Algèbre linéaire partie 02 / 4e_niveau avancé / 20-21

ALGÈBRE LINÉAIRE

PARTIE 02

4

ème

_année

2.3 Espaces vectoriels *

1

2.3.1 Introduction *

1

2.3.2 Propriétés *

6

2.3.3 Sous-espace vectoriel *

8

2.3.4 Combinaisons linéaires *

12

2.3.5 Vecteurs linéairement dépendants

et indépendants *

16

2.3.6 Familles génératrices et bases d’un espace

vectoriel *

20

2.3.7 Dimension d’un espace vectoriel *

27

2.3.8 Ce qu’il faut absolument savoir *

31

2.4 Applications linéaires *

32

2.4.1 Introduction *

32

2.4.2 Matrice associée à une application linéaire *

37

2.4.3 Noyau et image d’une application linéaire *

39

2.4.4 Composition d’applications linéaires *

46

2.4.5 Transformations linéaires du plan

52

2.5 Réduction des endomorphismes *

64

2.5.1 Changement de bases *

64

2.5.2 Matrice d’un endomorphisme dans une

nouvelle base *

66

2.5.3 Diagonalisation d’une matrice *

Valeurs et vecteurs propres *

70

2.5.4 Application : Systèmes dynamiques *

75

2.5.5 Ce qu’il faut absolument savoir *

78

AVANT-PROPOS

 Ce document a été conçu pour l’enseignement des mathématiques dispensé au Collège de

Genève en quatrième année, en algèbre linéaire. Cela dit, il peut servir de support de cours

pour d’autres filières d’enseignement.

 Vous trouverez dans ce chapitre de la théorie (définitions, théorèmes, démonstrations, etc.) et des exercices qui vous permettront progressivement de vous familiariser et de maîtriser les diverses notations et concepts mathématiques. À la fin du chapitre se trouvent les solutions des exercices.

 La théorie et les exercices accompagnés d’un astérisque (*), sont destinés aux élèves ayant choisi l’option, niveau avancé (MA2).

 Pour mieux repérer les points importants de la théorie, les définitions sont dans un encadré

blanc et les théorèmes dans un encadré grisé.

 Pour vérifier votre niveau de compréhension à la fin de l’étude d’un sous chapitre, vous pouvez vous référer à la section : « Ce qu’il faut absolument savoir ».

 Des QR CODES apparaissent à certains endroits du cours. Une fois scannés avec vos smartphones, ils donnent (aux personnes ayant un compte EDUGE) accès à la lecture de vidéos dont le contenu est en lien avec certains sujets du cours.

 Vous pouvez télécharger ce document au format PDF à l’adresse suivante :

http://www.sismondi.ch/disciplines/mathematiques/espace-perso-profs/serge-picchione

 Pour finir, un grand merci aux collègues de divers établissements scolaires qui ont partagé leurs cours : Nicolas Chabal, Yves Drevous, Bernard Gisin, Alain Klopfenstein, Maurizio Lalicata, Bernard Lenggenhager, Romanita Nagy Gauxachs, Adrien Schleining et Serge Zoutter.

2.3 Espaces vectoriels *

Nous avons travaillé avec des « objets » mathématiques que nous avons nommés vecteurs du plan

ou de l’espace, possédants des propriétés particulières. Si on élève l’abstraction d’un cran, on peut

s’interroger sur l’existence d’autres « objets » mathématiques ayant des propriétés analogues à celles de ces vecteurs. Cela nous conduit à l’étude des espaces vectoriels.

2.3.1 Introduction *

Étude d’un exemple *

Considérons l’ensemble V =2 =

{

(

x ; x_{1 2}

)

x et x_{1 2}∈

}

qui peut-être vu comme l’ensemble des

vecteurs du plan. Nous allons énumérer les propriétés importantes et connues de cet ensemble.

• Cet ensemble est muni de deux opérations distinctes :

1) ( u ;u ) ( v ;v ) ( u_{1 2} + _{1 2} = ₁+v ;u_{1 2}+v )₂ (addition de deux vecteurs)

2) λ( u ;u ) (1 2 = λ⋅u ;1 λ⋅u ) avec2 λ∈ (multiplication d’un vecteur par un scalaire)

Illustration

• La première opération vérifie les propriétés suivantes, 2

u,v et w

∀  ∈_ :

1a) L’addition de 2 vecteurs de 2_{est un vecteur de} 2 _{(loi de composition interne).}

u + =v ( u ;u ) ( v ;v )_{1 2} + _{1 2} =( u₁+v ;u_{1 2}+v )₂ ∈ 2

1b) L’addition est commutative.

u + =v ( u ;u ) ( v ;v ) ( u_{1 2} + _{1 2} = ₁+v ;u_{1 2}+v ) ( v₂ = ₁+u ;v_{1 2}+u ) ( v ;v ) ( u ;u )₂ = _{1 2} + _{1 2} = +v u

1c) L’addition est associative.

( )

(

1 2 1 2

)

1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 1 2 2 u v w ( u ;u ) ( v ;v ) ( w ; w ) ( u v ;u v ) ( w ; w ) ( u v w ;u v w ) ( u ;u ) ( v w ;v w ) u ( v w ) + + = + + = + + + = = + + + + = + + + = + +     

1d) L’addition possède un élément neutre noté 0



. Autrement dit, 2

0 tel que u 0 u

∃ ∈ _ + = .

u 0 + =( u ;u ) ( 0;0 )_{1 2} + =( u₁+0;u₂+0 )=( u ;u )_{1 2} =u

1e) Tout vecteur u ∈ 2 possède un élément symétrique noté −u . Autrement dit, ∃ − ∈u 2 tel que u+ − =( )u 0.

u ( u )+ − = ( u ;u ) ( u ; u )+ − − =( u −u ;u −u )=( 0;0 )=0

y

0 x

• La deuxième opération vérifie les propriétés suivantes, 2

u,v et λ µ,

∀ ∈_ ∀ ∈_ : 2a) La multiplication d’un vecteur de 2

par un nombre réel (scalaire) est un vecteur de 2

(loi de composition externe).

λ⋅ = ⋅u λ ( u ;u )_{1 2} =(λ⋅u ;₁ λ⋅u )₂ ∈ 2

2b) La multiplication est distributive par rapport à l’addition.

