COURS 05 REDUCTION 2020 2021

(1)

77

CHAPITRE 5

R´

EDUCTION

⊙

L’objectif dans ce chapitre est de trouver des bases telles que les matrices d’un endomorphisme sur un espace vectoriel de dimension finie dans celles-ci soit les plus simples possibles : diagonales, triangulaires,.... En d’autres termes, par la formule de changement de bases, il s’agit de trouver, parmi toutes les matrices semblables `a une matrice carr´ee, la matrice la plus simple.

Cette théorie de la “réduction” est connue depuis la deuxième moitié duXIXesiècle, elle a été développée par Karl Weierstrass (allemand 1815-1897), Léopold Kronecker (allemand 1823-1891) et Camille Jor-dan (fran¸cais 1838-1922) ; Kronecker et Jordan se sont d’ailleurs ´echarpés épistolairement quant à la paternité de sa découverte.

En 1878, Georg Frobenius (allemand 1849-1917) ´elargit la théorie pour englober les résultats de ses prédécesseurs et donne une réduction universelle de tout endomorphisme sur tout corps, il établit la preuve du théor`_{eme de Cayley-Hamilton de Arthur Cayley (anglais 1838-1922) et William Rowan Hamilton} (irlandais 1805-1865) qui aurait du porter son nom. Il signe avec Oscar Perron (allemand 1880-1975) un théorème sur les valeurs propres et vecteurs propres de certaines matrices trouvera son application principale en probabilités pour préciser l’´_{evolution des chaˆınes de Markov (Andre¨ı Markov, russe 1856-1922).}

Il y a différents types de réduction des matrices carrées (ou des endomorphismes en dimension finie bien sˆ_{ur) : celles de Jordan ou Frobenius, celles de Dunford (dˆ}ue `_{a Chevalley !), les décompositions LU,} QR, de Cholesky... chacune répondant à une exigence de calcul numérique particulier.

On trouve des applications importantes de la réduction en mécanique quantique où les observables (position, vitesse, énergie,...) sont des opérateurs sur l’espace vectoriel des fonctions d’onde, et les valeurs propres de ces opérateurs jouent un rôle fondamental dans cette théorie.

TABLE DES MATI`

ERES

Partie 1 : ´el´ements propres

- 1 : valeurs propres et vecteurs propres d’un endomorphisme. . . .page 78 - 2 : valeurs propres et vecteurs propres d’une matrice carrée. . . .page 79 - 3 : polynôme caractéristique. . . .page 80 - 4 : théor`_{eme de Cayley-Hamilton}. . . .page 81 - 5 : ordres de multiplicité des valeurs propres. . . .page 81

Partie 2 : r´eduction en dimension finie

- 1 : diagonalisation. . . .page 83 - 2 : polynˆomes annulateurs et diagonalisation. . . .page 85 - 3 : commutation et codiagonalisation (HP). . . .page 87 - 4 : polynˆomes annulateurs et trigonalisation. . . .page 87 ⊙

(2)

PARTIE 5.1 : ´

EL´

EMENTS PROPRES

5.1.1 : Valeurs propres et vecteurs propres d’un endomorphisme

D ´EFINITION 5.1 :

SoitE un K-espace vectoriel, u∈L(E) etλ∈ K :

• On dit que λest une valeur propre de us’il existe un vecteurx deEnon nul tel que u(x) =λx. • Le spectre de u, not´e Sp(u), est l’ensemble des valeurs propres deu.

• Siλ∈Sp(u), on note E_λ(u) =Ker(u−λid_E) l’espace propre de u associ´e `a λ.

• Un vecteur non nul deEλ(u) est appel´e vecteur propre de u associ´e `a la valeur propre λ

• Un vecteur propre deuest un vecteur non nul x∈E tel qu’il existeλ∈ K qui v´erifieu(x) =λx.

REMARQUE 5.1 : • Soite∈E non nul etD=Vect(e) : (D stable paru)⇐⇒(evecteur propre deu). • Sipest la projectionpF,G (avecFetGdiﬀ´erents de{0E}) : Sp(p) ={0, 1},E0(p) =Get E1(p) =F.

PROPOSITION : LES SOUS-ESPACES PROPRES ASSOCI ´ES `A DES VALEURS PROPRES NON NULLES SONT INCLUS DANS L’IMAGE 5.1 :

SoitE un K-espace vectoriel,u∈L(E) etλ∈ K : Siλ=0,E0(u) =Ker(u). Si λ̸=0, Eλ(u)⊂Im(u).

