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Les intervalles extrêmes entre les émissions radio actives
I
E.-J. Gumbel
To cite this version:
LE
JOURNAL
DE
PHYSIQUE
ET
LE RADIUM
LES INTERVALLES
EXTRÊMES
ENTRE LESÉMISSIONS
RADIO ACTIVES
IPar E.-J. GUMBEL. Faculté des
Sciences, Lyon.
Sommaire. 2014 Le but des lignes suivantes est d’appliquer les théories concernant les valeurs extrêmes des distributions statistiques dans le domaine de la radioactivité.
1. La distribution initiale.
2. Théorie des mièmes intervalles.
3. Distribution finale des mièmes intervalles extrêmes.
4. Schéma des comparaisons entre la théorie et les observations.
SÉRIB
VII. TomEVIII.
N° 8..AOCT 1937.
Les émissions radioactives se succèdent dans le
temps.
Onpeut
doncparler
d’intervalles entre lesémissions. Dès le début des recherches sur la
radio-activité,
on a relié cesphénomènes
à lastatistique
enenvisageant
soit larépartition
desintervalles,
soit larépartition
du nombre d’émissions contenues dans unintervalle de
temps
donné. Lapremière
méthode mène à une distributionexponentielle
et la seconde à la loidite des évènements rares. Il s’en suit que des
pro-priétés
de ces deux distributionsqui
semblent êtrepurement
statistiques,
ont dessignifications
phy-siques.
De même despropriétés qui semblent
appar-tenir à laphysique
ne sont en réalité que desthéo-rèmes
statistiques, point
de vuequi
a été mis en lu-mière par M. L. von Bortkiewicz(1),
dans un livrequi
a malheureusement
échappé
à l’attention desphysi-ciens. D’ailleurs M. von Mises
(’)
a obtenu ladistri-bution
exponentielle
d’une manièrequi
ne repose que sur les donnéesprobabilistes.
La distribution
exponentielle
des intervalles entreles émissions radioactives se
prête
à uneapplication
de la théorie
portant
sur les valeurs extrêmesqui
revêt ici un caractère
particulièrement simple.
Cetterecherche
porte
sur laplus grande
valeur(1)
et engénéral
sur la 1ne valeur(4)
d’enhaut,
d’une distribu-tion dite initiale d’une variablestatistique
illimitée etpour un
grand
nombre ¡Vd’observations, in
étantpetit
parrapport
à ~V. Elle aboutit à l’établissement de la distribution de lavaleur,
variablestatistique,
dont on établitl’espérance mathématique,
ladisper-sion et les moments
supérieurs,
en fonction de ni.Fixons d’abord ce que l’on doit entendre par les
notions de valeurs pour les intervalles entre les
émissions radioactives. Soit
enregistré
ungrand
nombre
d’émissions,
disons 8001,
cequi
donne1 n = 8 000 distances consécutives.
(Pour
biendistin-guer les valeurs observées des valeurs théoriques, les
premières
sontdésignées par
un accent àgauche).
La
première
observationqui
nous intéresse est leplus
grand parmi
les lit intervalles observés. Si l’on range les intervalles d’après leursgrandeurs,
c’est lepremier
d’en haut. Eii outre on cherchera celuiqui
leprécède
immédiatement : le second intervalle d’enhaut;
enfin le troisièmeparmi
’n. Dans ces trois cas ils’agit
d’une et d’une seule observation. Mais on nepeut
pas s’attendre à cequ’une
etqu’une
seule obser-vation colleparfaitement
à la théorie.Pour donner une base
plus
solide à cettecompa-raison,
on construira desrépartitions
observées des trois derniers intervalles d’enhaut.
Dans ce but ondivise les ’n émissions en,
disons,
80 groupes dontchacun contient ’N = 100 intervalles. Dans
chaque
groupe on cherche le
plus grand intervalle,
le second et le troisième d’enhaut,
et l’on obtient ainsi desrépartitions
des trois derniersparmi
’N = 100inter-valles,
répartitions qui
contiennent Il = 80 cas.On
peut
répéter
ceprocédé
en choisissant 40 groupescontenant chacun 200
intervalles,
cequi
donne lesrépartitions
des trois derniers intervallesparmi
, 1 BT .::=200,
répartitions qui
reposent
sur 40 cas.Enfin,
on établit les troisrépartitions
des intervalles extrêmespour ’N - 400
intervalles,
répartitions qui
reposent
sur 20 cas.
