Analyse partie 01 / 4e  / 20-21

ANALYSE

PARTIE 01

4

ème

_année

1.1 Calcul intégral

1

1.1.1 Le symbole

Σ

1

1.1.2 Définitions

2

1.1.3 Propriétés de l’intégrale définie

8

1.1.4 Le théorème fondamental de l’analyse

13

1.1.5 Primitives

15

1.1.6 * Méthodes d’intégration particulières *

25

1.1.7 Applications du calcul intégral

29

1.1.8 Ce qu’il faut absolument savoir

42

1.2 Logarithmes et exponentielles

43

1.2.1 La fonction logarithme naturel

43

1.2.2 La fonction exponentielle

54

1.2.3 * Étude de fonctions exp et log *

63

1.2.4 Ce qu’il faut absolument savoir

69

AVANT-PROPOS

 Ce document a été conçu pour l’enseignement des mathématiques dispensé au Collège de

Genève en quatrième année, en analyse. Cela dit, il peut servir de support de cours pour d’autres filières d’enseignement.

 Vous trouverez dans ce chapitre de la théorie (définitions, théorèmes, démonstrations, etc.) et des exercices qui vous permettront progressivement de vous familiariser et de maîtriser les diverses notations et concepts mathématiques. À la fin du chapitre se trouvent les solutions des exercices.

 La théorie et les exercices accompagnés d’un astérisque (*), sont destinés aux élèves ayant choisi l’option, niveau avancé (MA2).

 Pour mieux repérer les points importants de la théorie, les définitions sont dans un encadré blanc et les théorèmes dans un encadré grisé.

 Pour vérifier votre niveau de compréhension à la fin de l’étude d’un sous chapitre, vous pouvez vous référer à la section : « Ce qu’il faut absolument savoir ».

 Des QR CODES apparaissent à certains endroits du cours. Une fois scannés avec vos smartphones, ils donnent (aux personnes ayant un compte EDUGE) accès à la lecture de vidéos dont le contenu est en lien avec certains sujets du cours.

 Vous pouvez télécharger ce document au format PDF à l’adresse suivante :

http://www.sismondi.ch/disciplines/mathematiques/espace-perso-profs/serge-picchione

 Pour finir, un grand merci aux collègues de divers établissements scolaires qui ont partagé leurs cours : Nicolas Chabal, Yves Drevous, Bernard Gisin, Alain Klopfenstein, Maurizio Lalicata, Bernard Lenggenhager, Romanita Nagy Gauxachs, Adrien Schleining et Serge Zoutter.

1.1.1 Le symbole Σ

Définition b k a f ( k ) =

∑

signifie « somme pour l'indice k allant de a jusqu'à b de f(k) » Avec : • a, b et k des nombres entiers.

• f(k) : expression mathématique faisant intervenir k (en tant que nombre ou indice). Exemples a) 10 k 1 k = 1 + 2 + 3 + ... +9 + 10 =

∑

b) 20 2 2 2 2 2 k 3 k = 3 + 4 +... +19 + 20 =

∑

c) n k 1 2 3 n k 1 a = a + a + a + ... + a =

∑

d) 4 k 2 k( k 1 ) 2( 2 1 ) 3( 3 1 ) 4( 4 1 ) 20 = − = − + − + − =

∑

e) 10 k 1 10 fois 2 2 2 2 ... 2 10 2 20 (indépendant de k) = = + + + + = ⋅ =

∑



Exercice 1 Calculer/développer les sommes suivantes : a) 5 i 0 i =

∑

b) 4 2 i 0 i =

∑

c) 6 i 0 2 i = ⋅

∑

d) 6 i 0 2 i = ⋅

∑

e) 6 i 0 ( 2 i 1 ) = ⋅ +

∑

f) 8 i 3 i 3 =  _{ −}   

∑

 g) 8 i 3 ( i 3 ) = −

∑

h)

( )

4 k 1 k 1 3 − = −

∑

i) 428 k 137 2 =

∑

j) 5 k k k 2 ( 1 ) c = −

∑

k) 4 i i 1 i c i 1 = ⋅ +

∑

l)

(

)

3 k 0 f 2 k h h = + ⋅ ⋅

∑

Exercice 2 Écrire à l’aide de la notation Σ :

a) 1 + 3 + 5 + ... + 73 b) 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 2 4 8 16 32 64 128 256 c) 6+ +8 10 12 ... 24+ + + d) 1 2 4 8 16 32 64 1 + 3 + 5 + 7 + 9 +11 +13 e) c₁−2 c₂ +3c₃ −4c₄+5c₅ −6c₆ f) f c ( x

( )

_{1 1}−x )₀ + f c ( x

( )

_{2 2}−x )₁ + f c ( x

( )

_{3 3}−x )₂ Exercice 3 (Propriétés de Σ)

Les égalités suivantes sont-elles correctes ? Justifier vos réponses.

Indication : remplacer la notation somme par la notation avec des pointillés :

n k 1 2 n 1 n k 1 a a a ... a− a = = + + + +

∑

a)

(

)

n n n k k k k k 1 k 1 k 1 a b a b = = = + = +

∑

∑

∑

b) n n k k k 1 k 1 c a c a = = ⋅ = ⋅

∑

∑

c)

( )

2 n n 2 k k k 1 k 1 a a = =   =    

∑

∑

d)

(

)

n n n k k k k a b a b = = = ⋅ = ⋅

∑

∑ ∑

e) n c n c = = ⋅

∑

f) n m m k k k a a a avec n<m = = + = + =

∑

∑

∑

Considérons une fonction f continue et positive sur [a;b]. Problème

Calculer l’aire A du domaine situé sous le graphique de la fonction f , au-dessus de l’axe des x et entre les droites x = a et x = b (a < b).

Idée I Approximer l'aire A par l'aire d'une série de rectangles.

