Potentiels isorésonants et symétries

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To cite this version:

Aymeric Autin. Potentiels isorésonants et symétries. Mathématiques [math]. Université de Nantes,

2008. Français. �tel-00336843�

FACULTÉDES SCIENCESET TECHNIQUES

ÉCOLE DOCTORALE SCIENCES ET TECHNOLOGIES

DE L'INFORMATION ET DES MATHÉMATIQUES

Année:2008 N

◦

B.U.:

POTENTIELS ISORÉSONANTS ET SYMÉTRIES

Thèse de Do torat de l'Université de Nantes Spé ialité:Mathématiques et Appli ations

Présentée etsoutenue publiquement par Aymeri AUTIN

le 24 o tobre 2008 à l'Université de Nantes.

Président du jury : DidierRobert Professeur (Université deNantes)

Rapporteurs : Alain Grigis Professeur (Université deParis XIII) Alejandro Uribe Professeur (University ofMi higan)

Examinateurs : Alain Grigis Professeur (Université deParis XIII) Laurent Guillopé Professeur (Université deNantes) El MaatiOuhabaz Professeur (Université deBordeaux I) GeorgiPopov Professeur (Université deNantes) DidierRobert Professeur (Université deNantes) AndréVoros Cher heur CEA

Dire teur dethèse : Laurent Guillopé

Laboratoire : Laboratoire JeanLeray (UMR6629 UN-CNRS-ECN)

N

◦

Remer iements v

Introdu tion vii

1 Résonan es et symétries 1

1.1 Prolongements de résolvanteslibres . . . 1

1.1.1 Cadre général . . . 1

1.1.2 Exemples . . . 2

1.1.3 Cadre ommun . . . 4

1.2 Prolongements de résolvantesave potentiels. . . 4

1.3 Résonan esetpotentielsisorésonants . . . 5

1.4 Représentationsetespa esde symétrie . . . 6

1.5 A tionsde

S

1

etde

(S

1

₎

m

. . . 9 1.6 A tionsde

SO(n)

. . . 10

1.6.1 Hypothèse supplémentaire pour l'a tion de

SO(n)

. . . 10

1.6.2 Représentationsde l'algèbre de Lie

so

n

. . . 11

1.6.3 Cal ul desve teursde poids maximal . . . 14

2 Estimations surlebasduspe tredulapla ien deDiri hletsurles espa es de symétrie 17 2.1 A tionde

S

1

surles orbitesprin ipales . . . 17

2.1.1 Majoration dubasdu spe tre . . . 17

2.1.2 Minorationdu basdu spe tresurles orbitesprin ipales . . 19

2.2 A tionde

S

1

: asgénéral . . . 20

2.2.1 Spe trejoint d'opérateurs qui ommutent . . . 21

2.2.2 Minorationdu basdu spe tre . . . 22

2.3 A tionde

(S

1

₎

m

. . . 23

3 Potentiels isorésonants 27 3.1 A tionsde

S

1

. . . 27

3.1.1 Énon é du résultat . . . 27

3.1.2 Majoration de larésolvante surlesespa es desymétrie . . . 29

3.1.3 Lo alisationdesrésonan es . . . 31

3.1.4 Persistan e desrésonan es dulapla ien libre. . . 35

3.1.5 Un exemple de roissan ede l'ordre desrésonan es . . . 37

3.2 A tionsde

(S

1

₎

m

. . . 39

3.2.1 Énon é du résultat . . . 39

3.2.2 Comparaison ave l'a tion de

S

1

. . . 40

3.2.3 Preuveutilisant l'a tion de

(S

1

₎

m

. . . 41 3.3 A tionsde

SO(n)

. . . 43 3.3.1 Énon é du résultat . . . 43 3.3.2 Passage de

L

2

_(X)

à

L

2

_(X)

+

. . . 45

3.3.3 Dé alageet nde lapreuve du théorème6. . . 46

4 Potentiels isorésonants surla aténoïde 49 4.1 Énon é du résultat . . . 49

4.2 Distorsion analytique . . . 50

4.2.1 Distorsion analytique. . . 50

4.2.2 Prolongement dela résolvante . . . 52

4.3 Démonstration de l'isorésonan e. . . 54

4.3.1 Lo alisationdesrésonan es . . . 54

4.3.2 Persistan e desrésonan es dulapla ien libre. . . 56

5 Diusion par des potentiels isorésonants sur des variétés asymp-totiquement hyperboliques 59 5.1 Quelquesrappels . . . 59

5.2 Opérateur de Poisson. . . 60

5.3 Opérateur de diusion . . . 63

5.4 Cara tère isophasedes potentiels isorésonants . . . 64

A Perturbations des résonan es 67 A.1 Cadre ethypothèses . . . 67

A.2 Quelquesrésultatsintermédiaires . . . 68

A.3 Lienentrerésonan es etvaleurspropres . . . 69

A.4 Théorie desperturbations desrésonan es. . . 71

A.5 Appli ations . . . 73

Cette thèse est la on lusion de quatreannées de travail dansun adre privi-légié: lelaboratoire de mathématiques JeanLeray de l'université de Nantes. Les diérentspersonnelsde elaboratoirel'humanisent voirmême luidonnentvie.J'y aiététrès biena ueilli etjeles en remer ie.

J'ai ee tué e travail de thèsesous ladire tion é lairée de Laurent Guillopé. Il a su m'a order susamment de son temps pré ieux pour me guider et pour suivre detrès prèsmon travail.Mer i.

Mer i à Alain GrigisetàAlejandro Uribed'avoirrapporté ette thèse.

Cette thèse est aussi le fruit de quatre années de vie à Nantes. En eet, elle estaussiissuederen ontres.Notamment ave lesthésardsdulaboratoirequisont pour beau oup devenus des amis. Mer i à Alain, Vin ent, Etienne, Antoine et Rodolphe pour avoir su tempérer les ardeurs destru tri es de Fran is... Mer i à Arnaud,Frédérique,Alain,Fannypouravoirpartagémonbureauetbiend'autres hoses...Mer iàeuxetàAlexandre,Julien,Ronan,Ni olas,SimonetSimon, Em-manuel, Steeve,RaketPierre pouravoir ontribué àl'expansiondelataroin he (lemeilleur jeu de artesdu mondeau demeurant).

