Méthode lagrangienne actualisée pour des problèmes hyperélastiques en très grandes déformations

Méthode lagrangienne actualisée pour des problèmes

hyperélastiques en très grandes déformations

Thèse

Sophie Léger

Doctorat en mathématiques

Philosophiæ doctor (Ph.D.)

Résumé

Simuler numériquement de façon précise les matériaux hyperélastiques en grandes déforma-tions par la méthode des éléments finis est encore un problème difficile. Même avec l’aide d’un maillage très raffiné, la formulation lagrangienne totale peut mener à des problèmes de convergence en raison de la dégénérescence des éléments du maillage. L’estimation d’erreur et le remaillage adaptatif sur la géométrie initiale sont des outils utiles qui peuvent améliorer la précision des solutions (avec moins de degrés de liberté), mais ces outils ne sont malheu-reusement pas suffisants pour atteindre de très hauts niveaux de déformation. La formulation lagrangienne actualisée où la géométrie du domaine de calcul est périodiquement mise à jour est donc préférée, et ceci même si des étapes de remaillage sont encore nécessaires afin de contrôler la qualité des éléments et d’éviter les éléments trop déformés, voire renversés. Suite à une étape de remaillage, le transfert de données (réinterpolation des variables) de l’ancien maillage vers le nouveau maillage est nécessaire, ce qui est un problème délicat. Si les transferts ne sont pas effectués adéquatement, la précision peut être sérieusement affectée.

Dans cette thèse, nous présentons une formulation lagrangienne actualisée où l’erreur sur la solution éléments finis est estimée et combinée au remaillage adaptatif afin de raffiner le maillage dans les régions où l’erreur estimée est grande, et au contraire, enlever des éléments là où l’erreur est considérée petite, le tout en contrôlant la qualité des éléments du maillage. En utilisant cette approche, de très hauts niveaux de déformation peuvent être atteints tout en préservant la précision de la solution. Une attention particulière est portée aux méthodes de transfert de données et une méthode de projection cubique très précise est introduite. La méthode de continuation de Moore-Penrose, qui est très efficace, est aussi utilisée pour piloter automatiquement l’algorithme complet qui inclut l’augmentation de la charge, l’estimation d’erreur, le remaillage adaptatif et le transfert de données. Une nouvelle approche pour l’im-plémentation de la méthode de continuation de Moore-Penrose, facilitant la détection des points de bifurcation, sera aussi présentée de même que plusieurs exemples.

Abstract

Accurate simulations of large deformation hyperelastic materials by the finite element method is still a challenging problem. In a total Lagrangian formulation, even when using a very fine initial mesh, the simulation can break down due to severe mesh distortion. Error estimation and adaptive remeshing on the initial geometry are helpful and can provide more accurate solutions (with a smaller number of degrees of freedom) but are not sufficient to attain very large deformations. The updated Lagrangian formulation where the geometry is periodically updated is then preferred. Remeshing may still be necessary to control the quality of the elements and to avoid too severe mesh distortion. It then requires frequent data transfer (reinterpolation) from the old mesh to the new one and this is a very delicate issue. If these transfers are not done appropriately, accuracy can be severely affected.

In this thesis, we present an updated Lagrangian formulation where the error on the finite element solution is estimated and adaptive remeshing is performed in order to concentrate the elements of the mesh where the error is large, to coarsen the mesh where the error is small and at the same time to control mesh distortion. In this way, we can reach high level of deforma-tions while preserving the accuracy of the solution. Special attention is given to data transfer methods and a very accurate cubic Lagrange projection method is introduced. As large defor-mation problems frequently have highly nonlinear solutions, the Moore-Penrose continuation method is used to automatically pilot the complete algorithm including load increase, error estimation, adaptive remeshing and data transfer. A new approach for the implementation of the Moore-Penrose continuation method, facilitating the detection of bifurcation points, will also be presented as well as a number of examples.

Table des matières

Résumé iii

Abstract v

Table des matières vii

Liste des tableaux ix

Liste des figures xi

Remerciements xix

Introduction 1

1 Matériaux en grandes déformations 5

1.1 Développements théoriques . . . 5

1.2 Formulations variationnelles lagrangiennes . . . 8

1.3 Discrétisation . . . 16

1.4 Validation du modèle mathématique et de la méthode numérique . . . 17

2 Ingrédients clés 29 2.1 Estimation d’erreur et adaptation de maillage . . . 30

2.2 Transfert du tenseur du gradient de déformation . . . 40

2.3 Continuation numérique . . . 64 2.4 Résultats numériques. . . 67 3 Continuation et bifurcations 83 3.1 Implémentation numérique. . . 84 3.2 Détection de bifurcations . . . 96 3.3 Validation de l’approche . . . 100 4 Généralisation en 3D 117 4.1 Adaptation basée sur la notion de métrique . . . 117

B Récupération des dérivées aux noeuds 143

Bibliographie 147

Liste des tableaux

1.1 Test de validation (équilibre) : résidus obtenus par la méthode de Newton pour les 4 incréments . . . 19 1.2 Test de validation (équilibre) en 3D : résidus obtenus par la méthode de Newton

pour les 4 incréments. . . 21 2.1 Norme L2 _{du déplacement total après le relâchement de la charge divisée par l’aire}

de la géométrie initiale : comparaison entre différentes discrétisations (sans re-maillage) . . . 51 2.2 Norme L2 _{du déplacement total après le relâchement de la charge divisée par l’aire}

de la géométrie initiale : comparaison entre les différentes méthodes (avec adapta-tion de maillage). . . 54 2.3 Nombre d’incréments de convergence : comparaison entre les différentes méthodes

de transfert. Illustration de comment l’algorithme de recherche linéaire améliore les résultats. . . 57 2.4 Norme L2 _{du déplacement total après le déchargement divisée par l’aire de la}

géométrie initiale : comparaison entre les différentes méthodes de transfert . . . 60 2.5 Nombre d’incréments de convergence : comparaison entre la formulation

lagran-gienne actualisée et totale (avec et sans remaillage adaptatif) . . . 64 3.1 Point détecté à v = 0.028945 (premier point de la paire) : comparaison des six plus

petites valeurs propres. La comparaison est effectuée juste avant (v1 = 0.028943)

et juste après (v2 = 0.028947) le point détecté. . . 106

3.2 Point détecté à v = 0.032893 (deuxième point de la paire) : comparaison des six plus petites valeurs propres. La comparaison est effectuée juste avant (v1 = 0.032425)

et juste après (v2 = 0.033150) le point détecté. . . 107

4.1 Poutre élastique rectangulaire : norme L2_{du déplacement total après le relâchement}

de la charge divisée par le volume de la géométrie initiale (comparaison entre discrétisation MINI et Taylor-Hood) . . . 122

Liste des figures

1.1 Les configurations initiale et actuelle d’un corps en grandes déformations. . . 6

1.2 Les forces agissant sur un corps en grandes déformations . . . 7

1.3 Tests de validation : géométrie et maillage initial . . . 18

1.4 Comparaison entre lagrangien total et actualisé : cas test avec pression suiveuse . . 22

1.5 Comparaison entre lagrangien total et actualisé (cas d’une pression suiveuse) : superposition des résultats à P = 0.4 . . . 23

1.6 Comparaison entre lagrangien total et actualisé : cas test avec condition aux limites de Dirichlet . . . 24

1.7 Comparaison entre lagrangien total et actualisé (cas de Dirichlet) : superposition des résultats à v = 1.8 . . . 25

1.8 Test de validation (équilibre) : (a) maillage initial et géométrie déformée après le troisième incrément (b) maillage déformé après le troisième incrément et géométrie déformée après le quatrième incrément . . . 25

1.9 Test de validation (énergie) : (a) maillage initial et géométrie déformée après le troisième incrément (b) maillage initial et géométrie après le quatrième incrément . 26 1.10 Test de validation (équilibre et énergie) en 3D : géométrie et maillage initial . . . . 26

1.11 Test de validation (équilibre) en 3D : (a) maillage initial et géométrie déformée après le troisième incrément (b) maillage déformé après le troisième incrément et géométrie déformée après le quatrième incrément . . . 27

1.12 Test de validation (énergie) en 3D : (a) maillage initial et géométrie déformée après le troisième incrément (b) maillage initial et géométrie après le quatrième incrément 27 2.1 Division d’arête . . . 35

2.2 Élimination d’un noeud . . . 35

2.3 Retournement d’arête . . . 36

2.4 Déplacement d’un sommet . . . 36

2.5 Illustration de comment le remaillage adaptatif améliore la précision de la solution. Courbe de convergence en norme L2 _{: comparaison entre maillages réguliers et} adaptés. . . 39