On fractionne l’intervalle [a;b] en sous-intervalles dont la longueur représente la base des rectangles, et l’on choisit un ci dans chaque sous-intervalles dont l’image f(ci ) représente la hauteur du rectangle. a = x0 < x1 < x2 < x3 = b

Dans cet exemple, nous avons approximé l'aire A par l'aire de 3 rectangles :

( )

( )

( )

( ) (

)

( )

i 3 3 1 1 0 2 2 1 3 3 2 i i i 1 i i i 1 i 1 noté x A f c (x -x ) + f c (x -x ) + f c (x -x ) = f c · x x₋ f c · x = _∆ = ≈

∑

− =

∑

∆ 

Remarque : Il est clair que dans cet exemple l'approximation de A est grossière. Idée II Augmenter indéfiniment le nombre n de rectangles pour être plus précis.

n = 3 rectangles n = 6 rectangles Remarque : Plus le nombre n de rectangles est grand, meilleure est l'approximation de A. Si nous prenons n rectangles, nous aurons :

n i i i 1 A f ( c ) x = ≅

∑

⋅ ∆ avec a= x₀ < x₁ <x₂ < … <.. x_{n 1−} < x_n =b et ∆ =x_i x_i−x_{i 1−} >0

Une telle somme est appelée somme de Riemann ; elle dépend évidemment de f, mais aussi du choix de la base des rectangles (le choix des x ,x ,x ,...._{1 2 3} ) et le choix des nombres ci pour le calcul de la hauteur des rectangles f(ci) .

a b x 0 A y b= x3 x1 x2 f(c3) f x 0 x0=a f(c2) f(c1) c1 c2 c3 y b f x 0 a y b f x 0 a

a) On divise l’intervalle

[ ]

0;1 en 2 sous-intervalles de mêmes longueurs. Calculer la somme de Riemann

2

i i i 1

f ( c ) x∆

=

∑

en prenant les c_i au milieu de

[

x ; x_{i 1− i}

]

2 i i i 1 f ( c ) x∆ = =

∑

b) On divise maintenant l’intervalle

[ ]

0;1 en 5 sous-intervalles de mêmes longueurs. Calculer la somme de Riemann

5

i i i 1

f ( c ) x∆

=

∑

en prenant les c_i au milieu de

[

x_{i 1−} ; x_i

]

5

i i

f ( c ) x∆ =

(

∆ →xi 0

)

. Cela signifie que le nombre de rectangles n tend vers l'infini

(

n→ ∞

)

.

La réponse à notre problème est donc :

n i i n i 1 A lim f ( c )⋅∆x →∞ ₌ =

∑

Définitions a) Si n i i n i 1 lim f ( c )⋅ x →∞ = ∆

∑

existe et ∈_, et qu'elle est la même pour toutes les sommes de Riemann, on dit que la fonction f est intégrable (au sens de Riemann) et on note :

b n i i n i 1 a f ( x )dx lim f ( c )⋅ x →∞ = =

∑

∆

∫

avec ∆ =x_i x_i−x_{i 1−} >0 b) b a f ( x )dx

∫

est appelé intégrale définie de f, depuis a jusqu'à b.

Exemple On cherche à calculer b n i i

n i 1 a f ( x )dx lim f ( c )⋅ x →∞ ₌ =

∑

∆

∫

pour 2 f ( x )=x ; a =0 ; b=1 et x_i b a 1 n n − ∆ = = (équidistant), c_i a i b a i i 1,2,3,...,n n n − = + ⋅ = = Illustration : Calculons déjà n i i i 1 f ( c )⋅ x = ∆

∑

: n n i i i 1 i 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 i 1 f ( c ) x f n n 1 1 2 1 3 1 n 1 ... (développement ) n n n n n n n n 1 1 2 3 n

... (algèbre : mise en évidence de1 / n)

n n n n n 1 1 2 3 ... n n ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅   ∆ = _{ }           =_{ } +_{ } +_{ } + +_{ }           = _ + + + + _     = _ + + + + _

∑

∑

(

)(

)

2 3 2

(algèbre : mise en évidence de1 / n ) n n 1 2n 1

1

(formule de la somme des carrés )

n 6 1 1 1 (algèbre) 3 2n 6n + +   = _{ }   = + + Finalement : 1 2 2 n 0 1 1 1 1 x dx lim 0,3 3 2n 6n 3 →∞   = _ + + _= =  

∫

y 1=b f x a=0 1/n 3/n ... f(2/n) f(3/n) 1/n 1/n 1/n 2/n f(1/n) ... f(1) ... 1/n

a) On constate aisément à travers l’exemple précédant que le calcul d’une intégrale définie est difficile ; on fait appel à un certain nombre d’astuces ou de connaissances algébriques comme par exemple ici, la formule de la somme des carrés des n premiers nombres naturels. b) Pour pouvoir calculer une intégrale définie de façon efficace, il nous faudra trouver un moyen « plus simple » pour la calculer. Ce moyen, que nous allons étudier plus loin, est le théorème fondamental de l’analyse.

c) Le signe

∫

symbolise un S stylisé pour somme. d)

b

a

f ( x )dx

∫

est un nombre réel (pas ± ∞). Ce n’est pas une fonction. e) Dans l’expression

b

a

f ( x )dx

∫

: i) x est appelée la variable d’intégration.

ii) les nombres a et b sont les bornes d'intégrations. iii) a est la borne inférieure, b est la borne supérieure. f)

b b

a a

f ( x )dx= f ( t )dt

∫

∫

Autrement dit : l’intégrale définie ne dépend pas du nom de la variable d’intégration.

f) Toutes les fonctions ne sont pas intégrables (au sens de Riemann). Cependant :

Théorème (Cauchy)

Si la fonction f est continue sur [a;b] alors f est intégrable sur [a;b].

Exemple : f x

( )

= est continue sur [0;1] donc x2 f x

( )

= est intégrable sur [0;1]. x2 g) Certaines fonctions discontinues peuvent également être intégrables.

Exemple : f x

( )

1 si 0 x 2 2 si 2 x 4 ≤ <  =  _{≤ ≤}  f est discontinue en a =2 On a : 4 0 f ( x )dx= + =2 4 6

∫

f est intégrable sur [0;4].

y f 2 1 4 x 0 2

a b x y

f c

a

1er _{cas : Si f est continue et positive sur [a;b] c’est à dire f(x)≥0 ∀ ∈x}

[ ]

_a;b

alors

b

a

f ( x )dx≥0

∫

et représente l’aire A > 0 du domaine compris entre le graphique de la fonction f , l’axe des x et les bornes x = a et x = b. Explications

Nous avons calculé l'aire des rectangles avec le produit f ( c )_i ⋅∆x_i. Si f est positive sur [a;b]

on a f ( c )_i ≥0 et ∆ =x_i x_i −x_{i 1−} >0 pour i=1,2,3,...,n ce qui implique que f ( c )_i ⋅∆x_i ≥0 pour i=1,2,3,...,n et donc b n i i n i 1 a lim f ( c )⋅ x f ( x )dx 0 →∞