Plus en amont je voudrais remer ier mes deux professeurs de prépa : Jean-LouisLitersetBernardLuron.C'estdansleurs mainsquej'aidé ouvertlesvraies mathématiques.Plusgénéralement,mer iauly éeClémen eaudeNantesetavant luiauly éeSainte-UrsuledeLuçon etàleurs professeurspourm'avoir appris l'es-sentielde e queje sais.

Mer i à laville deNantes pour laqualité de viequ'elleore.

Mer i à mesparents pour leur soutient depuisle début.

Surunevariétériemanniennelisse ompa te,

(X, g)

,lespe tredulapla ienest dis ret. Il s'agit d'une suite de valeurs propres de multipli ité nie tendant vers

+

∞

.Sa résolvante

R

0

(z) := (∆

− z)

−1

estalors une famille méromorphe dans

C

, d'opérateursbornéssur

L

2

_(X)

dontles plessont lesvaleurspropres dulapla ien etleurs multipli ités sont lesrangs desrésidus.

Si la variété n'est pas ompa te, en général, du spe tre essentiel apparaît, ommeparexemplepourl'espa eeu lidien

R

n

ouen orel'espa ehyperboliqueréel

H

n

, où le spe tre du lapla ien est respe tivement

[0, +

∞[

et

[

(n−1)

2

4

, +

∞[

. Dans es exempleson peutprolonger méromorphiquement les résolvantesmodiées du lapla ien àtravers lespe treessentiel. Pour l'espa e eu lidien,siladimension est impaire,

R

0

(λ) := (∆

− λ

2

₎

−1

d'abord dénie sur

{λ ∈ C ; Imλ > 0}

admet, pour tout

N > 0

, un prolongement holomorphe sur

{λ ∈ C ; Imλ > −N}

à valeurs dans les opérateurs bornés sur des espa es

L

2

à poids (ave des poids qui dépendent de

N

). Si la dimension est paire, on prolonge

(∆

− e

2λ

₎

−1

de

{λ ∈ C ; 0 < Imλ < π}

à

{λ ∈ C ; | Im(e

λ

₎

_{|< N}}

de manière holomorphe toujours dans des espa es

L

2

à poids. Pour l'espa e hyperbolique, pour tout

N > 0

, on prolonge

R

0

(λ) := (∆

− λ(n − λ))

−1

de

{λ ∈ C ; Reλ >

n−1

2

}

à

{λ ∈ C ; Reλ >

n−1

2

− N}

dans des espa es

L

2

à poids. Le prolongement est holomorphe si ladimension estimpaire, etméromorphe sielle est paire ave

−N

ommeensembledeples.Onappelle lesplesduprolongement résonan es eton note

Res(∆)

leurensemble. Cesontlesvaleursspe tralesdis rètesquirempla ent les valeurspropres du as ompa t.

On onnaît d'autres exemples oùon peutprolonger larésolvante modiée du lapla ien à travers le spe tre essentiel de façon méromorphe ave des résidus de rangni(ondiraméromorphe-nie).Le asdesvariétésasymptotiquement hyper-boliquesaététraitépar MazzeoetMelrose([MM87℄)et omplétéparGuillarmou ([Gui05a ℄).Onpeutaussi iterlesvariétésàboutsasymptotiquement ylindriques étudiées par Melrose([Mel93 ℄).

On se pla e désormaisdans e adre en supposant que larésolvante modiée du lapla ien libre,

R

0

(λ) = (∆

− f(λ))

−1

,admet un prolongement méromorphe-nisurundomaine de

C

,

D

+

.Pour tout

λ

∈ D

+

dansun voisinaged'unple

λ

0

, on aledéveloppement deLaurent suivant :

R

0

(λ) =

p

X

i=1

ave

S

i

de rangniet

H

holomorphe. On appelle multipli ité dela résonan e

λ

0

ladimension de l'image de

S

1

et

p

estl'ordre de

λ

0

.

Sionperturbelelapla ienparunpotentiel

V

etsi

V

estsusamment dé rois-sant à l'innisur

X

,par exemple àsupport ompa t, alors larésolvantemodiée de

∆+V

,

R

V

(λ) := (∆+V

−f(λ))

−1

,admetaussiunprolongement méromorphe-nisur

D

+

.Onpeutalors s'intéresser auxrésonan es de l'opérateur

∆ + V

dont on notel'ensemble

Res(∆ + V )

.

Pouruntel

V

,susammentdé roissantàl'inni,lespe treessentielde

∆ + V

est lemême que elui de

∆

ar

V

estrelativement ompa t par rapport à

∆

.On peutalorssedemander ommentlesrésonan es,elles,sontmodiées.Onenarrive à laquestionprin ipale qui a dirigémontravail dethèse :

Existe-t-il des potentiels

V

tels que

Res(∆ + V) = Res(∆)

?

On dira de es potentiels qu'ils sont isorésonants.On ne peut don pas déte ter leur présen epar laseule observation de l'ensembledesrésonan es.

On va onstruire de tels potentiels isorésonants et ils seront à valeurs om-plexes. C'est une ara téristique importante ar, par exemple, on sait que dans l'espa e eu lidien,

R

n

,ave

n

≥ 2

et pair ou

n = 3

,tout potentielréel, non tri-vial,lisseetàsupport ompa t réeuneinnitéderésonan es( f[SB99℄,[Mel95 ℄, [SBZ95 ℄).

Je me suis inspiré du travail de Christiansen dans [Chr06 ℄ et [Chr08℄. Elle onstruit dans

R

n

(

n

≥ 2

) eu lidien des potentiels omplexes isorésonants, 'est-à-diredans e as:

Res(∆ + V ) = Res(∆) =

∅

.Enfaitellesesertd'unea tion de

S

1

sur

R

n

.Mêmesidans ette thèseonnetravailleraqueendimensionsupérieure ou égale à

2

, on peut iter i i le travail antérieur de Gasymov [Gas80 ℄ qui, en dimension

1

, onstruit des potentiels omplexes isospe traux qui inspireront la onstru tion de Christiansen. Dans ette thèse, j'ai généralisé ette onstru tion de potentiels isorésonantsà d'autresvariétés possédant unea tion isométriquede

S

1

,puis j'ai utilisé d'autres symétries omme

(S

1

₎

m

et

SO(n)

.Sur es variétés le lapla ien libre a déjà des résonan es, il y a don plus de travail pour démontrer l'isorésonan ede espotentiels.Eneet,dansl'espa eeu lidien,ilsutdemontrer

Res(∆ + V )

⊂ Res(∆)

ar

Res(∆) =

∅

.

