Les méthodes de continuation numériques sont des outils très puissants et efficaces pour la résolution de systèmes d’équations non linéaires. Ces méthodes sont devenues de plus en plus populaires au cours des années et ont permis la résolution de problèmes hautement non 64
linéaires difficiles à résoudre autrement. Elles sont aussi fréquemment utilisées pour étudier les propriétés qualitatives des solutions, tel que l’identification des points de bifurcation et des changements de stabilité.
Parmi les méthodes de continuation qui existent, les méthodes prédicteur-correcteur sont les plus populaires en pratique. Dans la littérature, on retrouve plusieurs différentes méthodes de continuation (voir par exemple Riks ([32], [63]), Crisfield [28], Schweizerhof et Wriggers [66], Simo et al. [67]), mais dans ce travail, seule la méthode de continuation de Moore-Penrose (voir [3], Deuflhard et Heindl [30], Dhooge et al. [31]), aussi connue sous le nom de Gauss- Newton, sera étudiée. Nous chercherons particulièrement à voir son effet lorsqu’elle est ajoutée à l’algorithme pour la résolution de problèmes en grandes déformations dans un contexte lagrangien actualisé.
Un des facteurs important des méthodes de continuation est qu’elles permettent de contrôler la déformation de la structure durant la simulation, ce qui est très utile pour surmonter les problèmes reliés aux points limites. Pour contrôler la déformation de la structure lors de la résolution, un paramètre λ représentant la charge appliquée est introduit. Par la suite, on supposera que cette charge est appliquée soit par l’entremise d’une force externe ou d’un déplacement prescrit ou par une combinaison des deux. Ce paramètre deviendra alors une inconnue supplémentaire du problème.
De façon générale, le système d’équations non linéaires à résoudre peut s’écrire sous forme implicite comme suit :
F (x) = 0
avec F : RN +1→ RN une fonction régulière. Le vecteur d’inconnues x regroupe les N degrés
de liberté du maillage et le paramètre de chargement λ.
En s’inspirant de [31], la méthode de continuation de Moore-Penrose peut être décrite comme suit. En supposant qu’un point x(i) ∈ RN +1 sur la courbe F (x) = 0 a été trouvé, la première
étape consiste à calculer un vecteur tangent v(i) ∈ RN +1 en ce point. Le vecteur tangent
satisfait la propriété :
Fx0(x(i))v(i)= 0
et est par la suite utilisé pour calculer le prochain point x(i+1) ∈ RN +1 sur la courbe solution.
Pour trouver ce prochain point, une prédiction le long de la direction tangente est premièrement calculée :
X0 = x(i)+ hiv(i)
où v ∈ RN +1est tel que F0
x(x)v = 0. On note que la longueur du pas dans la direction tangente,
hi, peut être choisie en fonction du nombre d’itérations nécessaire pour la convergence ou
encore déterminée à partir d’un algorithme de recherche linéaire. En linéarisant le système autour de X0, le système à résoudre devient :
Fx0(X0)(x − X0) = −F (X0) (V0)>(x − X0) = 0 (2.9) où F0 x(X0)V0 = 0.
Afin de trouver la solution de ce système, rappelons quelques notions sur l’inverse généralisé de Moore-Penrose. Considérons une matrice A de dimension N ×(N +1) de rang N. L’inverse généralisé de cette matrice est noté A+ et est défini par la formule :
A+= A>(AA>)−1 En considérant le système : Ax = b v>x = 0 (2.10)
où b ∈ RN, x ∈ RN +1 et où v ∈ RN +1 est tel que Av = 0, on peut montrer que x = A+b est
une solution de ce système. En effet, ceci est vrai puisque : AA+b = AA>(AA>)−1b = b et
v>A+b = v>A>(AA>)−1b = (Av)>[(AA>)−1b] = 0
Le système à résoudre (2.9) étant de la même forme que le système (2.10), sa solution est donc donnée par :
x = X0− Fx0+(X0)F (X0)
Les corrections de Moore-Penrose sont alors données par :
Xk+1 = Xk− Fx0+(Xk)F (Xk), k = 0, 1, 2, ... (2.11) où le vecteur Vk ∈ RN +1 est tel que F0
x(Xk)Vk= 0. Cependant, comme ce vecteur n’est pas
connu, en pratique on l’approxime par un vecteur Vk satisfaisant :
Fx0(Xk−1)Vk= 0, V0 = vi
L’algorithme de la méthode de Moore-Penrose est décrit dans [31] et sera davantage élaboré au prochain chapitre. La figure 2.22 illustre graphiquement l’algorithme des corrections de Moore-Penrose.