∑

₌ ∆ =

∫

≥

2ème _{cas : Si f est continue et négative sur [a;b] c’est à dire f(x)≤0 ∀ ∈x}

[ ]

_a;b

alors b a f ( x )dx≤0

∫

et b a f ( x )dx 0

−

∫

≥ représente l’aire A > 0 du domaine

compris entre le graphique de la fonction f , l’axe des x et les bornes x = a et x = b. Explications

Nous avons calculé l'aire des rectangles avec le produit f ( c )_i ⋅∆x_i. Si f est négative sur [a;b]

on a f ( c )_i ≤0 et ∆ =x_i x_i −x_{i 1−} >0 pour i=1,2,3,...,n ce qui implique que f ( c )_i ⋅∆x_i ≤0 pour i=1,2,3,...,n et donc b n i i n i 1 _a lim f ( c )⋅∆x f ( x )dx 0 →∞

∑

₌ =

∫

≤ Remarque

Si f change de signe en c (zéro de f) sur [a;b] , alors l’aire A > 0 du domaine hachuré situé entre le graphique de la fonction f , l’axe des x et entre les droites x = a et x = b est :

c b a c 0 0 0 A f ( x )dx f ( x )dx > < > =

∫

−

∫

  

On peut aussi calculer l’aire A > 0 à l’aide de la valeur absolue :

c b

a c

A=

∫

f ( x )dx +

∫

f ( x )dx Important : Dans notre

b a A≠

∫

f ( x )dx et b a A≠

∫

f ( x )dx x y b

f

0 a f(ci) ≥ 0 ci xi-1 xi ∆xi > 0 x y b

f

0 a f(ci) ≤ 0 ci xi-1 xi ∆xi > 0

a _b x y f c 2 = f(2) a=-1 f(-1)=-1 b=2 x 1) Calculer les intégrales définies ci-dessous à l'aide

d'une représentation graphique (graphique de la fonction, bornes et axes) . Exemple : 2 1 Forme : triangle 1 4 3 x dx 2 2 2 ↑ − = − + =

∫

a) 4 2 5 dx −

∫

b) 10 1 2 dx −

∫

c)

(

)

6 2 x+3 dx

∫

d) 4 3 dx −

∫

e) 1 1 x dx −

∫

f)

(

)

2 2 x 1 dx − − +

∫

g)

(

)

1 1 x 2 dx − +

∫

h) 1 1 x dx −

∫

2) Calculer l’aire A du domaine compris entre le graphique de la fonction f ,

l’axe des x et les bornes x = a et x = b et exprimer le résultat à l’aide d’une intégrale. a) f ( x )= −2 ; a 1 ; b 10= = b) f ( x )= − +x 1 ; a = −2 ; b 2= c) f ( x )= − x ; a = −1 ; b 1 = d) f ( x )=3x−2 ; a 0 ; b 1= = 3) Sachant que : b b b 1 2 2 3 3 4 0 0 0 1 1 1 x dx b ; x dx b ; x dx b 2 3 4 = = =

∫

∫

∫

, quelle conjecture

(affirmation que l'on pense être vraie) peut-on faire quant à

b

n *

0

x dx n∈

∫

 ?

4) Soit f une fonction définie par son graphique sur l’intervalle

[ ]

a;c . On sait que : b a f ( x )dx= −10

∫

et c b f ( x )dx=5

∫

a) Calculer c a f ( x )dx

∫

.

b) Calculer l’aire A > 0 du domaine hachuré compris entre le graphique de la fonction f , l’axe des x et les bornes x = a et x = c et exprimer le résultat à l’aide d’une intégrale. c) Peut-on calculer l’aire A > 0 du point b) à l’aide de la formule suivante ?

c

a

f ( x )dx

∫

.

d) Vrai ou faux ? Justifier.

c c

a a

f ( x )dx = f ( x ) dx

Soient f et g deux fonctions intégrables sur [a;b] et k∈ , alors : 1) b b a a k f ( x ) dx⋅ = ⋅k f ( x )dx

∫

∫

8) Si a < b alors a b b a f ( x ) dx= − f ( x ) dx

∫

∫

2) b b b a a a ( f ( x )+g( x ))dx= f ( x )dx+ g( x )dx

∫

∫

∫

9) Si a = b alors b a f ( x ) dx=0

∫

3) b b b a a a ( f ( x )−g( x ))dx= f ( x )dx− g( x )dx

∫

∫

∫

4) c b c a a b f ( x )dx= f ( x )dx+ f ( x )dx

∫

∫

∫

5) Si f ( x )≥ ∀ ∈0 x

[ ]

a;b alors b a f ( x )dx≥0

∫

6) Si f ( x )≤ ∀ ∈0 x

[ ]

a;b alors b a f ( x )dx≤0

∫

7) Si f ( x )≥g( x )∀ ∈x

[ ]

a;b alors b b a a f ( x )dx≥ g( x )dx

∫

∫

Exemple Sachant que : 1 01 dx =1

∫

, 1 0 1 x dx 2 =

∫

et 1 2 0 1 x dx 3 =

∫

(

)

( P 2 ) 1 1 1 1 2 2 0 0 0 0 ( P1 ) _{1 1 1} Hyp. Alg. 2 0 0 0 Calculons : x 4 x 3 dx x dx 4 x dx 3 dx 1 1 2 12 18 2 x dx 4 x dx 3 1dx 4 3 1 3 2 6 3 + − = + + − + − = + ⋅ − ⋅ = + ⋅ − ⋅ = = −

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

Remarque b b b a a a ( f ( x ) g( x ))dx⋅ ≠ f ( x )dx⋅ g( x )dx

∫

∫

∫

et b b b a a a f ( x ) dx f ( x )dx / g( x )dx g( x ) ≠

∫

∫

∫

Démonstration ou explication des propriétés

1)

b _{n n}

i i i i

Définition n Propiété n

i 1 i 1

a de l'intégrale des sommes

k f ( x )dx = lim k f ( c )⋅ x = lim k f ( c )⋅ x →∞ ₌ →∞ ₌   ⋅ ⋅ ∆ _ ⋅ ∆ _  

∑

∑

∫

b n i i Propiété n Définition i 1 a

des limites de l'intégrale

= k lim f ( c )⋅ x = k f ( x )dx

→∞ ₌

⋅

∑

∆ ⋅

∫

Illustration :

L'aire grise = 3 ⋅ l'aire hachurée.

