 0 3 16       sont égales. b) Les matrices _ _ −   1 3 1 0 1 2 et    ₋        1 0 3 1 1 2

ne sont pas égales car elles ne sont pas le même format.

Matrices particulières

On note A une matrice de type n×p .

1) Si n=1 , A est une matrice-ligne.

Par exemple, A= −

(

4 7 −2

)

A∈M_1,3 2) Si p = 1, A est une matrice-colonne.

Par exemple,     =  _{ } −   1 A 2 3 A∈M_3,1

3) Si =n p , A est une matrice carrée d’ordre n .

Les éléments a₁₁,a₂₂,a₃₃ ,.....a_nn constituent la diagonale principale de la matrice A. Par exemple, =  _

−

 

1 0 A

1 2 A∈M2,2 et a11=1 ,a22= −2 est la diagonale principale de A.

4) Si tout les éléments de A sont nuls, A est la matrice nulle ; elle est noté O.

Par exemple, la matrice nulle de format 3 4 est ×

    =       0 0 0 0 O 0 0 0 0 0 0 0 0 .

Matrices carrées particulières

On note A=

( )

a_ij une matrice carré d’ordre n.

1) Si a_ij =0 pour tout i≠ j , A est une matrice diagonale.

Par exemple,     =   3 0 0 A 0 4 0 A∈M

2) On appelle matrice identité de type n x n, la matrice diagonale dont tous les éléments de la diagonale principale valent 1 ; elle est notée In ou simplement I .

Par exemple,     =       3 1 0 0 I 0 1 0 0 0 1 ∈ 3 3,3 I M

3) Si a_ij =0 pour tout i> j , A est une matrice triangulaire supérieure. Autrement dit, les éléments au-dessous de la diagonale principale sont nuls. Si b_ij =0 pour tout i< j , B est une matrice triangulaire inférieure. Autrement dit, les éléments au-dessus de la diagonale principale sont nuls.

Par exemple,     =    ₋    3 7 7 A 0 4 10 0 0 2 −     =_ − _  ₋    3 0 0 B 4 5 0 4 4 2 A,B∈M_3,3

4) Si a_ij =a_ji pour tout i et j , A est une matrice symétrique.

Par exemple,     =    ₋    3 7 7 A 7 4 10 7 10 2 A∈M_3,3

2.1.2 Opérations sur les matrices

Définition

Soit A=

( )

a_ij et B=

( )

b_ij deux matrices de format n×p .

On définit la somme de deux matrices de même type par : C = +A B avec c a_ij= _ij +b _ij … … …        _…   _…   _…        = + = =        _…   _…   _…  + + + + + + + +       12 1 p 12 1 p 12 12 1 p 1 p 21 22 2 p 21 22 2 p 21 21 22 22 2 p 2 p n1 n 2 np n1 n 2 np n1 n1 n 2 n 2 np np a a b b a b a b a a a b b b a b a b a b A+ B C a a a b b b a b a b a b          11 11 11 11 a b a +b Exemple _  _{ }+ −  _{ }= _ −       1 2 1 3 0 5 1 2 1 3 3 6 Remarques

1) On ne peut additionner que des matrices de même format.

Soit A=

( )

a_ij une matrice de format n×p et λ  . ∈

On définit le produit d’une matrice A par un nombre réel λ de la manière suivante : C= ⋅λ A avec c a _ij= ⋅λ _ij … ⋅ ⋅ … ⋅      _…   _{⋅ ⋅ … ⋅}      ⋅ = ⋅ = =      _…   _{⋅ ⋅ … ⋅}      11 12 1 p 11 12 1 p 21 22 2 p 21 22 2 p n1 n 2 np n1 n 2 np a a a a a a a a a a a a A C a a a a a a λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ       Exemple ⋅_−  _{ }= − _     1 3 2 6 3 6 2 2 4

Remarque * La multiplication par un scalaire (nombre réel), précédemment définie, est une loi de composition externe sur M_n,p.

Propriétés de la somme et du produit par un scalaire

∀A,B∈M_n,p et∀λ µ  on a : , ∈

M1) A+ = +B B A M2)

(

A+B

)

+ = +C A

(

B+C

)

M3) ∃ ∈O M_n,p tel que A O+ = A M4) ∃ − ∈A Mn,p tel que A+ −

( )

A =O

M5) λ⋅(A+B)= ⋅ + ⋅λ A λ B M6)

(

λ µ+

)

⋅ = ⋅ + ⋅A λ A µ A M7) λ µ⋅

(

⋅A

) (

= λ µ⋅

)

⋅A M8) ∃ ∈1  tel que 1 A⋅ = A (démonstration en exercice) Exemple Si =  _ −   1 2 A 1 3 alors − −   − =     1 2 A 1 -3 et

( )

− −       + − =_{  }+ _{ }= _= −       1 2 1 2 0 0 A A O 1 1 0 3 -3 0 Remarque *

L’ensemble M_n,p muni des deux lois de compositions définies ci-dessus est un espace vectoriel sur  de dimension n⋅p.

