Problème 11
Théophile Cailliau
Énoncé
On considère un plateau d’échec dont deux cases ont été supprimées. Dans quels cas est-il possible couvrir entièrement l’échiquier à l’aide de dominos ? (Un domino recouvre exactement deux cases adjacentes de l’échiquier. Il n’est bien sûr pas permis de faire se chevaucher différents dominos.)
Solution. On distingue deux cas:
• Les deux cases supprimées sont de la même couleur. Un domino couvre deux cases de couleurs différentes, et puisque les deux cases supprimées sont de la même couleur, il y a 30cases d’une couleur et 32 de l’autre. Donc, il n’est pas possible de paver l’échiquier avec des dominos.
• Les deux cases supprimées sont de couleurs différentes. On montre qu’il est possible de paver l’échiquer avec une construction. On construit un chemin cyclique pour paver dans lequel les couleurs s’alternent.
On voit qu’on peut toujours paver ce chemin avec des dominos. Si l’on enlève deux cases de couleurs différentes, alors il y aura un nombre pair de cases entre celles-ci (puisque les couleurs s’alternent). On pourra alors paver l’échiquier.
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