Dé rivonslaméthodede onstru tionde espotentielsetlesrésultatsobtenus. Supposons que

(X, g)

soit munie d'une a tion isométrique de

S

1

. Cette a tion induit une représentation unitaire de

S

1

sur

L

2

_(X)

:

S

1

−→ U(L

2

(X))

e

iθ

_{−→ f → (x → f(e}

−iθ

.x)).

Onpeutalors dé omposer

L

2

_(X)

en omposantes isotypiques, 'est-à-dire

L

2

(X) =

⊥

M

j∈Z

L

2

j

(X),

où,pour tout

j

∈ Z

,

L

2

_j

(X) :=

_{{f ∈ L}

2

(X) ;

_{∀θ ∈ [0, 2π], pp − x ∈ X, f(e}

−iθ

.x) = e

ijθ

f (x)

_},

estl'espa edesymétriedesfon tions

S

1

homogènesdepoids

j

(lanotation

pp

−x ∈

X

signie :pour presquetout

x

appartenant à

X

).

Les potentiels isorésonants sont alors onstruits omme des sommes de fon -tions

S

1

homogènes ave des poids de même signe. En eet, de telles fon tions réent un dé alage sur les omposantes isotypiques de

L

2

_(X)

: si

V

∈ L

∞

_(X)

_∩

L

2

_m

(X)

et

f

∈ L

2

j

(X)

alors

V f

∈ L

2

j+m

(X)

. Alors que le lapla ien, lui, stabi-lise es omposantes isotypiques. Cedé alage nous permetde montrer l'in lusion

Res(∆ + V )

_{⊂ Res(∆)}

, d'abord pour

V

tronqué, puis on passe à

V

grâ e à une ara térisation desrésonan es omme zérosd'undéterminant régularisé.

Au passage, on est amené à estimer, pour tout ompa t

K

,lebas du spe tre du lapla ien de Diri hlet déni sur les fon tions

S

1

homogènes de poids

j

à sup-portdans

K

(on notera

L

2

j

(K)

).Le résultatexposédansle hapitre

2

,quisemble intéressant enlui-même, est lesuivant :

Proposition 1 Soit

K

une variété ompa te à bord, possédant une a tion de

S

1

etmunie d'unemétrique

g

telle que

S

1

agit parisométriessur

(K, g)

et

g

peut s'é rire omme une métrique produit dans un voisinage du bord de

K

. Alors, il existedes onstantesstri tement positives,

C

1

(K)

et

C

2

(K)

,telles que,pourtout

j

_{∈ Z}

,ona :

C

1

j

2

≤ Min Spec ∆

L

2

j

(K)

≤ C

2

(1 + j

2

_).

Pour l'autrein lusion,

Res(∆)

⊂ Res(∆ + V )

,j'aiutilisé lathéoriedes pertur-bations desrésonan esdéveloppéepar Agmondans[Agm98 ℄etquejerappelle en annexe.Ellepermetdevoirlesrésonan es ommedesvaleurspropresd'opérateurs auxiliaires etd'utiliser lathéorie deKato pourétudier leurs perturbations.

On obtient nalement le résultat suivant que volontairement on n'énon e pas i i danstoutesagénéralité :

Théorème 1 Surl'espa eeu lidien

R

n

oul'espa ehyperbolique

H

n

,on onsidère le potentiel

V =

M

X

m=1

V

m

,

où les

V

m

∈ L

∞

_(X)

sont à support ompa t et

S

1

homogènes depoids

m

. Alors, sur

C

,on a

Res(∆ + V ) = Res(∆)

et les multipli ités oïn ident.

Ce résultat se généralise à des variétés riemanniennes

X

qui possèdent une a tion isométrique de

S

1

et telles que la résolvante modiée du lapla ien libre admet un prolongement méromorphe-ni surun domaine

D

+

.Il faut aussiqu'on puisse in lure tout ompa t de

X

dans un ompa t

K

e

qui vérie les hypothèses de la proposition 1. Onpeutprendre pour

V

une somme innie de potentiels

S

1

dansdesespa esdeS hatten.Onpeutaussiprendre

V

nonplusàsupport ompa t maissusamment dé roissant à l'inni pour avoir leprolongement méromorphe-ni de larésolvante de

∆ + V

sur

D

+

. On renvoie au théorème 4 du hapitre 3 pourl'énon é dansle asgénéral.

Remarque 1 Aulieudeperturberlelapla ienlibreonpeutperturber

∆+V

0

ave

V

0

unpotentielinvariantsousl'a tion de

S

1

.Lefaitque

V

0

soit

S

1

invariantassure que, ommelelapla ien,il respe tera ladé ompositionde

L

2

_(X)

en omposantes isotypiques. Ensupposant de plusque

V

0

est réel etqu'il està support ompa t, onpeutobtenir que

Res(∆ + V

0

+ V ) = Res(∆ + V

0

)

.Onpeutimaginerperturber d'autres opérateurs qui respe tent la dé omposition de

L

2

_(X)

en omposantes isotypiques.

La onstru tiondepotentielsisorésonantsseservantd'unea tionde

(S

1

₎

m

est essentiellement la même que dansle as de

S

1

. Par ontre, si on regarde l'a tion de

SO(n)

(

n

≥ 3

), omme e n'est pas un groupe ommutatif, on n'a pas de des riptionsimple desespa esde symétrie.Onsuppose alorsqu'on peuté rire

L

2

(X) =

M

k∈N

L

2

(R

+

)

_{⊗ H}

k

,

où

H

k

_{= Ker(∆}

S

n−1

− k(k + n − 2))

,

k

∈ N

, est l'espa e propre du lapla ien sur la sphère

S

n−1

. Comme dans le as

S

1

, on va onstruire des

V

qui induisent un dé alage dans ette dé omposition de

L

2

_(X)

.Cette fois

V

est une somme de ve teursdepoidsmaximauxdesreprésentations

H

k

dela omplexi ationde l'al-gèbrede Lie

so

n

.Ons'estinspiré i ide la onstru tionde potentielsisospe traux par Guillemin etUribedans[GU83℄. Laparti ularité du as

SO(n)

estqu'on n'a plusbesoin delaproposition 1, equi simplienotoirement lapreuve du résultat d'isorésonan e. Ondétaille et ompare estrois onstru tions dansle hapitre

3

.