Définition

Soit A=

( )

a_ij une matrice de format m x n et B=

( )

b_ij une matrice de format n x p. On définit le produit de deux matrices par :

C= ⋅A B avec c_ij =a_{i 1}⋅b_{1 j}+a_{i 2}⋅b_{2 j}+... a+ _in⋅b_nj

Autrement dit, l’élément c_ij est le produit scalaire entre la ième _{ligne de la matrice A} et la jème _{colonne de la matrice B.}

1n 11 12 1 p 11 2 p 21 np n1 m1 m2 mn a a a _{... ....} b b _{... ...} ... ... ... ... _b b _{... ...} ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... _b b _{... ...} a a _... a               _{ }=       _ _      1j 2j i1 i2 in nj b b a a a b m n n p m p . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... A _× B_× = C _×                  ij c Exemples a) 2 x 2 2 x 2 2 x 2 3 7 3 1 2 6 7 A B C       ⋅ =  ₋    ₋        1 2 -1 5 3 b) 2 x 3 2 x 2 1 1 0 2 0 0 0 2 1 1 A B     ⋅    ₋      c) 2 x1 2 x 2 2 x1 1 3 10 A B C       ⋅ = ₋            1 2 2 10 4 d) 3 x1 3 x 3 3 x1 1 1 3 2 2 2 0 2 A B C − −           _{⋅ =}         ₋    ₋        1 -3 0 2 2 -5 -1

e) Cinq élèves a, b, c, d et e suivent un cours de mathématiques et ont eu trois épreuves à passer.

Ci-contre les résultats obtenus pour chacune des épreuves : Les épreuves sont pondérées de la manière suivante :

Épreuve 1 2 3

Pondération 0.2 0.2 0.6

La multiplication matricielle entre les deux matrices A et B donne une matrice C qui contient les moyennes de chaque élèves :





3 x 1 5 x 1 5 x 3 B C A 3,5 4,5 2 2,8 5,5 2,5 5,5 4,9 6 5 4,5 4,9 2,5 4,5 3,5 3,5       _{ }     _{ }    ⋅_{ }=    _{ }                  4,5 4,5 6 5,4 0, 2 0, 2 0,6 Épreuves 1 2 3 a 4.5 4.5 6.0 b 3.5 4.5 2.0 Élèves c 5.5 2.5 5.5 d 6.0 5.0 4.5 e 2.5 4.5 3.5

n’est pas possible car on a pas les bons formats.

transformation géométrique à chaque pointP x; y

(

)

(pixel) d’une image. Illustration

En particulier, appliquons sur les 5 points P ,P , P , P et P_{1 2 3 4 5} (pixels) qui caractérisent les sommets de la lettre

M

la transformation du plan définie grâce au produit matriciel suivant :







f f P M P P' x 0 1 x y y 1 0 y x − −         → =           _ _    



 

1 f 1 1 f P M P P ' 3 0 1 3 1 1 1 0 1 3 − − − −         → =       ₋    _ _    



 

2 f 2 2 f P M P P ' 3 0 1 3 3 3 1 0 3 3 − − − −   _→     ₌        ₋    _{}     …..



 

5 f 5 5 f P M P P ' 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 − − −         → =     ₋  ₋    _{}    

On obtient cinq « nouveaux » points P ' ,P ' , P ' , P ' et P '_{1 2 3 4 5} (pixels) caractérisant une « nouvelle lettre

M

» . Remarque 0 x y 1 1 -1

f

0 x y 1 1 -1 P1 P2 P3 P4 P5 P1’ P2’ P3’ P4’ _P 5’

O

O α Voici quelques transformations régulièrement utilisée dans les logiciels :

i) Rotation d'un angle α notéeR_α dans le sens anti-horaire par rapport à l’origine O du repère.

R cos( ) sin( ) M sin( ) cos( ) α α α α α −   =     Cas particulier : 90 R 0 1 cos( 90 ) sin( 90 ) M 1 0 sin( 90 ) cos( 90 ) −  −    =_{  }= _         

Utile en photographie pour passer du mode « portrait » en mode « paysage ».

ii) Symétrie orthogonale (axiale) notée S_θ par rapport à une droite faisant un angle de

θ

degrés avec l'axe horizontal et passant par l'origine O.

S cos( 2 ) sin( 2 ) M sin( 2 ) cos( 2 ) θ θ θ θ θ   =  ₋    Cas particulier : _y 90 S S 1 0 cos( 2 90 ) sin( 2 90 ) M M 0 1 sin( 2 90 ) cos( 2 90 ) −  ⋅ ⋅    = =_{  }= _ ⋅ − ⋅ _{ }       

Symétrie par rapport à l’axe vertical Oy.

iii) Homothétie de rapport k notée H_k par rapport à l’origine O du repère.

Si 0 < k < 1 cette transformation se nomme fréquemment

« réduction de facteur k ».