EXEMPLE 5.1 : • Siφ:P∈ K[X]7→XP∈ K[X], alorsSp(φ) =∅.

• SiD∈L(C∞(R,R))d´efini parD(f) =f′ : Sp(D) = R etEλ(D) =Vect (

t7→eλt).

EXERCICE 5.2 : SiE=ℓ∞(R) l’ensemble des suites réelles bornées et ∆ est l’endomorphisme de Edéfini par ∆((un)n∈ N

)

= (un+1−un)n∈ N, d´eterminer le spectre de ∆ et les sous-espaces propres.

PROPOSITION SUR LA LIBERT ´E D’UNE FAMILLE DE VECTEURS PROPRES

ASSOCI ÉS À DES VALEURS PROPRES DIFF ÉRENTES 5.2 : SoitE un espace vectoriel et u∈L(E) :

• Six1,· · ·, xpsont des vecteurs propres deuassociés à des valeurs propres2à2distinctes alors (x₁,· · ·, x_p) est une famille libre.

• Si λ1,· · ·, λp sont p valeurs propres 2 `a 2 distinctes de u alors les sous-espaces propres Eλ1(u),· · ·, Eλp(u) sont en somme directe.

REMARQUE 5.2 : SiE est de dimensionn, il y a donc au maximumnvaleurs propres distinctes deu.

EXEMPLE 5.3 : • Les fonctions

( t7→eλt

)

λ∈ R forment une famille libre dansC

∞₍_R_,_R).

• Les suites g´eom´etriques((λn₁)_n_{∈ N},· · ·,(λn_p)_n_{∈ N} )

forment une famille libre dans l’espace des suites complexes CNsiλ1,· · ·, λpsont pcomplexes distincts2`a2. Donc

(

(λn)n∈ N)λ∈ Cest libre.

• Les fonctions (p_α₁,· · ·, p_α_p) forment une famille libre dans C∞(R∗₊,R) si p_α(t) = tα avec α1,· · ·, αpdistincts2`a2. D’o`u

( pα

)

(3)

´

EL ´EMENTS PROPRES 79

PROPOSITION : STABILIT É DES SOUS-ESPACES PROPRES SI COMMUTATION 5.3 : Si u et v sont deux endomorphismes de E qui commutent (c’est-à-dire que u◦v=v◦u) alors les espaces propres de u sont stables par v(et réciproquement).

5.1.2 : Valeurs propres et vecteurs propres d’une matrice carr´

ee

Soit A∈M_n(K). Les valeurs propres, le spectre deA (noté Sp_K(A)) et les vecteurs propres et les espaces propres deA(notés Eλ(A)) sont ceux de l’endomorphisme de Kn canoniquement associé àA.

REMARQUE 5.3 : En d’autres termes :

• λ∈Sp(A)⇐⇒(∃X∈Mn,1(K), X̸=0etAX=λX )

.

• x= (x1,· · ·, xn)∈ Kn est vecteur propre deAsitX= (x1· · ·xn) v´erifieAX=λXet X̸=0.

• Dans ce cas, on dit queXest une colonne propre de Aassoci´ee `a la valeur propreλ.

EXEMPLE 5.4 : Cherchons les valeurs propres r´eelles ou complexes de la matriceA= ( 1 −1 1 1 ) .

PROPOSITION SUR LA RELATION ENTRE SPECTRES R ÉELS ET COMPLEXES ET SOUS-ESPACE PROPRE DU CONJUGU É POUR UNE MATRICE R ÉELLE 5.4 :

Soitn∈ N∗ etA∈Mn(R), alorsA∈Mn(C) et on a : Sp_R(A)⊂Sp_C(A). De plus, si λ∈Sp_C(A) alorsλ∈Sp_C(A) et dim Eλ(A) =dim E_λ(A).

EXEMPLE 5.5 : Dans l’exemple pr´ec´edent,E_1+i(A) et E₁_−i(A) sont deux droites de C2_.

PROPOSITION SUR LES SPECTRES DE DEUX MATRICES SEMBLABLES 5.5 :

Soit A etB deux matrices de Mn(K) semblables (c’est-`a-dire qu’il existe P∈GLn(K) telle que B=P−1AP), alorsSp_K(A) =Sp_K(B) et pour λ∈Sp_K(A), on adim E_λ(A) =dim E_λ(B).