Ces potentiels onservent l'ensemble des résonan es du lapla ien libreet leur multipli ité, onpeutsedemander si, en ajoutant del'information, onne pourrait paslesdéte ter.Sur ettevoie,jemontrequesur

H

2

,ilexistedespotentielsparmi lafamilledepotentielsisorésonants onstruitsquimodientl'ordredesrésonan es. On rappelle que, sur

H

2

, les résonan es du lapla ien sont les entiers négatifs ou nulsetque esontdesrésonan esd'ordre

1

.Onprend ommemodèlepourl'espa e hyperbolique

R

+

_×S

1

ave les oordonnées

(r, θ)

etlamétrique

g = dr

2

_+sh(r)

2

_dθ

2

, alors on a

Proposition 2 Surl'espa ehyperbolique

H

2

,pourtout

k

∈ N\{0}

,ilexisteun potentiel

V

∈ F := {V

m

(r)e

imθ

_{; m}

_{∈ Z \ {0}, V}

m

∈ L

∞

c

(R

+

)

}

(

V

est isorésonant d'aprèslethéorème 1)telque

−k

estunerésonan ede

∆ + V

d'ordre stri tement plusgrand que

1

.

Onpeutdon déte ter espotentiels. Lesrelationsentrepotentieletordredes résonan es restent pour moi unepiste de re her he.

Dans le hapitre

4

, on onstruit des potentiels isorésonants sur la aténoïde. La aténoïde est la surfa e

X

diéomorphe au ylindre

R

× S

1

métrique

g = dr

2

_{+ (r}

2

_{+ a}

2

_)dα

2

ave

(r, e

iα

₎

_{∈ R × S}

1

et

a

∈ R

. Elle possède bien sûr une a tion de

S

1

et on peuten ore prolonger larésolvante du lapla ien libre à travers son spe tre essentiel et don parler de résonan es. Par ontre, la théoriedesperturbationsdesrésonan esd'Agmonnes'appliqueplus.Je onstruis quandmême despotentiels isorésonantssurla aténoïdeen utilisant ladistorsion analytique développée, dans e adre, par Wuns h et Zworski dans [WZ00 ℄. Elle permet, omme lathéorie d'Agmon,de ramener leproblème desrésonan es à un problème devaleurspropres.

Dans le hapitre

5

, on développe la théorie de la diusion sur des variétés asymptotiquement hyperboliques ave despotentiels omplexess'annulant à l'in-ni. Ilest naturel des'intéresser à lathéoriede ladiusion arles ples de l'opé-rateur dediusion sont intimement liésauxples delarésolvante(voir[BP02 ℄et [Gui05b ℄). On note

S

V

l'opérateur de diusion asso ié à

∆ + V

et on dénit la multipli ité d'unple

λ

0

∈ C \

1

2

Z

de

S

V

par

ν

V

(λ

0

) := Tr res

λ

0

(S

V

(λ)

−1

_∂

λ

S

V

(λ))

,

où

res

λ

0

désigne lerésidu en

λ

0

. Alorson montre quenos potentiels isorésonants

V

onstruitsdanslereste de ette thèsevérient

Théorème 2 Pour tout

λ

∈ C \

1

2

Z

, on a

det(S

V

(λ)S

0

(λ)

−1

) = 1

et

ν

V

(λ) = ν

0

(λ).

Don

S

V

et

S

0

ont lesmêmes ples ave lesmêmes multipli ités.

Pour on lure,dansla ontinuationde ettethèse,ilfaudraitapprofondirlelien entremespotentielsetl'ordredesrésonan es.Ilseraitaussiintéressantde her her despotentiels isorésonantsréels.Demanièreplusgénérale, jenepensepasqu'on aitexploitétout e quepeutnousapprendresurlesrésonan esla onnaissan e de symétriesdansl'espa e ambiant.

Résonan es et symétries

1.1 Prolongements de résolvantes libres

1.1.1 Cadre général

On onsidère une variété riemannienne

(X, g)

onnexe, non ompa te, de di-mension

n

≥ 2

.Sur

X

,ons'intéresse aulapla ien agissant surlesfon tions qu'on notera

∆

.Il estdéni en oordonnées par

∆ =

₋

_√

1

g

X

i,j

∂

i

(

√

gg

ij

∂

j

),

où

√

_{g =}

p

_det(g

ij

)

et

(g

ij

₎

estlamatri einverse de elledelamétrique:

(g

ij

)

.Il s'agitd'unopérateur autoadjoint surledomaine

H

2

_(X)

etpositifdont lespe tre estdon in lusdans

R

+

.Ainsipourtout

z

∈ C\R

+

,larésolvantedulapla ienlibre

(∆

_−z)

−1

estunopérateurbornésur

L

2

_(X)

àvaleursdans

H

2

_(X)

.Cetterésolvante estholomorphesur

C

\ R

+

.Danstoutelasuite onsupposeraque,enmodiant les espa esdedépart etd'arrivée, elleadmet unprolongementméromorphe àtravers

R

+

.

Dénissonsd'abord equ'onentendparméromorphe.Si

U

estunouvertde

C

et

H

unespa e deBana h,alorsune famille

P (z), z

∈ U

àvaleursdans

H

estdite méromorphe si, pour tout

z

0

∈ U

,ilexiste unvoisinage

V

z

0

de

z

0

,unentier

p > 0

etdes

(S

i

)

i=1,...,p

dans

H

telsque,pourtout

z

∈ V

z

0

\{z

0

}

,onaitledéveloppement de Laurent suivant

P (z) =

p

X

i=1

S

i

(z

− z

0

)

−i

+ H(z),

où

H

est holomorphe sur

V

z

0

à valeurs dans

H

. En fait

P

est holomorphe sur

U

_{\ S}

ave

S

l'ensembledis ret desples de

P

.Si

H

estl'espa e desappli ations linéaires ontinues entredeuxBana h

B

0

, B

1

,qu'on note

L(B

0

, B

1

)

,alors ondira que

P (z)

estméromorphe-nie sur

U

sitous les

S

i

sont derangni.