Si k > 1 cette transformation se nomme fréquemment

« agrandissement de facteur k ». k H k 0 M 0 k   =     Cas particuliers : 2 H 2 0 M 0 2   =     (agrandissement de facteur 2) 1/ 2 H 1 / 2 0 M 0 1 / 2   =     (réduction de facteur 1/ 2) O • θ

a) Pour que le produit matriciel soit possible, il faut que le nombre de colonnes de la première matrice soit égale au nombre de lignes de la seconde matrice. b) Pour insister sur les formats on peut écrire : A_{m n×} B_{n p×} = C_m×p

Propriétés de la multiplication matricielle

avec le format adéquat et

∀A,B,C ∀ ∈λ  on a : M9) A O⋅ = ⋅ =O A O M10) A I⋅ = ⋅ =I A A M11)

(

A B⋅

)

⋅ = ⋅C A

(

B C⋅

)

M12) λ⋅

(

A B⋅

) (

= λ⋅A

)

⋅ = ⋅B A

(

λ⋅B

)

M13) A⋅

(

B+C

)

= ⋅ + ⋅A B A C et

(

A+B

)

⋅ = ⋅ + ⋅C A C B C (démonstration en exercice) Exemples a) Si =  _ −   1 2 A 3 1 alors       ⋅ =_{  }⋅ _{ }= _= −       1 2 0 0 0 0 A O O 3 1 0 0 0 0 b) Si =  _ −   1 2 A 3 1 alors 1 2 1 0 1 2 A I A 3 1 0 1 3 1       ⋅ =_{  }⋅ _{ }= _= − −       Remarques

a) La multiplication n’est pas commutative (en général) : A B⋅ ≠ ⋅B A

       ⋅ = _            _{ ≠}       _ ⋅ =      _       1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0        ⋅ = _            _{ =}       _ ⋅ =      _       2 0 1 / 2 0 1 0 0 2 0 1 / 2 0 1 1 / 2 0 2 0 1 0 0 1 / 2 0 2 0 1

b*) L’ensemble M_n (matrices carrées d’ordre n) muni de la multiplication matricielle (loi de composition interne) et de la multiplication par un scalaire (loi de composition externe) n’est pas un espace vectoriel sur  de dimension n⋅n.

Définition

Si k est nombre entier positif et A une matrice carrée d’ordre n, on définit la puissance k e d’une matrice A par : k

k fois

A = ⋅ ⋅ ⋅_{}A A A ... A⋅ . Par convention, A est égale à la matrice 0 In.

Définition

Si A=

( )

a_ij est une matrice de format n x p alors t

( )

ij

A= c est une matrice de format p x n avec cij = aji . tA est la matrice transposée de A.

Exemples a) t 1 2 1 0 4 Si A alors 0 7 2 7 9 A 4 9   −   _{ } =_{ } =_{ }   ₋    A∈M_2,3 tA∈M_3,2 b) t

(

)

1 Si B 2 alors B 1 2 3 3     =_{ } =     t 3,1 B 1,3 B∈M ∈M c) Si C 3 5 alors tC 3 4 4 1 5 1     =_{ } =_{ }     t 2,2 C 2,2 C∈M ∈M

Propriétés de la transposition d'une matrice

et n,p A,B M λ ∀ ∈ ∀ ∈_{ on a :} M14) t

(

A+B

)

=tA+tB M15) t

(

λ⋅A

)

= ⋅λ tA M16) t

( )

tA = A M17) t

(

)

t t A B⋅ = B⋅ A (démonstration en exercice) Exercice 1

Effectuer, lorsque c’est possible, les opérations sur les matrices ci-dessous. 2 5 A 2 6 1 3     = −_{ }     2 0 9 B 4 3 8   =  ₋    C=

(

2 2 0,5

)

2 D 0 7 −     =       1 4 E 2 5   = ₋    1 0 F 0 1   =     a) E + F b) B + E c) 3 ⋅ D d) A ⋅ B e) B ⋅ A f) A ⋅ C g) C ⋅ A h) C ⋅ D i) D ⋅ C j) E ⋅ F k) A ⋅ F l) F ⋅ A m) E 2 _{n) A} 2 _o) t A A⋅ p) t

(

A B⋅

)

q) 3 C⋅ + ⋅4 D r) t

(

E+F

)

1) Calculer, quand cela est possible les produitsA B et ⋅ B A des matrices A et ⋅ B suivantes : a) =_ − _ =_− _     2 1 1 0 A B 1 2 1 2 b) − −     =_{ } =_{ }     0 1 1 2 A B 1 0 2 1 c) −         =_{ } =_{ } ₋        2 0 3 0 3 0 A 0 0 0 B 5 0 7 2 0 3 0 2 0 2) Que constate-t-on ?

3) L’égalité matricielle suivante est elle toujours vraie ?

(

+

)

2 = 2+ + 2

A B A 2 AB B . Justifier votre réponse

Exercices 3

1) Calculer les produits matriciels suivants :

a) ⋅ =_  _{ }⋅ _=     1 0 a c I A 0 1 b d b)     ⋅ =_{  }⋅ _=     a c 1 0 A I b d 0 1 c) ⋅ =_  _{ }⋅ _=     0 0 a c O A 0 0 b d d)     ⋅ =_{  }⋅ _=     a c 0 0 A O b d 0 0 e)         ⋅ =_{  }⋅ _=         1 0 0 a d g I A 0 1 0 b e h 0 0 1 c f i f)         ⋅ =_{  }⋅ _=         a d g 1 0 0 A I b e h 0 1 0 c f i 0 0 1 g)         ⋅ =_{  }⋅ _=         0 0 0 a d g O A 0 0 0 b e h 0 0 0 c f i h)         ⋅ =_{  }⋅ _=         a d g 0 0 0 A O b e h 0 0 0 c f i 0 0 0 2) Que constate-t-on ?

3) Soient A une matrice carrée d'ordre n et I la matrice identité d'ordre n.