On calculera les moyennes
arithmétiques
et lesdis-persions
de ces neufrépartitions, à savoir la moyenne
du 1n8 intervalle extrême pour nl ==1, 2,
3,
et pour322
’N - 100; ~00;
400intervalles,
et les écartsquadra-tiques
moyenscorrespondants,
valeursqui reposent
sur E( ==
80,
40,
20 cas.D’après
lesrépartions
on calcule lesfréquences
c’est-à-dire les nombres relatifs des cas où le ni, inter-valle extrême d’en haut est inférieur à une valeur x.
Il
s’agit
maintenant d’établir la théorie correspor-dant à ce schéma d’observations. Dans ce but ontera d’abord la distribution dite initiale des intervalles
entre les émissions consécutives.
i. La distribution initiaie. - Soit x la distance
entre deux émissions consécutives. La distribution
w
(x)
des intervalles .~ estexponentielle.
L’espérance mathématique
x des distances estL’écart type ?
de la distribution des intervalles est doncégal
àl’espérance mathématique.
Soit ’it le nombre d’observations surlequel repose la détermination de
la moyenne
arithmétique.
Alors l’intervalle moyen est une variable
aléa-toire,
? soumise à un autre écarttype
x?- dont
la valeurest
La
pr.obabilité 1
-- t~’ (~)
d’un intervallesupérieur
à.
est,
diaprées
(1).
J -
1(x)
(5j
La valeur fondamentale dans tous les raisonnements
portant
sur les intervalles entre les émissions radio-a,v,tives est éviùemment l’intervalle moyen(2).
Sa déter-minationnumérique
est rendue difficile par le fait qu’il existe des intervalles sipetits qu’ils échappent
à l’observation Il en résultequ’il
fautdistinguer
entre le nombre d’intervalles observés ’n et le nombre réel nqui
surpasse ’~~. Pourdéterminer ~
et ~2, onpeut
employer
la méthode des moindres carrés.Supposons
qu’on
ait classifié toutes les distances observées dans des intervallesSoient ’F
(.xv)
les nombres observés des intervallessurpassant
xU. Enégalisant
ces nombres observés auxfréquences
théoriques,
on obtientd’après (5)
suivant leprocédé classique (5)
Faisons la somme pour v =1
jusqu’à k.
La classe xo àxl contiendra tous les intervalles
qui
ontéchappés
à l’observation. La somme des nombres observés nepeut
êtreprise
évidemmentqu’en
commençant
par1) = 1. On obtient
1. f.
D’après
la méthode des moindrescarrés,
on établitune seconde
équation
Les
premiers
membres sont des valeursnumériques
observées, les sommes du côté droit sont des valeurs
numériques.
Onobtient,
à l’aide de ceséquations,
le nombre total n et l’inverse de l’intervallc moyen3.
Ce
procédé
supposequ’on
ait mesuré tous les ’n intervallesobservés,
cequi
est un travail considé-rable si ’n est de hordre degrandeur
dequelques
milliers. Pour éviter cetravail,
on vaprocéder
commesuit : Soit L la
longueur
d’une bande où sontenre-gistrées
les observations.Alors la détermination évidente de la moyenne 1n
arithméticjue (2)
sembleêtre -,
dont ontire
m1.
)
In L
Mais cette détermination
néglige
les intervalles nonenregistrées,
Pour lesprendre
enconsidération,
nous nous basons sur la distributionexponentielle.
Soit xil’intervalle en secondes, tel que les intervalles .~
ne soient
plus
observées. La moyenne observée neporte
que sur les intervallessurpassant
XI.Désignons-la
par;(x1’.
Alors on observe x(.1;1)
_-__
2013.
D’après
(1)
on obli.ent >1Il en résulte que le nombre d’émissions
qui
n’ont pasété
enregistrées
estLà où 100 intervalles ont été
observés,
ils’agissait
enréalité de
Il est évident que la détermination de l’intervalle
moyen et du nombre
d’émissions,
à l’aide de(7)
et(8)
est
plus simple que celle à l’aide de
(6)
et(6’),
car ellene repose que sur la
longueur
de la bande et le nombre ’n des intervalles observés. Mais d’autrepart,
il nefaut pas
exagérer
laprécision
de cescalculs,
étant donnéqu’il
est difficile d’évaluer laprécision
des diffé-rents organes, c’est-à-dire la valeur xi.Une autre méthode de correction a été
proposée
auparavant
(6).