Ilpeutêtreutilede hangerleparamètrespe tralpourdénirleprolongement méromorphe. Plus pré isement,on onsidère un revêtement

f : Σ

→ Ω

audessus

de

Ω

un ouvert de

C

,et un domaine non borné

D

⊂ Σ

tel que

f (D)

⊂ C \ R

+

. On onsidère alors

R

0

(λ) := (∆

− f(λ))

−1

qui,dansun premier temps,est déni etholomorphe sur

D

à valeursdans

L(L

2

_{(X)) :=}

_L(L

2

_{(X), L}

2

_(X))

.Soient

B

0

et

B

1

deuxespa esde Bana htels que

B

0

J

0

֒

→ L

2

(X)

֒

→ B

J

1

,

où

J

0

et

J

sont des inje tions ontinues et

J

0

(B

0

)

est dense dans

L

2

_(X)

et

J(L

2

(X))

estdensedans

B

1

.Onnote, pour

λ

∈ D

,

e

R

0

(λ) = JR

0

(λ)J

0

.

e

R

0

estholomorphe dans

D

à valeursdans

L(B

0

, B

1

)

.

On va s'intéresser aux asoù l'hypothèsesuivanteestvériée :

Hypothèse A :

R

e

0

a un prolongement méromorphe-ni sur un domaine

D

+

de

Σ

.

1.1.2 Exemples

Donnons quelques premiers exemples de prolongements de la résolvante du lapla ien libre qui nousintéresseront toutau longde ette thèse.

L'espa e eu lidien

On onsidère

R

n

muni delamétrique eu lidienne. Lespe tredu lapla ien est

R

+

etestessentiel.L'étude du prolongement dépendde laparité deladimension

n

.

•

Si

n

est impair

(n

≥ 3)

, alors on prend

Σ = C

et

R

0

(λ) := (∆

− λ

2

₎

−1

est d'abord dénie sur

D =

{λ ∈ C ; Imλ > 0}

à valeurs dans

L(L

2

_(R

n

₎₎

. Pour tout

N > 0

, elle admet un prolongement, en fait, holomorphe dans

D

_N

+

=

_{{λ ∈ C ; |Imλ|< N}}

àvaleursdans

L(e

−N <z>

_L

2

_(R

n

_{), e}

N <z>

_L

2

_(R

n

₎₎

où

z

∈ R

n

et

< z >= (1+

|z |

2

₎

1

₂

.( f[Mel95 ℄ et[SBZ95℄)

•

Si

n

estpair, alorsonprendpour

Σ

lerevêtement logarithmiquede

C

\ {0}

, et

R

0

(λ) := (∆

− e

2λ

₎

−1

.Elle est d'abord dénie dans

D =

{λ ∈ C ; 0 <

Imλ < π

_}

à valeurs dans

L(L

2

_(R

n

₎₎

. Pour tout

N > 0

, elle admet un prolongement holomorphesur

D

+

N

=

{λ ∈ C ; |Im(e

λ

)

|< N}

àvaleursdans

L(e

−N <z>

_L

2

_(R

n

_{), e}

N <z>

_L

2

_(R

n

₎₎

.( f[Mel95 ℄)

Variétés asymptotiquement hyperboliques

Soit

X = X

∪ ∂X

unevariété ompa telisse àbordde dimension

n

et

ρ

0

une fon tion dénissant sonbord, 'est-à-direune fon tion lisse sur

X

vériant

On dit qu'une métrique

g

sur

X

est asymptotiquement hyperbolique si

ρ

2

0

g

se prolonge en une métrique lisse sur

X

et si

| dρ

0

|

ρ

2

0

g

= 1

sur

∂X

. Cette dernière ondition assure que la ourbure se tionnelle de

g

onverge vers

−1

au bord et elle impliquequ'ilexiste unefon tion

ρ

dénissantlebord,unvoisinage ollier du bordasso iéà

ρ

,

U

ρ

:= [0, ǫ)

× ∂X

,etunefamillelisse

h(ρ), ρ

∈ [0, ǫ)

demétriques sur

∂X

tels que

g =

dρ

2

_{+ h(ρ)}

ρ

2

sur

U

ρ

. (1.1) Parexemple,l'espa ehyperboliqueréel

H

n

etsesquotientspardesgroupes onvexes o- ompa tssont asymptotiquement hyperboliques.

Sur une variétéasymptotiquement hyperbolique, lespe tre du lapla ien agis-sant surlesfon tions est onstituédu spe treessentiel

σ

ess

(∆) = [

(n−1)

2

4

, +

∞)

et

d'unnombrenidevaleurspropresformantlespe tredis ret

σ

d

(∆)

⊂ (0,

(n−1)

2

4

)

. Enprenant

Σ = C

et, ommenouveauparamètrespe tral

λ(n

−1−λ)

,larésolvante dulapla ienlibre

R

0

(λ) := (∆

− λ(n − 1 − λ))

−1

estune familleméromorphe-nie sur

D =

{λ ∈ C ; Re(λ) >

n−1

2

}

à valeurs dans

L(L

2

_(X))

ave des ples aux

λ

tels que

λ(n

− 1 − λ) ∈ σ

d

(∆)

.

MazzeoetMelrose([MM87℄)puisGuillarmou ([Gui05a ℄)ont montréque

R

0

a unprolongementméromorphe-nidans

C

\(

n

2

−N)

.Elleadmetmêmeun prolonge-mentméromorphe-nidans

C

toutentiersietseulementsilamétrique

g

estpaire. La métrique

g

estditepaire silafamille

h(ρ)

dénieen(1.1) aundéveloppement de Taylor en

ρ = 0

qui ne ontient que des puissan es paires de

ρ

( ette notion ne dépend pas du hoix de

ρ

). Plus pré isement, pour tout

N

≥ 0

,

R

0

(λ)

a un prolongement méromorphe-ni sur

D

+

N

=

{λ ∈ C ; Re(λ) >

n−1

2

− N}

si

g

est paire,etsur

D

+

N

\ (

n

2

− N)

sinon,àvaleursdans

L(ρ

N

_L

2

_{(X), ρ}

−N

_L

2

_(X))

.