Exercice 4

Vrai ou faux ? Justifier.

a) 1 0 0 1 4 2 1 2 0 2 0 1 0 0 2 3 0 0 0 0 2 1    _⋅  _{−  }_{⋅ }     _{ } _    

  _ _ est une matrice de format 3 2× .

b) Si 1 0 0 D 0 1 0 0 2 1     =       et A 1 4 0 2   =     alors 3

2⋅_D +4D_⋅A est une opération impossible.

c) La diagonale principale de T 3 2 1 4   = ₋    est : 2 et - 1 . d) B 2 1 3 4   =  

  est la transposée de la matrice

2 3 5 A 1 4 4   =     . e) C 1 0 1 2   =  

  est une matrice diagonale. f) Si A est une matrice carrée diagonale alors 2

A est diagonale.

g) Si une matrice carrée B est symétrique alors B est diagonale. h) Si une matrice carrée C est diagonale alors C est symétrique. i) Si A et B sont deux matrices carrées alors

(

)

2 2 2

A−B = A −2 AB+B Exercice 5 Soit λ µ , ∈ et =_ _ =_ _ =_ _∈       11 12 11 12 11 12 2 21 22 21 22 21 22 a a b b c c A , B et C M a a b b c c a) Montrer que : M1) A+ = +B B A M2)

(

A+B

)

+ = +C A

(

B+C

)

M3) ∃ O tel que A O+ = A M4) ∃ −A tel que A+ −

( )

A =O M5) λ⋅(A+B)= ⋅ + ⋅λ A λ B M6)

(

λ µ+

)

⋅ = ⋅ + ⋅A λ A µ A M7) λ µ⋅

(

⋅A

) (

= λ µ⋅

)

⋅A M8) ∃ ∈1  t.q. 1 A⋅ =A M9) A O⋅ = ⋅ =O A O M10) A I⋅ = ⋅ =I A A M11)

(

A B⋅

)

⋅ = ⋅C A

(

B C⋅

)

M12) λ⋅

(

A B⋅

) (

= λ⋅A

)

⋅ = ⋅B A

(

λ⋅B

)

M13) A⋅

(

B+C

)

= ⋅ + ⋅A B A C M14) t

(

_A+_B

)

=t_A+t_B M15) t

(

λ⋅_A

)

= ⋅λ t_{A M16)} t

( )

t_A = _A M17) t

(

)

t t A B⋅ = B⋅ A

a) Considérons la matrice carrée d’ordre 2 : A s 0 0 t

 

=  

  avec s,t∈

1) Quelle est la particularité de la matrice A ? Donner les éléments de la diagonale principale. 2) Calculer A et A2 3, puis dire ce que l’on peut conclure pour An lorsque n≥4 .

b) Considérons la matrice carrée d’ordre 3 :

s 0 0 B 0 t 0 0 0 u     =       avec s,t ,u∈

1) Quelle est la particularité de la matrice B ? Donner les éléments de la diagonale principale. 2) Calculer 2 3

B et B , puis dire ce que l’on peut conclure pour n

B lorsque n≥4 .

c) Considérons la matrice carrée d’ordre 3 :

0 1 0 C 4 2 8 1 0 2     = −_ − _ ₋   

Calculer C et C2 3, puis dire ce que l’on peut conclure pour Cn lorsque n≥4 .

d) Considérons les deux matrices carrées d’ordre 2 : D 1 2

0 1   =  ₋    et 1 0 I 0 1   =    

Montrer que D2n = pour tout I n∈*.

e) Considérons la matrice carrée d’ordre 2 : E 4 4

3 3 −   =  ₋    Montrer que n E = pour tout E n∈*.

Exercice 7 * ( Puissance d’une matrice et « conjugaison » )

Soient les matrices : 2

2 1 1 1 2 0 1 2 A , B , C et D M 1 1 1 2 0 3 1 4 −         =_{ } =_{ } =_{ } =_{ } ∈ − −         a) Montrer que A B⋅ = ⋅ = B A I b) Montrer que D= ⋅ ⋅A C B

1 2 3 4 1 2 F F F F I 10 3 6 4 B I 7 4 2 9   =     1 2 1 2 3 I I 4 5 P A 3 1 P 2 8 P     =      

Exercice 8 Transports publics

Une compagnie emploie 5 chauffeurs pour assurer ses deux lignes. Ils se répartissent les courses pour le week-end, de la façon suivante (les nombres représentent les heures de conduite) :

a) Déterminer une matrice A représentant la situation décrite le samedi. b) Déterminer une matrice B représentant la situation décrite le dimanche.

c) Lorsqu’un chauffeur conduit le bus, il est payé 32 Fr de l’heure. Pour le tram, le salaire est de 28Fr de l’heure. Construire une matrice C indiquant ces données.

Effectuer des opérations (multiplication et addition) entre les matrices A, B et C afin d’obtenir une matrice dont les éléments de cette matrice représentent le salaire de chaque chauffeur pour le week-end.

Exercice 9 Fabrication de produits

À partir de trois matières premières P ,P et P_{1 2 3}, on fabrique deux produits intermédiaires I et I_{1 2}. Les quantités de matières premières nécessaires à cette fabrication sont indiquées dans la matrice A suivante : La fabrication d’une unité de I₁ , par exemple, nécessite 4 unités de P₁ , 3 unités de P₂ et 2 unités de P₃ .

La confection des produits finis F ,F ,F et F_{1 2 3 4} requiert les produits intermédiairesI et I_{1 2} en quantité suivante : a) Calculer la matrice C= ⋅A B .

b) Que représente les éléments c_ij de cette matrice ?