(

)

(

)

(

)

(

(

) (

)

)

(

) (

) (

)

(

)

(

)

1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 u v ( u ;u ) ( v ;v ) u v ;u v u v ; u v u v ; u v u ; u v ; v u ;u v ;v u v λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ ⋅ + = ⋅ + = ⋅ + + = + + = = + + = + = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅     2c) On a :

(

λ µ+

)

⋅ = ⋅ + ⋅u λ u µ u . 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) u ( ) ( u ;u ) (( )u ;( )u ) ( u u ; u u ) ( u ; u ) ( u ; u ) ( u ;u ) ( u ;u ) u u λ µ λ µ λ µ λ µ λ µ λ µ λ λ µ µ λ µ λ µ + ⋅ = + ⋅ = + + = + + = + = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅   

2d) On a : λ µ⋅

(

⋅u

) (

= λ µ⋅

)

⋅u. Attention : entre λ µ⋅ il s’agit de la multiplication réelle ! λ µ⋅( ⋅u ) = ⋅λ µ

(

⋅( u ;u )_{1 2}

)

= ⋅λ µ µ( u ; u )_{1 2} =(λµ λµu ;₁ u )₂ =(λµ) ( u ;u )⋅ _{1 2} =(λ µ⋅ ) u⋅

2e) La multiplication possède un élément neutre noté 1 .

Autrement dit : ∃ ∈1  tel que 1 u⋅ = u. 1 u⋅ = ⋅ 1 ( u ;u )_{1 2} =( 1 u ;1 u )⋅ ₁ ⋅ ₂ =( u ;u )_{1 2} =u

Définition *

Un ensemble V, non vide, est un espace vectoriel sur  s’il est muni :

1a) d’une loi de composition interne : V ×V → V

(u ; v) u + v

vérifiant les quatre propriétés suivantes,∀u,v,w V∈ :

1b) u+ = +v v u 1c)

(

u+v

)

+ = +w u

(

v+w

)

1d) ∃ ∈0 V t.q. u+ = 0 u 1e) ∃ − ∈u V t.q. u+ − =

( )

u 0

2a) d’une loi de composition externe :  × V → V (λ ; u) _ λ

⋅

u

vérifiant les quatre propriétés suivantes,∀u,v V et∈ ∀λ µ, ∈: 2b)

λ

⋅ + = ⋅ + ⋅(u v)

λ

u

λ

v 2c)

(

λ µ+

)

⋅ = ⋅ + ⋅ u λ u µ u

2d) λ µ⋅

(

⋅ =u

) (

λ µ⋅

)

⋅ u 2e) ∃ ∈1  t.q. 1 u⋅ =u

Les éléments de V s’appellent des vecteurs et ceux de  des scalaires. L’élément neutre de (V ; +) s’appelle le vecteur nul (noté 0).

Remarque sur les notations *

Afin de généraliser la notion de vecteur et de dépasser la vision géométrique et physique, nous

supprimerons volontairement le symbole « flèche ». Autrement dit le vecteur v devient

simplement v. Cependant, les scalaires seront notés par des lettres grecques afin de les distinguer des vecteurs.

Exemples *

a) L’ensemble 2

{

}

1 2 1 2

V ( x ; x ) x et x= = ∈ muni des lois suivantes est un espace vectoriel sur  :

1)( x ; x ) ( y ; y )_{1 2} + _{1 2} =

(

x₁+ y ; x_{1 2} +y₂

)

loi de composition interne 2) λ⋅( x ; x )_{1 2} =(λx ; x )₁ λ ₂ loi de composition externe b) Plus généralement, pour n ≥ 1 :

L’ensemble n

{

(

)

}

1 2 n i

V x ; x ;...; x= = x∈ muni des lois suivantes est un espace vectoriel sur  :

1)

(

x ; x ;...; x_{1 2 n}

) (

+ y ; y ;...; y_{1 2 n}

) (

= x₁+y ; x_{1 2} +y ;...; x_{2 n} +y_n

)

loi de composition interne 2) λ⋅

(

x ; x ;...; x_{1 2 n}

) (

= λx ; x ;...; x₁ λ ₂ λ _n

)

loi de composition externe Remarques *

a) La vérification de la structure d'espace vectoriel sur n _{est laissée en exercice.}

b) les nombres xi peuvent représenter n’importe quelle grandeur physique, chimique,

économique, etc. comme, la position, la température, la pression, le capital, etc. Posons : x = le bénéfice de la société j le mois i en millions de francs. _ij

Le vecteur vi =

(

x ; x ; x ; x ; xi1 i 2 i 3 i 4 i 5

)

∈ représente le bénéfice de toutes les sociétés 5

appartenant à un même groupe industriel le mois i . v₁ =

(

3;2 ;1;10;8

)

v₂ =

(

1;3;20;2;3

)

…….

v₁₂ =

(

0 ;1;4;4;9

)

La somme des vecteurs v₁+ + +v₂ v₃ .... v+ ₁₂ représente les bénéfices annuels de toutes les sociétés appartenant à un même groupe industriel.

c) ⊆2⊆3⊆...

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x 1 2 3 4 y f g f+g 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0x 1.0 0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 y g 2⋅g 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0x 1.0 0.5 0.5 1.0 y g

Voici d'autres exemples d’espaces vectoriels plus abstraits *

a) L’ensemble P des polynômes de degré _n ≤ n muni des lois suivantes est un espace vectoriel sur  :

1)

(

a x_n n +a x_n-1 n-1+... a x+ ₂ 2+a x₁ +a₀

) (

+ b x_n n +b x_n-1 n-1+... b x+ ₂ 2+b x₁ +b₀

)

=

(

an +bn

)

xn +

(

an-1+bn-1

)

xn-1+...+

(

a2+b2

)

x2+

(

a1+b x1

) (

+ a0+b0

)

loi de composition interne

2) λ

(

a xn n+a xn-1 n-1+... a x+ 2 2+a x1 +a0

)

=λa xn n +λa xn-1 n-1+...+λa x2 2+λa x1 +λa0

loi de composition externe

Exemple :

(

3x2+4 x+ +1

)

(

x+3

)

=3x2+5x+ ∈ 4 P₂

5⋅

(

3x2 +4 x+1

)

=15x2+20 x+ ∈ 5 P₂

(

3x2+4 x+ + −1

) (

3x2−4 x− =1

)

0 x2 +0 x+ ∈ 0 P2

Remarque : P₀ ⊂P₁⊂P₂ ⊂...

b) L’ensemble F des fonctions réelles définies sur l’intervalle_I I ⊆, muni des lois suivantes est un espace vectoriel sur  :

1)

(

f +g

)( )

x = f x

( )

+g x

( )

loi de composition interne 2)

(

λ f

)( )

x = ⋅λ f x

( )

loi de composition externe

Exemple : Si f ( x )=e et g( x )x = x alors

(

f +g

)( )

x = +ex x

( )( )

2 g x = ⋅2 x Illustration :

Remarque :

Le vecteur nul est la fonction constante f : x et le symétrique de 0

chaque fonction g est la fonction -g donnée par −g : x −g x

( )

. Géométriquement d’ailleurs, le graphique de cette dernière fonction est obtenu de celui de g à l’aide d’une symétrie rapport à l’axe des x.

c) Considérons le tableau de nombres suivant : 11 12 1n 21 22 2n n1 n 2 nn a a a a a a a a a …    _…       _…      

Il comprend n lignes et n colonnes et est appelé une matrice carrée d’ordre n.