( )

b a 3 f x dx⋅

∫

= 3 ⋅ b

( )

a f x dx

∫

a b x y f 3 ⋅ f

(

)

b n i i i Définition n i 1 a de l'intégrale ( f ( x ) g( x ))dx = lim f ( c ) g( c ) ⋅ x →∞ ₌ +

∑

+ ∆ =

∫

n n n i i i i i i i i Distributivitén Propiétés n i 1 _{des sommes} i 1 i 1 b n n i i i i Propiétés n n Définition i 1 i 1 _a

des limites de l'intégrale

lim f ( c ) x g( c ) x = lim f ( c ) x g( c ) x = lim f ( c ) x lim g( c ) x = f ( x )dx ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ →∞ ₌ →∞ _{= =} ⋅ ⋅ →∞ ₌ →∞ ₌   = ∆ + ∆ _ ∆ + ∆ _   ∆ + ∆ +

∑

∑

∑

∑

∑

∫

b a g( x )dx

∫

Cette propriété se lit : « L'intégrale d’une somme est égale à la somme des intégrales ». 3) Mêmes arguments que en 2).

4) Cette propriété semble évidente si l'on considère sa signification géométrique (f positive).

∫

( )

+

∫

( )

=

∫

( )

b c c a f x dx b f x dx a f x dx 5) et 6) Déjà étudié précédemment.

7) Cette propriété semble évidente si l'on considère sa signification géométrique (f positive).

Si f ( x )≥ g( x )∀ ∈x

[ ]

a;b alors b b a a f ( x )dx≥ g( x )dx

∫

∫

8) Si a < b on a : b=x₀ >x₁ >x₂ >....>x_n =a donc

(

)

a _{n n} i i i i i 1 n n i 1 i 1 b ₀ f ( x )dx lim f ( c )⋅∆x lim f ( c ) x⋅ x₋ →∞ ₌ →∞ ₌ < =

∑

=

∑

−

∫

_{} a=x₀ <x₁ <x₂ <....<x_n =b donc

(

)

b n n i i i i i 1 n n i 1 i 1 a ₀ f ( x )dx lim f ( c )⋅∆x lim f ( c ) x⋅ x₋ →∞ ₌ →∞ ₌ > =

∑

=

∑

−

∫

_{} 9) Si a = b on a :

(

)

a n n i i i i i 1 n n i 1 i 1 b 0 f ( x )dx lim f ( c )⋅∆x lim f ( c ) x⋅ x₋ 0 →∞ ₌ →∞ ₌ = =

∑

=

∑

− =

∫

_{} a b x y f f+g

g L'aire sous la courbe f ₊ l'aire sous la courbe g =

l'aire sous la courbe f + g.

a b c x y f a b x y g f

Sachant que :

( )

1 0 f x dx = 3

∫

,

( )

2 1 f x dx = 4

∫

et

( )

3 2 f x dx = −8

∫

calculer, en utilisant les propriétés des intégrales :

a) 2

( )

0 f x dx

∫

b) 1

( )

0 3 f x dx⋅

∫

c) 3

( )

0 8 f x dx⋅

∫

d) 1

( )

3 2 f x dx⋅

∫

Exercice 6 Sachant que : k 2 3 0 1 x dx k 3 =

∫

et k 2 0 1 x dx k 2 =

∫

avec k >0 calculer, en utilisant les propriétés des intégrales :

a) 1 2 0 4 x dx

∫

b) 3

(

)

0 7−2x dx

∫

c)

(

)

1 2 0 x −3x 6 dx+

∫

d)

(

)

2 ₂ 0 x−2 dx

∫

Exercice 7 Rappel : k 2 3 0 1 x dx k 3 =

∫

et k 2 0 1 x dx k 2 =

∫

avec k >0.

De plus : a, b, c, α, β, γ sont des nombres réels, avec la seule condition que 0< <a b. Calculer, en utilisant les propriétés des intégrales :

a) b a c dx

∫

b) b a c x dx⋅

∫

c) b 2 a c x dx⋅

∫

d)

(

)

b 2 a x x dx α⋅ + ⋅ +β γ

∫

e) b a x dx

∫

Esquisser un graphique ! f) 0 cos( x ) dx π

∫

Esquisser un graphique ! Exercice 8

Exprimer à l'aide d'une seule intégrale : ( utiliser les propriétés des intégrales )

a) 9 5 5 3 f ( x )dx f ( x )dx − +

∫

∫

b) 4 4 1 6 f ( x )dx− f ( x )dx

∫

∫

c) e d c c f ( x )dx− f ( x )dx

∫

∫

c< <d e d) 6 2 2 2 f ( x )dx f ( x )dx − − +

∫

∫

e) 4

( )

4

( )

1 1 3⋅

∫

f t dt 5− ⋅

∫

g t dt f) x h x a a f ( t )dt f ( t )dt + −

∫

∫

h>0

Si f est une fonction continue sur

[ ]

a;b

alors il existe au moins un nombre c∈

[ ]

a;b tel que

(

)

b a f ( x )dx= f ( c ) b⋅ −a

∫

Illustration Exemple

( )

f x = est continue sur x

[ ]

0;1 .

(

)

[ ]

1 0 x dx f ( c ) 1 0 1 f ( c ) 1 2 1 c 0;1 2 = ⋅ − = ⋅ ⇔ = ∈

∫

Remarques

a) L’interprétation géométrique que l’on peut faire de ce théorème est le suivant :

« f(c) est la hauteur d’un rectangle de largeur b - a dont l’aire égale l'aire sous la courbe f, l’axe des x et entre x = a et x = b » .

b) La valeur c dont parle le théorème de la moyenne peut ne pas être unique. c) On appelle b a 1 f ( c ) f ( x )dx b a = ⋅

−

∫

, la valeur moyenne de f sur

[ ]

a;b .

Une notation utilisée pour écrire la valeur moyenne de f sur

[ ]

a;b est la lettre µ.

d) Une fonction discontinue ne satisfait pas forcément la conclusion du théorème de la moyenne. Exemple : f n’est pas continue sur

[ ]

0;4 car f est discontinue en a =2.

