En grandes déformations, il arrive fréquemment que le maillage subisse des déformations signi- ficatives avec le temps, ce qui mène à des maillages contenant plusieurs éléments très déformés lors de la simulation. Éviter un tel problème est l’une des plus grandes difficultés lors de la résolution de problèmes en grandes déformations. Pour illustrer ceci, considérons le problème classique d’indentation retrouvé dans le travail de Yamada et Kikuchi (voir [73]). Pour ce problème, on considère une géométrie rectangulaire de dimension 2 × 1 sur laquelle un dépla- cement uniforme de grandeur v est appliqué dans la direction x2 sur le bord supérieur gauche,
comme l’illustre la figure 2.6. À la base, on impose un déplacement nul dans la direction x2
(u2 = 0), et sur les bords gauche et droit, un déplacement nul dans la direction x1 (u1 = 0).
Un déplacement uniforme de v = 0.001 est appliqué à chaque incrément d’actualisation et les valeurs k = 100, c1 = 1.5 et c2 = 0.5 sont utilisées comme constantes matérielles pour la loi
de Mooney-Rivlin. Une discrétisation P2 - P1 est aussi choisie pour la résolution. Le maillage
utilisé pour la résolution est illustré dans la même figure et contient beaucoup plus d’éléments que celui utilisé dans [73]. Pour mieux capturer la solution, le maillage initial a été raffiné au voisinage du point A (région présentant une singularité en raison de la zone de transition séparant les deux différents types de conditions aux limites). Le maillage est composé de 1658 éléments et de 881 noeuds.
A v u1 = 0 u1= 0 u2 = 0 x1 x2
Figure 2.6: Problème d’indentation [73] : géométrie, conditions aux limites et maillage initial
Au cours de la résolution, la singularité au point A devient plus significative (i.e. le gradient de u devient grand), ce qui mène à un maillage contenant plusieurs éléments dégénérés. Sans remaillage, l’algorithme ne veut plus converger. Le plus grand avantage de la méthode lagran- gienne actualisée est qu’elle permet le remaillage d’une configuration intermédiaire déformée lorsque cela devient nécessaire. Dans ce travail, tel que mentionné à la section 2.1, la méthode d’adaptation de maillage anisotrope pleinement optimale basée sur un estimateur hiérarchique ([14;15]) sera utilisée pour estimer l’erreur et adapter le maillage en conséquence. La qualité des éléments du maillage sera aussi grandement améliorée par le processus. Cette méthode d’adaptation est plutôt récente et n’a jamais été utilisée auparavant dans un contexte lagran- gien actualisé. L’un des buts de ce travail sera alors d’illustrer l’efficacité de cette méthode. On montrera aussi comment elle permet d’améliorer grandement notre méthode lagrangienne actualisée.
Dans cet exemple, pour montrer l’efficacité de la méthode de remaillage, nous avons décidé de seulement remailler lorsque la convergence devient difficile même si notre estimateur d’erreur a détecté beaucoup plus tôt durant la simulation la présence d’éléments sur lesquels l’erreur est grande. En général, le remaillage serait effectué bien avant le point où les éléments très déformés apparaissent dans le maillage afin de s’assurer que celui-ci mène toujours a des bonnes approximations de la solution. Cependant, pour cet exemple, nous avons attendu jusqu’à ce que plusieurs éléments dégénérés apparaissent afin de montrer que l’algorithme d’adaptation est non seulement capable de détecter les éléments où l’erreur est grande mais aussi de retourner un maillage de qualité supérieure. La figure2.7illustre le maillage avant et après le remaillage effectué à v = 0.128, le point où la convergence devient difficile. Dans la figure 2.7a), on peut voir qu’un des éléments du maillage est complètement aplati (on l’indique par une flèche) et est la cause des problèmes de convergence. La figure 2.7b), quant à elle, démontre clairement que l’élément problématique a été enlevé et que les éléments du maillage ont été optimisés. En grandes déformations, la nécessité d’avoir une bonne méthode d’adaptation de maillage est primordiale. À la section 2.1, nous avons montré que notre algorithme de remaillage adaptatif