Exercice 10 Les courses

André, Bernard et Cécilia achètent des œufs et de la viande. André achète 36 œufs, Bernard 12 et Cécilia 3 ; André achète 1 kg de viande, Bernard en achète 1.5 kg et Cécilia 0.5 kg.

a) Donner la matrice A de type 3 x 2 (c’est-à-dire à 3 lignes et 2 colonnes) qui représente cette situation.

b) Dans le magasin 1, les œufs coûtent 0.20 Fr. la pièce et la viande 22 Fr. le kilo. Dans le magasin 2, les œufs coûtent 0.30 Fr. la pièce et la viande 40 Fr. le kilo. Dans le magasin 3, les œufs coûtent 0.40 Fr. la pièce et la viande 38 Fr. le kilo.

Donner la matrice B de type 2 x 3 (c’est-à-dire à 2 lignes et 3 colonnes) qui représente cette situation.

c) Effectuer le produit matriciel A·B. Que représente cette matrice ? d) Peut-on aussi donner un sens à la matrice B·A ?

Samedi I II III IV V Bus 5 0 5.5 3.5 1 Tram 2.5 6.5 1.5 4 3 Dimanche I II III IV V Bus 0 6 4 2 3.5 Tram 7 0 2.5 4.5 4.5

Un fabriquant produit deux articles appelés X et Y. Les quantités d’acier, de plastique et de cuivre nécessaires à produire ces articles, ainsi que les prix unitaires de ces matières, sont donnés par les tableaux ci-dessous :

acier plastique cuivre

article X 2 3 5

article Y 1 4 4

Effectuer les calculs suivants en utilisant exclusivement des matrices et des opérations entre elles : a) Calculer le coût unitaire de chaque article.

b) Le fabricant reçoit une commande de 200 articles X et 300 articles Y. Calculer les quantités totales de chaque composant nécessaires à produire les articles de cette commande.

c) Calculer le coût de production total pour la commande ci-dessus.

d) Sachant que le prix de vente de l’article X est de 90 fr. et celui de l’article Y est de 80 fr. , calculer le prix de vente total pour la commande ci-dessus.

Exercice 12 (Traitement numérique des images) Soit un triangle de sommets P 0;0 , P₁

( ) (

₂ −2;8

)

et P 2;4₃

(

)

. Considérons les matrices M_S 0 1

1 0   =    , H 1 / 2 0 M 0 1 / 2   =     et R 0 1 M 1 0   = ₋   

qui définissent des transformations du plan.

a) Effectuer un produit matriciel entre la matrice M_Set les matrices représentant les points

P , P et P_{1 2 3}. On obtient ainsi trois matrices qui représentent trois nouveaux points P ' , P '_{1 2} et P '₃ . Représenter dans un même repère orthonormé le triangle de sommets P P P_{1 2 3} et le triangle de sommets P ' P ' P '_{1 2 3} .

Quelle est la transformation du plan générée par la matrice M_S ?

b) Faire de même qu’au point a) mais avec la matrice M_H, la matrice M_Ret la matrice M_T =M_R⋅M_H ⋅M_S.

prix acier 6 fr. plastique 4 fr. cuivre 10 fr.

Exercice 13 (Traitement numérique des images)

a) Déterminer, pour chaque transformation du plan ci-dessous (transformation de la lettre M en trait

plein en une lettre M en pointillé ) :

1) le type de transformation utilisée (symétrie, rotation, homothétie) 2) la valeur du paramètre définissant la transformation

(

angle d ' inclinaisonθ , angle de rotationα ou facteur d ' agrandissement / réduction k

)

. b) Dans chaque cas, calculer P’, l’image de P avec un des produits matriciels décrit ci-dessous :





S P P' M cos( 2 ) sin( 2 ) x x' sin( 2 ) cos( 2 ) y y' θ θ θ θ θ       =  ₋            





R P P' M cos( ) sin( ) x x' sin( ) cos( ) y y' α α α α α −       =             





Hk P P' M k 0 x x' 0 k y y'       =              i) ii) iii) iv) 0 x y 1 1 P

•

•

P’ 0 x y 1 1

•

P

•

_P’ 0 x y 1 1 P P’

•

•

0 x y 1 1

•

•

P P’

A

2.1.3 Déterminant d’une matrice carrée

Définition Soit …    _…         = ∈ … _ 11 12 1n 21 22 2n n n1 n 2 nn a a a a a a a a a A M

   une matrice carrée de format n x n.