Cependant il n’existe pas de nombres c∈

[ ]

0;4 tel que

4 0 ₄ 6 3 f ( x )dx f ( c ) ( 4 0 ) f ( c ) 2 = = = ⋅ − ⇔ =

∫

_  µ = f(c) a b

f

x y 0 c b - a x 0 1 f y y f 2 1

Comme f est continue sur

[ ]

a;b fermé, cette fonction atteint son maximum global et son minimum global sur cet intervalle (théorème des bornes), c’est-à-dire qu’il existe deux nombres m et M tels que pour tout

[ ]

x∈ a;b on a que :

m ≤ f ( x ) ≤ M b b b a a a m dx f ( x )dx M dx

⇔

∫

≤

∫

≤

∫

propriété des intégrales

(

)

b

(

)

a

m b a f ( x )dx M b a

⇔ − ≤

∫

≤ − calcul d’intégrales : aires de rectangles

b a 1 m f ( x )dx M b a ⇔ ≤ ⋅ ≤

−

∫

algèbre : on multiplie par

1 0 b−a >

[

]

b a 1 f ( x )dx m;M b a ⇔ ⋅ ∈ −

∫

Comme f est continue sur

[ ]

a;b fermé on a f

(

[ ]

a;b

)

=

[

m;M

]

(théorème des bornes) . Autrement dit, tout nombre compris entre m et M est l’image par f d’au moins une préimage

[ ]

c∈ a;b .

Il existe donc au moins un c∈

[ ]

a;b pour lequel

b a 1 f ( x )dx f ( c ) b−a⋅

∫

= . En conclusion :

(

)

b a f ( x )dx= f ( c ) b⋅ −a

∫

algèbre : on multiplie par b− ≠a 0

Exercice 9

Déterminer un nombre c qui satisfait la conclusion du théorème de la moyenne, puis déterminer la valeur moyenne f c de f sur

( )

[

a;b

]

.

a) 3 2 0 3x dx=27

∫

b) 1 2 4 3 9 dx x 4 − − =

∫

c) 1 2 2 ( x 1 )dx 6 − + =

∫

d) 3 2 1 ( 3x 2x 3 )dx 32 − − + =

∫

e) 8 1 3 x 1 dx 54 − + =

∫

f) 1 3 2 8 dx 3 x − − = −

∫

m=f(u) M=f(v) a b

f

x y 0 u v

Activité II

a) Soit f t

( )

=k k∈

i) Calculer l’aire ombrée en fonction de x. Autrement dit, déterminer

x

0

F( x )=

∫

f ( t )dt. ii) Calculer la dérivée de F. Autrement dit, déterminerF’ x

( )

.

iii) Que constate-t-on ?

b) Soit f t

( )

=t

i) Calculer l’aire ombrée en fonction de x. Autrement dit, déterminer

x

0

F( x )=

∫

f ( t )dt. ii) Calculer la dérivée de F. Autrement dit, déterminerF’ x

( )

.

iii) Que constate-t-on ?

Exercice 10

Soit la fonction f t

( )

= +t 1 .

a) Calculer l’aire ombrée en fonction de x. Autrement dit, déterminer

x

0

F( x )=

∫

f ( t )dt.

b) Calculer la dérivée de F. Autrement dit, déterminer F’ x

( )

. c) Que constate-t-on ? t x 0 y F(x) f k F(x) 0 x f y t F(x) 0 x f y t 1

Si f est une fonction continue sur

[ ]

a;b . alors la fonction définie par

x

a

F( x )=

∫

f ( t )dt est dérivable et F '( x )= f ( x ) ∀ ∈x

[ ]

a;b . Illustration

Remarque

Ce résultat montre que la fonction F qui calcule « l’aire » située sous le graphique de la fonction f, au dessus de l’axe des x et entre les droites t = a et t = x est une fonction qui, dérivée, donne la fonction f.

Démonstration

On doit démontrer que : F '( x )= f ( x ) ∀ ∈x

[ ]

a;b Soit h>0.

F( x+h ) F( x )− représente l'aire sous le graphique de f entre a et x+h , moins l'aire sous le graphique de f entre a et x, c'est à dire l'aire sous le graphique de f entre x et x+h.

h 0 F( x h ) F( x ) F '( x ) lim h → + − = définition de la dérivée de F x h x a a h 0 f ( t )dt f ( t )dt lim h + → − =

∫

∫

définition de la fonction F x h h 0 x 1 lim f ( t )dt h + →

= ⋅

_∫

propriété des intégrales

(

)

h 0 1 lim f ( c ) x h x h →

= ⋅ ⋅ + − théorème de la moyenne avec c∈

[

x; x+ h

]

h 0 lim f ( c ) → = algèbre : simplification c x lim f ( c ) → = comme c∈

[

x; x+ , si h

]

h→0 alors c→x = f ( x ) f est continue

[ ]

a;b

a t y f x _b a t y f x x+h h c f(c)

Nous savons comment trouver, lorsque c’est possible, la fonction dérivée d’une fonction f . Ce processus est appelé « dérivation d’une fonction ». Le théorème fondamental de l’analyse montre l’intérêt du problème inverse qui consiste à trouver une nouvelle fonction F dont f serait la dérivée. Ce processus s’appelle « intégration d’une fonction ».

La définition suivante ne fait qu’attribuer à F un nom particulier. Définition

Toute fonction F telle que F '( x )= f ( x ) ∀ ∈x

[ ]

a;b est une primitive de f sur

[

a;b

]

.

Illustration

D D D D D

...

→

F

→

f

→

f '

→

f ''

→

...

D = Dérivation

Exemples

a) 2

F( x )= x +7 est une primitive de f ( x )=2x car

(

2

)

'

F '( x )= x +7 =2x= f ( x )

b) F( x )= −cos( x )est une primitive de f(x) = sin(x) car F '( x )= −

(

cos( x )

)

' =sin( x )= f ( x ) c) F( x ) 1 xn 1

n 1

+

=

+ est une primitive de

n f ( x )=x ∀ ∈n  car

( )

(

)

' ' n 1 n 1 n 1 1 n 1 1 1 F '( x ) x x n 1 x x f ( x ) n 1 n 1 n 1 + + + −   =_{ } = ⋅ = ⋅ + ⋅ = = + + +   Remarque

Selon le théorème fondamental de l’analyse, toute fonction continue sur

[

a;b

]

admet l’existence d’une primitive sur

[

a;b

]

.

Activité III

i) Dériver les fonctions suivantes : 3

F( x )=2x G x

( )

=2x3+5 H ( x )=2x3−40

ii) Que peut-on remarquer ?

Deux primitives d’une même fonction ne diffèrent que d’une constante. Autrement dit, si F et G sont deux primitives de f sur

[ ]

a;b ,

alors G( x )=F( x ) C+ ∀ ∈x

[ ]

a;b et C∈ . Démonstration

Soit F une primitive de f alors F '( x )= f ( x ) ∀ ∈x

[ ]

a;b . Soit G une primitive de f alors G'( x )= f ( x ) ∀ ∈x

[ ]

a;b .

