La formulation lagrangienne actualisée présentée à la section précédente a été implémentée dans le logiciel d’éléments finis MEF++ du GIREF. Ce logiciel comporte plusieurs centaines de milliers de lignes de code et plusieurs tests de validation sont effectués quotidiennement afin de s’assurer que le logiciel produit les résultats attendus.
L’utilisation de la méthode des éléments finis est très répandue en mécanique des solides en grandes déformations. Comme exemple, on peut citer le calcul de déformations de pneus. Dans ce cas et dans plusieurs autres, il est évident que l’étape de validation est essentielle à la sécurité. La méthode lagrangienne totale, qui est déjà implémentée dans le logiciel MEF++, a été validée de plusieurs façons, mais notamment avec la méthode des solutions manufacturées (voir [24]). L’ajout de la méthode lagrangienne actualisée au logiciel requiert aussi plusieurs étapes de validation. Il est très important de s’assurer que les termes de formulation actualisés ont été bien établis et implémentés numériquement.
Sans remaillage, la formulation lagrangienne actualisée est strictement équivalente (à toute fin pratique) à la formulation lagrangienne totale. Comme premier test de validation, nous pouvons alors comparer numériquement ces deux méthodes afin de s’assurer que les deux mènent aux mêmes résultats pour des problèmes simples.
Afin de tester au moins deux types de conditions aux limites, le premier test de comparaison entre la formulation lagrangienne totale et la formulation lagrangienne actualisée sera effectué en appliquant une pression suiveuse tandis que le deuxième test sera effectué en appliquant un déplacement imposé (condition de Dirichlet). Pour les deux tests, considérons la barre de dimension 5 × 1 illustrée à la figure 1.3. Pour le premier test, cette barre sera encastrée aux deux extrémités et une pression suiveuse sera appliquée sur le côté supérieur. Des éléments P2
- P1seront utilisés pour la résolution et les constantes matérielles pour la loi de Mooney-Rivlin
résultat sera comparé avec un seul incrément de P = 0.4 dans le cas du lagrangien total. Étant donné l’équivalence entre les deux formulations (sans remaillage), le résultat final devrait être le même dans les deux cas. En lagrangien total, on passe directement de la configuration ini- tiale à la configuration finale, tandis qu’en lagrangien actualisé le maillage est actualisé après chaque incrément et le déplacement obtenu lors de la résolution est celui entre les configura- tions intermédiaires. La somme de ces déplacements intermédiaires sera alors nécessaire afin de pouvoir comparer le déplacement total dans les deux cas.
La figure 1.4 illustre les résultats obtenus en utilisant chacune des formulations. Comme on peut le voir, les deux formulations mènent au même résultat, et ceci même si plusieurs étapes d’actualisation ont été complétées. Pour s’en convaincre, on peut superposer les configurations déformées à la charge désirée de P = 0.4. La figure1.5illustre cette superposition. Le résultat dans le cas d’une formulation lagrangienne totale est illustré sous forme de maillage tandis que celui pour la formulation lagrangienne actualisée est illustré sous forme de géométrie (colorée en fonction des valeurs du déplacement total). Les deux configurations sont parfaitement su- perposées l’une sur l’autre. La valeur du déplacement total dans les deux cas (voir la figure1.4) confirme aussi cette affirmation.
Figure 1.3: Tests de validation : géométrie et maillage initial
Pour comparer les deux formulations dans le cas d’une condition aux limites de Dirichlet, considérons encore une fois la géométrie de la figure1.3, mais cette fois-ci la barre sera seule- ment encastrée à son extrémité droite et un déplacement imposé de grandeur v sera appliqué vers le bas sur son extrémité gauche (exemple de cisaillement). Des éléments P2 - P1 seront
encore utilisés pour la résolution et les constantes matérielles pour la loi de Mooney-Rivlin seront encore données par k = 100, c1 = 1 et c2= 1. De façon similaire au cas test précédent,
le déplacement sera imposé de façon graduelle par incrément de v = 0.6 pendant 3 incréments dans un contexte lagrangien actualisé et le résultat sera comparé avec un seul incrément de v = 1.8dans le cas du lagrangien total. La figure1.6illustre les résultats.