On définit, par récurrence, une application : det : Mn

A det( A ) →

→



De la manière suivante :

• Si n = 1, c’est-à-dire si A=

( )

a , on pose : det A

( )

= a

• Si n > 1, notons A_ij la matrice obtenue de A en supprimant la ième ligne et la jème colonne

(c’est-à-dire la ligne et la colonne qui passent par l’élément a_ij) ; on pose alors (puisque A_ij∈M_{n 1−} ) :

det A

( )

=a₁₁⋅ −

( )

1 1 1+ ⋅det A

( )

₁₁ +a₂₁⋅ −

( )

1 2 1+ ⋅det A

( )

₂₁ +... a+ _n1⋅ −

( )

1 n 1+ ⋅d t Ae

( )

_n1 Le nombre det A

( )

est dit déterminant de la matrice A

et on le note habituellement :

( )

= … … … 11 12 1n 21 22 2n n1 n 2 nn a a a d a a a a a a et A    Exemples

a) Déterminant d’une matrice carrée d’ordre 1 : A= −

( )

3 alors det A

( )

= −3 b) Déterminant d’une matrice carrée d’ordre 2 :

Si =  − _ −   2 3 A 1 1 alors

( )

( )

( )

( )

( )

1 1 2 1 11 11 21 21 det A =a ⋅ −1 + ⋅det A +a ⋅ −1 + ⋅det A = ⋅ −2

( )

1 1 1+ ⋅det

( )

− + ⋅ −1 1

( )

1 2 1+ ⋅det

( )

− = − + =3 2 3 1 Plus généralement : Si 11 12 21 22 a a A a a   =     alors

( )

11 12 11 22 21 12 21 22 a a det A a a a a a a = = ⋅ − ⋅

Remarque : en géométrie vectorielle, le déterminant de deux vecteurs u et v ∈ (en valeur absolue) donne 2

c) Déterminant d’une matrice carrée d’ordre 3 : Si     = −_ − _  ₋    2 0 1 A 1 3 2 0 2 3 alors

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

1 1 2 1 11 2 3 1 11 1 21 31 31 2 0 1

det A 1 3 2 1 det A 1 det A 1 det A

0 2 3 3 2 0 1 0 1 2 1 1 1 a a a 0 1 10 2 0 12 2 3 2 3 3 2 + + + = − − = ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ − − = ⋅ ⋅ + − ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ = − − + = − − − −

Remarque : en géométrie vectorielle, le déterminant de trois vecteurs 3

u,v et w   ∈

(en valeur absolue) donne le volume du parallélépipède engendré par u,v et w   .

(

)

(

)

1 1 1 2 2 2 3 3 3

u v w

V Det u;v;w avec Det u;v;w u v w

u v w

=       =

Propriétés des déterminants

Proposition

Soit A∈M_n

1) det A

( )

=a_i1⋅ −

( )

1 i 1+ ⋅det A

( )

_i1 +a_{i 2}⋅ −

( )

1 i 2+ ⋅det A

( )

_{i 2} +....+a_in⋅ −

( )

1 i n+ ⋅det A

( )

_in i∈

{

1,2,3,...,n

}

(développement du déterminant selon la ie _ligne)

2) det A

( )

=a_{1 j}⋅ −

( )

1 1 j+ ⋅det A

( )

_{1 j} +a_{2 j}⋅ −

( )

1 2+j⋅det A

( )

_{2 j} +....+a_nj⋅ −

( )

1 n+j⋅det A

( )

_nj j∈

{

1,2,3,...,n

}

(développement du déterminant selon la je colonne)

(La démonstration de cette proposition, sort du cadre de ce cours et ne sera donc pas exposée ici).

Remarque

La proposition ci-dessus indique que l’on peut effectuer le calcul du déterminant relativement à n’importe quelle colonne ou ligne.

Exemple Soit     = −_ − _  ₋    2 0 1 A 1 3 2 0 2 3 • Développons A selon la 3e _{ligne :}

det( A ) 0

( )

1 3 1 0 1 2

( )

1 3 2 2 1

( ) ( )

3 1 3 3 2 0 0 6 18 12

3 2 1 2 1 3

+ + +

= ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ + − ⋅ − ⋅ = + − = −

− − − −

• Développons A selon la 3e _{colonne :}

det( A ) 1

( )

1 1 3 1 3

( ) ( )

2 1 2 3 2 0

( ) ( )

3 1 3 3 2 0 2 8 18 12 0 2 0 2 1 3 + − + + = ⋅ − ⋅ + − ⋅ − ⋅ + − ⋅ − ⋅ = − + − = − − Remarque

Lors du calcul d'un déterminant il faut choisir une ligne ou une colonne contenant un maximum de zéros pour minimiser le nombre de calculs.

Exercice 14

Rappel : On appelle diagonale principale d’une matrice carrée d’ordre n , les éléments a ,a ,...,a_{11 22 nn} de la matrice.

Calculer et simplifier (si nécessaire) le déterminant des matrices : a) triangulaires inférieures. =  _   3 0 A 4 5 11 21 22 b 0 B b b   =     3 0 0 C 4 2 0 5 5 7     =_ − _     11 21 22 31 31 33 d 0 0 D d d 0 d d d     =       b) triangulaires supérieures. 3 2 A 0 6 −   =  ₋    11 12 22 b b B 0 b   =     4 7 1 C 0 3 8 0 0 2 −     =       11 12 13 22 23 33 d d d D 0 d d 0 0 d     =       c) diagonales. 3 0 A 0 6   =  ₋    11 22 b 0 B 0 b   =     4 0 0 C 0 3 0 0 0 2     =       11 22 33 d 0 0 D 0 d 0 0 0 d     =      

d) possédant une colonne (ou une ligne) de « zéros ».

A 0 0 4 6   =  ₋    11 21 b 0 B b 0   =     4 1 0 C 4 4 0 1 2 0 −     =       11 12 13 21 22 23 d d d D d d d 0 0 0     =       e) de format 4x4 . 1 1 0 0 2 2 2 2 A 3 3 3 3 4 4 4 4       =       a 0 0 0 0 b 0 0 B 0 0 c 0 0 0 0 d       =       k k k k k k k k C k k k k k k k k k       = ∈       

f) Que constate-t-on concernant le calcul de ses déterminants ? Quels conjectures / propositions peut-on énoncer ?