x(i) V0 X0 V1 X1 V2 x(i+1) v(i+1) v(i) X2
Figure 2.22: Algorithme de corrections pour la méthode de continuation de Moore-Penrose
2.4
Résultats numériques
Dans cette section, nous allons montrer comment on peut résoudre des problèmes hyper- élastiques en grandes déformations de façon efficace avec la méthode lagrangienne actualisée proposée dans ce travail. Notre méthode lagrangienne actualisée combine un estimateur d’er- reur, le remaillage adaptatif, la méthode de projection L2 cubique pour le transfert du tenseur
du gradient de déformation et l’algorithme de continuation de Moore-Penrose. On note que dans les exemples qui suivent, des séquences de remaillage adaptatif seront effectuées seule- ment lorsque nécessaire afin d’éviter d’inutiles pertes de précision. Évidemment, la décision de remailler doit être basée sur des critères précis afin d’avoir un algorithme automatique qui ne nécessite pas de regarder les maillages en cours de route afin de déterminer si le remaillage est nécessaire ou non. Dans ce travail, les critères suivants seront utilisés pour déterminer à quel moment les étapes de remaillage doivent être effectuées :
• Un déplacement maximal (dans le cas d’une condition de Dirichlet) ou une force maxi- male (dans le cas d’une pression suiveuse) est établi a priori afin d’assurer des remaillages périodiques (ce qui empêche les éléments trop déformés dans le maillage)
• Dans le cas de non convergence, l’algorithme revient au dernier pas de chargement convergé et remaille la configuration intermédiaire utilisée comme configuration de réfé- rence pour le pas de chargement en question
Il y a donc deux éventualités : soit le remaillage est effectué en raison de non convergence de l’algorithme ou soit la charge maximale permise avant une étape de remaillage a été atteinte. Notons que l’importance de la méthode de continuation sera aussi illustrée dans les résultats qui suivent.
2.4.1 Problème avec contrainte de cisaillement
Comme premier exemple, considérons la géométrie rectangulaire illustrée à la figure 2.23a) sur laquelle un déplacement horizontal τ sera appliqué sur le bord supérieur. Un déplacement vertical nul sera aussi imposé sur le bord supérieur et le bord inférieur sera fixe. Le déplacement sera appliqué de façon graduelle par incrément de ∆τ = 0.01 à chaque pas. Les paramètres pour le modèle de Mooney-Rivlin seront choisis comme k = 1000, c1 = 1 et c2 = 0.5 (ce qui
représente un matériau plus incompressible que dans les autres exemples présentés dans ce travail), et des éléments P2 - P1 seront utilisés pour la résolution. La géométrie rectangulaire
est de dimension 1 × 2 et le maillage initial est composé de 420 éléments et de 242 noeuds. Sans remaillage, l’algorithme converge pendant un total de 150 incréments, mais diverge lors du prochain incrément. La figure2.23b) illustre le maillage après l’incrément 150 (juste avant la divergence de l’algorithme). Comme on peut le voir, la divergence de l’algorithme est causée par deux éléments très déformés, l’un dans le coin supérieur droit et l’autre dans le coin inférieur gauche du maillage.