Remarque : À la section 1.3, nous avons mentionné qu’une stratégie particulière doit être utilisée pour actualiser le maillage lorsque l’adaptation de maillage est ajouté à l’algorithme. Ceci est dû au fait que les opérations élémentaires utilisées pour optimiser le maillage ne sont pas prévues pour manipuler des arêtes courbes à l’intérieur du domaine. Dans le cas avec adaptation, l’actualisation de la géométrie doit donc être faite de telle sorte à ce que les arêtes à l’intérieur du domaine demeurent droites, tout en s’assurant de ne pas perdre de précision du côté de la géométrie. Pour y arriver, il est clair que les noeuds sur la frontière du domaine doivent être actualisés normalement (de la même façon que dans le cas sans adaptation). Cependant, pour les noeuds à l’intérieur du domaine, on procède un peu différemment dans le sens que seuls les sommets sont actualisés à partir du déplacement quadratique. Les milieux des arêtes sont simplement positionnés de telle sorte à créer des arêtes droites entre les différents sommets. On note que ceci n’engendre qu’une perte mineure de précision étant donné que la majorité des noeuds sont actualisés à l’aide du déplacement quadratique.
(a) Avant remaillage (b) Après remaillage
Figure 2.7: Effet du remaillage sur la géométrie actualisée : (a) maillage contenant des élé- ments très déformés et (b) maillage optimisé
À la figure2.7b), nous avons vu que l’algorithme de remaillage adaptatif a grandement amélioré le maillage. Cependant, afin de poursuivre les calculs, le tenseur du gradient de déformation F0→1, qui tient compte des prédéformations dans un contexte lagrangien actualisé, doit être
transféré de l’ancien maillage au nouveau maillage. Cette étape est particulièrement impor- tante puisque F0→1 est par la suite utilisé pour calculer C0→2 à partir de la relation (1.11)
et ensuite Se et Ce à partir des relations (1.12) et (1.14). Toute perte de précision lors de ce transfert peut avoir des conséquences importantes sur la suite des calculs.
Dans la plupart des formulations éléments finis, le tenseur F0→1est calculé de façon discontinue
aux points d’intégration du maillage. Le problème consiste alors à transférer les valeurs aux points d’intégration du nouveau maillage de façon aussi précise que possible. Plusieurs choix s’offrent à nous pour atteindre ce but. Dans ce travail, nous allons premièrement considérer deux méthodes de transfert direct de champs, qui transfèrent directement les valeurs des points d’intégration de l’ancien maillage aux points d’intégration du nouveau maillage. Par la suite, 42
nous présenterons une méthode qui projette premièrement les valeurs aux noeuds de l’ancien maillage, pour ensuite calculer les valeurs aux points d’intégration du nouveau maillage. Des comparaisons seront faites afin de trouver la méthode la plus efficace pour la résolution de problèmes hyperélastiques en grandes déformations.
2.2.1 Techniques de transfert
Technique du point le plus proche
Tel que son nom l’indique, cette technique consiste à chercher, pour chacun des points d’in- tégration du nouveau maillage, celui dans l’ancien maillage qui est le plus proche. Sa valeur est par la suite affectée au nouveau point d’intégration (voir [56]). L’avantage de cette mé- thode est qu’elle est très simple à implémenter, ce qui fait en sorte qu’elle est populaire en pratique. Cependant, tel que nous allons voir dans la suite, cette méthode peut mener à des approximations plutôt médiocres du tenseur de déformation.