Mais laprésente
estplus simple
etcorrecte. Pour éliminer ces doutes sur la
grandeur
fondamentale~,
M. Thibaud a fait monter un nouveaudispositif enregistreur plus précis
que celui utiliséjusqu’à
présent,
cequi
permet
pratiquement de
sup-primer
la correction surfi.
2. Théorie des mième intervalles. - Pour
appliquer
la théorie des valeurs extrêmes à laradio-activité,
nous établissons la distribution de la mième valeur d’en haut d’une distribution initiale exponen-tielle pour Nobservations,
cequi
permettra
despéci-lier la distribution de la
plus grande,
du second et du- troisième intervalle d’en haut.
Soit w
(.x)
la densité deprobabilité
d’une variable x,W
(x),
laprobabilité
d’une valeur inférieure à x, alorsla distribution
mm
(x,
N)
de la me valeur d’en hautparmi
N estx,1
=(1
-W ( n2-1
2U x) . (9)
m
{
1B)
(ll/)
ntM
(
-t
(9)
En
effet,
pour qu’une valeur soit la me d’enhaut,
il fautqu’il
y ait m - 1 valeursqui
lasurpassent
et1V - m
qui
lui soient inférieures. Il fautmultiplier
ceproduit
par la densité de probabilité de cette valeur et par le nombre des combinaisons qui estce
qui
conduit à(9).
En introduisant
w(x),
et 1 -W(x) d’après
(1)
et
(5)
on obtient la distribution du me intervalle d’enhaut
la me valeur
ayant
la densité deprobabilité
maxima estappelée
la dominante. On l’obtientd’après
(10)
à l’aide dece
qui
mène àou
dont on tire
Pour différentes valeurs de m, on obtient
d’après (10)
une série de distributionsayant
des dominantesdiffé-rentes. La dominante du m
-~
l- intervalleprécède
évidemment celle du me. On se demande où la courbereprésentant
la distribution de i e valeur coupe la distribution de la me. Soit x’ la valeur oùLa distribution du m
+
Il intervalle coupe ladistribu-tion du me à la dominante de la dernière.
Retournons à la formule
"11).
On obtient ladomi-nante de la me valeur d’en haut d’une distribution
exponentielle
(d’ailleurs
sans aucuneapproximation)
enmultipliant l’espérance mathématique
initiale par7V
le
logarithme
naturelde .
Mais on nepeut pas
con-mtrôler ces valeurs à l’aide des
observations,
puisque
ladétermination
empirique
de toute dominante est assezincertaine. Par contre on
peut
facilement calculer lamoyenne
arithmétique
du me intervalle à l’aide duprocédé
décritauparavant.
Pour la
comparaison
entre la théorie et lesobserva-tions,
il nous faut doncl’espérance mathématique
um(N)
du nie intervalle. En
plus, pour le
contrôle,
nous avonsbesoin de la
dispersion
am
de cette variable. Pour calculer ces deuxvaleurs,
déterminons la fonctioncaractéristique
de la distribution(10),
à savoirElle mènera à la
connaissanceldes
kes momentsp. ,
(~V)
de la nie valeur pour 1V observations multipliéspar pk
324
ce
qui
sera écrit pour simplifierLes moments se
rapportent
àl’espérance
mathéma-tique désignée
toutsimplement
par u. On obtientd’après
(i0)
la fonctioncaractéristique
la fonction
caractéristique
peut
être ramenée auxfonc-tions gamma.
On
pourrait
en déduire tous les moments à l’aide de(14).
Mais il seraplus simple
d’introduirepuis-queles dérivées logarithmiques
successives des fonctionsGamma ont des valeurs
numériques
bien connues. Oret d’une
façon
générale
d’après
un théorème connud’Analyse
En introduisant
(14)
on obtient une formule derécur-rence des moments
Les
premiers
moments étanttoujours po
= 1 ;
=0,
la formule se
simplifie
àil
s’agit
donc seulement de calculerD’après
la formule de récurrence des fonctions Gammaon obtient suivant
(13’)
’Ecrivons pour les indices de sommation
puisque
ladésignation
de l’indice de sommation est arbitraire. La fonctioncaractéristique (13)
étant ainsidéterminée,
on en tire tous les moments à l’aide de la formule de récurrence(16).
Lapremière
dérivationmène à
et
Puisque
on obtient
d’après (14) l’espérance
mathématique
du ni,intervalle pour N observations
Pour les moments
supérieurs
on calculed’après
(1 î)
Posons
alors
dont on tire à l’aide de
(i 6)
la formulegénérale
qui
donne lés ~eg des nle valeurs pourn’importe
quel
nombre -L,r d’observations. Enparticu-lier on obtient pour k = 2 la
dispersion
de la ni, valeur.’