À ce point, la seule façon de poursuivre les calculs est de remailler la géométrie. Des séquences complètes de remaillage adaptatif seront alors ajoutées à l’algorithme pour les prochains 5 incréments (de l’incrément 150 à 154) et ensuite retirées afin de voir si la convergence en est améliorée. Le maillage après l’incrément 154, qui est maintenant composé de 770 éléments, est illustré à la figure2.23c) et permet d’illustrer que l’algorithme de remaillage adaptatif concentre les éléments dans les coins du maillage, les régions où l’on observe une plus grande variation dans la solution. On note que les séquences complètes de remaillage adaptatif améliorent non seulement la qualité des éléments, mais aussi la précision des résultats numériques.
En continuant la simulation avec le maillage adapté, le niveau de déformation désiré peut être atteint et la simulation peut être complétée. L’état final déformé est illustré à la figure2.24. Dans cette figure, on peut voir la présence d’éléments très alongés, ce qui est permis par la méthode de remaillage anisotrope afin de réduire le coût de calcul.
Pour atteindre le niveau de déformation désiré, 595 incréments de ∆τ = 0.01 ont été né- cessaires. Cependant, en incorporant la méthode de continuation de Moore-Penrose à notre algorithme, on arrive à réduire le coût de calcul. En fait, pour cet exemple, le même niveau de déformation peut être atteint en 87 incréments en utilisant la méthode de continuation de Moore-Penrose, ce qui représente une réduction d’à peu près 85% sur le coût de calcul. Ceci est dû au fait que les méthodes de continuation permettent de contrôler la déformation lors des simulations en imposant une plus petite charge dans les régions difficiles (e.g. régions avec points limites ou points de bifurcation) et une plus grande charge dans les régions de la solution où aucune grande difficulté n’apparaît.
a) Géométrie initiale
b) Incrément 150
c) Incrément 154
Figure 2.23: Exemple avec contrainte de cisaillement
2.4.2 Problème d’indentation avec déplacement imposé
Figure 2.24: Exemple avec contrainte de cisaillement : maillage final déformé à l’incrément 595
l’algorithme. Pour montrer l’évolution de la déformation et les maillages optimisés obtenus lors des étapes de remaillage, nous allons illustrer les maillages déformés à différents moments durant la simulation. La figure2.25montre ces résultats. Les agrandissements dans la région de la singularité démontrent clairement que la technique de remaillage améliore grandement la qualité du maillage. La première composante du tenseur de Cauchy (σ11) est illustrée à la
figure2.26.
Pour ce problème, l’utilisation de la méthode de continuation de Moore-Penrose réduit non seulement le coût de calcul, mais améliore aussi la robustesse de la méthode. Sans continuation, le niveau de déformation atteint était de v = 0.176 (voir tableau2.5). Cependant, en utilisant l’algorithme complet, on atteint un niveau de déformation de v = 0.219, ce qui représente une amélioration d’à peu près 25%.
Évidemment, pour ce problème, il est difficile de vérifier la précision des résultats étant donné que la solution analytique n’est pas connue. Cependant, une façon de le faire est d’imposer encore une fois un déplacement de grandeur −v sur la géométrie déformée. La norme L2 du
déplacement total (une fois le déchargement complété) servira d’indication sur la précision des résultats. L’erreur devrait aussi diminuer en utilisant des maillages plus fins. Pour tester la validité de notre algorithme complet (estimateur d’erreur, remaillage adaptatif, méthode de projection L2 cubique pour le transfert de F et continuation de Moore-Penrose), nous avons
fait ce test pour différentes densités de maillage. Pour chaque maillage, un remaillage adaptatif complet a été effectué à des intervalles d’à peu près v = 0.02 pour un total de six séquences de remaillage adaptatif complètes. Une fois le sixième remaillage complété (à approximativement v = 0.12), un déplacement de −v a été imposé sur la géométrie déformée. La courbe de convergence du déplacement total en norme L2 est illustrée à la figure 2.27. Comme on peut
le voir, notre algorithme complet du lagrangien actualisé mène à des résultats très précis, et ceci malgré la perte observée sur l’ordre de convergence (qui en théorie devrait être de −1.5). On note que la perte sur l’ordre de convergence est inévitable pour ce problème étant donné 70
la forte singularité et les nombreux transferts de F . On note aussi qu’on voyait clairement la géométrie (après le déchargement) converger de plus en plus vers la configuration initiale Ω0
en raffinant le maillage.