Technique de moyenne pondérée
Soit Gh+1 un point d’intégration du nouveau maillage Mh+1. La valeur à Gh+1, Ah+1 G , est
calculée en utilisant une méthode de moyenne pondérée basée sur les valeurs des points d’in- tégration Gh
i de l’ancien maillage situés à l’intérieur du voisinage de Gh+1 :
Ah+1G = PN i=1wiAhi PN i=1wi où Ah
i est la valeur connue au point d’intégration Ghi de l’ancien maillage, N est le nombre
de points d’intégration de l’ancien maillage Mh compris dans le voisinage de Gh+1 et wi est
la fonction de pondération permettant de donner plus de poids aux voisins les plus proches. Par exemple, la fonction de pondération peut être choisie inversement proportionnelle à la distance comme wi = 1/d2
i, wi = 1/d4i ou wi = 1/d6i, où di est la distance entre Gh+1 et
Ghi. La figure 2.8 illustre le voisinage généralement choisi en 2D. Le choix du rayon R est arbitraire, mais peut être choisi, par exemple, en fonction d’un nombre désiré de points à retenir à l’intérieur du voisinage. On retrouve une méthode de transfert similaire dans [37].
Gh+1 Ghi
point d’intégration du nouveau maillage point d’intégration de l’ancien maillage R
Méthode de projection L2
Les méthodes de projection sont généralement composées des 4 étapes suivantes (voir Lee et Bathe [52], Perić et al. [60]) :
1. Extrapoler la variable discontinue aux noeuds de l’ancien maillage
2. Déterminer les coordonnées locales des noeuds du nouveau maillage à l’intérieur des éléments de l’ancien maillage
3. Calculer les valeurs de la variable discontinue aux noeuds du nouveau maillage 4. Obtenir les valeurs de la variable aux points d’intégration du nouveau maillage Chaque étape peut être décrite comme suit :
Étape 1 - Extrapoler la variable discontinue aux noeuds de l’ancien maillage Parmi les méthodes qui existent, la méthode des moindres carrés, introduite par Peric et al. ([60]), est la plus utilisée en pratique (voir Cheng et Kikuchi [25], Johnson et al. [45]). La méthode des moindres carrés peut être appliquée globalement sur le domaine en entier Ω (Hinton et Campbell [43], Alves et al. [4], Fernandes et Martins [33]), localement sur une coquille d’éléments ([75], Khoei et al. [48], Khoei et Gharehbaghi [47]) ou même localement élément par élément ([43]). Dans le cas local, on se retrouve avec plusieurs valeurs à chaque noeud. On doit donc calculer une moyenne des valeurs afin d’en obtenir une seule par noeud. Plusieurs autres articles discutent du problème de transfert de champs après avoir complété une étape de remaillage (Mediavilla et al. [55], Bucher et al. [22], Larson et Bengzon [50]). Certains discutent aussi de la construction d’espace de tenseurs spécifiques, comme dans la plupart des méthodes mixtes ([20], Arnold [6], Hauret et Hecht [39], Sinwel [68]), ayant des propriétés d’interpolation simples et menant à des méthodes de transfert plus locales. Cependant, très peu de publications se concentrent sur la comparaison des différentes méthodes de transfert pour des problèmes difficiles à résoudre. La plupart des applications étudiées sont limitées à des géométries simples et sont résolues en choisissant attentivement le maillage initial afin d’assurer que la simulation se complète avec peu d’étapes de remaillage. Dans ce travail, nous allons donc essayer de comparer les différentes méthodes de transfert pour des problèmes plus compliqués (e.g. un problème avec une forte singularité). Des séquences de remaillage adaptatif complètes seront aussi effectuées afin d’étudier l’efficacité des méthodes de transfert lorsque le maillage est complètement régénéré.
En pratique, les méthodes de moindres carrés appliquées localement sur un patch d’éléments ou localement élément par élément semblent être les plus populaires. Cependant, dans ce tra- vail, nous allons plutôt nous concentrer sur une méthode de moindres carrés globale. Dans la littérature, Alves et al ([4]) utilisent une méthode de moindres carrés globale, mais leur méthode consiste à minimiser une fonctionnelle qui utilise seulement l’information à un point d’intégration sur chaque élément (celui du centre). Selon nous, ceci mène à une perte de préci- 44
sion qui peut être évitée. Quant à Hinton et Campbell ([43]), ils ont comparé les méthodes de moindres carrés globales et locales et ont aussi mentionné la possibilité d’utiliser des fonctions d’interpolation pour le lissage différentes de celles utilisées pour la résolution par éléments finis. Dans leur travail, les fonctions d’interpolation pour le lissage sont choisies comme étant un degré de moins que les fonctions d’interpolation éléments finis. Une idée similaire sera uti- lisée dans ce travail, mais dans notre cas, nous étudierons de façon générale l’effet d’utiliser des degrés différents pour les fonctions d’interpolation de lissage dans la méthode globale des moindres carrés. Les comparaisons seront faites dans le cadre de problèmes hyperélastiques en grandes déformations.