Variétés à bouts asymptotiquement ylindriques

Soit, ommedansl'exemplepré édent,

X = X

∪∂X

unevariété ompa telisse à bord de dimension

n

. Ondit qu'une métrique

g

sur

X

est à bouts asymptoti-quement ylindriques s'il existe une fon tion

ρ

dénissant le bord, un voisinage ollierdubordasso iéà

ρ

,

U

ρ

:= [0, ǫ)

× ∂X

,etunefamillelisse

h(ρ), ρ

∈ [0, ǫ)

de métriques sur

∂X

tels que

g =

dρ

2

ρ

2

+ h(ρ)

sur

U

ρ

. (1.2)

Melroseappelle e typedemétriqueune "exa tb-metri "([Mel93 ℄,[Mel95 ℄).Soit

∆

_∂X

lelapla ien sur lavariété ompa te sansbord

∂X

et

0 = σ

2

1

< σ

2

2

< . . .

son spe tredevaleurspropressansmultipli ité.Onpeutalorsdé rirelespe tredu la-pla iensur

X

,

∆

.Pourtout

j > 0

,

[σ

j

, σ

j+1

)

estduspe tre ontinudemultipli ité lasommedesmultipli ités de

{σ

1

, . . . , σ

j

}

en tant quevaleurspropres de

∆

∂X

et il peutéventuellement ontenir desvaleurspropres plongéesde multipli iténie.

Melrose, dans [Mel93 ℄, prolonge la résolvante du lapla ien libre sur la sur-fa e de Riemann

Σ

qui est telle que toutes les fon tions

r

j

(λ) := (λ

− σ

2

j

)

1

2

y soient holomorphes. Cette surfa e est ramiée aux points

λ = σ

2

j

.

R

0

(λ) =

(∆

_{− λ)}

−1

estd'aborddéniesur

D =

{λ ∈ Σ ; ∀ j Im(r

j

(λ)) > 0

}

àvaleursdans

L(L

2

_{(X), L}

2

_(X))

et, pour tout

N

≥ 0

, elle a un prolongement méromorphe-ni surun domaine

D

+

N

àvaleursdans

L(ρ

N

_L

2

_{(X), ρ}

−N

_L

2

_(X))

. 1.1.3 Cadre ommun

Danslebutdetraitertous esexemplesave uneuniquenotation,onreformule l'hypothèse

A

. Pour

N > 0

et

ρ

une fon tion dénissant le bord de notrevariété

X

,saufdansle aseu lidien où onprend

ρ(z) = e

−<z>

,on pose

Hypothèse

A

N,ρ

:

R

e

0

a un prolongement méromorphe-ni sur un domaine non borné

D

+

N

de

Σ

àvaleursdans

L(ρ

N

_L

2

_{(X), ρ}

−N

_L

2

_(X))

.

Remarque 2 Pour que l'hypothèse soit pertinente il faut que

f (D

+

N

)

interse te lespe tre essentielde

∆

.

Remarque 3 Danslesexemples,lataillede

D

+

N

est roissanterelativementà

N

.

Remarque 4 On traitera un autre exemple de variétésur laquelle on a un pro-longement méromorphe-nidelarésolvantedulapla ienlibre:la aténoïde.Mais ne rentrant pasdans e adregénéral, on luia ordera un hapitre àpart.

1.2 Prolongements de résolvantes ave potentiels

Onveutajouterunpotentiel

V

,apriori omplexe,aulapla ienen ayantaussi unprolongement delarésolvante

(∆ + V

− z)

−1

.Onintroduitdon unehypothèse sur

V

pour que,

R

0

ait un prolongement méromorphe-ni sur

D

+

N

, et que

(∆ +

V

_{− z)}

−1

, après hangement de paramètre spe tral, ait aussi un prolongement méromorphe-ni sur

D

+

N

. Hypothèse

B

N,ρ

:

R

e

V

(λ) := J(∆ + V

− f(λ))

−1

_J

0

admet un prolongement méromorphe-ni sur

D

+

N

à valeurs dans

L(ρ

N

_L

2

_{(X), ρ}

−N

_L

2

_(X))

et

ρ

−2N

_V

est bornésur

X

. L'hypothèse

ρ

−2N

_V

borné est là pour nous permettre d'appliquer la théorie desperturbationsd'Agmon (voirl'annexe),etellepeutsureàprolonger

R

e

tV

sur tout ompa t de

D

+

N

pour

t

∈ C

assez pro he de

0

:

Proposition 3 Sil'hypothèse

A

N,ρ

estréaliséesurundomaine

D

+

N

etsi

ρ

−2N

_V

est bornésur

X

,alors,pour toutdomaine ompa t

D

e

+

N

in lusdans

D

+

N

,il existe

Ω

0

, un voisinage de

0

dans

C

, tel que, pour tout

t

∈ Ω

0

,

R

e

tV

(λ) := J(∆ +

tV

_{− f(λ))}

−1

_J

0

admet un prolongement méromorphe-ni sur

D

e

+

N

à valeursdans

L(ρ

N

_L

2

_{(X), ρ}

−N

_L

2

_(X))

Remarque 5 Alors, ave

tV, t

∈ Ω

0

,leshypothèses

A

N,ρ

et

B

N,ρ

sont toutes les deuxvériées sur

D

e

+

N

.

Preuve: onfaitappelà lathéoriedesperturbationsd'Agmon ([Agm98 ℄)dont on rappelle lesrésultatsdansl'annexe. On onsidèredon ,pour

t

∈ C

,lafamille des perturbationsdulapla ien

P(t) = ∆ + tV.

Avant depouvoirappliquer lathéoried'Agmon il fauten vériertoutes les hypo-thèses( fhypothèses

(α)

,

(β)

,

(γ)

,

(δ)

del'annexe) equiestfaitdansladernière partie de l'annexe ave

B

0

= ρ

N

_L

2

_(X)

et

B

1

= ρ

−N

_L

2

_(X)

. Le fait que

ρ

−2N

_V

soitbornésur

X

sertnotammentàvérierl'hypothèse

(δ)

quiassurequelafamille

{P(t)}

t∈C

estholomorphe detype

A

ausens deKato.

On onsidère alors un domaine ompa t

D

e

+

N

in lus dans

D

+

N

.Agmon seramène alors à la théorie des perturbations des valeurs propres de Kato à l'intérieur de

e

D

+

_N

,([Kat66℄), pourprolonger

R

e

tV

(λ)

demanièreméromorphe-nie pour

λ

∈ e

D

+

N

et

t

dans un voisinage

Ω

0

de

0

dans

C

. C'est exa tement la proposition 12 de l'annexe.