2.6 Problème d’indentation [73] : géométrie, conditions aux limites et maillage initial . 41 2.7 Effet du remaillage sur la géométrie actualisée : (a) maillage contenant des éléments très déformés et (b) maillage optimisé . . . 42

2.8 Voisinage d’un point Gh+1 _{du nouveau maillage . . . 43}

2.11 Fonction u = [yex_{/100, sin(y)/100] : erreur en norme L}2 _{pour F en fonction du}

nombre de degrés de liberté (comparaison entre les différentes méthodes de transfert) 52 2.12 Test de conservation de l’énergie (avec adaptation de maillage) : géométrie initiale

(en couleur gris unicolore) et maillage déformé. La comparaison est faite (a) à la charge maximale P = 0.03 et (b) après le relâchement de la charge. . . 53 2.13 Graphique de la force appliquée en fonction du déplacement pour le chargement et

le déchargement : (a) vue globale et (b) agrandissement à la fin du déchargement (comparaison entre les différentes méthodes de transfert) . . . 55 2.14 Maillage initial : (a) utilisé dans le cas avec remaillage adaptatif et (b) utilisé dans

le cas sans remaillage (maillage fin) . . . 57 2.15 Problème d’indentation : maillage final déformé (à v = 0.176) dans le cas d’un

transfert par projection L2 _{cubique . . . 58}

2.16 Vue globale et locale (dans la région de la singularité) de F11 à l’incrément 130 . . 59

2.17 Agrandissement de la région de la singularité du maillage final déformé (à v = 0.175) dans le cas d’un transfert par la technique du point le plus proche . . . 60 2.18 Agrandissement de la région de la singularité de la configuration déchargée (maillage)

pour les différentes méthodes de transfert. La géométrie initiale est illustrée en gris unicolore. . . 61 2.19 Graphiques de la force (v) en fonction du déplacement : (a) comparaison entre les

différentes méthodes de transfert, (b) méthode de projection cubique, (c) moyenne pondérée et (d) technique du point le plus proche . . . 62 2.20 Comparaison entre la configuration obtenue à l’aide d’un maillage fin (en gris

uni-colore) et celle obtenue en utilisant une formulation lagrangienne actualisée avec remaillage adaptatif (maillage) : (a) vue globale et (b) agrandissement de la région de la singularité. . . 63 2.21 Distribution des contraintes (σ11) : (a) avec remaillage adaptatif et (b) avec maillage

fin . . . 64 2.22 Algorithme de corrections pour la méthode de continuation de Moore-Penrose . . . 67 2.23 Exemple avec contrainte de cisaillement . . . 69 2.24 Exemple avec contrainte de cisaillement : maillage final déformé à l’incrément 595. 70 2.25 Problème d’indentation avec déplacement imposé : maillages déformés à différents

moments durant la simulation . . . 73 2.26 Problème d’indentation avec déplacement imposé : vues 2D (illustrant un

agran-dissement de la région de la singularité) et 3D (avec rotation pour améliorer la vi-sualisation) des contraintes (σ11) avant et après les séquences de remaillage adaptatif 74

2.27 Courbe de convergence en norme L2 _{pour u après le déchargement . . . 75}

2.28 Problème d’indentation avec pression suiveuse : maillage final (au pas 787). . . 75 2.29 Problème d’indentation avec pression suiveuse : comparaison du maillage déchargé

avec la géométrie initiale (en gris unicolore) dans le cas de (a-b) 787 remaillages au cours des incréments de chargement et (c-d) 7 remaillages au cours des incréments de chargement. Les figures b) et d) illustrent un agrandissement dans la région de la singularité. . . 76 2.30 Graphique de la force appliquée en fonction du déplacement pour le chargement et

déchargement dans le cas de (a) 787 transferts au cours des incréments de charge-ment et (b) 7 transferts au cours des incrécharge-ments de chargecharge-ment . . . 77 2.31 Problème d’indentation avec pression suiveuse : maillages déformés à différents

moments durant la simulation (note : l’échelle est différente pour chacune des sous-figures) . . . 78 xii

2.32 Problème d’indentation avec pression suiveuse : vues 2D (illustrant un agrandisse-ment de la région de la singularité) et 3D (avec rotation pour améliorer la visuali-sation) des contraintes (σ11) avant et après les séquences de remaillage adaptatif.

Dans la vue 3D, la région dans le coin en bas à droite correspond à la région de la

singularité. . . 79

2.33 Problème d’indenteur : pression suiveuse appliquée sur le côté supérieur du domaine rectangulaire . . . 80

2.34 Problème d’indenteur : maillages déformés à différents moments durant la simulation 81 2.35 Problème d’indenteur : vues 2D et 3D (avec rotation pour améliorer la visualisation) des contraintes (σ11) avant et après les séquences de remaillage adaptatif . . . 82

3.1 Exemple d’une courbe solution difficile à suivre sans continuation . . . 84

3.2 Résolution par la méthode de Newton : exemple simple. . . 88

3.3 Résolution par la méthode de continuation de Moore-Penrose : exemple simple . . 89

3.4 Illustration d’un point de bifurcation simple (¯x = x(¯s)). . . 96

3.5 Détection de bifurcation (exemple simple) : trajectoire fondamentale . . . 100

3.6 Détection de bifurcation (exemple simple) : graphique de τ en fonction de λ . . . . 101

3.7 Détection de bifurcation (exemple simple) : bifurcation vers la trajectoire secondaire102 3.8 Poutre élastique (2D) : maillage initial . . . 103

3.9 Évolution de la déformation de la poutre (2D) en fonction de la force appliquée . . 104

3.10 Poutre élastique (2D) : bifurcations détectées . . . 105

3.11 Graphique de τ en fonction de la charge v . . . 106

3.12 Poutre élastique (2D) : bifurcations détectées suite à l’ajout d’une vérification sup-plémentaire sur la continuité de τ . . . 107

3.13 Premiers modes de bifurcation antisymétriques (2D) . . . 108

3.14 Poutre élastique (2D) : diagramme de bifurcation . . . 109

3.15 Poutre élastique (2D) : maillage initial symétrique composé de 4320 quadrangles et de 4557 noeuds . . . 110

3.16 Mode de déformation très ondulé près de l’instabilité de surface . . . 110

3.17 Quelques modes de bifurcation symétriques . . . 111

3.18 Convergence vers le premier mode symétrique : évolution de la déformation. L’échelle illustre la norme L2 _{du déplacement total. . . . 112}

3.19 Poutre élastique (3D) : maillage initial . . . 113

3.20 Évolution de la déformation de la poutre (3D) en fonction de la force appliquée . . 113

3.21 Poutre élastique (3D) : bifurcations détectées . . . 114

3.22 Premiers modes de bifurcation antisymétriques (3D) . . . 115

4.1 Poutre élastique rectangulaire : maillage de la géométrie initiale . . . 121

4.2 Poutre élastique rectangulaire : maillage initial adapté . . . 122

4.3 Poutre élastique rectangulaire : maillage final déformé dans le cas d’une discréti-sation P2 - P1 . . . 123

4.4 Poutre élastique rectangulaire : maillage final déformé dans le cas d’une discréti-sation MINI . . . 124

4.5 Poutre élastique rectangulaire : maillage initial adapté dans le cas où une seule extrémité est encastrée . . . 125 4.6 Poutre élastique avec une seule extrémité encastrée : évolution de la déformation . 125

4.9 Problème d’indentation avec pression suiveuse appliquée sur la partie du milieu de la face supérieure : maillage initial adapté . . . 128 4.10 Problème d’indentation avec pression suiveuse appliquée sur la partie du milieu de

la face supérieure : évolution de la déformation . . . 129 B.1 Coquille d’éléments et ses noeuds autour d’un sommet N . . . 144

Learn from yesterday, live for today, hope for tomorrow. The important thing is not to stop questioning.

Remerciements

La décision de poursuivre des études doctorales n’est pas toujours une décision qui s’avère facile. Cependant, après avoir passé plus de quatre belles années à l’Université Laval en tant qu’étudiante doctorale au GIREF (groupe interdisciplinaire de recherche en éléments finis), je peux affirmer que je n’ai aucun regret. Les gens que j’ai côtoyés au cours de mes années ici ont rendu mon expérience très agréable et c’est ainsi pourquoi je tiens à les remercier. En tout premier lieu, j’aimerais remercier le professeur André Fortin, mon directeur de thèse, pour sa confiance, sa disponibilité, son soutien et ses conseils judicieux. Non seulement a-t-il grandement contribué à ma formation, mais il a aussi été très sympathique envers moi pendant mes années à Québec et je lui en suis très reconnaissante. André veut le bien de ses étudiants, tant sur le plan personnel que professionnel, et c’est l’une des raisons pour laquelle on ressent une atmosphère de famille lorsqu’on travaille au GIREF.