Dans le cas global, pour extrapoler la variable aux noeuds du maillage, la méthode de projec- tion requiert la résolution du problème de minimisation suivant :
min Z∈Vk h 1 2 Z Ω (Z − Z∗)2dΩ
où Z∗ est la variable discontinue avec ses valeurs connues aux points d’intégration, Vk
h est
l’espace des polynômes continus par morceaux de degré k et Ω est la configuration de l’ancien maillage (du dernier état convergé). Résoudre ce problème de minimisation mène à Z, la variable lissée avec ses valeurs connues aux noeuds du maillage. Pour la résolution, on peut utiliser le fait que le problème de minimisation est équivalent à trouver Z ∈ Vk
h tel que Z Ω Z q dΩ = Z Ω Z∗q dΩ, ∀q ∈ Vhk (2.8)
où q représente les fonctions tests de l’espace Vk
h. Pour une variable tensorielle interne, la
projection est effectuée composante par composante. On note que la matrice masse globale est la même pour chacune des composantes. Cette approche correspond à une projection L2
de Z∗ sur Vk
h. En pratique, nous testerons les cas k = 1, 2, 3 (i.e. projection L2 dans un
champ linéaire, quadratique et cubique) peu importe la discrétisation utilisée pour résoudre le problème éléments finis. Pour l’élément Taylor-Hood, nous testerons alors trois cas diffé- rents : l’un où les fonctions d’interpolation de lissage sont un degré de moins que les fonctions d’interpolation éléments finis (tel que dans [43]), un autre où les fonctions d’interpolation de lissage sont les mêmes que les fonctions d’interpolation éléments finis (tel que dans la plupart des articles publiés dans la littérature) et finalement l’un où les fonctions d’interpolation de lissage sont un degré de plus que les fonctions d’interpolation éléments finis. Dans tous les cas, le champ résultant sera un champ continu défini sur l’ancien maillage.
Remarques importantes:
1. La précision de la méthode de projection est grandement améliorée par le fait que le maillage est adapté en fonction de l’erreur sur le déplacement. En pratique, ceci implique que le maillage est raffiné dans les régions où les composantes du déplacement présentent de grandes variations, ce qui à son tour implique que plus le maillage est amélioré, plus il devient approprié pour capturer le tenseur du gradient de déformation. C’est aussi une façon de prévenir le lissage excessif du tenseur de déformation projeté, ce qui améliore la précision.
2. Une méthode de gradient conjugué préconditionné est utilisée pour résoudre le système linéaire correspondant. Le coût de calcul associé à l’étape de projection est donc minime, même en trois dimensions.
3. Pour assurer la bonne performance de la méthode de transfert, il est toujours préférable de remailler le maillage initial afin que celui-ci prenne en considération les diverses va- riations de la solution dès le départ. Remailler la configuration initiale n’engendre pas de perte d’information (étant donné qu’aucun transfert de variables n’est nécessaire) et permet d’améliorer la précision des transferts du tenseur du gradient de déformation effectués lors des prochaines étapes de remaillage. Il est donc avantageux de le faire.
Pour chaque noeud Xh+1 du nouveau maillage, faire les étapes 2 et 3.
Étape 2 - Déterminer les coordonnées locales des noeuds du nouveau maillage à l’intérieur des éléments de l’ancien maillage.