Donc F '( x )=G'( x ) ∀ ∈x

[ ]

a;b

⇔ G'( x ) F '( x )− =0 ∀ ∈x

[ ]

a;b algèbre

⇔

(

G( x ) F( x )−

)

' = 0 ∀ ∈x

[ ]

a;b dérivée de la différence de deux fonctions ⇔G( x ) F( x )− =C ∀ ∈x

[ ]

a;b et C∈ corollaire du thm. des accroissements finis. ⇔G( x )=F( x ) C+ ∀ ∈x

[ ]

a;b et C∈ algèbre

Définition / Notation

L’ensemble de toutes les primitives d’une fonction f sur

[

a;b

]

se nomme intégrale indéfinie de f et se note

∫

f ( x ) dx .

Autrement dit :

∫

f ( x ) dx=F( x ) C+ ou

(

F( x ) C+

)

' = f ( x ) ∀ ∈x

[ ]

a;b et C∈ Exemples a)

(

)

Pr op. Thm. 2 2 3x x dx 3 x dx x dx 3 − + = − + = −

∫

∫

∫

⋅x₃3 x2 C 2 + + car ' 2 3 x 2 x C 3x x 2   − + + = − +     b) Thm. cos( x )dx = sin( x ) C+

∫

car

(

sin( x ) C+

)

' =cos( x ) d) 3 1 1 3 5 Alg . Alg . Thm. 2 2 2 2 3 1 2 x 2 x xdx x x dx x dx C x C 5 + + = ⋅ = = + = +

∫

∫

∫

car ' 5 2 2 x C x x 5   + =     e) 3 1 2 Alg . Thm. 3 3 2 1 x x 1 dx x dx C C C x 3 1 2 2x − + − − = = + = + = − + − + −

∫

∫

car ' 2 3 1 1 C 2x x _{− +}  ₌     f)

(

)

(

)

(

)

11 Thm. 10 1 3t 1 1 11 3t 1 dt C 3t 1 C 3 11 33 + + = ⋅ + = ⋅ + +

∫

car

(

)

(

)

' 11 10 1 3t 1 C 3t 1 33  _{⋅ + +}  _{= +}     Remarque

Une intégrale indéfinie est un ensemble de fonctions alors qu’une intégrale définie est, comme nous l’avons déjà vu, un nombre réel.

Soit f une fonction continue sur

[ ]

a;b . Si F est une primitive de f sur

[ ]

a;b alors

b a f ( t )dt =F( b )−F( a )

∫

Exemples a) 1 1 3 3 3 2 0 0 x 1 0 1 x dx 3 3 3 3 = = − =

∫

1 1 3 3 3 2 0 ₀ x 1 0 1 x dx C C C 3 3 3 3       =_ + _ =_ + _{ }− + _=      

∫

b) 0 0 sin( x )dx cos( x ) 2 π π = − =

∫

2 2 0 0 sin( x )dx cos( x ) 0 π π = − =

∫

c) 1 1 2 2 0 0

( 2x+3 ) cos( x⋅ +3x )dx=s in( x +3x ) =sin( 4 )

∫

Remarques

a) Nous avons utilisé la notation suivante : b a

F(b) - F(a) = F(x)

b) Selon le théorème fondamental de l’analyse, toute fonction continue sur

[ ]

a;b admet l’existence d’une primitive sur

[ ]

a;b mais, malheureusement, certaines fonctions continues ont des primitives très difficiles à trouver, voire non exprimables à l’aide des opérations usuelles, comme par exemple pour la fonction définie par

( )

x2

f x =e− . Il n'est donc pas toujours possible d'appliquer le théorème de Newton-Leibniz pour déterminer la valeur d'une intégrale définie. Cependant on peut toujours approcher, l’intégrale définie d’une fonction continue à l’aide de la définition des sommes de Riemann (voir début du chapitre). Démonstration

La fonction définie par :

x

a

G( x )=

∫

f ( t )dt est une primitive de f sur

[ ]

a;b théorème fondamental Calculons : b a b a a a 0 G( b ) G( a ) f ( t )dt f ( t )dt f ( t )dt = − =

_∫

−

_∫

=

_∫

 .

Si on considère une autre primitive de f , elle est de la forme :

F( x )=G( x )+C C∈ théorème sur les primitives

Calculons :

(

) (

)

b

a

Déterminer l’ensemble des primitives des fonctions suivantes. Exemple :

(

)

( ) _{( )} 4 2 4 3 3 2 f x _{F x} x x x 2x 8 x dx 2 x dx 8 x dx 2 8 C 4 x C C 4 2 2 + = + = ⋅ + ⋅ + = + + ∈

∫

∫

∫

  _{} On vérifie : ' 4 2 3 x 4 x C 2x 8 x 2   + + = +     1)

∫

( 4 x+3 )dx 2) 2 ( 9t −4t+3 )dt

∫

3)

∫

x−3dx 4) 1₃ 3₂ dz z z  ₋     

∫

5)

∫

( 3x−1 ) dx2 6)

∫

x dx7 7) 7 ( 3x−1 ) dx

∫

8)

∫

x( 2x+3 )dx 9) 3cos( u )du 4

∫

10) 1sin( x )dx 5 −

∫

11)

∫

3 dx2 12) 2 ( b−a )du

∫

13)

(

3 2

)

x −5 x +3x−2 dx

∫

14)

∫

(

( 2x 1 )+ 8 +1 dx

)

15) 13 ( 2−x ) dx

∫

16)

∫

x dx5 17)

∫

( 3x2 +1 ) 6 x dx8⋅ 18) 1₂ dx x

∫

19)

(

)

2 1 dx 5x 1−

∫

20) 2x 1 1₂ dx x  _{+ −}     

∫

21) 3 2 x 3 dx x −

∫

22)

∫

(

x2−3x 1+

)

5

(

2x 3 dx−

)

23) 6 ( 3w+2 ) dw

∫

24)

∫

x dx 25) 1 dx x

∫

26)

∫

t⋅ t dt 27) 3 1 dt t

∫

28) 2 t − + ⋅5t 6 ( 2t−5 )dt

∫

29) 2 3 3x dx 9+x

∫

30)

∫

sin( 3x )dx 31)

∫

(

1 tan ( x ) dx+ 2

)

32) 1cos( 4 x )dx 2

∫

33)