Je tiens également à remercier Michel Fortin pour ses précieux conseils. Malgré la retraite, Michel trouve toujours le temps de passer au GIREF afin de discuter avec les étudiants de la suite des choses ou des problèmes auxquels on fait face. Michel est réellement un expert dans le domaine des éléments finis et ses suggestions sont toujours bien appréciées.

Mes années à Québec n’auraient certainement pas été aussi plaisantes sans la présence des étudiants du département de mathématiques. Je les remercie alors pour les moments de di-vertissement qu’ils m’ont apportés. Plus particulièrement, j’aimerais remercier Benoît Pouliot, Ludovick Gagnon et Patrick Lacasse, qui sont devenus de très bons amis au fil des années et avec qui j’ai eu énormément de plaisir. J’aimerais aussi remercier Ibrahima Dione pour les nombreuses discussions intéressantes que nous avons eues au GIREF.

J’aimerais aussi remercier les professionnels de recherche, Cristian Tibirna, Éric Chamberland et Jean Deteix, pour leur grande disponibilité. C’est grâce à vos suggestions, vos recomman-dations et à votre soutien technique que cette thèse voit finalement le jour. Merci infiniment ! J’aimerais aussi prendre l’opportunité pour remercier plus spécifiquement Cristian Tibirna pour son aide avec l’implémentation du lagrangien actualisé (et avec git). J’ai acquis beau-coup de connaissances en informatique au cours de mon doctorat grâce à Cristian, et je lui

différents comités de pilotage.

Cette thèse n’aurait aussi jamais vu le jour sans le soutien de ma famille. Mes parents, Charles et Corinne Léger, ont toujours cru en mes habiletés et m’ont toujours encouragé à poursuivre mes rêves. Je les remercie énormément pour les bonnes valeurs qu’ils m’ont transmises, leur soutien inconditionnel et leur confiance. Un merci spécial aussi à ma soeur, Stéphanie Léger, pour ses encouragements et sa confiance.

Malgré la distance, mes amis du Nouveau-Brunswick ont aussi joué un rôle important au cours de mes études à Québec. Leur soutien moral et leur présence m’ont aidé à persévérer et je les remercie énormément. Merci tout particulièrement à Daniel Auffrey pour son soutien continu, sa présence, sa patience et ses encouragements au cours de la dernière ligne droite de cette thèse.

Je tiens également à remercier Sylvie Lambert, agente d’administration au GIREF pendant la majorité de mes études à l’Université Laval, pour m’avoir acceuilli si chaleureusement au sein du GIREF et pour les nombreuses discussions bien intéressantes que nous avons eues. J’ai beaucoup apprécié sa présence lors de mes études et je me sens choyée d’avoir eu l’opportunité de travailler à ses côtés.

J’aimerais aussi remercier le département de mathématiques et statistique pour l’encadrement et les opportunités de travail qu’ils m’ont donnés lors des mes études à l’Université Laval. Plus particulièrement, j’aimerais remercier Frédéric Gourdeau pour sa confiance et pour m’avoir donné la chance d’enseigner à trois reprises au sein du département. Je tiens aussi à remercier Sylvie Drolet et Michel Lapointe pour leur aide.

Merci à Robert Guénette, Nicolas Tardieu et José Urquiza d’avoir accepté de faire partie du jury de cette thèse.

Finalement, j’aimerais remercier le Conseil de Recherches en Sciences Naturelles et en Génie du Canada (CRSNG), le Fond Québécois de la Recherche sur la Nature et les Technologies (FQRNT), le GIREF, Assomption Vie, Hydro-Québec et le département de mathématiques et statistique pour leur contribution financière lors de mes études doctorales.

Introduction

Au cours des dernières décennies, la simulation numérique a pris une importance croissante dans de nombreux domaines de recherche et développement. En particulier, elle a son impor-tance dans le domaine du pneumatique où la simulation numérique est utilisée pour améliorer et accélérer le design de nouveaux pneus. Dans ce domaine ainsi que dans plusieurs autres, il est évident que le besoin d’avoir de bonnes méthodes numériques est essentiel à la sécurité. En mécanique des milieux continus, plusieurs chercheurs utilisent la méthode des éléments finis pour résoudre des problèmes en grandes déformations tel que le calcul de déformation de pneus. Les formulations lagrangiennes sont bien établies et sont parmi les plus utilisées. Lorsqu’un corps est soumis à des déplacements et des contraintes externes, sa configuration change continuellement durant l’analyse. La question fondamentale est alors de déterminer sur laquelle des configurations connues il est préférable de baser les formulations variationnelles décrivant le comportement du corps. Typiquement, les formulations sont basées soit sur la configuration initiale ou sur la configuration la plus récemment calculée.

La formulation qui utilise la configuration initiale comme configuration de référence est appelée formulation lagrangienne totale et fut introduite par Hibbitt et al. ([41]) tandis que celle qui utilise la configuration la plus récemment calculée est appelée formulation lagrangienne actualisée (voir Bathe et al. [10] ou Bathe [11]). Dans la littérature, plusieurs auteurs ont comparé ces deux formulations ([10], [11]) et ont montré qu’elles sont mathématiquement équivalentes. Cependant, en pratique, la formulation lagrangienne actualisée présente certains avantages et peut mener à des meilleurs résultats numériques. Cette thèse portera alors sur la résolution de problèmes en grandes déformations dans un contexte lagrangien actualisé. Bien que l’accent soit mis sur la résolution de problèmes en grandes déformations dans le domaine du pneumatique, les méthodologies développées dans ce travail seront aussi applicables dans divers domaines de l’ingénierie.

Les formulations lagrangiennes, bien que populaires, présentent quand même certains incon-vénients. Entre autres, avec le temps, les éléments du maillage peuvent devenir extrêmement déformés, ce qui peut mener à des instabilités numériques, à une perte de précision dans les

ficace d’éviter ces situations est d’introduire un estimateur d’erreur couplé avec une méthode de remaillage adaptatif (voir Boussetta et al. [19]). L’idée générale est de raffiner le maillage dans les régions où l’erreur estimée est grande, et au contraire, en enlever là où l’erreur est considérée petite, le tout dans le but d’atteindre une équidistribution de l’erreur dans l’en-semble du domaine. En utilisant une formulation lagrangienne totale, le remaillage adaptatif permet de plus grandes déformations, mais dans plusieurs applications, ceci n’est pas suffisant. Dans ce travail, nous verrons qu’une meilleure stratégie est d’utiliser le remaillage adaptatif dans un contexte lagrangien actualisé où la géométrie du domaine de calcul est périodique-ment mise à jour et les maillages correspondants sont adaptés en fonction des erreurs estimées. Le remaillage adaptatif améliore aussi la qualité des éléments, ce qui permet d’atteindre de très grandes déformations tout en contrôlant l’erreur sur la solution par éléments finis. Le re-maillage anisotrope améliore encore plus la stratégie en permettant la présence d’éléments très étirés dans certaines directions privilégiées, ce qui permet une diminution sensible du nombre d’éléments requis pour atteindre la précision désirée. Le maillage est donc adapté non seule-ment pour éviter les éléseule-ments dégénérés, mais aussi pour améliorer la précision de la solution numérique. Le coût computationnel s’en trouve aussi réduit.

Après chaque étape de remaillage, certaines variables doivent être transférées de l’ancien maillage au nouveau afin de poursuivre les calculs. Le nombre de variables à transférer dépend de la loi de comportement choisie. Pour modéliser le caoutchouc, qui est un matériau dit hy-perélastique et incompressible (ou plutôt quasi-incompressible dans le cas général), plusieurs modèles existent mais celui qui est le plus utilisé en pratique est le modèle de Mooney-Rivlin (voir Mooney [57] et Rivlin [64]). Avec ce modèle, la variable la plus importante à transférer est le tenseur du gradient de déformation. Ce tenseur permet de suivre l’évolution de la déforma-tion de la géométrie initiale et est très important pour les calculs dans un contexte lagrangien actualisé. Une bonne méthode de transfert, préservant le plus possible les propriétés physiques du problème, est donc requise.

Le tenseur du gradient de déformation est une variable avec ses valeurs généralement seulement connues aux points d’intégration. Différentes techniques existent pour le transfert de variables discontinues (technique de l’approximation diffuse (Hamel et al. [38]), technique du point le plus proche (Molinari et Ortiz [56]), technique REP («Recovery by Equilibrium in Patches») (Boroomand et Zienkiewicz [18]), méthode de moyenne pondérée (Habraken et Cescotto [37]), etc). Le choix de la technique à utiliser dépend de plusieurs facteurs. Entre autres, le choix peut être basé sur les propriétés physiques du problème à satisfaire, la précision désirée ou sur la robustesse de la méthode.