2.4.3 Problème d’indentation avec pression suiveuse
Comme troisième exemple, considérons un problème similaire au problème d’indentation pré- senté à la section 2.2. La seule différence étant qu’une pression suiveuse sera imposée sur la partie gauche du bord supérieur au lieu d’un déplacement imposé de grandeur v (voir fi- gure 2.6). La pression suiveuse est représentée par P dans l’équation (1.15) et sera appliquée par incrément de grandeur 0.03. Des séquences de remaillage adaptatif complètes seront effec- tuées à chaque incrément et aucune méthode de continuation ne sera ajoutée à l’algorithme. Sous ces conditions, l’algorithme converge pour un total de 787 incréments. Le maillage final est illustré à la figure 2.28. Comme on peut le voir, la déformation atteinte pour ce problème est beaucoup plus grande que dans le cas d’un déplacement imposé. Ceci est dû au fait que la singularité au point A (voir la figure 2.6) est un peu plus faible dans le cas d’une pression suiveuse. Le problème est donc un peu plus facile à résoudre.
Pour illustrer la précision de la solution, nous avons procédé au déchargement de la structure afin de comparer le maillage final avec la configuration initiale (en gris unicolore). Comme on peut le voir, malgré les 787 transferts du tenseur du gradient de déformation complétés durant les incréments de chargement, ce qui est bien plus que ce qui serait normalement fait en pratique, la géométrie initiale peut quand même être récupérée sans perte majeure de précision. Les figures 2.29a-b) montrent que la perte de précision est principalement dans la région de la singularité. Le graphique de la force appliquée en fonction du déplacement pour le chargement et le déchargement est illustré à la figure 2.30a).
Maintenant, afin de rendre la simulation un peu plus réaliste, nous allons considérer le même problème, mais cette fois-ci, en complétant seulement 7 remaillages lors des incréments de chargement et de déchargement (i.e. 7 pendant le chargement et 7 pendant le déchargement). Un total de 14 transferts du tenseur du gradient de déformation seront alors complétés durant la simulation, ce qui est plus comparable à ce qui serait fait dans une simulation réelle en grandes déformations. Les figures 2.29c-d) comparent la configuration déchargée avec la géo- métrie initiale tandis que la figure2.30b) illustre le graphique de la force appliquée en fonction du déplacement pour le chargement et le déchargement. Dans les deux cas, on peut voir que notre méthode mène à des résultats très précis, même dans le cas d’un tel problème singulier. Après le déchargement, la norme L2 du déplacement total (normalisée) est respectivement de
et en effectuant des séquences de remaillage adaptatif seulement lorsque nécessaire, on peut montrer que la robustesse de la méthode lagrangienne actualisée est grandement améliorée. La figure2.31illustre l’évolution de la déformation et les maillages optimisés obtenus lors des étapes de remaillage. Le niveau de déformation atteint est non seulement plus grand en utilisant la méthode lagrangienne actualisée proposée, mais le coût de calcul est aussi réduit. En effet, seulement 66 incréments sont nécessaires pour atteindre le résultat final. Les contraintes sont illustrées à la figure2.32 et montrent la bonne performance de notre méthode de transfert. On note aussi la présence d’éléments très étirés dans certaines directions privilégiées. Ces éléments n’affectent pas la convergence étant donné qu’ils sont allongés dans des directions compatibles avec la déformation. L’avantage d’avoir de tels éléments dans le maillage est que le nombre d’éléments nécessaires pour atteindre un niveau de précision donné est significati- vement réduit.