Encore une fois, on peut voir que les deux formulations mènent au même résultat. La confi- guration à v = 1.8 est la même dans les deux cas, tel qu’illustre la figure 1.7. Dans cette figure, le résultat dans le cas d’une formulation lagrangienne totale est illustré sous forme de maillage tandis que celui pour la formulation lagrangienne actualisée est illustré sous forme de géométrie (colorée en fonction des valeurs du déplacement total).
Incrément 1 Incrément 2 Incrément 3 Incrément 4 6.077e-01 6.488e-01 6.993e-01 1.049e-14 3.896e-02 3.980e-02 3.985e-02
2.664e-02 3.014e-02 3.294e-02 3.776e-03 4.396e-03 4.935e-03 6.205e-05 9.384e-05 1.337e-04 2.106e-08 4.374e-08 8.337e-08 5.417e-15 9.086e-15 3.967e-14
Table 1.1: Test de validation (équilibre) : résidus obtenus par la méthode de Newton pour les 4 incréments
On doit maintenant aussi s’assurer que l’étape d’actualisation n’entraîne pas une perte d’équi- libre ni une perte d’énergie. Pour s’en assurer, nous allons encore une fois considérer la géo- métrie de la figure1.3. La barre sera encastrée à son extrémité droite et une pression suiveuse sera appliquée sur le côté supérieur.
Vérifions premièrement, qu’à iso-sollicitation, l’algorithme d’actualisation n’entraîne pas une perte d’équilibre. Pour ce test, une pression suiveuse sera appliquée de façon graduelle par incrément de 0.01 pendant les trois premiers incréments d’actualisation. Après le troisième incrément, la valeur de la pression suiveuse sera alors de P = 0.03 et elle sera maintenue à cette valeur pendant le quatrième incrément afin de bloquer les degrés de liberté. Si l’algorithme est codé correctement et que les termes d’actualisation ont bien été établis, la barre ne devrait plus bouger et devrait rester dans sa position déformée.
La figure1.8illustre l’évolution de la barre. À la gauche, on voit le maillage initial ainsi que la géométrie déformée obtenue après trois pas d’actualisation. On note que la géométrie déformée est colorée en fonction de la valeur du déplacement total de la barre (somme des déplacements intermédiaires des trois premiers incréments). À la droite, on montre cette fois-ci le maillage déformé après le troisième pas d’actualisation (au lieu de simplement la géométrie comme à la gauche) et on superpose la géométrie déformée obtenue après le quatrième pas d’actualisation (colorée en fonction de la valeur du déplacement total après les quatre incréments). La fi- gure1.8b) démontre que les deux configurations sont identiques et les valeurs du déplacement total indiquent que la géométrie est déjà à l’équilibre lorsque la force est maintenue à P = 0.03 pendant le quatrième incrément. Au tableau1.1, on montre les résidus obtenus lors de la réso- lution par la méthode de Newton pour chacun des 4 incréments. Le résidu nul à l’incrément 4 valide notre observation que la barre demeure fixe et ne bouge plus. L’actualisation n’a donc pas engendré une perte d’équilibre. À partir du même tableau, on peut aussi voir que nous avons bien une convergence quadratique, ce qui est attendu vu que nous utilisons la méthode
similaire à celui que nous venons de faire, mais cette fois-ci, la pression suiveuse sera relâchée lors du quatrième incrément au lieu d’être maintenue. S’il n’y a pas de perte d’énergie, la barre devrait revenir à sa position initiale et rester en équilibre par la suite (en supposant qu’aucune force n’est appliquée). Le déplacement total après le relâchement de la charge devrait donc être nul. L’évolution de la barre est illustrée à la figure1.9. À la gauche, on montre le maillage initial ainsi que la géométrie déformée après le troisième incrément. À la droite, on superpose le maillage initial et la géométrie finale obtenue après le relâchement de la charge. Comme on peut le voir, après le relâchement de la pression suiveuse, la barre revient à sa position initiale, et ceci à la précision machine près (voir les valeurs du déplacement total). L’actualisation n’entraîne donc pas de perte d’énergie.