Soit Xh+1un noeud du nouveau maillage Mh+1et Eh l’élément de l’ancien maillage Mhqui le
contient. On note par Nelle nombre de noeuds par élément. Pour déterminer les coordonnées
locales (ξh
n, ηnh) de ce noeud dans l’élément Eh sur lequel il se projette, plusieurs utilisent la
transformation isoparamétrique inverse (voir [60], [52], Camacho et Ortiz [23], Pedersen [59]), où on utilise le fait que les coordonnées globales des noeuds de l’ancien maillage et du nouveau maillage sont connues. Les coordonnées du noeud Xh+1 sont reliées aux coordonnées des
noeuds de Eh, Xh i, i = 1, ..., Nel, par la relation Xnh+1= N el X i=1 Nih(ξnh, ηhn)Xih où Nh
i sont les fonctions de base sur l’ancien maillage. La résolution de ce système d’équations
permet de déterminer les coordonnées locales (ξh
n, ηnh)du noeud Xh+1 dans l’ancien maillage.
Pour donner un exemple, le système à résoudre pour un élément triangulaire linéaire est donné par : xh+1n = (1 − ξnh− ηh n)xh1 + ξnhxh2+ ηhnxh3 yh+1n = (1 − ξnh− ηh n)y1h+ ξnhyh2 + ηhny3h 46
Ce système peut être résolu facilement. Cependant, ceci n’est pas toujours le cas. Pour des éléments de plus haut degré, l’opération devient rapidement complexe puisqu’on fait face à la résolution d’un système non linéaire pour lequel la solution n’est pas immédiate. Par exemple, dans le cas d’un élément triangulaire quadratique, le système à résoudre est le suivant : xh+1n = 2(ξnh+ ηhn− 1)(ξh n+ ηnh−12)xh1+ 2ξnh(ξnh−12)xh2 + 2ηnh(ηnh−12)xh3 −4ξh n(ξhn+ ηnh− 1)xh12+ 4ξnhηnhxh23− 4ηhn(ξhn+ ηhn− 1)xh31 ynh+1 = 2(ξnh+ ηhn− 1)(ξh n+ ηnh−12)y1h+ 2ξnh(ξhn−12)yh2 + 2ηhn(ηnh−12)y3h −4ξh n(ξhn+ ηnh− 1)yh12+ 4ξnhηnhy23h − 4ηhn(ξnh+ ηnh− 1)y31h
et est beaucoup plus complexe que dans le cas linéaire. Pour résoudre de tels systèmes, un schéma itératif de type Newton-Raphson est utilisé (voir [52]).
Étape 3 - Calculer les valeurs de la variable discontinue aux noeuds du nouveau maillage.
Une fois les coordonnées locales (ξh
n, ηhn)déterminées, le calcul des valeurs nodales du nouveau
maillage s’effectue en utilisant les fonctions d’interpolation Nh
i . Soient Zih les valeurs nodales
de l’ancien maillage et Zh+1 la valeur nodale associée au noeud Xh+1 du nouveau maillage
(pour lequel nous connaissons ses coordonnées locales dans l’ancien maillage). La valeur de Z au noeud Xh+1 du nouveau maillage est donnée par :
Zh+1=
Nel
X
i=1
Nih(ξh, ηh)Zih
Étape 4 - Obtenir les valeurs de la variable aux points d’intégration du nouveau maillage.
Connaissant les valeurs nodales du nouveau maillage, la valeur à un certain point d’intégration Gh+1du nouveau maillage, ZGh+1, peut facilement être calculée à partir des fonctions de base du nouveau maillage Nh+1 i : ZGh+1= Nel X i=1 Nih+1(ξGh+1, ηGh+1)Zih+1 où (ξh+1 G , η h+1
G ) sont les coordonnées locales de Gh+1.