Les problèmes en grandes déformations ont souvent des solutions très non linéaires et sont souvent très difficiles à résoudre. Pour améliorer la convergence, les algorithmes de continuation numériques s’avèrent très utiles. Dans les méthodes de continuation, le paramètre de charge devient une inconnue supplémentaire du système, ce qui permet de contrôler la déformation

du corps pendant la résolution et de mieux suivre la courbe solution (particulièrement dans les régions critiques). Ces méthodes sont aussi souvent utilisées pour étudier les propriétés qualitatives de la solution. Elles permettent entre autres d’identifier les points de bifurcation et les changements de stabilité associés. Parmi les algorithmes de continuation qui existent, les méthodes de type prédicteur-correcteur sont les plus populaires (Allgower et Georg [3]). Le but ultime de ce travail est de développer une méthode lagrangienne actualisée stable, robuste et précise pour la résolution des problèmes en grandes déformations dans le domaine du pneumatique. La méthode lagrangienne actualisée existe déjà depuis plusieurs années, mais l’objectif de ce travail est de la perfectionner. Pour y arriver, on devra premièrement incorpo-rer un bon algorithme d’adaptation de maillage afin d’optimiser la qualité du maillage lorsque nécessaire tout en contrôlant l’erreur sur la solution. L’algorithme utilisé sera celui développé par Bois et al. ([14]) qui consiste en une méthode d’adaptation de maillage anisotrope ba-sée sur un nouvel estimateur d’erreur hiérarchique. Avec l’adaptation de maillage, une bonne méthode de transfert pour le transfert du tenseur de gradient de déformation devient néces-saire. Différentes techniques seront alors étudiées afin de trouver celle qui permet d’obtenir les meilleurs résultats, et ceci sans engendrer un coût de calcul élevé. Afin d’améliorer la convergence et la robustesse, l’algorithme de continuation de Moore-Penrose, une méthode de type prédicteur-correcteur, sera aussi incorporé à la méthode. L’originalité de ce travail repose dans l’application de tous ces outils et dans l’obtention d’une méthode lagrangienne actualisée efficace et précise qui permet d’atteindre de très hauts niveaux de déformation. Le code a été implémenté dans le logiciel MEF++ développé depuis 1995 au GIREF (Groupe Interdisciplinaire de Recherche en Éléments Finis) à l’Université Laval.

Ce travail est composé de quatre chapitres. Dans le premier, nous présentons la théorie de base de la mécanique des milieux continus. Ces connaissances sont essentielles à la compréhension du comportement d’un corps en grandes déformations et sont requises pour le développement des formulations variationnelles lagrangiennes totale et actualisée. Au chapitre 2, les ingrédients clés pour l’obtention d’une méthode lagrangienne actualisée efficace et précise sont présentés. Parmi ces ingrédients, on compte une méthode d’adaptation de maillage efficace, une méthode de transfert précise pour le transfert du tenseur des prédéformations et une bonne méthode de continuation. Au troisième chapitre, nous étudions plus en détails l’implémentation numérique de l’algorithme de continuation de Moore-Penrose. Une nouvelle approche, facilitant la détec-tion des bifurcadétec-tions, est présentée. Finalement, une généralisadétec-tion de la méthode lagrangienne actualisée en trois dimensions est présentée au chapitre 4.

Chapitre 1

Matériaux en grandes déformations

Dans ce chapitre, nous allons présenter les concepts et notions de base de la mécanique des milieux continus nécessaires à la compréhension du comportement d’un corps en grandes défor-mations. Les formulations variationnelles lagrangiennes permettant de résoudre un problème en grandes déformations seront aussi présentées. Notons que nous nous sommes inspirés des résultats du cours des éléments finis : de la théorie à la pratique (Fortin et Garon [35]).

1.1

Développements théoriques

1.1.1 Déformations

Dans le cas des problèmes dits en grandes déformations, nous cherchons à calculer la défor-mation d’un corps lorsqu’il est soumis à des déplacements et des contraintes externes. Pour ce type de problème, comme la configuration du corps change continuellement, il est alors nécessaire de bien distinguer le domaine initial non déformé, noté Ω0_{, du domaine déformé à}

un certain temps t, noté Ωt_.

Considérons un corps déformable continu pour lequel on note X le vecteur position d’un point matériel arbitraire dans la configuration initiale. Le vecteur déplacement qui lie ce point matériel à sa position x(X, t) dans la configuration déformée Ωt_{est donné par la relation (voir}

Bonet et Wood [17]) :

u(X, t) = x(X, t) − X (1.1)

La figure 1.1illustre la relation entre la configuration initiale Ω0 _{et la configuration actuelle}

Ωt.

Comme un élément de longueur dX de la géométrie initiale est transformé en un élément de longueur dx sur la géométrie déformée, et que sous forme différentielle nous avons

Ω0 Ωt x u(X, t) X E3 E2 E1

Figure 1.1: Les configurations initiale et actuelle d’un corps en grandes déformations

on tire que :

dx = F · dX

où F est le tenseur du gradient de déformation de composantes Fij = _∂X∂xi_j. Le tenseur F permet

de suivre l’évolution de la déformation de la géométrie initiale et peut aussi être exprimé en fonction du tenseur gradient des déplacements ∇Xu = _∂X∂u par la relation F = I + ∇Xu.

Le gradient de déformation est toujours inversible. Dans cet ouvrage, nous noterons par J son déterminant, de telle sorte que l’élément de volume dV dans la configuration initiale soit transformé en dv dans la configuration déformée par la relation dv = JdV .

Une autre mesure de déformation qui nous sera utile pour la suite est le tenseur de déformation de Green-Lagrange, noté E, et défini par :

E = 1

2(C − I) où C = F>_{· F est le tenseur de Cauchy-Green.}

1.1.2 Tenseurs des contraintes

Considérons le corps illustré à la figure1.2 où une force df agit sur un élément de surface da de normale n dans la configuration déformée Ωt_{. À df, on peut associer un élément de force}

fictif df0 = F−1· df agissant initialement sur un élément de surface dA de normale N dans

la configuration initiale Ω0_.

La formule de Nanson permet de représenter la transformation d’un élément d’aire orientée dA = N dAsur la géométrie initiale en da = nda sur la géométrie actuelle déformée :

da = J F−>· dA ou encore nda = JF−>· N dA (1.2) 6

Ω0 Ωt E3 E2 E1 N df0 = F−1· df dA n df da

Figure 1.2: Les forces agissant sur un corps en grandes déformations

Le tenseur des contraintes de Cauchy, σ, qui est symétrique et défini par la relation df

da = σ · n

est sans doute le tenseur le plus important puisqu’il représente la force réelle agissant sur la configuration déformée.

Cependant, dans le cas des problèmes en grandes déformations, puisque la géométrie varie constamment et qu’en général on ne connaît pas l’élément de surface déformé da, il n’est pas pratique d’utiliser le tenseur des contraintes de Cauchy pour l’analyse. Nous allons donc plutôt définir des tenseurs mesurés en fonction de la configuration initiale Ω0_{. Deux tenseurs}

couramment utilisés sont le premier tenseur de Piola-Kirchoff, Π, et le deuxième tenseur de Piola-Kirchoff, S, qui sont définis par les relations :

df

dA = Π · N

S · N dA = F−1· df = df0

Une différence importante entre le tenseur de Cauchy et ceux de Piola-Kirchoff est la confi-guration sur laquelle ils sont définis. Le tenseur des contraintes de Cauchy est défini sur la configuration déformée tandis que les tenseurs de Piola-Kirchoff sont définis sur la configura-tion initiale. Pour calculer σ à partir des deux tenseurs de Piola-Kirchoff, qui sont reliés par la relation Π = F · S, on peut utiliser la relation suivante :

σ = 1 JΠ · F

> _{ou σ =} 1

JF · S · F

> _(1.3)

de matériaux, nous allons considérer le modèle de Mooney-Rivlin incompressible qui est sans doute parmi les plus utilisés en pratique.