Pour avoir le coeur net, on peut aussi vérifier que tout se passe bien en trois dimensions. Considérons alors la géométrie de la figure1.10, qui consiste tout simplement en une généra- lisation en 3D du problème de la figure1.3. La géométrie sera donc encastrée à son extrémité droite et une pression suiveuse sera appliquée sur son côté supérieur afin de voir s’il y a aussi conservation de l’énergie et de l’équilibre dans le cas tridimensionnel. Pour tester l’équilibre, on procède de la même façon qu’en 2D en appliquant de façon graduelle une pression suiveuse pendant les trois premiers incréments d’actualisation et en maintenant la force pendant le quatrième incrément afin de bloquer les degrés de liberté. On note que la pression suiveuse est appliquée par incrément de 0.001 et que les constantes matérielles pour la loi de Mooney-Rivlin sont choisies comme k = 100, c1 = 1 et c2 = 1.
La figure1.11illustre l’évolution de la géométrie. À la gauche, on voit le maillage initial ainsi que la géométrie déformée obtenue après trois pas d’actualisation. Encore une fois, la géométrie déformée est colorée en fonction de la valeur du déplacement total. À la droite, on montre cette fois-ci le maillage déformé après le troisième pas d’actualisation et on superpose la géométrie déformée obtenue après le quatrième pas d’actualisation (colorée en fonction de la valeur du déplacement total après les quatre incréments). Le tableau1.2, quant à lui, illustre les résidus obtenus lors de la résolution par la méthode de Newton pour chacun des 4 incréments. Le résidu nul à l’incrément 4 indique que la géométrie demeure fixe lorsque la force est maintenue à P = 0.003, ce qui pouvait aussi être déduit à partir de la figure1.11b).
Maintenant, pour tester la conservation de l’énergie, nous allons reprendre le test précédent mais cette fois-ci en relâchant la pression suiveuse lors du quatrième incrément au lieu de maintenir sa valeur. L’évolution de la géométrie est illustrée à la figure1.12. À la gauche, on montre le maillage initial ainsi que la géométrie déformée après le troisième incrément. À la droite, on superpose le maillage initial et la géométrie finale obtenue après le relâchement de la charge. Comme on peut le voir, après le relâchement de la pression suiveuse, la barre revient à sa position initiale (les valeurs du déplacement total confirment aussi cette observation). La conservation de l’énergie est donc respectée dans le cas tridimensionnel aussi.
Incrément 1 Incrément 2 Incrément 3 Incrément 4 1.218e-00 1.214e-00 1.181e-00 8.943e-15 8.434e-02 8.221e-02 7.779e-02
2.534e-01 2.466e-01 2.134e-01 7.386e-02 7.193e-02 6.901e-02 1.277e-01 1.215e-01 9.429e-02 1.412e-02 1.361e-02 1.210e-02 7.389e-03 6.679e-03 3.898e-03 4.598e-05 3.994e-05 2.034e-05 8.145e-08 5.951e-08 1.119e-08 6.398e-15 4.884e-15 5.802e-15
Table 1.2: Test de validation (équilibre) en 3D : résidus obtenus par la méthode de Newton pour les 4 incréments
Lagrangien total Lagrangien actualisé P = 0 P = 0.1 P = 0.2 P = 0.3 P = 0.4
Figure 1.4: Comparaison entre lagrangien total et actualisé : cas test avec pression suiveuse
Figure 1.5: Comparaison entre lagrangien total et actualisé (cas d’une pression suiveuse) : superposition des résultats à P = 0.4
Lagrangien total Lagrangien actualisé
v = 0
v = 0.6
v = 1.2
v = 1.8
Figure 1.6: Comparaison entre lagrangien total et actualisé : cas test avec condition aux limites de Dirichlet
Figure 1.7: Comparaison entre lagrangien total et actualisé (cas de Dirichlet) : superposition des résultats à v = 1.8
(a) (b)
Figure 1.8: Test de validation (équilibre) : (a) maillage initial et géométrie déformée après le troisième incrément (b) maillage déformé après le troisième incrément et géométrie déformée après le quatrième incrément
(a) (b)
Figure 1.9: Test de validation (énergie) : (a) maillage initial et géométrie déformée après le troisième incrément (b) maillage initial et géométrie après le quatrième incrément
Figure 1.10: Test de validation (équilibre et énergie) en 3D : géométrie et maillage initial
(a) (b)
Figure 1.11: Test de validation (équilibre) en 3D : (a) maillage initial et géométrie déformée après le troisième incrément (b) maillage déformé après le troisième incrément et géométrie déformée après le quatrième incrément
(a) (b)
Figure 1.12: Test de validation (énergie) en 3D : (a) maillage initial et géométrie déformée après le troisième incrément (b) maillage initial et géométrie après le quatrième incrément
Chapitre 2
Ingrédients clés
Un des inconvénients de l’utilisation de méthodes lagrangiennes pour la résolution de problèmes en grandes déformations est l’apparition d’éléments très déformés dans le maillage au fil des pas de chargement. Ces éléments peuvent mener à des instabilités numériques ainsi qu’à des problèmes de convergence (particulièrement lors de l’utilisation de méthodes itératives). Il est donc très important d’essayer de les éviter autant que possible. Pour ce faire, on peut avoir recours à l’adaptation de maillage qui permet d’optimiser la qualité du maillage lorsque nécessaire. Dans ce chapitre, nous présenterons notre stratégie d’adaptation de maillage, et en particulier, nous montrerons que cette stratégie permet non seulement d’améliorer la qualité du maillage mais aussi la précision de la solution.