REMARQUE 5.4 : Nouveaux invariants de similitude : spectre et dimensions des sous-espaces propres.

PROPOSITION 5.6 :

SoitE un K-espace vectoriel de dimension finie et u∈L(E). Pour toute baseB de E, on a Sp(u) =Sp_K(Mat_B(u)).

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5.1.3 : Polynˆ

ome caract´

eristique

Soit E un espace vectoriel de dimension finie et u ∈ L(E). Le polynˆome caract´eristique de u est le polynômeχu∈ K[X] associé à la fonction polynomiale définie parλ∈ K 7→det(λidE−u).

Si A ∈ Mn(K), le polynôme caractéristique de A est le polynôme χA ∈ K[X] associé à la fonction

polynomiale d´efinie par : ∀λ∈ K, χA(λ) =det(λIn−A).

REMARQUE 5.5 : • SiBest une base deE,u∈L(E) etA=Mat_B(u) alorsχu =χA.

• Inversementχ_A est le polynôme caractéristique deucanoniquement associé à A. • Sipest un projecteur deEde dimensionn, alorsχp=Xn−tr(p)(X−1)tr(p).

• Il y a quelques années, la définition du polynôme caractéristique étaitχA=det(A−XIn) (abus de

notation usuel), certains ´enonc´es risquent de conserver cette convention. Attention !

EXEMPLE 5.6 : SoitJ= (1)_16i,j6n, calculonsχJ.

REMARQUE 5.6 : Soit n ∈ N∗ et (A, B) ∈ Mn(K)2, alors x 7→ det(A+xB) est une application

polynomiale de degré inférieur ou égal àn.

TH ÉOR ÈME SUR LA CONNAISSANCE DE CERTAINS COEFFICIENTS DU POLYN ÔME CARACT ÉRISTIQUE ( ÉNORME) 5.7 :

Soit E un espace vectoriel de dimension finien etu un endomorphisme de E, alors nous avons deg(χu) =n etχu=Xn−tr(u)Xn−1+· · · + (−1)ndet(u).

Si A∈Mn(K) alorsdeg(χA) =n etχA=Xn−tr(A)Xn−1+· · · + (−1)ndet(A).

TH ÉOR ÈME SUR LA CARACT ÉRISATION DES VALEURS PROPRES PAR LE POLYN ÔME CARACT ÉRISTIQUE 5.8 :

SoitE un K-espace vectoriel de dimension finien, uun endomorphisme deE etλ∈ K, on a les ´

equivalences suivantes : λ∈Sp(u)⇐⇒ (u−λidE)∈/GL(E)⇐⇒χu(λ) =0.

Les valeurs propres de usont exactement les racines de χu (dans K). Si A∈Mn(K) etλ∈ K alors : λ∈SpK(A)⇐⇒ (A−λIn)∈/GLn(K) ⇐⇒χA(λ) =0.

Le spectre de A (sur K) est l’ensemble des racines deχA (dans K).

REMARQUE FONDAMENTALE 5.7 : On en d´eduit :

• Siu∈L(E) o`uEest de dimensionn, alorsuadmet au plusn valeurs propres distinctes. • SiA∈Mn(K) alors Aadmet au plusn valeurs propres complexes distinctes.

• Si K = C, u(ouA) poss`ede au moins une valeur propre complexe.

• Si K = R et sinest impair,u(ouA) poss`ede au moins une valeur propre r´eelle.

ORAL BLANC 5.7 : Soitn>2,A, Bdeux matrices deMn(K) etα∈ K∗tel queAB−BA=αA. a. Montrer que∀k∈ N, AkB−BAk=αkAk.

(5)

´

EL ´EMENTS PROPRES 81

PROPOSITION SUR L’ ÉGALIT É DES POLYN ÔMES CARACT ÉRISTIQUES DE DEUX MATRICES SEMBLABLES 5.9 :

Si Aet Bsemblables, elles ont les mêmes valeurs propres de mêmes multiplicités car χA=χB. De même, χA=χt_A donc A ettA ont les mêmes valeurs propres de mêmes multiplicités.

REMARQUE 5.8 : Voilà un nouvel invariant de similitude : le polynôme caractéristique.