Le tableau suivant contient
l’espérance
mathéma-tique
réduite du rjae intervalleparmi l~’,
divisée par1
l’espérance mathématique
des intervalles initiaux pour1. -
Espérarue rnathénzatique
réduite. Valeurs etPour na = ~~IT on obtient le
plus
petit
intervalleparmi
lBT. Sonespérance
mathématique
estd’après (18)
Sa
dispersion
estd’après
(21)
à
résultats
qui
marquent
unedivergence remarquable
entre lepoint
de vuestatistique
etphysique.
Car laprécision
statistique
est maximajustement
pour les distances dont laprécision
physique
est minima.Il résulte de
(18) que l’espérance mathématique
dume intervalle pour ~V observations
augmente
avec iv etdiminue avec
Puisque
on tire les
espérances mathématiques
successives àl’aide de
Pour une distribution initiale
1 1
l’espé-Pour une distribution initiale
exponentielle
l’espé-rance
mathématique
de la ni+
ie valeur d’en haut sedistingue
del’espérance mathématique
de la me valeur par lapartie
del’espérance
mathématique
de la distribution initiale. Les différences entre lesespé-rances
mathématiques
des mes valeurs sont doncindé-pendantes
de Ladispersion
de la m valeur estd’après (21)
et(1~) :
Puisque )
est ladispersion
de la distributioninitiale,
r 32
il résulte que la dispersion de la m
-~-
Il e valeurse
dis-tingue
de ladispersion
de la me valeur par la rn2ièmepartie
de la
dispersion
initiale. Ces différences aussi sontindépendantes
deL’écart
type
de la distribution de la me valseurdimi-nue, pour des valeurs croissantes de i7z. En d’autres termes : la distribution se resserre pour m croissant.
Notons que ces valeurs
théoriques
nedépendent que
de la
constante ~
de la distribution initiale des inter-valles. Dans la distribution des valeurs extrêmesl’espéranre mathématique
et l’écarttype
sont liés entre euxd’après
(18)
et(21).
Il en résulte une
équation qui
reliel’espérance
mathémathique
de la distributioninitiale -
àl’espé-_
P
rance
mathématique
de la me valeur um(7V)
et ladisper-sion
5£
(N)
à savoir :Cette relation est
caractéristique
de la distribution initialeexponentielle.
La moyenne
arithmétique
de la distanceparmi
Nqui
repose surK cas,
est d’ailleurs une variablestatis-tique
soumis à un écarttype a,
où :Les moments
supérieurs
de la distribution des inter-valles sontdéjà donnés par les formules
(20).
3. Distribution finale des me. intervalles
extrê-mes. - Il n’est pas dépourvu d’un certain intérêt de
comparer ces résultats atteints sans aucune
approxi-mation avec les valeurs
qu’on
obtient par l’approxi-mation oc. Car cette forme nouspermettra
enoutre de contrôler les
fréquences
observées. On tire de(i1)
l’identité-11.1
. "
Introduisons-la dans
(10).
Alors on obtient326
Cela conduit à la distribution
Limitons-nous
maintenant,
à l’encontre du casgénéral
traité
auparavant,
aux mes valeurs extrêmes et à ungrand
nombre d’observations La conditionpermet
l’application
de la formule deStirling,
cequi
conduit à
puisqu’il
estlégitime de poser
et de même
On obtient
donc,
d’après (10’),
la distribution finale wm(x)
de la rne valeur extrêmeet cela d’une manière
qui
ne demande presque aucuneapproximation.
La condition(28)
estdéjà vérifiée pour
Ar= 100,
m = 3. Le calcul exact donnevaleur à
laquelle
nous substituonsce
qui néglige
une différence de 4 pour 100.Cette forme finale
permet
le calcul de tous lesmo-ments en fonction de m, ce
qui
a été fait dans un travailprécédent
(4).
Ces résultats sesimplifient d’après
lespropriétés
de la distribution initiale. On obtientl’espé-rance
mathématique
de la me valeurla valeur de c, la constante
d’Euler,
est c0,57722
Pour la distribution
exponentielle
on obtientam - ~
(31)
indépendant
de m. On obtientdonc,
d’après
l’espérance mathématique
de laplus
grande
valeur d’une distributionexponentielle
~1
= ! ~
O,57ï22)
(32)
et
l’espérance mathématique
de la me valeur extrême d’en haut2013(lg/V+07722- 2
(32)
B 1 v
Pour la
dispersion
nous avons obtenu1’)
Les
dispersions
des trois derniers intervalles sont ain sid’après
(31) et
d’après
les valeurs bien connues des82,
m~==1,64493; ~==0,64493;
~2 G~ == 0,39493.