∫

(

sin( x ) cos( x )dx

)

5

34)

∫

(

cos( x )

)

4sin( x )dx 35)

∫

(

1 cos( x ) sin( x )dx−

)

⋅ 36)

∫

x 2x2+1 dx

Indications : i) x dxn 1 xn 1 C n 1 + = + +

∫

ii)

∫

g ' f x

(

( )

)

⋅ f ' x dx

( )

=

(

g f

)( )

x +C

Calculer les intégrales définies suivantes. (réponses en valeurs exactes) Exemple : ( )



_

( )

3 4 4 4 3 3 2 f x F ( x ) ₂ 2 x 3 81 16 65 2x dx 2 2 2 2 2 2 − −  ₋  = = − = − =    

∫

On vérifie : ' 4 3 x 2x 2   =     1) 1 3 2 ( x 3x 2 )dx − − +

∫

2) 2 3 0 ( 1 t ) dt−

∫

3) 1 2 2 0 x ( 2x+1 ) dx

∫

4) 1 2 3 2 0 v dv ( v +1 )

∫

5) 4 1 4 1 t dt t  ₋     

∫

6) 2 0 1 4 xdx+

∫

7) 0 2 2 1 2x( 1 x ) dx − +

∫

8) 3 2 2 2 sin ( x )cos( x )dx π π

∫

9) 4 2 0 t t +9 dt

∫

10) 4 2 cos( 3t )dt π π −

∫

11) 2 2 2 1 2 x 1 dx x +

∫

12) 3 2 2 2 1 1 dx ( x 1 ) ( x 1 )  ₋   _{− +}   

∫

13) 1 3 2 3 dx ( 4 x 1 ) − −

∫

+ 14) 2 1 m⋅

∫

k dx 15) 2 2 3 0 5 x dx x +1

∫

16)

(

)

3 2 3 2 2 sin( 3x ) cos( 3x )dx π π ⋅ ⋅

∫

17) d 5 c ( 6 a +b ) dx

∫

18*) 1 2 2 0 2 dx 1−x

∫

Exercice 13

Soit la fonction f définie par 3

f ( x )=x −9 x. a) Calculer les zéros de la fonction f.

b) Esquisser le graphique de f pour x∈ −

[

4;4

]

.

c) Calculer l’aire de la surface A1 située entre le graphique de f , l’axe des x et entre les droites x= −2 et x=0.

d) Calculer l’aire de la surface A2 située entre le graphique de f , l’axe des x et entre les droites x=0 et x=3.

e) Calculer l’aire de la surface A3 située entre le graphique de f , l’axe des x et entre les droites x=3 et x=4.

f) La somme des aires A₁+A₂ +A₃ correspond-elle à

4 3 2 ( x 9 x )dx − −

∫

? Justifier.

a) Calculer 2 0 sin( x )dx π

∫

b) Calculer l’aire de la surface délimitée par la fonction sinus et l’axe horizontal entre 0 et 2π. Indication : faire un croquis de la situation.

Exercice 15

Calculer la valeur k > 0 tel que : a) k 1 1 7 x 1 dx 2 4 −  ₋  ₌    

∫

b) k 2 2 1 x 1 dx 6 2 −  ₋  ₌    

∫

Exercice 16 On considère la fonction 2 x f ( x ) + 2x + 1 2 = − représentée ci-dessous.

Le théorème de la moyenne affirme que : « Si f est continue sur

[ ]

a;b , alors il existe au moins un nombre c∈

[ ]

a;b tel que

(

)

b

a

f ( x )dx= f ( c ) b⋅ −a

∫

»

a) Estimer une valeur possible du nombre c∈

[ ]

1;4 et f c

( )

, la valeur moyenne de f sur

[ ]

1;4 . b) Tracer la fonction f sur l’intervalle

[ ]

1;4 et le rectangle de côté µ = f c

( )

et b− = −a 4 1 . c) Calculer précisément le nombre c∈

[ ]

1;4 et µ = f c

( )

. Y a-t-il plusieurs réponses possibles ?

a) Considérons la fonction 3 x f ( x ) 5 = .

1) Calculer la valeur moyenne µ = f c

( )

de f sur

[ ]

2;4 .

2) Tracer la fonction f sur l’intervalle

[ ]

2;4 et représenter le rectangle de côté µ = f c

( )

et b a− = −4 2 .

b) Même questions pour f ( x )= x+4 sur l’intervalle

[ ]

0;5 . Exercice 18

On considère la fonction f x

( )

= −3 x représentée ci-dessous.

a) Calculer l’aire du domaine grisé D, limité par le graphique de f et les deux axes de coordonnées. b) Calculer la valeur moyenne µ = f c

( )

de f sur

[

0;9

]

.

c) Représenter sur dans un même repère, la fonction f sur l’intervalle

[ ]

0;9 , la droite d’équation y= , où µ µ est la valeur moyenne trouvée à la question précédente et le rectangle de côté µ = f c

( )

et b a− = −9 0

d) Compléter l’égalité suivante et donner une interprétation géométrique :

(

)

(

)

...

...

... 9 0⋅ − =

∫

... dx

e) On partage le domaine D (de la question a) en deux parties par la droite horizontale d’équation y= , où µ µ est la valeur moyenne trouvée à la question précédente. Ces deux parties ont-elles la même aire ? Justifier.

f) A l’aide de la propriété :

« Si f est continue sur

[ ]

a;b alors f

(

[ ]

a;b

)

=

[

m; M

]

et

b

a

m ( b a )⋅ − ≤

∫

f ( x )dx≤M ( b a )⋅ − »

Compléter les égalités suivantes :

(

)

(

)

9

0

... 9 0⋅ − ≤

∫

f ( x )dx≤... 9 0⋅ − et justifier votre réponse.

D

Considérons les fonctions f et F définies par (voir la représentation ci-dessous) :

( )

f x = −6 x 3+ et

( )

(

)

x 2 F x 6t 3 dt − =

_∫

− + pour x∈ − +∞

[

2;

[

a) Déterminer F ' x

( )

à l’aide de la définition de la dérivée.

Rappel :

( )

(

)

( )

h 0 F x h F x F ' x lim h → + − =

b) Déterminer l’expression algébrique de la fonction F pour x∈ − +∞

[

2;

[

. c) Déterminer tous les zéros

de la fonction F pourx∈ − +∞

[

2;

[

. d) Déterminer le tableau des variations de la fonction F sur l’intervalle

[

− +∞2;

[

. e) Déterminer les éventuels extremums de la fonction F sur l’intervalle

[

− +∞2;

[

.