PROPOSITION : LE POLYN ˆOME CARACT ´ERISTIQUE D’UN ENDOMORPHISME

INDUIT DIVISE CELUI DE L’ENDOMORPHISME D’ORIGINE 5.10 :

Soit E un espace vectoriel de dimension finie, u un endomorphisme de E et F un sous-espace de E stable par u. On note uF l’endomorphisme de F induit paru : χuF diviseχu.

REMARQUE 5.9 : Plus g´en´eralement, si la matrice deudans une baseBest triangulaire par blocs avec des blocs (Ak)16k6rsur la diagonale, alors : χu=

r ∏ k=1

χAk.

5.1.4 : Th´

eor`

eme de

Cayley-Hamilton

PROPOSITION SUR LA MATRICE COMPAGNON D’UN POLYN ˆOME 5.11 :

Soit P=Xp− p∑−1 k=0 akXk avec (a0,· · ·, ap−1)∈ Kp et A=         0 · · · · 0 a0 1 . .. ... ... 0 . .. . .. ... ... .. . . .. . .. 0 ap−2 0 · · · 0 1 ap−1        

qui est appel´ee

la matrice compagnon du polynˆome P, alors χA=P.

TH ÉOR ÈME DE CAYLEY-HAMILTON ( ÉNORME) 5.12 : Soit E de dimensionn et uun endomorphisme de E, alors χu(u) =0. Soit A∈Mn(K), alorsχA(A) =0.

D´emonstration : non exigible.

EXERCICE CONCOURS 5.8 : Soit n∈ N∗, justifier qu’il existe (a₀,· · ·, a_n₋₁)∈ Rn _{tel que}

∀P ∈ Rn−1[X], P(X+n) + n_∑−1

k=0

akP(X+k) = 0. Déterminer ces constantes en considérant l’endo-morphisme de ∆ de Rn₋₁[X] défini par ∆(P) =P(X+1)−P(X).

5.1.5 : Ordres de multiplicit´

e des valeurs propres

Soit E un espace vectoriel de dimension finie, u ∈L(E) et λ∈Sp(u). On appelle ordre de multiplicité algébrique de la valeur propreλl’ordre de multiplicité de la racineλdeχu ; on la notemλ(u).

On dit que λest une valeur propre simple deusim_λ(u) =1, double sim_λ(u) =2, etc...

SoitA∈Mn(K) et λ∈SpK(A). On appelle ordre de multiplicit´e alg´ebrique de la valeur propre λ

l’ordre de multiplicit´e de la racineλdeχA ; on la notemλ(A).

(6)

EXERCICE 5.9 : SoitA= (δMax(i,j),n)16i,j6n∈Mn(R), calculons ses valeurs propres.

TH ÉOR ÈME SUR LES RELATIONS ENTRE LA TRACE, LE D ÉTERMINANT ET LES ORDRES DE MULTIPLICIT ÉS DES VALEURS PROPRES 5.13 :

Soit E de dimensionn et u∈L(E), si χu est scind´e sur K (donc en particulier si K = C) :

n= ∑ λ∈Sp(u) m_λ(u), tr(u) = ∑ λ∈Sp(u) λ m_λ(u) et det(u) = ∏ λ∈Sp(u) λmλ(u)_. Si A∈Mn(K) : n= ∑ λ∈Sp_C(A) mλ(A), tr(A) = ∑ λ∈Sp_C(A) λ mλ(A) et det(A) = ∏ λ∈Sp_C(A) λmλ(A)_.

ORAL BLANC 5.10 : Soitn>2et φ∈L(Mn(R) )

défini parφ(M) =M+tr(M)In. Déterminer la trace et le déterminant deφ.

REMARQUE 5.10 : Si l’on connaˆıt toutes les valeurs propres deAsauf une, on peut se servir de la trace.

EXERCICE 5.11 : Soit X et Y deux vecteurs colonnes non nuls deMn,1(R) qui sont d´efinis par t_X_{= (}_x

1· · ·xn) et tY= (y1· · ·yn), trouvons alors les valeurs propres deA=XtY.

REMARQUE 5.11 : SiA∈Mn(R) et siλ∈ C \ R est valeur propre deA, alors on sait queλl’est aussi

et queEλ(A) etE_λ(A) ont même dimension maisλet λont aussi même ordre de multiplicité algébrique.

EXEMPLE 5.12 : SoitA∈Mn(R) telle queSpR(A)⊂ R+. Montrer quedet(A)>0.