L’ensemble M des matrices carrées d’ordre n muni des lois suivantes, est un espace _n vectoriel sur  : 1) 11 12 1n 11 12 1n 11 11 12 12 1n 1n 21 22 2n 21 22 2n 21 21 22 22 2n 2n n1 n 2 nn n1 n 2 nn n1 n1 n 2 n 2 nn nn a a a b b b a b a b a b a a a b b b a b a b a b a a a b b b a b a b a b … … …        _…   _…   _…      ₌         _…   _…   _…       + + + + + + + + + _    +      

loi de composition interne

2) 11 12 1n 11 12 1n 21 22 2n 21 22 2n n1 n 2 nn n1 n 2 nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ … …      _…   _…    ₌       _…   _…       _{     }

loi de composition externe

Exemple : 1 2 0 2 1 0 M₂ 1 1 4 4 5 3 −   ₊  ₌  _∈  ₋            5 1 2 5 10 M₂ 1 1 5 5     ⋅_{  }= _ ∈ − −     1 2 1 2 0 0 M₂ 1 1 1 1 0 0 − −   ₊  ₌  _∈  ₋  ₋          Remarque : M1⊆ M2⊆ M3 ⊆ ...

d) L’ensemble  =

{

a+bi a ,b∈ et i2 = −1

}

muni des lois suivantes est un espace vectoriel sur  :

1)

(

a₁+b i₁

) (

+ a₂+b i₂

) (

= a₁+a₂

) (

+ b₁+b i₂

)

loi de composition interne 2) λ⋅

(

a₁+b i₁

)

= ⋅ + ⋅λ a₁ λ b i₁ loi de composition externe

e)L’ensemble 2 =

{

(

x ; x_{1 2}

)

x et x_{1 2}∈

}

des nombres entiers naturels, muni de l’addition et de la multiplication usuelle n’est pas un espace vectoriel sur  .

2.3.2 Propriétés *

Quelques propriétés utiles de calcul ne sont pas comprises dans les axiomes d’un espace vectoriel — (1) à (2) et (a) à (e) — car elles s’en déduisent. Les voici réunies dans la proposition suivante : Proposition *

Soit V un espace vectoriel sur.∀ ∈v V et ∀ ∈α  on a : (P1) 0 v⋅ =0 vecteur nul

(P2) α⋅ =0 0 vecteur nul

(P3)

( )

− ⋅ = −1 v v symétrique de v

(P4) α⋅ − = − ⋅ = −

( ) ( )

v α v

(

α⋅v

)

Exemples *

Considérons V =4 =

{

( x ; x ; x ; x ) x_{1 2 3 4 i}∈

}

muni des deux lois de compositions

définies dans le cours. 4

 possède une structure d’espace vectoriel sur . 1) v=( 3;5; 3;7 )− ∈4 et 0∈ 0 v⋅ = ⋅0 ( 3;5; 3;7 )− =

(

0 3;0 5;0⋅ ⋅ ⋅ −

( )

3 ;0 7⋅ =

)

(

0;0;0;0

)

=0 vecteur nul 2) 0=( 0;0;0;0 )∈4 et α∈ α⋅ = ⋅0 α ( 0;0;0;0 )=

(

α⋅0;α⋅0;α⋅0;α⋅0

) (

= 0;0;0;0

)

=0 vecteur nul 3) v=( 3;5; 3;7 )− ∈4

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(

)

(

)

1 v 1 ( 3;5; 3;7 ) 1 3; 1 5; 1 3 ; 1 7 3; 5;3; 7 v − ⋅ = − ⋅ − = − ⋅ − ⋅ − ⋅ − − ⋅ = − − − = − symétrique de v 4) v=( 3;5; 3;7 )− ∈4 et α∈

( )

(

)

(

( )

( )

( )

)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(

)

( ) (

) ( )

v 3; 5;3; 7 3 ; 5 ; 3; 7 3; 5; 3 ; 7 3;5; 3;7 v α α α α α α α α α α α α ⋅ − = ⋅ − − − = ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − = − ⋅ − ⋅ − ⋅ − − ⋅ = − ⋅ − = − ⋅

Nous avons aussi

( )

−α ⋅ = −v

(

α⋅v

)

. Démonstration *

(P1)

(

)

2c )

0 v⋅ + ⋅ =0 v 0+ ⋅ ⇔ ⋅ + ⋅ = ⋅ (comme 0 v 0 v 0 v 0 v 0+ =0 0 dans



)

En ajoutant à chaque membre de cette équation le symétrique de 0 v⋅ , on obtient :

(

)

[

]

(

)

(

)

(

)

1c ) 1e ) 1d ) 0 v 0 v 0 v 0 v 0 v 0 v 0 v 0 v 0 v 0 v 0 0 v 0 0 v 0 − ⋅ + ⋅ + ⋅ = − ⋅ + ⋅ ⇔ − ⋅ + ⋅_ _+ ⋅ = − ⋅ + ⋅ ⇔ + ⋅ = ⇔ ⋅ = _

Exercice 1 *

L’ensemble V x ; x ; x ; x=4 =

{

(

_{1 2 3 4}

)

x_i∈

}

muni des deux opérations définies dans le cours

possède une structure d’espace vectoriel sur



.

i) Citer les deux lois de composition du cours définies sur l’ensemble 4

. ii) Vérifier que l’addition est commutative.

iii) Quel est l’élément neutre noté 0 pour l’addition ?

iv) Quel est le symétrique du vecteur

(

3 ; 4 ; 2;1− −

)

pour l’addition ? v) 1∈



est-il l’élément neutre pour la loi de composition externe ? Exercice 2 *

a) L’ensemble P des polynômes ₂ de degré ≤ 2 muni des deux opérations définies dans le cours possède une structure d’espace vectoriel sur



. i) Citer les deux lois de composition du cours définies sur l’ensemble P2. ii) Vérifier que l’addition est commutative.

iii) Quel est l’élément neutre noté 0 pour l’addition ?

iv) Quel est le symétrique du vecteur 3x2−2x 7+ pour l’addition ? v) 1∈



est-il l’élément neutre pour la loi de composition externe ?

b) L’ensemble M des matrices d’ordre 2 muni des deux opérations définies dans ₂ le cours possède une structure d’espace vectoriel sur



.

i) Citer les deux lois de composition du cours définies sur l’ensemble M . ₂

ii) Vérifier que l’addition est commutative.

iii) Quel est l’élément neutre noté 0 pour l’addition ? iv) Quel est le symétrique du vecteur 4 0

2 3

 

₋ 

  pour l’addition ? v) 1∈



est-il l’élément neutre pour la loi de composition externe ? Exercice 3 *

a) On considère l’ensemble 2 =

{

(

x ; x_{1 2}

)

x et x_{1 2}∈

}

, sur lequel on a défini les deux lois de composition : ( x ; x ) ( y ; y )_{1 2} + _{1 2} =( x₁+ y ; x_{1 2}+ y ) et₂ λ⋅( x ; x )_{1 2} =(λ⋅x ; x )_{1 2}

• Montrer que 2

, muni de ces deux lois, n’est pas un espace vectoriel sur



. • Citer les axiomes qui ne sont pas satisfaits.

b) • Montrer que l’ensemble  , des nombres entiers naturels, muni de l’addition et de la multiplication usuelle d’un nombre réel n’est pas un espace vectoriel sur



.