De façon générale, pour les matériaux hyperélastiques, il existe un potentiel d’énergie de défor-mation Ψ qui permet de déterminer le deuxième tenseur de Piola-Kirchoff basé sur l’expression (voir [17]) :

S = ∂Ψ ∂E = 2

∂Ψ ∂C

Le tenseur d’élasticité d’ordre 4, noté C, découle aussi du potentiel et peut être calculé à partir de l’expression :

C = 4∂

2_Ψ

∂C2

Les matériaux incompressibles (ou quasi-incompressibles) ont la particularité de se déformer tout en préservant le volume. Mathématiquement, ceci se traduit par la condition dét F = 1 pour les matériaux parfaitement incompressibles, ou plus généralement par dét F ' 1 dans le cas dit quasi-incompressible. Il est alors pratique de définir la pression p par :

p = −k(J − 1) (1.4)

où k est le module de compressibilité, et de réécrire le deuxième tenseur de Piola-Kirchoff comme la somme d’une partie isochorique et d’une partie volumique :

S = S0− pJ C−1 (1.5)

Lorsque k est grand, le matériau est presque incompressible, ce qui est le cas pour la plupart des caoutchoucs utilisés dans l’industrie du pneumatique. Pour le modèle de Mooney-Rivlin, la partie isochorique du deuxième tenseur de Piola-Kirchoff est donnée par :

S0 = 2c1I₃−1/3  I − 1 3I1C −1  + 2c2I₃−2/3  I1I − C − 2 3I2C −1  (1.6) où c1 et c2 sont des constantes matérielles et I1, I2 et I3 sont les invariants du tenseur C :

I1 = tr (C) I2 = 1 2 I1 2_{− (C : C)}
I3 = dét C = J2

1.2

Formulations variationnelles lagrangiennes

Dans la littérature, pour les problèmes en grandes déformations, il existe deux types de formu-lations variationnelles lagrangiennes, soit la formulation lagrangienne totale et la formulation lagrangienne actualisée. Ces deux méthodes sont établies à partir des notions de base de la mécanique des milieux continus, et par conséquent, doivent donner une solution unique pour 8

un problème donné. La différence entre les deux méthodes est la configuration de référence sur laquelle la formulation est établie. Comme nous le verrons dans cette section, la formulation lagrangienne totale utilise la configuration initiale Ω0_{comme configuration de référence, tandis}

que la formulation lagrangienne actualisée base plutôt ses calculs sur la configuration la plus récemment calculée.

1.2.1 Formulation lagrangienne totale

Sur la configuration déformée Ωt_{, le problème à résoudre sous sa forme générale est donné}

par :                −∇ · σ = r dans Ωt u = g sur Γt_D σ · n = h sur Γt_N σ · n = P n sur Γt_P

où r représente les forces externes volumiques (N/m3_{) agissant sur le corps hyperélastique.}

L’équation

−∇ · σ = r dans Ωt représente l’équation d’équilibre, tandis que Γt

D, ΓtN et ΓtP représentent respectivement les

parties de la frontière de Ωt_{sur lesquelles on impose les conditions de Dirichlet en déplacement,}

les conditions de Neumann et la pression suiveuse. Notons que dans ce travail, nous négligerons les conditions de contact (glissant ou frottant).

En multipliant l’équation d’équilibre par une fonction test vectorielle w, en intégrant par partie sur la configuration déformée Ωt_{à l’aide du théorème de la divergence et en appliquant}

les conditions aux limites, ceci mène à la formulation variationnelle Z Ωt σ : ∇w dv = Z Ωt r · w dv + Z Γt N h · w da + Z Γt P P n · w da (1.7)

Cependant, comme cette formulation base ses calculs sur la géométrie déformée Ωt_{, et qu’a}

priori, cette configuration est inconnue, il est utile de ramener la formulation variationnelle sur la configuration initiale Ω0_.

En utilisant la formule de changement de variables classique, les propriétés tensorielles et quelques-unes des relations introduites dans les sections précédentes, on peut montrer que la formulation définie sur Ω0 _{est donnée par :}

où on a posé r0 = J r et h0= Jshpour fins de simplification. Le jacobien surfacique, Js, est

défini comme le rapport des aires entre des éléments de surface déformée et non déformée. En utilisant la formule de Nanson et la définition de la norme, on peut montrer que :

Js=

da

dA = J kF

−>_{· N k = J}p

(C−1· N ) · N

et que la normale à la configuration déformée n évolue à partir de la normale à la configuration initiale N suivant la formule :

n = J F−>· NdA da = J Js  F−>· N (1.9)

La formulation variationnelle (1.8) est appelée formulation lagrangienne totale et est la for-mulation naturelle d’un problème en mécanique des milieux continus. Notons aussi que ce problème est équivalent à résoudre :

               −∇ · Π = r0 dans Ω0 u = u0 sur Γ0D Π · N = h0 sur Γ0N Π · N = P J (F−>· N ) sur Γ0 P

En comparant les formulations variationnelles sur les configurations initiale et déformée, on peut voir que le premier tenseur de Piola-Kirchoff Π et le tenseur des contraintes de Cauchy σ jouent des rôles similaires, mais sur des configurations différentes.

Dans le cas incompressible, la formulation mixte en déplacement-pression ([17], [11]) est un choix plus approprié. Comme nous l’avons vu, le deuxième tenseur de Piola-Kirchoff dans le cas incompressible est donné par :

S = S0− pJ C−1

où la pression est définie par p = −k(J − 1). Sous forme variationnelle, on se retrouve alors avec un problème mixte de la forme :

Z Ω0 S0 :  F>· ∇Xw  dV − Z Ω0 pJ F−>: ∇Xw dV = Z Ω0 r0· w dV + Z Γ0 N h0· w dA + Z Γ0 P P w · (F−>· N )J dA Z Ω0 (J − 1)q dV + Z Ω0 1 kpq dV = 0 (1.10)

où q est une fonction test associée à p. Notons que nous avons utilisé la propriété du produit doublement contracté qui stipule que A : (B · C) = B>_{· A
: Cet le fait que F ·C}−1_{= F}−>_.

Cette formulation est entièrement équivalente à la formulation incrémentale décrite dans [11]. Seule la notation diffère.

En posant R1((u, p), w) = Z Ω0 S0 :  F>· ∇Xw  dV − Z Ω0 pJ F−>: ∇Xw dV − Z Ω0 r0· w dV − Z Γ0_N h0· w dA − Z Γ0_P P w · (F−>· N )J dA R2((u, p), q) = Z Ω0  −(J − 1) −1 kp  q dV

et en décomposant la solution recherchée (u, p) en la somme d’une solution approximative (u0, p0) et d’une correction (δu, δp), le problème est équivalent à résoudre le système

d’équa-tions :

R1((u0+ δu, p + δp), w) = 0

R2((u0+ δu, p + δp), q) = 0

pour (δu, δp). Pour résoudre ce système non linéaire, on peut avoir recours à la méthode de

Newton, qui consiste à résoudre le système linéarisé suivant :      ∂R1((u0, p0), w) ∂u · δu+ ∂R1((u0, p0), w) ∂p δp = −R1((u0, p0), w) ∂R2((u0, p0), q) ∂u · δu+ ∂R2((u0, p0), q) ∂p δp = −R2((u0, p0), q) où ∂R1((u0, p0), w) ∂u · δu = Z Ω0 S(u0, p0) :  ∇>_X(δu) · ∇Xw  dV + Z Ω0  C(u0, p0) :  F>(u0) · ∇X(δu)  :  F>(u0) · ∇Xw  dV − Z Γ0 P P w · h F−>(u0) : ∇Xδu i ·F−>(u0) · N  J dA + Z Γ0 P P w · h F−>(u0) · (∇Xδu)>· F−>(u0)  · NiJ dA ∂R1((u0, p0), w) ∂p δp = − Z Ω0 J δp  F−>(u0) : ∇Xw  dV ∂R2((u0, p0), q) ∂u · δu = − Z Ω0 J qF−>(u0) : ∇Xδu  dV ∂R2((u0, p0), q) ∂p δp = − Z Ω0 1 kδpq dV

Ωt_{. La configuration initiale est libre de contraintes tandis que la configuration déformée est}

celle qui équilibre le tenseur des contraintes σ et qui satisfait les conditions aux limites. Le fait de transformer le problème en un problème quasi-statique, qui utilise la solution obtenue au pas précédent comme point de départ pour le calcul courant, ne change aucunement la formulation. L’inconnue du problème demeure le déplacement total entre Ω0 _{et Ω}t_{, mais pour}

assurer une meilleure convergence, la résolution se fait en plusieurs étapes. Le déplacement entre Ω0_{et une configuration intermédiaire Ω}i−1_{est par exemple utilisé comme solution initiale}

pour obtenir le déplacement entre Ω0 _{et Ω}i_{, et ainsi de suite.}

Lorsque l’on essaie de résoudre des problèmes où la configuration initiale subit de très fortes déformations avec le temps, par exemple lorsqu’un pneu entre en contact avec un trottoir, le maillage de la géométrie initiale devient inapproprié. Pour contourner ce problème, on base alors les calculs sur une configuration déformée intermédiaire sur laquelle on connaît déjà la solution. Cette configuration intermédiaire, plus récente et plus représentative de la déforma-tion en cours, devient la géométrie de référence pour les calculs. En formuladéforma-tion lagrangienne actualisée, la configuration au pas précédent est utilisée comme géométrie de référence. Pour calculer le déplacement entre Ω0 _{et Ω}t _{en formulation lagrangienne actualisée, on se retrouve}

alors avec un problème quasi-statique. À un certain pas quasi-statique, disons Ωi_{, la}

formu-lation variationnelle est exprimée à partir de la configuration à l’étape précédente Ωi−1_{. Le}

champ de déplacement obtenu en résolvant est alors celui entre Ωi−1 _{et Ω}i_{, c’est-à-dire entre}

la géométrie du pas précédent et celle calculée. Comme la géométrie de référence n’est pas libre de contraintes, la formulation doit prendre en compte des termes de prédéformation. Introduisons maintenant la notation qui nous permettra par la suite d’écrire la formulation lagrangienne actualisée.