Soit E de dimension finie, u un endomorphisme de E et λ une valeur propre de u, l’entier dim Eλ(u) est

appel´e l’ordre de multiplicité géométrique de la valeur propreλ.

TH ÉOR ÈME SUR UNE IN ÉGALIT É ENTRE LES ORDRES DE MULTIPLICIT É ALG ÉBRIQUE ET G ÉOM ÉTRIQUE D’UNE VALEUR PROPRE 5.14 :

Soit E de dimension finie, u∈L(E) et λ∈Sp(u), on a16dim Eλ(u)6mλ(u). Si A∈Mn(K) etλ∈SpK(A), on a16dim Eλ(A)6mλ(A).

REMARQUE 5.12 : L’ordre de multiplicité géométrique est donc inférieur à l’ordre de multiplicité algébrique pour toute valeur propre. Ces inégalités peuvent bien sûr être strictes.

EXEMPLE 5.13 : Soitu∈L(E) nilpotent non nul deEde dimensionn, alorsχ_u =Xn donc0est valeur propre de multiplicit´e alg´ebriquen alors qu’on sait juste que16dim(Ker(u))6n.

EXEMPLE 5.14 : D´eterminer les ´el´ements propres deA=    0 2 −2 2 −2 0 2 2 −2 2 0 2 2 2 −2 0   .

(7)

R ´EDUCTION EN DIMENSION FINIE 83

PARTIE 5.2 : R´

EDUCTION EN DIMENSION FINIE

5.2.1 : Diagonalisation

SoitEun espace vectoriel de dimension finie etu∈L(E), on dit queuest diagonalisable siEest la somme directe des sous-espaces propres deu associ´es `a ses valeurs propres : E= ⊕

λ∈Sp(u) Eλ(u).

PROPOSITION : ORDRE G ´EOM ´ETRIQUE D’UNE VALEUR PROPRE SIMPLE 5.15 : Si λest une valeur propre simple de u(ou de A) alorsEλ(u) (ou Eλ(A)) est une droite.

REMARQUE 5.13 : On dit qu’un polynômeP∈ K[X] est scind´e `a racines simples ou simplement scind´e (not´e souvent SARS) s’il est de degrén>1et s’il possèdenracines distinctes deux à deux.

PROPOSITION SUR UNE CONDITION SUFFISANTE DE DIAGONALISABILIT É 5.16 : SoitE de dimension n etu∈L(E). Siu possède n valeurs propres distinctes (si χu est scindé à racines simples) alors∀λ∈Sp(u), dim Eλ(u) =1et on a E=

⊕ λ∈Sp(u)

Eλ(u).

TH ÉOR ÈME SUR DES CARACT ÉRISATIONS DE LA DIAGONALISATION 5.17 : Soit E un espace de dimension finie et u∈L(E), les propriétés suivantes sont équivalentes :

(i) u est diagonalisable.

(ii) Il existeF1,· · ·, Fp stables par utels queE= p ∑ k=1

Fk etuF1,· · ·, uFp sont des homoth´eties.

(iii) Il existe une base de E form´ee de vecteurs propres de u.

(iv) Il existe une base de E dans laquelle la matrice de u est diagonale. (v) dim(E) = ∑

λ∈Sp(u)

dim(Eλ(u) )

.

EXERCICE CONCOURS 5.15 : CCP PSI 2014 Aliz´ee + Petites Mines PSI 2014 Benjamin SoitA∈Mn(R) et tr(A)̸=0. Soitf:Mn(R) →Mn(R) définie parf(M) =tr(A)M−tr(M)A. Version PM : Montrer quefest diagonalisable et expliciter ses éléments propres.

Version CCP : Montrer quefest un endomorphisme. Quel est le noyau de f? L’image def? Donner les espaces propres def, en d´eduire quefest diagonalisable.

(8)

REMARQUE FONDAMENTALE 5.14 : SoitEun espace vectoriel de dimensionnetuendomorphisme de E. Il suﬃt de trouver des valeurs propres distinctes λ1,· · ·, λr de u telles que

r ∑ k=1 dim(Eλk(u) ) >n

pour queusoit diagonalisable et qu’on puisse conclure queSp(u) ={λ₁,· · ·, λ_r}.