• Citer les axiomes qui ne sont pas satisfaits.

c) • Montrer que l’ensemble_ , des nombres entiers relatifs, muni de l’addition et de la multiplication usuelle d’un nombre réel n’est pas un espace vectoriel sur



. • Citer les axiomes qui ne sont pas satisfaits.

Exercice 4 *

Soit V un espace vectoriel sur



. Démontrer que ∀ ∈v V et∀ ∈

α



on a :

(P2) α⋅ =0 0 (P3)

( )

− ⋅ = −1 v v (P4) α⋅ − = −

( ) ( )

v α ⋅ = −v

(

α⋅v

)

Indication : utiliser les axiomes de la définition d’un espace vectoriel.

2.3.3 Sous-espace vectoriel *

Un espace vectoriel peut être inclus dans un autre espace vectoriel. Par exemple, dans l’espace vectoriel V =



3 (vecteurs de l’espace), on peut considérer l’ensemble des vecteurs qui sont situés dans le plan passant par les deux premiers axes du repère. L’addition de deux de ces vecteurs sera aussi dans ce même plan et la multiplication d’un vecteur de ce plan par un scalaire n’en sortira non plus pas.

Illustration *

Définition *

Soit V un espace vectoriel sur



, et W un sous-ensemble de V

(

W ⊆V

)

.

W est dit sous-espace vectoriel de V si W est lui-même un espace vectoriel.

Exemples *

a) L’ensemble W =

{

(

x ; x ;0 x ,x_{1 2}

)

_{1 2} ∈

}

est un sous-espace vectoriel de 3 =

{

(

x ; x ; x_{1 2 3}

)

x ,x ,x_{1 2 3}∈

}

car :

• 3

W ⊆



•

(

x ; x ;0_{1 2}

) (

+ y ; y ;0_{1 2}

) (

= x₁+ y ; x_{1 2}+y ;0₂

)

∈ W Loi de comp. interne vérifiée 1.a) • λ⋅

(

x ; x ;0_{1 2}

) (

= λ⋅x ;₁ λ⋅x ;₂ λ⋅ =0

) (

λ⋅x ;₁ λ⋅x ;0₂

)

∈ Loi de comp. externe vérifiée 2.a) W

• Il faut vérifier encore les axiomes : 1.b) à 1.e) et 2.b) à 2.e).

V W y x z 0 W

b) L’ensemble P des polynômes à coefficients de degré ₂ ≤ 2 est un sous-espace vectoriel de P , ₃

l’ensemble des polynômes de degré ≤ 3 car : • P₂ ⊆ P₃

•

(

2

) (

2

)

(

)

2

(

) (

)

2 1 0 2 1 0 2 2 1 1 0 0 2

a x +a x+a + b x +b x+b = a +b x + a +b x+ a +b ∈ P

Loi de comp. interne vérifiée 1.a)

•

(

2

)

2

2 1 0 2 1 0 2

a x a x a a x a x a P

λ_ + + =λ +λ +λ ∈ Loi de comp. externe vérifiée 2.a) • Il faut vérifier encore les axiomes : 1.b) à 1.e) et 2.b) à 2.e).

c) L’ensembleC des fonctions continues définies sur l’intervalle _I I ⊆, est un sous-espace vectoriel de l’ensemble F des fonctions réelles définies sur l’intervalle _I I ⊆ car : • C_I ⊂F_I

•

(

)( )

( )

( )

( )

( )

(

( )

( )

)

(

)( )

x a x a x a x a

f g a f a g a lim f x lim g x lim f x g x lim f g x

→ → → →

+ = + = + = + = +

Loi de comp. interne vérifiée 1.a)

•

( )( )

( )

( )

(

( )

)

(

)( )

x a x a x a

f a f a lim f x lim f x lim f x

λ λ λ λ λ

→ → →

= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅

Loi de comp. externe vérifiée 2.a) • Il faut vérifier encore les axiomes : 1.b) à 1.e) et 2.b) à 2.e).

Remarque *

Il faut donc vérifier que W satisfait les dix axiomes d’un espace vectoriel. En fait, cela n’est pas vraiment nécessaire puisque les éléments de W étant aussi ceux de V

(

W ⊂V

)

, ils « héritent » des propriétés de l’espace vectoriel en bonne partie comme la commutativité (1b) ou l’associativité (1c) et les propriétés (2b) à (2e) de la multiplication par un scalaire.

Ainsi, il reste à démontrer que W satisfait les axiomes (1a) et (2a), c’est-à-dire que W possède une loi de composition interne et externe (si u et v sont dans W alors il en est de même pour u+v et λ⋅u, avec λ∈ ) et que l’élément neutre (1d), et le symétrique (1e) de chaque élément de W sont bien aussi dans W.

Le théorème suivant prouve qu’il faut seulement contrôler le fait que les deux opérations + et 

(lois de composition) considérées ne font jamais sortir de l’ensemble W . Théorème *

Soit V un espace vectoriel sur



, et W un sous-ensemble de V

(

W ⊆V

)

.

W est un sous-espace vectoriel de V si et seulement si les deux conditions suivantes

sont vérifiées ∀u,v W et∈ ∀ ∈

λ



:

(i) Si u et v ∈ W alors u v W+ ∈ (axiome 1.a) loi de composition interne) (ii) Si u ∈W alors λ⋅ ∈u W (axiome 2.a) loi de composition externe)

Démonstration *

⇒ Puisque W est un sous-espace vectoriel, il satisfait les dix axiomes et en particulier les deux axiomes (1a) et (2a).

⇐ Supposons que (1a) et (2a) soient satisfaits par W. Il faut montrer que les axiomes (1d) et (1e) sont aussi valables.

Soit donc u, un vecteur de W ; on sait, par l’axiome (2a) que λ⋅ ∈u W pour tout λ∈ ; en prenant λ =0, on obtient que 0 u W⋅ ∈ et la propriété (P2) impliquant que 0 u =0 permet de conclure : (1d) est satisfait par W. Pour l’axiome (1e), il suffit de faire de même en utilisant la valeur λ = −1 et la propriété (P3) impliquant que

( )

− ⋅ = −1 u u et donc − ∈u W.