Onpeuten direunpeuplus danslesdeuxpremiers exemples ités pré édem-ment :

•

Dansl'espa eeu lidien,si

V

estunpotentielàdé roissan esuper-exponentielle, 'est-à-direque,pourtout

M

,ilexiste une onstante

C

M

telleque

|V (x)|≤

C

M

e

−M |x|

,alorsleshypothèses

A

N,ρ

et

B

N,ρ

sonttouteslesdeuxvériéessur

D

_N

+

=

_{{λ ∈ C ; |Imλ|< N}}

(respe tivement

D

+

N

=

{λ ∈ C ; |Im(e

λ

)

|< N}

siladimension est paire) et e pour tout

N

.

•

Dans les espa es asymptotiquement hyperboliques, si

V

est lisse sur

X

et s'annule àtouslesordres en

ρ

auvoisinage dubordalors

A

N,ρ

et

B

N,ρ

sont toutes les deux vériées sur

D

+

N

=

{λ ∈ C ; Re(λ) >

n−1

2

− N}

(entant

n

2

− N

si lamétriquen'est paspaire) et e pour tout

N

.

1.3 Résonan es et potentiels isorésonants

Supposons que l'hypothèse

A

N,ρ

soit vériée. Alors

R

e

0

a un prolongement méromorphe-ni sur un domaine

D

+

N

de

Σ

. Si

λ

0

∈ D

+

N

estun ple de

R

e

0

,alors on rappelle que, pour tout

λ

dansun voisinage de

λ

0

, on a le développement de Laurent suivant

e

R

0

(λ) =

p

X

i=1

(λ

− λ

0

)

−i

S

i

+ H(λ),

ave

S

i

∈ L(ρ

N

_L

2

_{(X), ρ}

−N

_L

2

_(X))

derangniet

H

estholomorpheàvaleursdans

L(ρ

N

L

2

(X), ρ

−N

L

2

(X))

.

Définition 1 On appelle résonan es du lapla ien dans

D

+

N

les ples du pro-longement de

R

e

0

dans

D

+

développement de Laurent orrespondant au voisinage de

λ

0

∈ Res(∆)

, ave les notations pré édentes,

p

est l'ordrede

λ

0

,l'espa e résonant estl'image de

S

1

etsadimension estlamultipli itéde

λ

0

.

Remarque 6 Agmon a montré dans [Agm98 ℄ que les notions de résonan es, d'ordre etde multipli iténe dépendent pas delafon tion

ρ

hoisie.

Sil'hypothèse

B

N,ρ

estaussivériée dans

D

+

N

pour un ertainpotentiel

V

on peutalorsdénirdelamêmefaçon lesrésonan esde

∆ + V

ommeétantlesples de

R

e

V

dans

D

+

N

eton note

Res(∆ + V )

leurensemble. Ondénit aussil'ordreet lamultipli ité d'unetellerésonan e.

Définition 2 On dit qu'un potentiel

V

tel que les hypothèses

A

N,ρ

et

B

N,ρ

soient vériéessur

D

+

N

estisorésonantsi

Res(∆ + V ) = Res(∆)

sur

D

+

N

etsiles multipli ités sont lesmêmes.

1.4 Représentations et espa es de symétrie

Pour onstruire des potentiels isorésonants on va utiliser ertaines symétries. Ces symétries sont dé rites par des groupes et par les représentations linéaires induites. On ommen epar rappeler unpeu devo abulairedesreprésentationset quelquesrésultatsqui nousseront utiles par lasuite.

Soit

G

un groupe topologique ompa t. Une représentation

µ

de

G

sur un espa eve toriel

E

estladonnéed'unmorphismede groupede

G

dans

GL(E)

.La représentationestditeniesi

E

estdedimensionnieetonappelledegréde

µ

ette dimension.Si

E

est munid'unestru tured'espa ede Hilbert, lareprésentation

µ

estditeunitaire sielleestà valeursdanslesopérateursunitaires de

E

.Enn, elle est dite fortement ontinue si pour tout

x

dans

E

l'appli ation

g

→ µ(g)(x)

est ontinue.

•

Un sousespa e ve toriel

F

de

E

est ditinvariant par

µ

si

∀g ∈ G, µ(g)F ⊂ F.

Unereprésentation estdite irrédu tiblesilesseulssous-espa es invariants ferméssont

{0}

et

E

.

•

Deuxreprésentations

(µ

1

, E

1

)

et

(µ

2

, E

2

)

sontisomorphess'ilexiste

γ

iso-morphismelinéaire de

E

1

dans

E

2

tel que

γ

◦ µ

1

= µ

2

◦ γ

.

•

A toute représentation nie

µ

on asso ie un ara tère

χ

µ

: G

→ C

déni par

χ

µ

(g) = Tr(µ(g)),

∀g ∈ G.

Deux représentations nies sont isomorphes si et seulement si elles ont le même ara tère. De plus toute représentation nie se dé ompose en une sommedire teniedereprésentationsirrédu tiblesave éventuellement des

répétitions ([Ser71℄).D'où l'importan e de l'ensembledes ara tères des re-présentations nies irrédu tibles de

G

qu'on notera

G

b

.Comme

G

est om-pa t,

G

b

estdénombrable([Sim96℄)etonpeutdon parlerdelasuite

(χ

n

)

n∈N

des ara tèresirrédu tibles de

G

.Onnotera

d

χ

ledegrédelareprésentation irrédu tible orrespondant au ara tère

χ

.

G

estmunidesamesuredeHaarqu'onnote

dg

.Unefon tion

f

sur

G

estdite entralesielleest onstantepresquepartout surles lasses de onjugaison 'est-à-dire

∀h ∈ G, pp − g ∈ G, f(hgh

−1

) = f (g).

Onnote

L

2

♯

(G)

l'ensemble desfon tions entralesde

L

2

_(G)

.Alorson a:

(χ

n

)

n∈N

estune basehilbertiennede

L

2

♯

(G),

'est une onséquen e du théorème de Peter-Weyl; on renvoie à [Sim96 ℄ p.158.

•

Ona aussi,dans[Sim96℄p.162, une preuve de

Proposition 4 Soit

H

unespa edeHilbertséparable.Soit

µ : G

→ L(H)

uneappli ationfortement ontinuede

G

dansles opérateursunitairesde

H

. Alors

H =

∞

⊕

i=1

H

i

(somme hilbertienne) où les

H

i

sont des représentations irrédu tibles nies de

G

.

Cha un des

H

i

orrespond à un ara tère. On regroupe alors tous les

H

i

orrespondant au même ara tère

χ

(il peut y en avoir une innité) pour former lesous-espa e de symétrie

H

χ

.