(33")
Enfin nous avons obtenu pour les moments
supérieurs
la formule de récurrence
analogue
à(20).
’
Pour comparer les résultats exacts
(18)
et(2i)
auxvaleurs
approchées
(30)
et(33), rappelons
que la constante d’Euler est définie parOn
peut
donc écrire pour des grandes valeurs de ll réquivalent
à la formule(18)
pourvu que i~’ soit suf-fisammentgrand.
Lacomparaison
des valeurs exactes(18)
etapprochées
(30)
faite dans le tableau 1montre que les différences sont de l’ordre de
grandeur
de 1 pour 1000.Evaluons d’autre
part
les ordres degrandeurs
des différences entre les valeurs exactes(20)
des kl,moments et les valeurs
approchées (34).
Pour X S2,
D’après
unprocédé
connu, on établit lesinégalités
Il en résulte
ou
Pour ln == 2 et 1V = 116 les différences sont de l’ordre
de
grandeur
0,009.
Même pour 113 la faute que l’oncommet par
l’emploi
des valeurapprochées,
ne surpassepas 1 pour 100. Elle décroît rapidement avec ~B.
Les différences entre les valeurs
approchées
(34)
et les valeurs exactes(?~0)
des moments sont doncpratiquement
nulles dès que ,1 est de l’ordre degran-deur 100. Même pour des valeurs modérées de les résultats du calcul exact sont
pratiquement identiques
aux valeurs
qu’on
obtient par l’introduction de ladistribution finale. Il est
remarquable
et contraireaux
opinions
courantes,
émisesd’après
R. A. Fisher(’)
par M. J.-0. Irwin(1)
que la distribution finale de laplus
grande
valeur estdéjà atteinte ici pour de
petits
nombres d’observations.Notons encore les
quotients
des momentssupérieurs,
tirés de la distribution finale
(29) :
TABLEAU II. -
Quotients
des momel1ts.J i
Les formules
approchées (29)
ont uneportée
qui
surpasse celle des formules exactes (~(1). Car on
peut
facilement
calculer,
avec leuraide,
lesprobabilités
des mes valeurs extrêmes cequi
serait peu pratique àl’aide des formules exactes. Ce calcul servira à la
comparaison
desfréquences
observées auxprobabilités
théoriques.
P our m = 1 on obtient laprobabilité,
~1
(~),
pour que la plus grande valeur soit inférieure à x
Cette transcendelite
peut
être calculée en Jonctionce
qui
a été fait dans notre travailantérieur 1’).
Il reste la
question
desavoir
si les discordancesqui
existeront entre la théorie et les observationssont
compatibles
avec cette théorie même. La théoriede M.
Eyraud
(9),
dites des valeurs deposition, répond
à cettequestion générale,
car elle affirmequ’une
valeur yayant
la densité deprobabilité
et laproba-bilité ~1 (y) est
soumise,
pour Ii
observations,
à unécart
type sr
donné parLe tableau III contient cette
grandeur
en fonction de y. Elle est liée à l’écarttype sx
de la variable ,xd’après
la même relationqui
existe entre x et y, àsavoir
On n’a donc
qu’à multiplier
les valeurs du tableau IIIpar _
pour obtenir l’écarttype s.,
desplus grands
intervalles. En attribuant les
probabilités
auxgrandeurs
x + s., on obtient deux courbes de contrôledans lesquelles
doivent êtres contenues les discordances entre la théorie et les observations.TABLEAU III. - Foiùclioii de contrôle
de la
plus grande
valeur.Les
probabilités
des mts valeurss’obtiennent[par
unprocédé
différent.D’après
(29),
laprobabilité
pour que la J’ne valeur extrêmes d’en haut soit inférieure à xest
323
On obtient ainsi :
ce
qui
conduit à :Les
probabilités
des îïil valeurs extrêmes se réduisentau
quotient
d’une fonction gamma incomplète par lafonction gamma
elle-même,
or c’est cequotient
qu’on
trouve dans les tableaux de la fonction gamma
incomplète,
édités par Karl Pearson(11).