2.4.4 Problème d’indenteur
Considérons maintenant un autre type de problème d’indentation. Cette fois-ci, une pression suiveuse sera appliquée en fonction de la coordonnée x du domaine rectangulaire sur le bord supérieur au complet. Comme l’illustre la figure 2.33, on appliquera une plus grande force au milieu qu’aux extrémités. Ce problème a l’avantage d’être beaucoup plus régulier que les problèmes présentés aux sections2.4.2 et 2.4.3, et devrait donc mener à moins de problèmes de convergence.
À chaque incrément, la pression sera augmentée en multipliant P (x) par λ, le paramètre de continuation. La figure 2.34 illustre l’évolution de la déformation de même que les maillages optimisés obtenus lors des étapes de remaillage. Les contraintes sont illustrées à la figure2.35. Comme on peut le voir, de très grandes déformations peuvent être atteintes sans grande difficulté dans cet exemple en raison de la régularité du problème.
On note qu’encore une fois, le niveau de déformation atteint est grandement amélioré par l’utilisation de la méthode de continuation de Moore-Penrose. La solution des problèmes consi- dérés étant hautement non linéaire, le fait de pouvoir contrôler la charge appliquée mène à des meilleurs résultats.
a) Maillage initial b) Maillage final déformé à v = 0.219
c) Maillage déformé à v = 0.104 d) Maillage déformé à v = 0.128
e) Agrandissement à v = 0.104 f) Agrandissement à v = 0.128
(avant remaillage) (avant remaillage)
g) Agrandissement à v = 0.104 h) Agrandissement à v = 0.128
a) σ11 à v = 0.104 (avant remaillage) b) σ11 à v = 0.104 (après remaillage)
c) σ11 à v = 0.128 (avant remaillage) d) σ11 à v = 0.128 (après remaillage)
Figure 2.26: Problème d’indentation avec déplacement imposé : vues 2D (illustrant un agran- dissement de la région de la singularité) et 3D (avec rotation pour améliorer la visualisation) des contraintes (σ11) avant et après les séquences de remaillage adaptatif
103 104 10−4 10−3 # ddl k u − uh kL 2 Pente = −0.865
Figure 2.27: Courbe de convergence en norme L2 pour u après le déchargement
(a) (b)
(c) (d)
Figure 2.29: Problème d’indentation avec pression suiveuse : comparaison du maillage dé- chargé avec la géométrie initiale (en gris unicolore) dans le cas de (a-b) 787 remaillages au cours des incréments de chargement et (c-d) 7 remaillages au cours des incréments de chargement. Les figures b) et d) illustrent un agrandissement dans la région de la singularité.
(a)
(b)
Figure 2.30: Graphique de la force appliquée en fonction du déplacement pour le chargement et déchargement dans le cas de (a) 787 transferts au cours des incréments de chargement et (b) 7 transferts au cours des incréments de chargement
a) Maillage initial b) Maillage final déformé à P = 243.62
c) Maillage déformé à P = 20.13 d) Maillage déformé à P = 28.69
e) Agrandissement à P = 20.13 f) Agrandissement à P = 28.69
(avant remaillage) (avant remaillage)
g) Agrandissement à P = 20.13 h) Agrandissement à P = 28.69
(après remaillage) (après remaillage)
Figure 2.31: Problème d’indentation avec pression suiveuse : maillages déformés à différents moments durant la simulation (note : l’échelle est différente pour chacune des sous-figures)
a) σ11 à P = 20.13 (avant remaillage) b) σ11 à P = 20.13 (après remaillage)
c) σ11 à P = 28.69 (avant remaillage) d) σ11 à P = 28.69 (après remaillage)
Figure 2.32: Problème d’indentation avec pression suiveuse : vues 2D (illustrant un agran- dissement de la région de la singularité) et 3D (avec rotation pour améliorer la visualisation) des contraintes (σ11) avant et après les séquences de remaillage adaptatif. Dans la vue 3D, la
Figure 2.33: Problème d’indenteur : pression suiveuse appliquée sur le côté supérieur du domaine rectangulaire
a) Maillage initial b) Maillage final déformé à λ = 2777.23