Après chaque étape de remaillage, certaines variables doivent être transférées de l’ancien maillage vers le nouveau maillage. En particulier, dans un contexte lagrangien actualisé, le ten- seur des prédéformations, F0→1, doit être connu aux points d’intégration du nouveau maillage
afin de poursuivre la simulation. Une attention particulière sera alors portée dans ce chapitre aux méthodes de transfert afin de déterminer une méthode précise et robuste à cette fin. Un algorithme de continuation très efficace, permettant de piloter automatiquement la charge appliquée, sera aussi présenté. Les méthodes de continuation numériques s’avèrent très utiles pour améliorer la convergence (particulièrement près des points limites et des points de bifur- cation) et permettent aussi de réduire le coût computationnel.
Selon nous, ces trois ingrédients sont clés pour l’obtention d’une méthode lagrangienne actua- lisée efficace, robuste et précise.
On note que ce chapitre est inspiré d’un article accepté pour publication dans le journal «International Journal for Numerical Methods in Engineering» par Léger et al. (voir [54]).
2.1
Estimation d’erreur et adaptation de maillage
2.1.1 Estimateur d’erreur hiérarchique
L’idée d’estimer l’erreur sur une solution éléments finis en reconstruisant une nouvelle solu- tion à l’aide d’une base hiérarchique remonte à plusieurs années. Ndikumagenge ([58]) fut le premier a effectuer un travail de ce genre, mais ce n’est que récemment qu’une implémenta- tion plus rigoureuse en dimension 2 a été réalisée par Bois et al. ([14;15]). L’implémentation tridimensionnelle a été réalisée par Couët ([27]) en partant des travaux de Bois.
L’estimateur d’erreur utilisé dans ce travail pour le remaillage adaptatif sera celui de Bois. La méthode est complètement générale et ne dépend pas, a priori, de l’équation aux dérivées partielles que l’on résout. Elle est aussi applicable dans le cas des éléments finis de degré supérieur. L’idée est plutôt simple.
Soit u une solution analytique d’un problème d’équations aux dérivées partielles. On note Th un maillage du domaine Ω, K un élément donné de ce maillage et u(k)h une approximation
éléments finis de Lagrange de degré k qui approche u. u(k)
h est donc une fonction continue dont
la restriction à chaque élément est un polynôme de degré k. Le but est d’approcher l’erreur ku − u(k)h k pour une norme appropriée.