ORAL BLANC 5.16 : Centrale PSI 2013

Soit n ∈ N∗ et la matrice Z = (z_i,j)_16i,j62n ∈ M2n(R) d´efinie par ∀j ∈ [[1;n]], z1,j = z2n,j = 1,

∀k∈ [[2;2n−1]], zk,2n+1−k=1et toutes les autres cases de la matriceZsont nulles : ceci se visualise tr`es bien car les1deZforment la lettre Z.

a. D´eterminer le rang deZ. Montrer queZest diagonalisable. b. En d´eduire le d´eterminant deM=Z+√2I2n.

PROPOSITION SUR LES PROPRI ÉT ÉS DES PROJECTEURS SPECTRAUX 5.18 : Soit E un espace de dimension finie et u∈ L(E) diagonalisable tel que Sp(u) = {λ1,· · ·, λr}. Si p₁,· · ·, p_r est la famille des projecteurs associée à la décomposition E=

r ⊕ k=1 E_λ_k(u) alors : • p1+· · · +pr=idE. • ∀(i, j)∈ [[1;r]]2, i̸=j=⇒pi◦pj=0. • u=λ1p1+· · · +λrpr.

REMARQUE 5.15 : S’il existe des endomorphismes p1,· · ·, pr de E de dimension finie qui v´erifient p1+· · ·+pr=idE, et∀(i, j)∈ [[1;n]]2, i̸=j=⇒pi◦pj=0etu=λ1p1+· · ·+λrpr: uest diagonalisable.

TH ÉOR ÈME SUR UNE CONDITION N ÉCESSAIRE ET SUFFISANTE DE DIAGONA-LISABILIT É AVEC LES ORDRES DE MULTIPLICIT É ( ÉNORME) 5.19 :

Soit E un K-espace de dimension finie et u∈L(E). On a l’´equivalence : (

u est diagonalisable)⇐⇒(χu est scind´e sur K et ∀λ∈Sp(u), dim ( Eλ(u) ) =mλ(u) ) .

EXERCICE 5.17 : L’endomorphismeude matriceA= 

12 03 a0 0 0 1



 est-il diagonalisable ?

REMARQUE 5.16 : On se rappelle avoir déjà vu que siuest un endomorphisme d’un K-espace vectoriel de dimension finientel que χ_u possèdenracines distinctes dans K alors uest diagonalisable.

Attention : ce n’est qu’une condition suﬃsante de diagonalisabilit´e ; il est clair queidEest diagonalisable

mais que son polynôme caractéristique n’est pas à racines simples.

EXERCICE CONCOURS 5.18 : Centrale PSI 2013 Pierre-Simon

Les matricesA=  01 10 10 2 1 0   etB=  01 10 21 1 0 0   sont-elles semblables ?

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SoitA∈Mn(K), on dit queAest diagonalisable (dans K) siAest semblable (dansMn(K)) `a une matrice

diagonale, c’est-`a-dire s’il existeP∈GLn(K) telle que P−1APest une matrice diagonale.

PROPOSITION SUR LA RELATION MATRICE/ENDOMORPHISME 5.20 : SoitA∈Mn(K) et ul’endomorphisme de Kn canoniquement associ´e `a A :

• Aest diagonalisable ⇐⇒u est diagonalisable.

• SiAest diagonalisable etP∈GLn(K) telle queA=PDP−1 avecD=Diag(λ1,· · ·, λn) alors Sp_K(A) ={λ1,· · ·, λn} et P=PBcan,B o`uB est une base de vecteurs propres deu.

REMARQUE 5.17 : Plus g´en´eralement, soit A∈M_n(K),E de dimensionn, Bune base deE,u∈L(E)

tel que A=Mat_B(u), alors : (Aest diagonalisable)⇐⇒(uest diagonalisable).

5.2.2 : Polynˆ

omes annulateurs et diagonalisation

EXERCICE CONCOURS 5.19 : Centrale PSI 2013

Soitn∈ N∗ etr∈ [[0;n]] et une matriceM∈M_n(C) de rangr. a. Montrer queM est semblable `a une matrice du type

( A 0 B 0

)

o`uA∈Mr(C).

b. En d´eduire qu’il existe un polynômeP de degré inférieur ou égal à r+1tel queP(M) =0. c. Montrer par un exemple qu’il n’existe pas toujours de polynˆomeQ de degré inférieur ou égal à r (à choisir) tel queQ(M) =0.