Remarques *

1) Si W est un sous-espace vectoriel, alors W contient nécessairement le vecteur nul.

2) Soit V un espace vectoriel. i) L’ensembleW =

{ }

0 est un sous-espace vectoriel de V. ii) L’ensemble V est un sous-espace vectoriel de V.

Exercice 5 *

Dans chacun des cas suivants, l'ensemble W est-il un sous-espace vectoriel de V ? Justifier.

(les espaces vectoriels V sont munis des lois de composition définies dans le cours)

1) V =



2 et W =

{

( 0;0 );( 1;2 );( 1; 2 )− −

}

2) V =



2 et W =

{

k⋅

( )

1;2 k∈

}

(droite dans le plan passant par l’origine)

3) V =



2 et W =

{

k⋅

( ) ( )

1;2 + 3;3 k∈

}

(droite dans le plan ne passant pas par l’origine) 4) V =



2 et W =

{

(

x ; x_{1 2}

)

x₁2+x₂2 =42

}

5) V =



3 et W =

{

(

x ; x ; x_{1 2 3}

)

x₁≥ 0

}

6) V =



3 et W =

{

(

x ; x ; x_{1 2 3}

)

x₁−4 x₂+7 x₃ =0

}

(plan dans l’espace passant par l’origine) 7) V =



3 et W =

{

(

x ; x ; x1 2 3

)

x1−4 x2+7 x3 = (plan dans l’espace ne passant pas par l’origine) 3

}

8) V =



3 et W =

{

(

x ; x_{1 2}

)

x et x_{1 2}∈

}

9) V = ensemble P2 des polynômes de degré ≤ 2 et W =

{

p( x )=λx2+µ λ µ, ∈

}

10) V = ensemble P2 des polynômes de degré ≤ 2 et W =

{

p( x )= ⋅ ⋅ −k x

(

x 1

)

k∈

}

(ensemble des polynômes de degré 2 possédant comme racines : 0 et 1) 11) V = ensemble P2 des polynômes de degré ≤ 2 et W p x

( )

1 ₂ k

k x

 

=_ = ∈ _

⋅

  

12) V = ensemble M des matrices carrées d’ordre 2 ₂

et 11 2 i 2 j a 0 W 0 a a _{ }    =     

  ∈ (ensemble des matrices diagonales d’ordre 2) 13) V = ensemble M des matrices carrées d’ordre 2 et ₂ W a c a,b,c

c b ∈ _{ }    =         

14) V = ensemble M des matrices carrées d’ordre 2 ₂

et W a b ad bc 0 c d _{ }    =_{ } − ≠ _    

  (ensemble des matrices dont le déterminant est différent de 0) 15) V = ensemble M des matrices carrées d’ordre 3 ₃

et W = ensemble M des matrices carrées d’ordre 2 ₂

16) V =C_I (ensemble des fonctions continues sur l’intervalle I) et W =F_I (ensemble des fonctions sur l’intervalle I)

17) V =C_I (ensemble des fonctions continues sur l’intervalle I) et W =D_I (ensemble des fonctions dérivables sur l’intervalle I) 18) V =C_I (ensemble des fonctions continues sur l’intervalle I) et W =

{

α⋅sin( x )+ ⋅β cos( x )α β, ∈

}

2.3.4 Combinaisons linéaires *

Définition *

Soit n scalaires λ λ λ₁, ₂, ₃,...,λ ∈_n



et n vecteurs v ,v ,v ,...,v d’un espace _{1 2 3 n}

vectoriel V. Le vecteur n 1 1 2 2 n n i i i 1 v v ... v v λ λ λ λ = ⋅ + ⋅ + + ⋅ =

∑

⋅ est appelé combinaison linéaire des vecteurs v ,v ,v ,...,v . _{1 2 3 n}

Illustration

1

3 v⋅ est combinaison linéaire du vecteurv . ₁ 2 v⋅ + ⋅ est combinaison linéaire des vecteurs ₁ 3 v₂

v et v . _{1 2}

Exemples *

a) Considérons l’espace vectoriel  . 2

i) Si v₁ =

( )

1;2 et v₂ = −

(

1;3

)

alors u= ⋅ + − ⋅ =2 v₁

( )

3 v₂

(

5; 5−

)

est combinaison linéaire de v et ₁ v . ₂

ii) Soit v₁ =

( )

1;2 , v₂ = −

(

1;3 et w

)

=

( )

4;3 trois vecteurs de  . 2

Est-ce que w est combinaison linéaire de v et v ? _{1 2}

Autrement dit, On cherche deux scalaires λ₁etλ₂∈ tel que w= ⋅ + ⋅λ₁ v₁ λ₂ v₂ . Pour résoudre ce problème, on considère le système d’équations linéaires 2×2 suivant :

1 2

( )

1 2 1 2 4 1 1 1 1 4 2 3 3 3 2 3 λ λ λ λ λ λ  = ⋅ + ⋅ −  −       _{⇔ ⋅ =}  _{= ⋅ + ⋅}              

Utilisons la règle de Cramer : _{1 2}

1 1 3 15 2 5 3 et 1 1 1 5 1 1 5 2 3 2 3 λ λ − − = = = = = = − − − 4 4 3 3 Conclusion : w= ⋅ + − ⋅3 v₁

( )

1 v₂

b) Considérons l’espace vectoriel  .3

i) Est-ce que u=

(

3;4;5

)

est combinaison linéaire de v₁=

(

1;2;3 et v

)

₂ =

(

2;3;4 ?

)

Autrement dit, On cherche deux scalaires λ₁etλ₂∈ tel que : u= ⋅ + ⋅λ₁ v₁ λ₂ v₂ . Pour résoudre ce problème, on considère le système d’équations linéaires 3×2 suivant :

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 ( 3;4;5 ) ( 1;2;3 ) ( 2;3;4 ) 3 2 3 2 4 2 3 5 3 4 On substitue : 4 6 4 3 2 et 1 λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ = + = + ⇒ = −   = +   = +  = − + ⇔ = = −

Conclusion : u= − ⋅ + ⋅

( )

1 v₁ 2 v₂ (u est donc combinaison linéaire de v et v_{1 2}) ii) Est-ce que u=

(

1;1;2

)

est combinaison linéaire dev1=

(

1;2;3 et v

)

2 =

(

2;3;4 ?

)

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 ( 1;1;2 ) ( 1;2;3 ) ( 2;3;4 ) 1 2 1 2 1 2 3 2 3 4 On substitue: 1 2 4 3 1 et 1 λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ = + = + ⇒ = −   ⇔ _ = +  = +  = − + ⇔ = = −

Il y a une contradiction avec la troisième équation.