L’estimateur d’erreur hiérarchique se base sur l’hypothèse qu’il est possible de construire, à partir de u(k)
h , une approximation encore plus précise de u. Cette approximation sera notée
ˆ
u(k+1)h et sera de degré k + 1. À partir de cette nouvelle solution, l’erreur peut par la suite être
approximée par la relation :
||u − u(k)h || ≤ ||u − ˆu(k+1)h || + ||ˆu(k+1)h − u(k)h || ' ||ˆu(k+1)h − u(k)h || (2.1) Comme nous le verrons dans la prochaine section, la construction de ˆu(k+1)
h requiert non
seulement la solution par éléments finis u(k)
h , mais aussi une approximation continue de degré
k de son gradient qui sera notée g(k)h . Déterminer g(k)h n’est pas une tâche facile. En prenant tout simplement la dérivée de u(k)
h , on aboutit à une approximation discontinue et il est
bien connu que cette approximation ne sera pas très précise. Il existe plusieurs techniques de reconstruction des dérivées menant à des résultats plus précis. Zienkiewicz et Zhu ([75;76]) ont été les premiers à introduire une telle méthode. Leur approche est très populaire, mais l’estimateur d’erreur hiérarchique de Bois se base plutôt sur la méthode introduite par Zhang et Naga ([74]). Il a été montré que cette approche mène à des résultats plus précis et qu’elle a la propriété d’être superconvergente pour certains types de maillages. Comme la performance de l’estimateur d’erreur dépend grandement de la précision de la méthode de reconstruction des dérivées, Bois et al. ont donc opté d’utiliser la méthode de Zhang et Naga pour obtenir gh(k). Pour la suite, nous supposerons que u(k)h et gh(k) sont connus.
Construction de ˆu(k+1)h
Notons premièrement que l’approximation éléments finis ˆu(k+1)
h est construite élément par
élément. Le but étant d’enrichir l’approximation u(k)
h par des fonctions de base hiérarchiques
de degré k + 1 afin d’obtenir une approximation plus précise de u, nous allons alors poser ˆ
u(k+1)h = u(k)h + c(k+1)h (2.2)
où c(k+1)
h peut être considéré comme une correction de degré k + 1 de la solution éléments finis
u(k)h . Dans le cas le plus simple (k = 1), u(1)h serait une approximation linéaire par morceaux avec degrés de liberté associés aux sommets du triangle tandis que c(2)
h serait une correction
quadratique avec degrés de liberté associés aux noeuds milieux des arêtes. On note que la décomposition choisie pour ˆu(k+1)
h fait en sorte que l’estimateur est un estimateur hiérarchique
tel que décrit dans Bank et Smith [7].
Introduisons maintenant quelques notations avant de poursuivre avec la construction de ˆu(k+1)
h .
Notons par xi les sommets de l’élément triangulaire K et λi les coordonnées barycentriques
associées. Le vecteur entre les sommets xiet xj est de longueur hij tandis que eij est le vecteur
unitaire de même direction. Le vecteur entre xi et xj est alors donné par hijeij et son noeud
milieu est noté xij. La médiane entre xi et son noeud milieu opposé est de longueur li et mi
est un vecteur unitaire de même direction. Les trois médianes se rencontrent au barycentre xB du triangle. Similairement, gi(k) et gij(k) sont respectivement les gradients reconstruits aux
sommets et aux noeuds milieux et sont obtenus à partir de la méthode de reconstruction des dérivées décrite à l’annexe B. Comme les gradients sont seulement reconstruits aux noeuds de calcul du maillage, on note que les g(k)
ij sont seulement calculés dans le cas quadratique.
Tel que mentionné plus tôt, le terme c(k+1)
h constitue l’enrichissement de l’approximation de u.