PROPOSITION : LES VALEURS PROPRES SONT DES RACINES DE TOUT POLYN ˆOME ANNULATEUR D’UN ENDOMORPHISME (D’UNE MATRICE) 5.21 :

SoitE un espace vectoriel, u∈L(E),P∈ K[X] et λ∈ K :

• Siλ∈Sp(u) alors P(λ)∈Sp(P(u)).

• SiP(u) =0alors ∀λ∈Sp(u), P(λ) =0; donc ∏ λ∈Sp(u)

(X−λ) divise P. De mˆeme, soit A∈Mn(K), P∈ K[X] et λ∈ K, alors :

• Siλ∈Sp(A) alors P(λ)∈Sp(P(A)).

• SiP(A) =0 alors∀λ∈Sp(A), P(λ) =0 ; donc ∏ λ∈Sp(A)

(X−λ) divise P.

TH ÉOR ÈME : CARACT ÉRISATION DE DIAGONALISABILIT É AVEC UN POLYN ÔME ANNULATEUR SCIND É À RACINES SIMPLES ( ÉNORME) 5.22 :

Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie et u∈L(E), ou A∈Mn(K) : (

udiagonalisable)⇐⇒(∃P∈ K[X], P(u) =0et P scind´e `a racines simples (dans K)). (

(10)

EXEMPLE 5.20 : Reprenons l’´etude deA= (δMax(i,j),n)16i,j6n∈Mn(R).

ORAL BLANC 5.21 : Centrale PSI 2013

Soitn>2et ω=e2iπn . On poseA= (ah,k)16h,k6n ∈Mn(C) o`uah,k=ω(k−1)(h−1). a. Dans le cas o`un=3, calculerχA.

b. CalculerA2. Montrer queAest diagonalisable.

TH ÉOR ÈME : CARACT ÉRISATION DE DIAGONALISABILIT É PAR LE POLYN ÔME ANNULATEUR MINIMAL SCIND É À RACINES SIMPLES ( ÉNORME) 5.23 :

Soit E de dimension finie, u∈L(E) : (udiagonalisable)⇐⇒(P= ∏ λ∈Sp(u) (X−λ) vérifie P(u) =0). De même, soitn∈ N∗ etA∈Mn(K) : ( Adiagonalisable)⇐⇒(P= ∏ λ∈Sp(A) (X−λ) vérifieP(A) =0).

REMARQUE FONDAMENTALE 5.18 : Dans toute cette remarque, on suppose que E est un espace vectoriel et queu∈L(E) est diagonalisable. On poseSp(u) ={λ1,· · ·, λp}.

• Le polynˆomeπu= p ∏ k=1

(X−λk) est donc le polynˆome minimal deu.

• Si (Lj)_16j6p sont les polynˆomes d’interpolation de Lagrange associ´es aux valeurs propres de u,

c’est-`a-dire Lj(X) = p ∏ k=1 k̸=j ( X−λk λj−λk ) , alors (Lj(u) )

16j6p est la famille des projecteurs spectraux

associés à la décompositionE= p ⊕ j=1 Eλj(u). D’abord∀(i, j)∈ [[1;p]] 2_{, i}_̸=_j₌_⇒_L i(u)◦Lj(u) =0, et : p ∑ j=1 Lj(u) =idE, p ∑ j=1 λjLj(u) =u et ∀m∈ N, um= p ∑ j=1 λm_j Lj(u). • K[u] =Vect(idE,· · ·, up−1) =Vect ( L1(u),· · ·, Lp(u) ) .

EXERCICE 5.22 : Calculer les puissances deA=  21 −01 22 1 −1 3  .

PROPOSITION DE DIAGONALISABILIT ´E D’UN ENDOMORPHISME INDUIT 5.24 : Si u est un endomorphisme diagonalisable de E, espace vectoriel de dimension finie, et F un sous-espace deE stable par u, alors l’endomorphisme induit paru sur F est diagonalisable.

REMARQUE HP 5.19 : Par Cayley-Hamilton, le polynôme minimal est un diviseur du polynôme caractéristique. Ainsi, si K = C,πu=

∏ λ∈Sp(u)

(X−λ)nλ(u)_o`_u₁6_n

λ(u)6mλ(u). Les valeurs propres

(11)

5.2.3 : Commutation et codiagonalisation (HP)

PROPOSITION DE CODIAGONALISATION SI LES ENDOMORPHISMES SONT

DIAGONALISABLES ET COMMUTENT (HP) 5.25 :

SoitE de dimension finie et (u, v)∈L(E)2 _{; on suppose}_u _{diagonalisable :}

• (vcommute avec u)⇐⇒(tous les sous-espaces propres de u sont stables par v).