2.2.2 Comparaisons des différentes techniques de transfert
Tel que déjà mentionné, la projection L2 peut être faite dans des champs de différents degrés.
reliée au lissage de la variable. Évidemment, comme on se place dans le cas sans remaillage, la projection n’est pas nécessaire et ne permettra pas de vérifier l’efficacité de la méthode de transfert au complet. Cependant, ceci nous permettra de mesurer la perte de précision résul- tant du lissage de la variable sur l’ancien maillage (étape 1). Le processus peut se résumer comme suit. Connaissant les valeurs du tenseur du gradient de déformation aux points de Gauss du maillage, la projection L2 permettra d’extrapoler les valeurs aux noeuds du même
maillage. Avec les valeurs nodales, les valeurs aux points d’intégration pourront par la suite être recalculées. On sera aussi en mesure de les comparer avec les valeurs initiales (i.e. les valeurs avant la projection). La procédure est la même que celle décrite plus haut, le maillage est mis à jour à chaque incrément mais aucun remaillage n’est effectué.
Encore une fois, nous aurons recours à la méthode des solutions manufacturées, mais cette fois-ci pour étudier l’effet du degré k sur la projection L2.
Solutions manufacturées
Considérons la fonction u = [yex/10, sin(y)/10] comme solution analytique pour le déplace-
ment total avec Ω0 = [0, 1]2, où x et y sont les coordonnées sur Ω0. On utilisera les valeurs
k = 100, c1 = 1et c2 = 2comme constantes matérielles pour la loi de Mooney-Rivlin et on
résolvera sur 20 incréments. À chaque incrément, une condition aux limites de Dirichlet de u = [yex/200, sin(y)/200]sera imposée sur toutes les frontières du domaine. Utilisant l’élément P2 - P1 pour la résolution, l’ordre de convergence devrait être de 3 pour le déplacement u et
de 2 pour le tenseur du gradient de déformation F (en norme L2). Comme u et F sont définis
sur la géométrie initiale Ω0, le déplacement total u
0→20 sera soustrait de X20 afin d’obtenir
les coordonnées X0 qui définissent Ω0 avant de calculer les erreurs en norme L2 (qui sont
mesurées par rapport à la géométrie initiale).
Les courbes de convergence pour chaque méthode de projection sont illustrées à la figure2.9 et sont comparées avec la courbe de convergence obtenue en utilisant les valeurs non modifiées de F (calculées aux points d’intégration). Cette solution sera appelée la solution de référence étant donné qu’elle représente tout simplement la solution par éléments finis (et n’implique aucune perte d’information additionnelle). On note que l’étude de convergence a été faite avec une série de 5 maillages, contenant respectivement 122, 488, 1952, 7808 et 31232 éléments triangulaires. Comme on peut le voir, la projection L2 dans un champ cubique est celle qui
mène aux meilleurs résultats. La perte de précision sur u et F , de même que sur l’ordre de convergence, est significativement plus petite que pour la projection dans un champ linéaire ou quadratique.
Comparaison avec une solution connue
Lorsqu’un corps est soumis à des forces externes, une déformation se produit. Pour une défor- mation purement élastique, ce qui est le cas pour le caoutchouc, la déformation est réversible. 48
10−3 10−2 10−1 100 10−9 10−8 10−7 10−6 10−5 10−4 10−3 h k u − uh kL 2 Référence, pente = 3.4443 Linéaire, pente = 2.1112 Quadratique, pente = 2.1427 Cubique, pente = 3.0671 (a) 10−3 10−2 10−1 100 10−6 10−5 10−4 10−3 10−2 h kF − Fh kL 2 Référence, pente = 2.4231 Linéaire, pente = 1.079 Quadratique, pente = 1.1277 Cubique, pente = 1.9847 (b)
Figure 2.9: Fonction u = [yex/10, sin(y)/10] : erreur en norme L2 pour (a) u et (b) F en fonction de la taille des éléments h, pour 20 incréments d’actualisation et k = 100
Ceci implique alors que l’objet devrait retourner à sa forme initiale lorsque les forces ne sont plus appliquées. Il devrait donc y avoir conservation de l’énergie.
Le lissage de F va définitivement mener à une perte d’énergie de déformation, mais notre but est de trouver la méthode qui minimise cette perte. Encore une fois, nous allons commencer