Cet auteurpose
en écrivan t
Seulement les valeurs de I pour différentes valeurs
de 1)
ne sont pasrangées
d’après
des valeurscrois-santes de
(p
+ 1)
à e-ynt maisd’après
des valeurs crois-santes de v =y m
PJur wi
= 2 et îït =3,
c’est-à-dire p =
1,2
onobtient d’un côté les
probabilités
et enretranchant les valeurs
correspondantes
contenues dan; le tableau de Pearson de l’unité. Pais on chercheles valeurs
correspondant
de lavariable,
Enfin,
on arrange le tableau suivant les valeurscrois-santes de 2ï~. ~~~. C’est ainsi
qu’on
obtient lesproba-bilités
~,,z ~~~
des me valeurs d’être inférieures àgrandeurs
qui
sont contenues dans le tableau IV. Parmi ces valeurs il y en a unequi
mérite un intérêtspécial,
à savoirl’espérance
mathématique.
Laproba-bilité de la
plus grande
valeur d’êlre inférieure à sonespérance
mathématique
estd’après
(36)
la
probabilité
de la me valeur extrême d’êtreinférieure
à son
espérance
mathématique
estd’après (a9)
L’interpolation
d’après
les tables de Pearson mène àTABLE_lU - Probabilités des mes valeurs.
4. Schéma des
comparaisons
entre la théorieet les observations. - La théorie des nies valeurs
peut
êtreappliquée
aux intervalles consécutifs entreles émissions radioactives
d’après
leprocédé
suivant :On établit d’abord l’intervalle moyen et la relation
entre les nombres n et 1V’" des intervalles et les nombres
observés ’n à l’aide de
(6), (6’)
ou(7), (8).
Alorsles formules
(18)
et(21)
permettent
de comparer lesvaleurs
théoriques
des trois distances extrêmesparmi
n et lVaux trois distances extrêmes observéesparmi ’n
et ’.L,T. Puis on compare les moyennes arithmétiques et les écartsquadratiques
moyens des répartitions des mes intervalles extrêmesparmi ’iV
auxespérances
mathéma-tiques
et aux écartstypes
correspondants
donnés par(18)
et(21),
et l’on contrôle si les différences successives suivent(~2)
et(23).
Ensuite on contrôle si lesfréquences des moyennes
arithmétiques
équivalent
aux
probabilités
(41)
et(42’).
On
peut
élargir
cette méthode encomparant
lesfréquences,
c’est-à-dire les nombres relatifs des cas oùle me intervalle extrême
parmi
est inférieure à x, auxprobabilités
ffi3m
(x). Enprincipe il y
a deux manières pour y déterminer les constantes etM.
D’un côté onet
(31).
Il s’en suitqu’il
n’existe en réalitéqu’une
Enfin onpeut
faire cettecomparaison
sans aucuneseule constante x
= ~3 l’intervalle moyen. Cette déter- connaissance
portant
sur~.
On détermine d’un côté lesmination
purement
théorique
ne repose que sur les intervalles extrêmes xcorrespondant
auxfréquences
propriétés
de la distribution initiale. Aucun intervallede p pour 100
(p
=5,
10,....
95).
D’autrepart
onextrême observé
n’y
entre. D’autrepart
cette constante détermine les ycorrespondant
aux mêmesprobabilités.
doit avoir des relations avec les
caractéristiques
des Alors les valeurs x, y doivent êtresituées,
d’après (27),
répartitions
observées des m S intervalles extrêmes. Car sur des droitesayant
la même inclinaison.la moyenne du mR intervalle extrême et la
dispersion
mènent,
d’après
(32)
et(33),
chacune à une valeur Conclusion. -Après
avoir calculé l’intervalle de l’intervalle moyen initiale. Pour obtenir une et moyen entre les émissionsconsécutives,
nous avonsqu’une
valeur,
on fera usage de (24). En introduisant établi la distribution du intervalle et ses caracté-dans cette formule lesdispersions
et les moyennesristiques.
Pour les intervallesextrêmes,
cettedistribu-arithmétiques
observées on obtient trois valeurs de tiontend,
même pour des nombres d’observations mêmedignité.
On choisit pour lacomparaison
entremodérés,
vers la distribution finale. Nous avons établi lesfréquences
et lesprobabilités
comme valeur définitive les schémas nécessaires pour la comparaison entre lade ~
la moyenne arithmétique des trois valeurs ainsi théorie et les observations.calculées ce
qui
permet
d’obtenir les valeurs xd’après (40).
Lesprobabilités correspondantes
sontcontenues dans le tableau IV. Manuscrit reçu le 5 juin f 93~.
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