L’idée générale pour déterminer ce terme est très simple. Comme ˆu(k+1)
h est une approximation
de u et g(k)
h = (g
(k)
hx, g
(k)
hy) est une approximation de son gradient, alors les différentes dérivées
partielles d’ordre k + 1 de ˆu(k+1)
h doivent coïncider avec la dérivée partielle appropriée d’ordre
k de l’une des composantes de gh(k). De plus, on note que : ∂k+1uˆ(k+1)h
∂xm∂yn =
∂k+1c(k+1)h
∂xm∂yn avec m + n = k + 1
puisque les dérivées partielles d’ordre k + 1 de u(k)
h , qui est un polynôme de degré k, sont
nulles. Ce terme disparaît donc complètement du système. Procédons maintenant à construire ˆu(k+1)
mation linéaire par morceaux u(1)
h . Pour l’obtenir, on peut simplement ajouter des fonctions
de base quadratiques de la forme λiλj, i 6= j, au milieu de chacune des arêtes. Sur chaque
élément K, on cherche alors une approximation ˆu(2)
h de la forme : u(1)h + c(2)h = uh(1)+ c(2)12,Kλ1λ2+ c (2) 23,Kλ2λ3+ c (2) 31,Kλ3λ1
Pour déterminer les coefficients inconnus c(2)
ij,K, il suffit de comparer la dérivée seconde de c (2) h
(ou ˆu(2)
h ) avec la dérivée première de g (1)
h . Mathématiquement, on se retrouve alors avec un
système de trois équations de la forme : ∂2c(2)h ∂x2 = ∂ghx(1) ∂x , ∂2c(2)h ∂y2 = ∂ghy(1) ∂y , ∂2c(2)h ∂x∂y = 1 2 ∂ghx(1) ∂y + ∂g(1)hy ∂x , (2.3)
Ce système peut facilement être résolu pour les c(2)
ij,K : c(2)12,K = 18(x1− x2) · (g(1)2 − g1(1)) = h12 8 e12· (g (1) 2 − g (1) 1 ) c(2)23,K = 18(x2− x3) · (g(1)3 − g (1) 2 ) = h23 8 e23· (g (1) 3 − g (1) 2 ) c(2)31,K = 18(x3− x1) · (g(1)1 − g (1) 3 ) = h31 8 e31· (g (1) 1 − g (1) 3 ) (2.4)
On note que les c(2)
ij,K dépendent uniquement des coordonnées xi, xj et des gradients recons-
truits aux noeuds adjacents g(1)
i et g
(1)
j , ce qui garantit la continuité de ˆu (2)
h à la frontière entre
deux éléments. Cas quadratique
L’approche décrite dans le cas linéaire peut facilement se généraliser dans le cas d’éléments d’ordre supérieur. Dans le cas quadratique, on cherche une fonction cubique c(3)
h enrichissant
l’approximation quadratique par morceaux u(2)
h . Pour l’obtenir, nous avons besoin de quatre
degrés de liberté supplémentaires que l’on choisit de disposer aux milieux des arêtes et au barycentre de l’élément triangulaire. Deux degrés de liberté sont alors attachés aux noeuds milieux des arêtes avec leur fonction de base cubique correspondante. La fonction de base au barycentre de l’élément est donnée par λ1λ2λ3. En conservant la même notation, on a
maintenant ˆ
u(3)h = u(2)h + c(3)h = u(2)h + c(3)12,Kλ1λ2(λ1− λ2) + c(3)23,Kλ2λ3(λ2− λ3)
+c(3)31,Kλ3λ1(λ3− λ1) + c(3)4,Kλ1λ2λ3
Pour déterminer les coefficients inconnus c(3)
ij,K, il suffit de comparer la dérivée troisième de
c(3)h (ou ˆu(3)h ) avec la dérivée seconde de g(2)h . Mathématiquement, on se retrouve alors avec un système de quatre équations de la forme :
∂3c(3)h ∂x3 = ∂2ghx(2) ∂x2 , ∂3c(3)h ∂y3 = ∂2ghy(2) ∂y2 , ∂3c(3)h ∂x2∂y = 1 3 ∂2g(2)hx ∂x∂y + ∂2ghx(2) ∂y∂x + ∂2ghy(2) ∂x2 , ∂3c(3)h ∂x∂y2 = 1 3 ∂2g(2)hy ∂x∂y + ∂2ghy(2) ∂y∂x + ∂2ghx(2) ∂y2 . (2.5) En résolvant, on obtient : c(3)12,K = h12 3 e12· (g (2) 1 − 2g (2) 12 + g (2) 2 ) c(3)23,K = h23 3 e23· (g (2) 2 − 2g (2) 23 + g (2) 3 ) c(3)31,K = h31 3 e31· (g (2) 3 − 2g (2) 31 + g (2) 1 ) (2.6) et c(3)4,K = 23 l1m1· (g1(2)− 3g (2) B + 2g (2) 23) + l2m2· (g(2)2 − 3g (2) B + 2g (2) 31) +l3m3· (g3(2)− 3g(2)B + 2g12(2)) (2.7) où g(2) B est la valeur de g (2) h au barycentre de l’élément.
On note qu’une approche similaire pourrait être utilisée pour déterminer l’expression de c(k+1) h
dans le cas d’éléments d’ordre supérieur. Dans tous les cas, une fois la construction de ˆu(k+1) h
complétée, la norme L2 de l’erreur peut être approchée sur chaque élément K par la relation :