Conclusion : u n’est pas une combinaison linéaire de v et v_{1 2}. c) Considérons l’espace vectoriel P . ₃

i) Le vecteur 7+ −x 5x3 est combinaison linéaire des vecteurs 1, x, x 3

car 7+ −x 5 x3 = ⋅ + ⋅ + − ⋅7 1 1 x

( )

5 x3.

ii) Le vecteur x2 n’est pas combinaison linéaire des vecteurs 1, x, x 3

car le système d’équation : x2 = ⋅ + ⋅ + ⋅λ₀ 1 λ₁ x λ₃ x n’admet pas de solutions. 3 d) Considérons l’espace vectoriel M . ₂

i) Le vecteur 4 1

0 5

 

 

  est combinaison linéaire des vecteurs

1 0 0 1 0 0 , , 0 0 0 0 0 1                   car 4 1 4 1 5 0 5  _{= ⋅} _{+ ⋅} _{+ ⋅}                  1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 . ii) Le vecteur 4 4 4 4    

  n’est pas combinaison linéaire des vecteurs

1 0 0 1 0 0 , , 0 0 0 0 0 1                  

car le système d’équation 4 4 _{1 2 3}

4 4 λ λ λ  _{= ⋅} _{+ ⋅} _{+ ⋅}                  1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1

Exercice 6 * Soit a, b et x ∈2.

x est-il combinaison linéaire de a et de b dans les cas suivants ? Justifier par des calculs. a) x= −( 2;5 ) , a=( 1;2 ) , b ( 2;4 )= b) x=( 4; 5 ) , a− = −( 3;2 ) , b=( 1;3 )

Exercice 7 *

Soit a=( 2;1 ), b= −( 1;1 ) et c=( 0;1 ) ∈2. a) Calculer x=2a− −b 3c.

b) y=

(

4; 3−

)

est-il combinaison linéaire de a, bet c ? Justifier par des calculs. c) Y a-t-il une seule combinaison linéaire possible pour le cas précédant ? Justifier.

Exercice 8 *

Soit a=( 1;0;1 ), b= −( 2;1;0 ) et c=( 1;1;1 ) ∈3

a) Calculer x=2a− −b 3c.

b) Exprimer si possible le vecteur v=( 1;2;3 ) comme combinaison linéaire de : i) a et b . ii) a et c . iii) a,b et c .

Exercice 9 *

a) Pour quelle valeur de z, le vecteur a=( 1; 2; z )− ∈3 sera une combinaison linéaire des vecteurs u=( 3;0; 2 ) et v− =( 2; 1; 5 )− − ? Justifier par des calculs.

b) Pour quelle valeur de y, le vecteur a= −( 2; y;1 )∈3 sera une combinaison linéaire des vecteurs u=( 1;2;3 )et v=( 3;2;1 ) ? Justifier par des calculs.

Exercice 10 *

a) Le polynôme p(x) est-il combinaison linéaire de p ( x )₀ =1, p ( x ) x, p ( x ) x , p ( x ) x₁ = ₂ = 2 ₃ = 3

dans les cas suivants ? Justifier si nécessaire par des calculs.

i) p( x )= −6 7 x+3x2− x3 ii) p( x )=

(

x+1

)

4 iii) p( x )=2 x

(

+1

)

3

b) Le polynôme p(x) est-il combinaison linéaire de q( x ) 1 x, r( x ) x= + = +3 x2+ 3

dans les cas suivants ? Justifier si nécessaire par des calculs.

Exercice 11 *

La matrice M est-elle combinaison linéaire de E₁ 1 0 , E₂ 0 1 , E₃ 0 0

0 0 0 0 1 0

     

=_{ } =_{ } =_{ }

     

dans les cas suivants ? Justifier si nécessaire par des calculs. i) M 2 3 0 0   =     ii) 2 2 M 2 2   =     Exercice 12 * Proposition Soit n vecteurs : v ,v ,...,v_{1 2 n}∈ . V

L’ensemble W =

{

λ_{1 1}v +λ_{2 2}v +...+λ_{n n}v λ λ₁, ₂,...,λ_n ∈

}

est un sous-espace vectoriel de V. Remarques

i) W =

{

λ1 1v +λ2 2v +...+λn nv λ λ1, 2,...,λn ∈

}

⊆V

ii) Le sous-espace vectoriel formé par toutes les combinaisons linéaires des vecteurs v ,v ,...,v_{1 2 n}∈ est appelé sous-espace vectoriel engendré par V v ,v ,...,v . _{1 2 n}

Exemples

a) Soit v=( 3 ;2 )∈2 alors

{

}

2

W = λ⋅( 3 ;2 ) λ∈ ⊆ est sous-espace vectoriel de 2

engendré par

( )

3;2 .

b) Soit u=( 3 ;2 ) ,v=( 1;1 )∈2 alors W =

{

λ⋅( 3 ;2 )+ ⋅µ ( 1;1 ) λ µ, ∈

}

est sous-espace vectoriel de engendré par (3;2) et (1;1). Dans ce cas particulier,2 _W =



2_.

c) Soit 1, x, x , x3 6∈ alors P₆

{

3 6

}

1 x x x , , ,

λ +µ +α +β λ µ α β ∈_ est sous-espace vectoriel deP engendré par ₆ 3 6 1, x, x , x . d) Soit 1 0 M₂ 0 0  _∈     alors 1 0 W 0 0 λ λ     =_ ⋅_{ } ∈ _  

  est sous-espace vectoriel deM 2 engendré par 1 0

0 0

 

 

 .

2.3.5 Vecteurs linéairement dépendants

et indépendants *

Définitions *

a) Les vecteurs v ,v ,...,v_{1 2 n}∈V sont linéairement dépendants (ou la famille

[

v ,v ,...,v_{1 2 n}

]

est liée) si l’un des vecteurs v peut être exprimé comme combinaison _i

linéaire des autres v . _i

b) Les vecteurs v ,v ,...,v_{1 2 n}∈ sont linéairement indépendants (ou la famille V

[

v ,v ,...,v_{1 2 n}

]

est libre) si aucun des vecteurs v peut être exprimé comme combinaison _i

linéaire des autres v . _i Illustrations

1) v et v sont linéairement dépendants car _{1 2} v₂ 3v₁ et v₁ 1v₂ 3

= =

On dit alors que la famille

[

v , v_{1 2}

]

est liée.