c) Maillage déformé à λ = 194.23 d) Maillage déformé à λ = 1229.64
e) Agrandissement à λ = 194.23 f) Agrandissement à λ = 1229.64
(avant remaillage) (avant remaillage)
g) Agrandissement à λ = 194.23 h) Agrandissement à λ = 1229.64
(après remaillage) (après remaillage)
Figure 2.34: Problème d’indenteur : maillages déformés à différents moments durant la si- mulation
a) σ11 à λ = 194.23 (avant remaillage) b) σ11 à λ = 194.23 (après remaillage)
a) σ11 à λ = 1229.64 (avant remaillage) b) σ11 à λ = 1229.64 (après remaillage)
Figure 2.35: Problème d’indenteur : vues 2D et 3D (avec rotation pour améliorer la visuali- sation) des contraintes (σ11) avant et après les séquences de remaillage adaptatif
Chapitre 3
Continuation et bifurcations
Au chapitre 2, nous avons vu que la performance de notre méthode lagrangienne actualisée est grandement améliorée par l’ajout d’une méthode de continuation à l’algorithme. Les si- mulations par éléments finis pour des problèmes hyperélastiques en très grandes déformations ont souvent tendance à avoir des solutions hautement non linéaires. Il n’est donc pas rare de rencontrer des problèmes de convergence lors de ces simulations. Les méthodes de continua- tion numériques permettent habituellement de régler plusieurs de ces problèmes en raison de leur habileté à contrôler la déformation de la structure durant la simulation. Un paramètre de charge (λ) est ajouté comme inconnue supplémentaire au problème, et celui-ci permet d’im- poser une plus petite charge dans les régions difficiles (régions où la fonction présente des variations brusques en fonction de la charge) et une plus grande charge dans les régions où la solution ne présente aucune grande difficulté. Par exemple, en considérant la courbe solution illustrée à la figure3.1(tracée en fonction du paramètre de charge), on peut voir que la courbe doit être parcourue graduellement entre 0.45 < λ < 0.55 afin d’assurer la convergence. Sans algorithme de continuation, la méthode de Newton standard aurait beaucoup de difficultés à converger (particulièrement dans cette région) en raison des points de rebroussement et de la présence de solutions multiples pour λ fixé. Cependant, dans les autres régions, la courbe peut être parcourue plus rapidement étant donné la régularité de celle-ci. Les méthodes de conti- nuation gèrent le tout grâce au paramètre de charge qui devient une inconnue supplémentaire au problème. Ces méthodes ont donc aussi l’avantage de réduire le coût computationnel de la simulation.
Dans ce travail, nous nous intéressons à l’algorithme de continuation de Moore-Penrose (voir [3], [30], [31]). À la section2.3, nous avons brièvement introduit la méthode, mais nous n’avons pas abordé les détails reliés à l’implémentation de l’algorithme. Dans ce chapitre, nous discu- terons de l’implémentation classique de l’algorithme de Moore-Penrose, et par la suite, nous présenterons une nouvelle approche pour l’implémentation de cet algorithme. Cette nouvelle
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 −10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10
λ
u
F(u, λ) = 0 x(i) X0= (u0, λ0) v(i)Figure 3.1: Exemple d’une courbe solution difficile à suivre sans continuation
sentement en préparation (voir [53]).
Les méthodes de continuation peuvent aussi être utilisées pour étudier les propriétés qualita- tives de la solution. Par exemple, on peut les utiliser pour détecter les points de bifurcation (voir [28], [32], Bathe et Dvorkin [9], Keller [46], Wagner et Wriggers [71], Abbot [1], Rhein- boldt [62], Wriggers et Simo [72]), ce qui peut être très intéressant pour des problèmes en grandes déformations. Les bifurcations indiquent la présence de solutions multiples, ce qui peut mener à des problèmes de convergence, et la détermination de leur existence pourrait