Exercice 20

Considérons les fonctions g et G définies par (voir la représentation ci-dessous) :

( )

2 g x = −3x +16 et

( )

(

)

x 2 0 G x = −

∫

3t +16 dt pour x∈

[

0;+∞

[

a) Déterminer G' x

( )

à l’aide de la définition de la dérivée.

Rappel :

( )

(

)

( )

h 0 G x h G x G' x lim h → + − =

b) Déterminer l’expression algébrique de la fonction G pour x∈

[

0;+∞

[

. c) Déterminer tous les zéros

de la fonction G pourx∈

[

0;+∞

[

. d) Déterminer le tableau des variations de la fonction G sur l’intervalle

[

0;+∞

[

. e) Déterminer les éventuels extremums de la fonction G sur l’intervalle

[

0;+∞

[

.

Considérons les fonctions h et H définies par (voir la représentation ci-dessous) :

( )

1 h x x = et

( )

x 1 1 H x dt t =

∫

pour x∈

]

0;+∞

[

a) Déterminer le domaine de définition de h et de H.

b) Déterminer H ' x

( )

à l’aide de la définition de la dérivée.

Rappel :

( )

(

)

( )

h 0 H x h H x H ' x lim h → + − =

c) Déterminer l’expression algébrique de la fonction H. Que constate-t-on ? d) Déterminer toutes les valeurs x telles que H x

( )

=0.

Déterminer toutes les valeurs x telles que H x

( )

>0. Déterminer toutes les valeurs x telles que H x

( )

<0. e) À l’aide du graphique de h, estimer une valeur pour H 2

( )

. f) À l’aide du graphique de h, estimer une valeur pour H 3

( )

.

Vrai ou faux ? Justifier.

a) Toutes les primitives de la fonction f x

( )

1 x

= sont les fonctions de la forme : F x

( )

=2 x C C+ ∈ .

b) Si F( x ) est une primitive de f ( x ) alors _{F( x )}+_ex _{est aussi une primitive de}

f ( x ). c) Sans calculer l'intégrale suivante, il est possible d'affirmer que

(

)

1 2 4 x x 1 dx 0 − − + + ≥

∫

.

d) Si f est une fonction continue sur

[ ]

a b; et si ( ) 0

b

a

f x dx=

∫

, alors f x( )=0 pour tout x de

[ ]

a b; .

e) Si

2 2

0 0

f ( x )dx= g( x )dx

∫

∫

alors f ( x )=g( x ) pour tout x∈

[ ]

0; 2 . f) Sachant que

2

0

f ( x )dx=2

∫

, il est possible d' affirmer que

(

)

2 0 3 f ( x ) 4 dx⋅ − =2

∫

. g) 0 sin( x ) dx 2 sin( x )dx π π π − = ⋅

∫

∫

h) a a 2 2 a 0 x dx 2 x dx − = ⋅

∫

∫

i)

(

)

0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) a a a f x ⋅g x dx=_ f x dx _{ }⋅ g x dx_    

∫

∫

∫

j) Si 2 0 f ( x ) dx=4

∫

, alors il existe une valeur c∈

[ ]

0;2 telle f ( c ) 2⋅ =4 . k) Sachant que 1 0 f ( x )dx =5

∫

, 2 1 f ( x )dx= −9

∫

et 0 3 f ( x )dx 2 − =

∫

, il est possible d’affirmer que 2 3 f ( x )dx 2 − = −

∫

.

l) Soient f et g deux fonctions continues tel que g x

( )

< f x

( )

sur l’intervalle

[ ]

a;b . L’aire A >0 du domaine limité et borné par les graphes de f et de g est donnée par :

( )

( )

b

a

A=

∫

g x − f x dx.

m) Si une fonction f est dérivable sur

[ ]

a;b alors elle est intégrable sur

[ ]

a;b . n*) La fonction F définie par 2

1

( )

x t

Le théorème fondamental permet de calculer des intégrales définies à l'aide du calcul de primitives. Au stade où nous en sommes, nous savons calculer un certain nombre de primitives simples (par exemple les fonctions puissances, les fonctions trigonométriques simples ....) mais il est difficile de calculer les primitives de :

∫

x sin x dx⋅

( )

ou 2

( )

cos x dx

∫

.

Les formules qui suivent vont nous permettre de calculer des intégrales de ce type. Intégration par parties (P.P) *

b b b a a a f '( x ) g( x )dx⋅ = f ( x ) g( x )⋅ − f ( x ) g'( x )dx⋅

∫

∫

Démonstration *

On sait que :

(

f ( x ) g( x ) '⋅

)

= f '( x ) g( x )⋅ + f ( x ) g'( x )⋅ (règle de dérivation du produit de 2 fonctions)

Donc f ( x ) g( x )⋅ est une primitive de f '( x ) g( x )⋅ + f ( x ) g '( x )⋅ . En utilisant le théorème de Newton-Leibniz :

[

]

b b a a f '( x ) g( x )⋅ + f ( x ) g '( x ) dx⋅ = f ( x ) g( x )⋅

∫

b b b a a a f '( x ) g( x )dx f ( x ) g '( x )dx f ( x ) g( x )

⇔

_∫

⋅ +

_∫

⋅ = ⋅ (propriété 2 sur les intégrales)

b b b a a a f '( x ) g( x )dx f ( x )g( x ) f ( x ) g '( x )dx ⇔

_∫

⋅ = −

_∫

⋅ (mise en évidence) Exemples * a) Choix de f ’ et g : • Choix 01 : _





2 2 P.P. 0 f ' g g 0 g' f ₀ f h( x ) x x

x sin( x ) dx sin( x ) cos( x ) dx

2 2 π π π ⋅ = ⋅ − ⋅ −

∫

_{ }

∫

_{} 

Quel est la primitive H x

( )

de h x

( )

? H x

( )

est difficile à déterminer.

• Choix 02 :  _{ }

P.P.

0

0 g f ' g f ₀ 0 f g' 0 h( x )

h( x )

x sin( x ) dx x cos( x ) cos( x ) 1 dx x cos( x ) cos( x ) dx

π π π π π ⋅ = ⋅ − − − ⋅ = − ⋅ +

∫

_{ }

∫

_{}

∫

_{} 

[

]

0 0 0 H ( x )

x cos( x )π sin( x ) π sin( x ) x cos( x ) π π

= − ⋅ +_ = − ⋅ =