2) v et v sont linéairement indépendants car on ne peut pas exprimer _{1 2}

l’un d’eux comme combinaison linéaire des autres. Autrement dit : v₁ ≠ ⋅λ₁ v et v_{2 2} ≠λ_{` 2}⋅v₁

On dit alors que la famille

[

v , v_{1 2}

]

est libre. Exemples *

a) Considérons l’espace vectoriel  . 2

i) Les vecteurs v₁=( 2;4 ) et v₂ = − −( 6; 12 ) sont-ils linéairement dépendants ? Posons v₂ v₁ 6 2 3

(

Système : 2 1

)

12 4 α α α α − = ⋅  = ⋅ ⇔_{− = ⋅} ⇒ = − × 

v et v sont-ils linéairement dépendants car _{1 2} v₂

( )

3 v₁ ou v₁ 1 v₂ 3

 

= − ⋅ = −_{ }⋅

  . On dit alors que la famille

[

( 2;4 ) , ( 6; 12 )− −

]

est liée.

ii) Les vecteurs v₁=( 1;0 ) et v₂ =( 0;1 ) sont-ils linéairement indépendants ? Posons v₂ v₁ 0 1 pas de solutions

(

Système : 2 1

)

1 0 α α α = ⋅  = ⋅ ⇔_{ = ⋅} × 

Remarque *

Suivant le choix de l’espace vectoriel et si on considère un grand nombre de vecteurs il n’est pas aisé de vérifier à l’aide de la définition que la famille de vecteurs considérés est libre ou liée, car on obtient plusieurs systèmes d’équations de grande taille (beaucoup d’équations et d’inconnues). La proposition ci-dessous va nous donner une équivalence permettant de systématiser les calculs permettant de répondre à la question de dépendance ou d’indépendance linéaire.

Proposition *

1) La famille

[

v ,v ,...,v1 2 n

]

est liée

⇔

Si λ_{1 1}v +λ_{2 2}v +...+λ_{n n}v = alors les 0 λ_i sont non tous nul (avec au moins un λ_i ≠ ). 0

2) La famille

[

v ,v ,...,v_{1 2 n}

]

est libre ⇔

Si λ_{1 1}v +λ_{2 2}v +...+λ_{n n}v = alors les 0 λ_i sont tous nuls

(

i∈

{

1,2,...,n

}

)

. Exemples *

a) Dans  , la famille 2

[

]

1 2

v =( 3;5 ) , v =( 9;15 ) est-elle liée ou libre ?

Posons _{1 1 2 2 1 2} 1 2 1 2 3 9 0 v v 0 ( 3;5 ) ( 9;15 ) ( 0;0 ) ( Sys. 2 2 ) 5 15 0 λ λ λ λ λ λ λ λ + =  ⋅ + ⋅ = ⇔ ⋅ + ⋅ = ⇔_ × + = 





1 2 X B A 3 9 0 et det( A ) 0 5 15 0 λ λ       ⇔_{ }⋅_{ }=_{ } =       

Utilisons la règle de Cramer :

1 1 1 2 2 2 0 9 0 15 0 0 0 3 9 0 5 15 3 0 5 0 0 0 0 3 9 0 5 15 λ λ λ λ λ λ = = ⇔ ⋅ = ⇔ ∈ = = ⇔ ⋅ = ⇔ ∈  

Conclusion : La famille

[

v1 =( 3;5 ) , v2 =( 9;15 )

]

est liée.

En particulier v₂ 3 v₁ ou v₁ 1 v₂ 3

 

= ⋅ =_{ }⋅

b) Dans  , la famille 3

[

]

1 2 3

v =( 1;2;3 ) , v =( 2;1; 1 ) , v− = −( 1;1;1 ) est libre car :





1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 X B A ( 1;2;3 ) ( 2;1; 1 ) ( 1;1;1 ) ( 0;0;0 ) 2 0 2 0 ( Système 3 3 ) 3 0 1 2 1 0 2 1 1 0 et det( A ) 0 3 1 1 0

Le système admet une solution unique

λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ ⋅ + ⋅ − + ⋅ − = + − =   ⇔_ + + = ×  − + =  −             ⇔_{     }= ≠  ₋              1 2 3 0 donc 0 v1 0 v2 0 v3 0 λ λ= =λ = ⋅ + ⋅ + ⋅ = c) Dans P , la famille ₂ 2 1, x , x  

  est libre car : 1 2 2 1 2 3 2 3 0 1 x x 0 x 0 x 0 1 0 0 λ λ λ λ λ λ =   ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ ⇔_ =  = 

d) Dans P , la famille ₂

[

x , 3x

]

est liée car : 3x= ⋅

λ

x avec

λ

=3

Démonstration *

1) ⇒ : Si la famille

[

v ,v ,...,v_{1 2 n}

]

est liée, on peut exprimer un des vecteurs comme combinaison linéaire des autres.

_ i i 1 1 2 2 n n i 1 1 n n 0 v v v ... v 0 1 v v ... v λ λ λ λ λ λ ≠ = + + + ⇔ = − + + +

On constate que, toute combinaison linéaire nulle d’une famille de vecteurs liée s'écrit alors avec au moins un scalaire non nul.

⇐ : Supposons qu'au moins un des scalaires, par exemple λ_i, n'est pas nul.

On a alors : 1 n 1 1 i i n n i 1 n i i v ... v ... v 0 v λ v ... λ v λ λ λ λ λ     + + + + = ⇔ = −_{ } + + −_{ }    

v est alors une combinaison linéaire des autres vecteurs donc la famille _i

[

v ,v ,...,v_{1 2 n}

]

est liée.

2) Évident en utilisant la logique :

(

A⇒B

) (

⇔ NB⇒NA

)

Exercice 13 *

Considérons l’espace vectoriel  . 2

a) Les familles de vecteurs suivantes sont-elles libres ou liées ? Justifier par des calculs. 1)

[

( 2;5 ),( 0;0 )−

]

2)

[

( 1;1 ),( 1;1 )−

]

3)

[

( 1;3 ),( 3; 9 )− −

]

4)

[

( 1;1 ),( 1;1 ),( 3; 9 )− −

]

b) Vrai ou faux ? « Une famille contenant le vecteur nul est toujours liée ». Justifier.

Exercice 14 *

Considérons l’espace vectoriel  . 3

Soit les vecteurs : a=( 1; 2;0 ) et b− =( 0;1;2 )∈3

a) Montrer que la famille

[ ]

a;b est libre.

b) Trouver trois vecteurs c, d et e vérifiant les 4 conditions suivantes :

i)

[ ]

a;c est liée ii)

[ ]

a,e est libre iii)

[

a,b,e

]

est liée iv)

[

a,b,d

]

est libre Exercice 15 *

Considérons l’espace vectoriel M . ₂

Soient les matrices A 2 3 1 1   = ₋    , 1 4 B 3 2 −   =     , 8 12 C 4 4   = ₋    et 8 1 D 8 1   = _{− −}    .

a) Calculer E tel que E = −A 2B+3C.

b) Les familles

[

A; B

]

,

[

A;C

]

et

[

A; B;C; E

]

sont-elles libres ou liées ? Justifier. Exercice 16 *

Considérons l’espace vectoriel P . ₂

Les familles de vecteurs suivantes sont-elles libres ou liées ? Justifier par des calculs. a)