• Si v◦u=u◦v et v diagonalisable, alors il existe une base de E compos´ee de vecteurs propres communs `a u etv(on dit que u etvcodiagonalisent dans B).

REMARQUE HP 5.20 : Si uest diagonalisable, en notantSp(u) ={λ1,· · ·, λr} son spectre de cardinal r, la sous-alg`ebreC(u) deL(E) (commutant de u) est de dimension

r ∑ k=1

dim(E_λ_k(u))2.

ORAL BLANC 5.23 : R´esoudre l’´equationX2=Ao`u A= 

₋115 −35 −53

5 −3 3

 .

5.2.4 : Polynˆ

omes annulateurs et trigonalisation

Soituun endomorphisme d’un espace E de dimension finie, on dit queuest trigonalisable s’il existe une base deE dans laquelle la matrice deu est triangulaire (sup´erieure).

Si A ∈ Mn(K), on dit que A est trigonalisable (dans K) s’il existe une matrice P ∈ GLn(K) telle que P−1APsoit triangulaire (sup´erieure).

REMARQUE 5.21 : On se rappelle avoir vu sur les matrices, siEde dimension finie et u∈L(E) : (

uest trigonalisable)⇐⇒(∃B= (e₁,· · ·, e_n) base deE, ∀k∈ [[1;n]], Vect(e₁,· · ·, e_k) est stable paru).

TH ÉOR ÈME : CARACT ÉRISATION DE TRIGONALISABILIT É ( ÉNORME) 5.26 : Soit E de dimension finie etu∈L(E) : (u est trigonalisable)⇐⇒(χu est scindé (sur K)

) . De mˆeme, si n∈ N∗ etA∈Mn(K) :

(

Aest trigonalisable)⇐⇒(χA est scind´e (sur K) )

.

REMARQUE FONDAMENTALE 5.22 : • Toute matrice est donc trigonalisable sur C.

• SiA∈Mn(K) et siλ1,· · ·, λn sont les valeurs propres complexes deA(compt´ees avec multiplicit´e),

alors pour tout k∈ N∗, les valeurs propres complexes deAk sontλk₁,· · ·, λk_n ce qui permet d’aﬃrmer par exemple que : ∀k∈ N∗, tr(Ak) =

n ∑ i=1

λk_i.

REMARQUE 5.23 : Suites récurrentes linéaires d’ordre 2 homogène et à coefficients constants : pour ´

etudier la suite d´efinie par (u₀, u₁)∈ C2 _et _∀_n_{∈ N}_{, u}

n+2=aun+1+bun avec (a, b)∈ C2, on ´etudie (Xn)n∈ Nd´efinie parXn= ( un+1 un ) car∀n∈ N, Xn+1=AXn avecA= ( a b 1 0 ) ; on note ∆ =a2+4b, λ1= a+δ 2 ,λ2= a−δ

2 o`uδest une racine carr´ee de ∆ (λ=λ1=λ2= a

2 si ∆ =0) :

• si ∆ ̸=0, on a : ∃(α₁, α₂)∈ C2_{tel que} _∀_n_{∈ N}_{, u}

n=α1λn1 +α2λn2.

(12)

EXERCICE 5.24 : TrigonaliserA=  22 −11 −−12 3 −1 −2  .

COMP´

ETENCES

• trouver des valeurs propres et des vecteurs propres des endomorphismes en r´esolvant l’´equation

vectorielleu(x) =λx(dimension infinie) ou le syst`eme lin´eaireAX=λX(dimension finie).

• déterminer l’ordre géométrique d’une valeur propreλdeAen étudiant le rang deA−λIn.

• calculer efficacement le polynôme caractéristique d’une matrice.

• se servir deχApour connaˆıtre le spectre deA: trace, d´eterminant, racines, multiplicit´es.

• statuer sur la diagonalisabilité d’une matrice en comparant les différents ordres de ses valeurs propres. • établir la diagonalisabilité d’un endomorphisme en trouvant des polynômes annulateurs adéquats. • maˆıtriser les techniques de la trigonalisation de matrices non diagonalisables.