Théorie et formulation

Dans un cadre général, considérons φi→j l’application qui envoie Ωi sur Ωj. En notant Xi

les coordonnées dans la configuration Ωi _{et u}

i→j le déplacement entre les deux géométries en

question, on peut écrire :

φi→j(Xi) = Xj = Xi+ ui→j

En considérant le passage de la configuration Ωi−1_{à la configuration Ω}i_{, on a donc :}

Xi = Xi−1+ u(i−1)→i

= Xi−2+ u(i−2)→(i−1)+ u(i−1)→i

= Xi−3+ u(i−3)→(i−2)+ u(i−2)→(i−1)+ u(i−1)→i

...

= X0+ u0→1+ u1→2+ . . . + u(i−2)→(i−1)+ u(i−1)→i

Sachant que Xi= X0+ u0→i, on obtient alors :

u0→i= u0→1+ u1→2+ . . . + u(i−2)→(i−1)+ u(i−1)→i

De même, en utilisant le fait que Xi= φ(i−1)→i(X(i−1)), on a :

φ0→i = φ(i−1)→i◦ φ(i−2)→(i−1)◦ . . . ◦ φ1→2◦ φ0→1

Par la règle de dérivation en chaîne, on peut calculer le tenseur de déformation à partir de l’expression :

F0→i = F(i−1)→i· F(i−2)→(i−1)· . . . · F1→2· F0→1

où on a défini le tenseur de déformation Fi→j par

(Fi→j)mn =

∂(Xj)m

∂(Xi)n

avec (Xj)mla m-ième composante de Xj. Le déterminant du tenseur de déformation s’exprime

alors par :

J0→i = J(i−1)→iJ(i−2)→(i−1). . . J1→2J0→1

et la même règle s’applique pour le jacobien surfacique.

Pour établir la formulation lagrangienne actualisée, supposons que nous désirons passer d’une configuration Ω0_{à une configuration Ω}2_{, mais en passant par la configuration intermédiaire Ω}1_.

Évidemment, la première étape, qui consiste de passer de la configuration Ω0_{à la configuration}

Ω1, revient tout simplement à résoudre la formulation lagrangienne totale (1.8) réécrite en suivant la notation que nous venons d’introduire :

Z Ω0 S (C0→1) :  F_0→1> · ∇X0w  dX0 = Z Ω0 r0· w dX0+ Z Γ0 N h0· w dA0 + Z Γ0 P P w · (F_0→1−> · N₀)J0→1dA0

où N0 est la normale à la géométrie Ω0 et où J0→1 est le jacobien de la transformation.

Quant aux tenseurs de Piola-Kirchoff et d’élasticité, ils sont évalués en fonction de C0→1 =

F_0→1> · F0→1, c’est-à-dire à partir d’une déformation par rapport à la géométrie initiale.

Pour passer directement de la configuration Ω0 _{à Ω}2_{, la formulation lagrangienne totale serait}

aussi obtenue à partir de (1.8) : Z S (C0→2) :  F_0→2> · ∇X0w  dX0 = Z r0· w dX0+ Z 0 h0 · w dA0

Pour la formulation actualisée, l’idée est de transformer cette formulation variationnelle sur la configuration Ω1_{déjà calculée en développant chacun des termes. Comme exemple, considérons}

le terme de base : _Z

Ω0

S (C0→2) :



F_0→2> ∇_X0wdX0

Notons premièrement que :

C0→2 = F0→2> · F0→2= (F1→2· F0→1)>(F1→2· F0→1) = F0→1> · C1→2· F0→1 (1.11)

et donc que :

S (C0→2) = S



F_0→1> · C_1→2· F_0→1

En utilisant le fait que :

∇_Xiw = ∇Xjw · Fi→j

le terme principal peut alors s’écrire : Z Ω0 S (C0→2) :  F_0→2> ∇_X0wdX0 = Z Ω1 S (C0→2) :  (F1→2· F0→1)>· (∇X1w · F0→1)  J_0→1−1 dX1 = Z Ω1 e S (C0→2) :  F_1→2> · ∇_X1wdX1 où on a posé e S (C0→2) = J_0→1−1 F0→1· S (C0→2) · F0→1> (1.12)

En effectuant un travail similaire pour les autres termes de la formulation variationnelle (in-cluant les termes provenant de la linéarisation), on peut montrer que la formulation lagran-gienne actualisée linéarisée complète (en déplacement seulement) s’écrit :

Z Ω1 e S (C0→2) :  ∇>_X 1(δu) · ∇X1w  dX1+ Z Ω1 e C (C_0→2) :F_1→2> · ∇_X1(δu)  :F_1→2> · ∇_X1wdX1 − Z Γ1 P P w ·hF_1→2−> : ∇X1(δu) i ·F_1→2−> · N₁J1→2dA1 + Z Γ1 P P w ·hF_1→2−> · (∇_X1δu)>· F1→2−>  · N₁iJ1→2dA1 = − Z Ω1 e S (C0→2) :  F_1→2> · ∇X1w  dX1+ Z Ω1 r1· w dX1+ Z Γ1 N h1· w dA1 + Z Γ1_P P w ·  F_1→2−> · N1  J1→2dA1 (1.13)

où h1 = (Js)−1_0→1h0 et r1= J_0→1−1 r0. Quant au tenseur C (Ce _0→2), il a pour composantes :  e C (C_0→2) mnop = J −1 0→1(C (C0→2))ijkl(F0→1)mi(F0→1)nj(F0→1)ok(F0→1)pl (1.14) 14

De façon similaire, la formulation variationnelle mixte s’écrit : R1 = Z Ω1 e S0(C0→2) :  F_1→2> · ∇X1w  dX1− Z Ω1 pJ1→2F1→2−> : ∇X1w dX1− Z Ω1 r1· w dX1 − Z Γ1 N h1· w dA1− Z Γ1 P P w · (F_1→2−> · N1)J1→2dA1 R2 = Z Ω1  −(J1→2− J0→1−1 ) − 1 kpJ −1 0→1  q dX1 où Se 0 (C0→2) = J0→1−1 F0→1· S 0 (C0→2) · F0→1>

Le système linéarisé à résoudre pour la formulation mixte est alors donné par :

∂R1 ∂u · δu− Z Ω1 δpJ1→2F1→2−> : ∇X1w dX1 = −R1 − Z Ω1 qJ1→2F1→2−> : ∇X1δudX1− Z Ω1 1 kδpqJ −1 0→1dX1 = −R2 (1.15) avec ∂R1 ∂u · δu = Z Ω1 e S (C0→2) :  ∇>_X1(δu) · ∇X1w  dX1 + Z Ω1 e C (C0→2) :  F_1→2> · ∇X1(δu)  :  F_1→2> · ∇X1w  dX1 − Z Γ1 P P w · h F_1→2−> : ∇X1(δu) i ·F_1→2−> · N1  J1→2dA1 + Z Γ1 P P w ·hF_1→2−> · (∇_X1δu)>· F1→2−>  · N₁iJ1→2dA1

La formulation actualisée présentée dans ce travail est donc basée sur la dernière configura-tion convergée. Ceci diffère de la formulaconfigura-tion plus classique présentée dans [11] basée sur la configuration courante (qui change constamment avec les itérations). Les deux formulations actualisées sont évidemment équivalentes à la formulation lagrangienne totale. Le choix d’une formulation basée sur la dernière configuration convergée est dû à notre stratégie d’adaptation de maillage anisotrope par un estimateur d’erreur hiérarchique qui sera décrite à la section2.1. On note que le passage de la formulation totale à la formulation actualisée présentée dans ce travail est décrit en détails à l’annexe A.

Algorithme

Du côté informatique, l’algorithme pour la formulation lagrangienne actualisée peut se résumer comme suit :

2. Résolution du système (1.13) en déplacement seulement ou du système (1.15) en formu-lation mixte pour obtenir u1→2 et F1→2;

a) F0→1 est supposé connu ;

b) On calcule C0→2 = F0→1> · C1→2· F0→1;

c) On calcule S(C0→2) et C(C0→2);

d) On calculeSe etCe par les relations (1.12) et (1.14) ; 3. On met à jour la géométrie : Ω2_{= Ω}1_{+ u}

1→2;

a) Ω2 _{devient Ω}1

b) On cumule les prédéformations :

– F0→1 est remplacé par F1→2· F0→1;

– J0→1 est remplacé par J1→2J0→1;

– (Js)0→1 est remplacé par (Js)1→2(Js)0→1.