[

3x ,6 x

]

b) _7 x ,7 x2 _

1

- 1

- 1

1

2.3.6 Familles génératrices et bases d’un espace

vectoriel *

Définition *

Une famille de vecteurs

[

v ,v ,...,v_{1 2 n}

]

d’un espace vectoriel V est dite génératrice de cet espace, (ou engendre V) si n’importe quel élément de V peut s’écrire comme combinaison linéaire des vecteurs de cette famille. Autrement dit :

v V ∀ ∈ ∃ λ λ λ₁, ₂, ₃,...,λ_n∈ tels que v=λ_{1 1}v +λ_{2 2}v +...+λ_{n n}v Exemples * a) Dans  , la famille 2

( )

( )

1 2 e = 1;0 ,e = 0;1    

est une famille génératrice car tout x=

(

x ; x_{1 2}

)

∈ , s’écrit : 2

(

x ; x_{1 2}

)

= ⋅x₁

( )

1;0 +x₂⋅

( )

0;1 = ⋅ +x e_{1 1} x₂⋅e₂

Exemple :

( )

3;2 = ⋅ + ⋅3 e1 2 e2

Remarque : la famille

[

e ,e_{1 2}

]

est libre et génératrice.

b) Dans  , montrons que la famille 2

_v₁ =

( )

1;1 ,v₂ = −

(

1;1

)

_{ est une famille génératrice.}

Soit

(

)

2

1 2 1 2

x= x ; x ∈ avec x ,x arbitraires : il s’agit de montrer qu’il existe λ λ₁, ₂∈

tel que x= ⋅ + ⋅ , c’est-à-dire : λ₁ v₁ λ₂ v₂

(

1 2

)

1

( )

2

(

) (

1 2 1 2

)

1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 x ; x 1;1 1;1 ; x x x ₂ x x x 2 λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ _λ = ⋅ + ⋅ − = − + +  =  − =   ⇔_ ⇔_ + = −  _{ =} 

Solution définie pour x ,x arbitraires. _{1 2}

Donc

[

v ,v_{1 2}

]

est une famille génératrice. Exemple :

( )

3;2 5 v₁ 1 v₂

2 2

= ⋅ + ⋅

Remarque : la famille

[

v ,v_{1 2}

]

est libre et génératrice.

1

- 1

- 1

c) Dans  , la famille 2

( )

( )

1 2

v = 1;1 ;v = 2;2

 

  n’est pas une famille génératrice car x=( 3;4 ) n’est pas combinaison linéaire de v et v . _{1 2}

_{1 2} 1 2 _{1 2} 1 2 2 3 ( 3;4 ) ( 1;1 ) ( 2;2 ) 0 0 1 2 4 λ λ λ λ λ λ λ λ + =  = ⋅ + ⋅ ⇔_{ +} ⇔ ⋅ + ⋅ = − =  ( pas de solutions ).

Remarque : la famille

[

v ,v_{1 2}

]

est liée et non-génératrice. d) Dans  , considérons une famille contenant 2

[

]

1 2

e ,e , par exemple

[

e ,e ,v1 2

]

avec v=

( )

1;2 . Elle est évidemment génératrice, car pour tout

(

x ; x1 2

)

∈ on peut écrire : 2

(

x ; x1 2

)

= ⋅ +x e1 1 x2⋅ + ⋅e2 0 v

Remarque : la famille

[

e ,e ,v_{1 2}

]

est liée et génératrice.

Plus généralement : toute famille contenant une famille génératrice est génératrice.

e) Dans  , la famille n

(

)

(

)

(

)

1 2 n

e = 1;0;...;0 ,e = 0;1;0;...;0 ;...;e = 0;0;0;...;1

 

 

est une famille génératrice car tout x=

(

x ; x ;...; x_{1 2 n}

)

∈ , s’écrit : n

(

x ; x ;...; x1 2 n

)

= ⋅ +x e1 1 x2⋅ +e2 ... x+ n⋅en

Remarque : la famille

[

e ,e ,...,e_{1 2 n}

]

est libre et génératrice. f) DansP , la famille ₂ 2

1, x,x ,1 x

 + 

  est une famille génératrice car tout polynôme de degré ≤ 2 peut s’écrire : λ2x +2 λ1x +λ0 =λ2⋅x2+ ⋅λ1 x +λ0⋅ + ⋅ +1 0 1

(

x

)

Remarque : la famille _1, x,x ,12 +x_{ est liée et génératrice.}

g) DansM , la famille ₂ E₁ 1 0 , E₂ 0 1 , E₃ 0 0 , E₄ 0 0 , A 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 2 4            = = = = =                       

est une famille génératrice car toute matrice carrée d’ordre 2 peut s’écrire :

11 12 11 12 21 22 21 22 a a 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 a a a a 0 a a 0 0 0 0 1 0 0 1 2 4             = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅                        

Remarque : la famille

[

E , E ,E , A1 2 3

]

est liée et génératrice.

h) DansM , la famille ₂

[

E , E ,E ,E1 2 3 4

]

est libre et génératrice.

L’idée est d’engendrer un espace vectoriel V avec le « minimum » de vecteurs. Ceux-ci formeront une « base » de cet espace.

Définition *

Considérons n vecteurs v ,v ,...,v d’un espace vectoriel V. _{1 2 n}

La famille

[

v ,v ,...,v_{1 2 n}

]

est une base de V,

si et seulement si

1) elle est génératrice. Autrement dit : ∀ ∈a V ∃ λ λ λ₁, ₂, ₃,...,λ_n∈ tels que a=λ_{1 1}v +λ_{2 2}v +...+λ_{n n}v

2) elle est libre. Autrement dit : aucun des vecteurs v ne peut être exprimé _i

comme combinaison linéaire des autres vecteursv_i.

Illustration *

Exemples *

a) La famille _e₁ =

( )

1;0 ,e₂ =

( )

0;1 _{ est une base de}  (canonique). 2

b) La famille _v₁=

( )

1;1 ,v₂ = −

(

1;1

)

_{ est une base de}  . 2

c) La famille _e₁=

( )

1;0 ,e₂ =

( )

0;1 ,v=

( )

1;2 _{ n’est pas une base de}  car elle est liée. 2

d) La famille _v=

( )

1;2 _{ n’est pas une base de}  car elle n’est pas génératrice de 2  . 2

Remarque : Il existe une infinité de bases dans  . 2

e) La famille e1 =

(

1;0;...;0 ,e

)

2 =

(

0;1;0;...;0 ;...;e

)

n =

(

0;0;0;...;1

)



est une base (canonique) de . n

Illustration :

Remarque : Il existe une infinité de bases dans  . n

Famille Libre Liée

Génératrice Base Non - Génératrice y 1 1 x 0 0 z 1 1 1 y x