3) Si tous les éléments d’une colonne (ou d’une ligne) d’une matrice carrée sont nuls alors son déterminant est nul.

4) Si la matrice est triangulaire inférieure, supérieure ou diagonale

alors le déterminant est donné par le produit des éléments de la diagonale principale.

Démonstration en exercice.

Proposition

Si A , B∈M_n et k∈

alors 5) det A B

(

⋅

)

=det A det B

( )

⋅

( )

6) det k A

(

⋅

)

=kn⋅det A

( )

7) det

( )

tA =det( A ) 8) det I

( )

_n =1

Démonstration en exercice pour le cas n = 2.

Exemples Soit k 3 et A 1 0 , B 1 3 M₂ 0 3 2 1     = ∈ =_{ } =_{ }∈      a) A B 1 0 1 3 1 3 0 3 2 1 6 3       ⋅ =_{  }⋅ _{ }= _       et 1 3 det( A B ) 15 6 3 ⋅ = = − det( A ) det( B ) 1 0 1 3 3

( )

5 15 0 3 2 1 ⋅ = ⋅ = ⋅ − = − b) det( 3 A ) 3 0 27 32 det( A ) 32 1 0 32 3 33 27 0 9 0 3 ⋅ = = ⋅ = ⋅ = ⋅ = = c) det B

( )

t 1 2 5 det B

( )

1 3 5 3 1 2 1 = = − = = − d) det I

( )

1 0 1 0 1 = =

Exercice 15 a) Soit A 2 1 et B 6 1 M₂ 1 3 0 1     =_{ } =_{ }∈    

En utilisant les propriétés des déterminants, calculer : 1) det 7 A I

(

⋅ ⋅

)

2)

(

t t

)

det A B⋅ ⋅ B A⋅ 3)

(

( )

5

)

det − ⋅2 A b) Soit ₃ 3 0 0 2 2 2 A 0 4 0 et B 0 2 2 M 0 0 1 0 0 2         =_{ } =_{ }∈  ₋       

En utilisant les propriétés des déterminants, calculer : 1)

( )

2

det A 2) det 3 B

(

⋅

)

3) det

(

( )

− ⋅ ⋅1 A B

)

Exercice 16 Soit k∈



et A a c , B x z , I 1 0 M₂ b d y t 0 1       =_{ } =_{ } =_{ }∈      

Démontrer que : a) det A B

(

⋅

)

=det A det B

( )

⋅

( )

b)

(

)

2

( )

det k A⋅ =k ⋅det A

c)

( )

t

( )

det A =det A d) det I

( )

=1 Exercice 17

a) Considérons les matrices suivantes :

1 1 1 2 2 2 3 3 3 x 0 0 1 x 0 1 0 x A x 1 0 , B 0 x 0 , C 0 1 x x 0 1 0 x 1 0 0 x             =_{ } =_{ } =_{ }            

En utilisant les propriétés des déterminants, calculer « efficacement » : det A B C

(

⋅ ⋅

)

. b) Considérons les matrices suivantes :

1 2 4 1 0 0 1 2 4 A 3 5 2 , L 3 1 0 , U 0 1 14 1 3 3 1 5 1 0 0 63             =_ − _ =_{ } =_ − − _ ₋  _{− −}   ₋       

Sachant que A= ⋅L U calculer « efficacement » :det A

( )

. Exercice 18

a) Soit la matrice =  

 

k k A

4 2k , déterminer les valeurs de k pour lesquelles det A

( )

=0.

b) Soit la matrice       =       1 1 1 1 x a 0 0 B x 0 b 0 x 0 0 c

2.1.4 Résolution d’un système d’équations

linéaires

n

x

n

Méthode 1

Résolution par « triangulation » d’un système d’équations linéaires 2 x 2

Exemple 2x y 4 2 y 2 x = +   _{= −}  Donnée :

Un système linéaire de 2 équations à 2 inconnues.

1 2 2x y 4 L x 2 y 2 L − =  ⇔  _{+ =} 

On réécrit le système. Chaque équation du système doit être écrit sous la forme : ax+by=c.

On numérote les équations.

1 1 2 1 2 2x y 4 L L 5x 10 L 2 L L  − = =  ⇔  = = ⋅ + 

On décide de conserver la première équation

et d’éliminer l’inconnue y dans la deuxième équation. Nous avons triangulé le système d’équations linéaires.

2x y 4 x 2 − =  ⇔  ₌ 

On peut trouver facilement la solution d’un système triangulé.

En effet, la deuxième équation d’un tel système est une équation à une inconnue en x.

y 0 x 2 =  ⇔  ₌ 

On substitue maintenant dans la première équation la valeur de x et on trouve y.

La première équation d’un tel système est une équation à une inconnue en y. 2 2 0 4 ok ! 2 2 0 2 ok ! ⋅ − =   + ⋅ =  Vérification.

S=

{

(

2 ;0

)

}

Le système admet une solution, qui est un couple

de nombres. Définition

Un système d’équations linéaires est dit triangulé si chaque équation de ce système possède une inconnue de moins que la précédente, la dernière équation ne possédant qu’une seule inconnue.