4. Remaillage adaptatif (si nécessaire) ;

5. Si le remaillage était nécessaire, on réinterpole les différentes variables sur le nouveau maillage ;

6. Retour à l’étape 2 pour le prochain incrément

1.3

Discrétisation

Comme les formulations variationnelles lagrangiennes pour résoudre des problèmes en grandes déformations sont exprimées à la base à partir de la configuration initiale Ω0_{, la première étape}

consiste alors à subdiviser cette configuration en éléments de formes géométriques simples (triangles ou quadrangles en 2D et tétraèdres ou hexaèdres en 3D) afin de former ce qu’on appelle un maillage. Par la suite, le problème doit être discrétisé afin de transformer celui-ci en un problème approché de dimension finie. Le choix le plus naturel pour cette discrétisation est l’espace des polynômes continus par morceaux de degré k que l’on notera Pk.

Dans ce travail, la formulation mixte (1.15) sera utilisée pour obtenir les résultats. Il est donc important de mentionner que chaque variable, soit le déplacement et la pression, devra être choisie dans des espaces discrets et que ces espaces devront, en particulier, respecter la condition inf-sup (voir Boffi et al. [12]). On note qu’une étude sur la performance des différentes discrétisations possibles a été complétée dans le travail de Chamberland et al. (voir [24]). Les résultats illustrés dans [24] démontrent que l’élément Taylor-Hood (voir [12]), qui consiste en une discrétisation quadratique (P2) pour le déplacement et linéaire pour la pression (P1),

mène à de bons résultats et représente un bon compromis entre le coût computationnel et la précision désirée. La majorité des résultats de notre travail seront alors obtenus en utilisant cette discrétisation (que l’on notera P2 - P1).

À la section1.2.2, nous avons vu que la géométrie est mise à jour à partir du déplacement dans un contexte lagrangien actualisé. Dans le cas d’une discrétisation P2 - P1, un déplacement

quadratique sera alors utilisé pour actualiser la géométrie. Il ne sera donc pas rare de voir apparaître des éléments courbes dans le maillage déformé. Cependant, comme notre stratégie d’adaptation de maillage, qui sera décrite à la section 2.1, n’est pas prévue pour manipuler des arêtes courbes à l’intérieur du domaine, une stratégie particulière devra donc être utilisée pour actualiser le maillage. On note que celle-ci sera décrite à la section 2.2.

1.4

Validation du modèle mathématique et de la méthode

numérique

La formulation lagrangienne actualisée présentée à la section précédente a été implémentée dans le logiciel d’éléments finis MEF++ du GIREF. Ce logiciel comporte plusieurs centaines de milliers de lignes de code et plusieurs tests de validation sont effectués quotidiennement afin de s’assurer que le logiciel produit les résultats attendus.

L’utilisation de la méthode des éléments finis est très répandue en mécanique des solides en grandes déformations. Comme exemple, on peut citer le calcul de déformations de pneus. Dans ce cas et dans plusieurs autres, il est évident que l’étape de validation est essentielle à la sécurité. La méthode lagrangienne totale, qui est déjà implémentée dans le logiciel MEF++, a été validée de plusieurs façons, mais notamment avec la méthode des solutions manufacturées (voir [24]). L’ajout de la méthode lagrangienne actualisée au logiciel requiert aussi plusieurs étapes de validation. Il est très important de s’assurer que les termes de formulation actualisés ont été bien établis et implémentés numériquement.

Sans remaillage, la formulation lagrangienne actualisée est strictement équivalente (à toute fin pratique) à la formulation lagrangienne totale. Comme premier test de validation, nous pouvons alors comparer numériquement ces deux méthodes afin de s’assurer que les deux mènent aux mêmes résultats pour des problèmes simples.

Afin de tester au moins deux types de conditions aux limites, le premier test de comparaison entre la formulation lagrangienne totale et la formulation lagrangienne actualisée sera effectué en appliquant une pression suiveuse tandis que le deuxième test sera effectué en appliquant un déplacement imposé (condition de Dirichlet). Pour les deux tests, considérons la barre de dimension 5 × 1 illustrée à la figure 1.3. Pour le premier test, cette barre sera encastrée aux deux extrémités et une pression suiveuse sera appliquée sur le côté supérieur. Des éléments P2

- P1seront utilisés pour la résolution et les constantes matérielles pour la loi de Mooney-Rivlin

résultat sera comparé avec un seul incrément de P = 0.4 dans le cas du lagrangien total. Étant donné l’équivalence entre les deux formulations (sans remaillage), le résultat final devrait être le même dans les deux cas. En lagrangien total, on passe directement de la configuration ini-tiale à la configuration finale, tandis qu’en lagrangien actualisé le maillage est actualisé après chaque incrément et le déplacement obtenu lors de la résolution est celui entre les configura-tions intermédiaires. La somme de ces déplacements intermédiaires sera alors nécessaire afin de pouvoir comparer le déplacement total dans les deux cas.

La figure 1.4 illustre les résultats obtenus en utilisant chacune des formulations. Comme on peut le voir, les deux formulations mènent au même résultat, et ceci même si plusieurs étapes d’actualisation ont été complétées. Pour s’en convaincre, on peut superposer les configurations déformées à la charge désirée de P = 0.4. La figure1.5illustre cette superposition. Le résultat dans le cas d’une formulation lagrangienne totale est illustré sous forme de maillage tandis que celui pour la formulation lagrangienne actualisée est illustré sous forme de géométrie (colorée en fonction des valeurs du déplacement total). Les deux configurations sont parfaitement su-perposées l’une sur l’autre. La valeur du déplacement total dans les deux cas (voir la figure1.4) confirme aussi cette affirmation.

Figure 1.3: Tests de validation : géométrie et maillage initial

Pour comparer les deux formulations dans le cas d’une condition aux limites de Dirichlet, considérons encore une fois la géométrie de la figure1.3, mais cette fois-ci la barre sera seule-ment encastrée à son extrémité droite et un déplaceseule-ment imposé de grandeur v sera appliqué vers le bas sur son extrémité gauche (exemple de cisaillement). Des éléments P2 - P1 seront

encore utilisés pour la résolution et les constantes matérielles pour la loi de Mooney-Rivlin seront encore données par k = 100, c1 = 1 et c2= 1. De façon similaire au cas test précédent,

le déplacement sera imposé de façon graduelle par incrément de v = 0.6 pendant 3 incréments dans un contexte lagrangien actualisé et le résultat sera comparé avec un seul incrément de v = 1.8dans le cas du lagrangien total. La figure1.6illustre les résultats.

Encore une fois, on peut voir que les deux formulations mènent au même résultat. La confi-guration à v = 1.8 est la même dans les deux cas, tel qu’illustre la figure 1.7. Dans cette figure, le résultat dans le cas d’une formulation lagrangienne totale est illustré sous forme de maillage tandis que celui pour la formulation lagrangienne actualisée est illustré sous forme de géométrie (colorée en fonction des valeurs du déplacement total).

Incrément 1 Incrément 2 Incrément 3 Incrément 4 6.077e-01 6.488e-01 6.993e-01 1.049e-14 3.896e-02 3.980e-02 3.985e-02

2.664e-02 3.014e-02 3.294e-02 3.776e-03 4.396e-03 4.935e-03 6.205e-05 9.384e-05 1.337e-04 2.106e-08 4.374e-08 8.337e-08 5.417e-15 9.086e-15 3.967e-14

Table 1.1: Test de validation (équilibre) : résidus obtenus par la méthode de Newton pour les 4 incréments

On doit maintenant aussi s’assurer que l’étape d’actualisation n’entraîne pas une perte d’équi-libre ni une perte d’énergie. Pour s’en assurer, nous allons encore une fois considérer la géo-métrie de la figure1.3. La barre sera encastrée à son extrémité droite et une pression suiveuse sera appliquée sur le côté supérieur.

Vérifions premièrement, qu’à iso-sollicitation, l’algorithme d’actualisation n’entraîne pas une perte d’équilibre. Pour ce test, une pression suiveuse sera appliquée de façon graduelle par incrément de 0.01 pendant les trois premiers incréments d’actualisation. Après le troisième incrément, la valeur de la pression suiveuse sera alors de P = 0.03 et elle sera maintenue à cette valeur pendant le quatrième incrément afin de bloquer les degrés de liberté. Si l’algorithme est codé correctement et que les termes d’actualisation ont bien été établis, la barre ne devrait plus bouger et devrait rester dans sa position déformée.