Méthode 2

Résolution par « la règle de Cramer » d’un système d’équations linéaires 2 x 2 Cas général Soit _ + = + =  11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 a x a x b ( S )

a x a x b un système de deux équations linéaires à deux inconnues x et x . 1 2

On veut résoudre ce système, en utilisant l’écriture matricielle. Nous pouvons écrire :





     _{⋅ =}             11 12 1 1 21 22 2 2 X B A a a x b a a x b 

L’inconnue est alors la matrice =      1 2 x X x

Calculons le produit entre la matrice A et la matrice I₁

( )

X obtenue en remplaçant la 1ère

colonne de la matrice identité I par la colonne des éléments de la matrice X :

( ) ( ) 1 1 11 12 1 11 1 12 2 12 1 12 21 22 2 21 1 22 2 22 2 22 A I X A B a a x 0 a x a x a b a a a x 1 a x a x a b a +         ⋅ = =      ₊              

Le résultat est la matrice A B obtenue en remplaçant la 1₁

( )

ère _{colonne de la matrice A} par la colonne des éléments de la matrice B.

Donc det A I

(

⋅ ₁

( )

X

)

=det A B

(

₁

( )

)

on effectue le calcul du det aux matrices

⇔det A det I

( )

⋅

(

₁

( )

X

)

=det A B

(

₁

( )

)

propriété du det :det A B

(

⋅

)

=det A

( ) ( )

⋅ B

⇔det A x

( )

⋅ =₁ det A B

(

₁

( )

)

calcul du det I

(

₁

( )

X

)

= ⋅ − ⋅ =x 1 x 0_{1 2} x₁

⇔

(

( )

)

( )

1 1 det A B x det A

= algèbre : on divise par det A

( )

≠ (hyp.) 0

De même on montre que

(

( )

)

( )

2 2 det A B x det A = avec ₂

( )

11 1 21 2 a b A B a b   =    , la matrice obtenue en remplaçant la 2e colonne de la matrice A par la colonne des éléments de la matrice B. Exemple

Considérons le système linéaire 2 × 2 :

  X B A 2x y 4 2 1 x 4 x 2 y 2 1 2 y 2 − = −  _⇔      _{⋅ =}  _{+ =}        _{}     On calcule : det A

( )

= ≠ 5 0 Règle de Cramer :

{

(

)

}

1 2 2 10 1 0 x 2 ; y 0 S 2 ; 0 2 1 5 2 1 5 1 2 1 2 − = = = = = = = − − 4 4 2 2

Proposition (règle de Cramer)

Si

( )

S : A X⋅ = est un système d’équations linéaires n×n tel que B det( A )≠0 .

alors le système d’équations linéaires

( )

S admet une unique solution et elle est donnée par :

( )

(

)

( )

i i det A B x det A = , i∈

{

1;2 ;...;n

}

où A B est la matrice obtenue en remplaçant la i_i

( )

e _{colonne de la matrice A par la}

colonne des éléments de la matrice B.

Exemple

Considérons le système linéaire 3 × 3 :

+ + =         _{− + = ⇔}  ₋    ₌   _{     }        − + = −        x y z 100 1 1 1 x 100 2x y z 200 2 1 1 y 200 x y z 100 1 1 1 z 100 

(

)

{

}

− − − − = = = = = = − − − − − − = 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 Avec Cramer : x 100 ; y 0 ; z 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 S 100 ; 0 ; 0 100 100 100 200 200 200 100 100 100 Remarques

a) La règle de Cramer permet de calculer explicitement, si elle existe, la solution d’un système d’équations linéaires n × n .

b) Cramer Gabriel (Suisse 1704-1752) était professeur de Mathématiques et de Philosophie à Genève, ami de son compatriote Jean Bernoulli. Ses travaux portent principalement sur les courbes algébriques et sur la résolution des systèmes d'équations linéaires.

0 x

y

1 1 Illustration

Application à la géométrie vectorielle

Exemple

Soit v₁ = −

(

1;1 , v

)

₂ =

( )

3;1 et w=

(

4;4

)

trois vecteurs de  . 2

On cherche deux scalaires αetβ ∈ tel que w= ⋅ + ⋅α v₁ β v₂ , c’est-à-dire que wsoit combinaison linéaire de v et v₁ ₂ .

On doit résoudre un système d’équation linéaire 2 x 2 :

( )





1 2 B A X w v v 4 1 3 4 1 1 4 1 3 4 1 1 4 1 3 4 1 1 α β α β α β α β α β = ⋅ + ⋅ −       ⇔ _{ }= ⋅_{ }+ ⋅_{ }        − ⋅ + ⋅    ⇔ _{ =  } ⋅ + ⋅     −       ⇔ _{  }= _{  }⋅          

Utilisons la règle de Cramer :

3 1 1 8 1 8 2 et 2 1 3 4 1 3 4 1 1 1 1 α β − − − = = = = = = − − − − 4 4 4 4 Conclusion : w = ⋅ + ⋅2 v₁ 2 v₂ Remarques a) Ce procédé se généralise à n.

b) On détermine de manière unique les scalaires α βet si et seulement si det v ;v

( )

 _{1 2} ≠0. c) Les scalaires α βet sont appelés les coordonnées du vecteur 2

w∈ 

 dans « la base » v ;v1 2

 