La figure1.8illustre l’évolution de la barre. À la gauche, on voit le maillage initial ainsi que la géométrie déformée obtenue après trois pas d’actualisation. On note que la géométrie déformée est colorée en fonction de la valeur du déplacement total de la barre (somme des déplacements intermédiaires des trois premiers incréments). À la droite, on montre cette fois-ci le maillage déformé après le troisième pas d’actualisation (au lieu de simplement la géométrie comme à la gauche) et on superpose la géométrie déformée obtenue après le quatrième pas d’actualisation (colorée en fonction de la valeur du déplacement total après les quatre incréments). La fi-gure1.8b) démontre que les deux configurations sont identiques et les valeurs du déplacement total indiquent que la géométrie est déjà à l’équilibre lorsque la force est maintenue à P = 0.03 pendant le quatrième incrément. Au tableau1.1, on montre les résidus obtenus lors de la réso-lution par la méthode de Newton pour chacun des 4 incréments. Le résidu nul à l’incrément 4 valide notre observation que la barre demeure fixe et ne bouge plus. L’actualisation n’a donc pas engendré une perte d’équilibre. À partir du même tableau, on peut aussi voir que nous avons bien une convergence quadratique, ce qui est attendu vu que nous utilisons la méthode

similaire à celui que nous venons de faire, mais cette fois-ci, la pression suiveuse sera relâchée lors du quatrième incrément au lieu d’être maintenue. S’il n’y a pas de perte d’énergie, la barre devrait revenir à sa position initiale et rester en équilibre par la suite (en supposant qu’aucune force n’est appliquée). Le déplacement total après le relâchement de la charge devrait donc être nul. L’évolution de la barre est illustrée à la figure1.9. À la gauche, on montre le maillage initial ainsi que la géométrie déformée après le troisième incrément. À la droite, on superpose le maillage initial et la géométrie finale obtenue après le relâchement de la charge. Comme on peut le voir, après le relâchement de la pression suiveuse, la barre revient à sa position initiale, et ceci à la précision machine près (voir les valeurs du déplacement total). L’actualisation n’entraîne donc pas de perte d’énergie.

Pour avoir le coeur net, on peut aussi vérifier que tout se passe bien en trois dimensions. Considérons alors la géométrie de la figure1.10, qui consiste tout simplement en une généra-lisation en 3D du problème de la figure1.3. La géométrie sera donc encastrée à son extrémité droite et une pression suiveuse sera appliquée sur son côté supérieur afin de voir s’il y a aussi conservation de l’énergie et de l’équilibre dans le cas tridimensionnel. Pour tester l’équilibre, on procède de la même façon qu’en 2D en appliquant de façon graduelle une pression suiveuse pendant les trois premiers incréments d’actualisation et en maintenant la force pendant le quatrième incrément afin de bloquer les degrés de liberté. On note que la pression suiveuse est appliquée par incrément de 0.001 et que les constantes matérielles pour la loi de Mooney-Rivlin sont choisies comme k = 100, c1 = 1 et c2 = 1.

La figure1.11illustre l’évolution de la géométrie. À la gauche, on voit le maillage initial ainsi que la géométrie déformée obtenue après trois pas d’actualisation. Encore une fois, la géométrie déformée est colorée en fonction de la valeur du déplacement total. À la droite, on montre cette fois-ci le maillage déformé après le troisième pas d’actualisation et on superpose la géométrie déformée obtenue après le quatrième pas d’actualisation (colorée en fonction de la valeur du déplacement total après les quatre incréments). Le tableau1.2, quant à lui, illustre les résidus obtenus lors de la résolution par la méthode de Newton pour chacun des 4 incréments. Le résidu nul à l’incrément 4 indique que la géométrie demeure fixe lorsque la force est maintenue à P = 0.003, ce qui pouvait aussi être déduit à partir de la figure1.11b).

Maintenant, pour tester la conservation de l’énergie, nous allons reprendre le test précédent mais cette fois-ci en relâchant la pression suiveuse lors du quatrième incrément au lieu de maintenir sa valeur. L’évolution de la géométrie est illustrée à la figure1.12. À la gauche, on montre le maillage initial ainsi que la géométrie déformée après le troisième incrément. À la droite, on superpose le maillage initial et la géométrie finale obtenue après le relâchement de la charge. Comme on peut le voir, après le relâchement de la pression suiveuse, la barre revient à sa position initiale (les valeurs du déplacement total confirment aussi cette observation). La conservation de l’énergie est donc respectée dans le cas tridimensionnel aussi.

Incrément 1 Incrément 2 Incrément 3 Incrément 4 1.218e-00 1.214e-00 1.181e-00 8.943e-15 8.434e-02 8.221e-02 7.779e-02

2.534e-01 2.466e-01 2.134e-01 7.386e-02 7.193e-02 6.901e-02 1.277e-01 1.215e-01 9.429e-02 1.412e-02 1.361e-02 1.210e-02 7.389e-03 6.679e-03 3.898e-03 4.598e-05 3.994e-05 2.034e-05 8.145e-08 5.951e-08 1.119e-08 6.398e-15 4.884e-15 5.802e-15

Table 1.2: Test de validation (équilibre) en 3D : résidus obtenus par la méthode de Newton pour les 4 incréments

Lagrangien total Lagrangien actualisé P = 0 P = 0.1 P = 0.2 P = 0.3 P = 0.4

Figure 1.4: Comparaison entre lagrangien total et actualisé : cas test avec pression suiveuse

Figure 1.5: Comparaison entre lagrangien total et actualisé (cas d’une pression suiveuse) : superposition des résultats à P = 0.4

Lagrangien total Lagrangien actualisé

v = 0

v = 0.6

v = 1.2

v = 1.8

Figure 1.6: Comparaison entre lagrangien total et actualisé : cas test avec condition aux limites de Dirichlet

Figure 1.7: Comparaison entre lagrangien total et actualisé (cas de Dirichlet) : superposition des résultats à v = 1.8

(a) (b)

Figure 1.8: Test de validation (équilibre) : (a) maillage initial et géométrie déformée après le troisième incrément (b) maillage déformé après le troisième incrément et géométrie déformée après le quatrième incrément

(a) (b)

Figure 1.9: Test de validation (énergie) : (a) maillage initial et géométrie déformée après le troisième incrément (b) maillage initial et géométrie après le quatrième incrément

Figure 1.10: Test de validation (équilibre et énergie) en 3D : géométrie et maillage initial

(a) (b)

Figure 1.11: Test de validation (équilibre) en 3D : (a) maillage initial et géométrie déformée après le troisième incrément (b) maillage déformé après le troisième incrément et géométrie déformée après le quatrième incrément

(a) (b)

Figure 1.12: Test de validation (énergie) en 3D : (a) maillage initial et géométrie déformée après le troisième incrément (b) maillage initial et géométrie après le quatrième incrément

Chapitre 2

Ingrédients clés

Un des inconvénients de l’utilisation de méthodes lagrangiennes pour la résolution de problèmes en grandes déformations est l’apparition d’éléments très déformés dans le maillage au fil des pas de chargement. Ces éléments peuvent mener à des instabilités numériques ainsi qu’à des problèmes de convergence (particulièrement lors de l’utilisation de méthodes itératives). Il est donc très important d’essayer de les éviter autant que possible. Pour ce faire, on peut avoir recours à l’adaptation de maillage qui permet d’optimiser la qualité du maillage lorsque nécessaire. Dans ce chapitre, nous présenterons notre stratégie d’adaptation de maillage, et en particulier, nous montrerons que cette stratégie permet non seulement d’améliorer la qualité du maillage mais aussi la précision de la solution.

Après chaque étape de remaillage, certaines variables doivent être transférées de l’ancien maillage vers le nouveau maillage. En particulier, dans un contexte lagrangien actualisé, le ten-seur des prédéformations, F0→1, doit être connu aux points d’intégration du nouveau maillage

afin de poursuivre la simulation. Une attention particulière sera alors portée dans ce chapitre aux méthodes de transfert afin de déterminer une méthode précise et robuste à cette fin. Un algorithme de continuation très efficace, permettant de piloter automatiquement la charge appliquée, sera aussi présenté. Les méthodes de continuation numériques s’avèrent très utiles pour améliorer la convergence (particulièrement près des points limites et des points de bifur-cation) et permettent aussi de réduire le coût computationnel.

Selon nous, ces trois ingrédients sont clés pour l’obtention d’une méthode lagrangienne actua-lisée efficace, robuste et précise.

On note que ce chapitre est inspiré d’un article accepté pour publication dans le journal «International Journal for Numerical Methods in Engineering» par Léger et al. (voir [54]).