Soit

X

notrevariétériemanniennededimension

n

,non ompa te, onsuppose qu'elleadmetunea tion ontinueetisométriqued'ungroupe ompa t

G

.Onnote

g.x, g

_{∈ G, x ∈ X,}

ette a tion. On s'intéresse alors plus parti ulièrement à la représentation

µ

de

G

sur

L

2

_(X)

donnéepar

(µ(g)f )(x) := f (g

−1

.x),

_{∀f ∈ L}

2

(X),

_{∀x ∈ X.}

S'il n'ya pasd'ambiguïté, on notera

g.f

au lieu de

µ(g)f

.

Proposition 5 La représentation

µ

de

G

sur

L

2

_(X)

pré édenteest unitaireet fortement ontinue.

Preuve: soit

g

∈ G

,

µ(g)

estun isomorphismede

L

2

_(X)

ave

(µ(g))

−1

_{= µ(g}

−1

₎

.

µ(g)

estune isométrie ar

G

agit par isométriessur

X

. Par densité desfon tions ontinuesàsupport ompa tdans

L

2

_(X)

,pourmontrerque

µ

estfortement onti-nue, il sut de vérier que, si

f

∈ C

∞

comp

(X)

, alors

µ(g)f

tend vers

f

quand

g

tendvers l'unitéde

G

.Or

kµ(g)f − f k

2

L

2

_(X)

=

Z

X

|f(g

et l'ensemble

K :=

{g.x ; x ∈ supp(f), g ∈ G}

est ompa t. Don en utilisant

|f(g

−1

_.x)

_{− f(x)|}

2

_{≤ 4 kf k}

2

∞

1

K

,on a lerésultatpar onvergen e dominée.



Onpeutdon appliquerlaproposition 4à ette représentation etdé omposer

L

2

_(X)

selon les sous-espa es de symétrie orrespondant à ette a tion de

G

sur

X

.

Proposition 6 Soit

G

ungroupe ompa tagissantsur

X

parisométries.Alors

L

2

(X) =

⊥

M

χ∈ b

G

L

2

χ

(X)

(somme hilbertienne)

.

La restri tion de

µ

à

L

2

χ

(X)

est une somme, éventuellement innie, de représen-tationsirrédu tibles niesde même ara tère

χ

.

Depluslesproje teursorthogonaux

P

χ

de

L

2

_(X)

sur

L

2

χ

(X)

orrespondantà ette dé ompositionsont donnéspar

P

χ

= d

−1

χ

Z

G

χ(g)µ(g)dg.

Onditqu'on a dé omposé

(µ, L

2

_(X))

en omposantes isotypiques.

Si

G

estungroupe ommutatif,sesreprésentationsirrédu tibles sont dedegré

1

([Ser71 ℄).Dans e as,onpeutdé rireplusexpli itementlesespa esdesymétrie.

Proposition 7 Soit

χ

un ara tèrede

G

de degré

1

.Alors

L

2

_χ

(X) =

{f ∈ L

2

(X) ;

∀g ∈ G, pp − x ∈ X, f(g

−1

.x) = χ(g)f (x)

}.

Preuve:pour obtenirl'in lusion"

⊃

"ilsutderemarquerque

R

G

|χ(g)|

2

dg = 1

lorsque

χ

estle ara tère d'unereprésentation irrédu tible eton adon

P

χ

f = f

. Ensuite, si

P

χ

f = f

, alors

pp

− x ∈ X, f(x) =

R

G

χ(g)f (g

−1

.x)dg

. Don , pour

g

0

∈ G

etpour presquetout

x

∈ X

,on a

f (g

₀

−1

.x) =

Z

G

χ(g)f ((g

0

g)

−1

.x)dg =

Z

G

χ(g

₀

−1

g)f (g

−1

.x)dg.

Deplus, omme

χ

est dedegré

1

,ilestmultipli atif eton aaussi

χ(g

−1

0

) = χ(g

0

)

. D'où

f (g

₀

−1

.x) = χ(g

0

)f (x). 

Comme l'a tion de

G

est supposée isométrique, le lapla ien respe te ette dé ompositionde

L

2

_(X)

en omposantes isotypiques.

Lemme 1 Soit

X

une variété riemannienne sur laquelle agit de manière isomé-trique ungroupe ompa t

G

.Alors,pour tout

χ

∈ b

G

,

1.5A tions de

S

1

etde

(S

1

₎

m

Preuve:Soit

f

∈ L

2

χ

(X)

∩ H

2

(X)

,alors, omme l'a tionde

G

estisométrique on a

∆(µ(g)f ) = µ(g)(∆f )

pour tout

g

∈ G

.Ona don

P

χ

(∆f ) = d

−1

χ

Z

G

χ(g)µ(g)(∆f )dg = d

−1

_χ

Z

G

χ(g)∆(µ(g)f )dg

= ∆(d

−1

_χ

Z

G

χ(g)µ(g)f dg) = ∆f. 

1.5 A tions de

S

1

et de

(S

1

₎

m

Les premiers exemples de symétries qui nous intéressent sont les symétries ir ulaires.Onsuppose que

X

admet unea tion isométriquede

S

1

.Commençons par déterminerles ara tères de

S

1

.

Lemme 2 Lasuite des ara tères irrédu tiblesde

S

1

estdonnéepar

(χ

j

)

j∈Z

ave

χ

j

(θ) = e

ijθ

,

θ

∈ [0, 2π].

Preuve : Pour tout

j

∈ Z

,

µ

j

: θ

→ (z → e

ijθ

_z)

est une représentation de degré

1

sur

C

etdon irrédu tible. Or,

L

2

♯

(S

1

) = L

2

(S

1

)

, et omme

(e

ijθ

₎

j∈Z

forme une basehilbertiennede

L

2

_(S

1

₎

,on atous les ara tères de

S

1

.



On peutappliquer les propositions 6 et7 qui dé omposent

L

2

_(X)

en ompo-santes isotypiques.Ona

L

2

(X) =

⊥

M

j∈Z

L

2

_j

(X),

ave ,pour tout

j

∈ Z

,

L

2

_j

(X) =

{f ∈ L

2

(X) ;

∀θ ∈ [0, 2π], pp − x ∈ X, f(e

−iθ

.x) = e

ijθ

f (x)

},

etles proje teursasso iés

P

j

f (x) =

1

2π

Z

2π

0

e

−ijθ

f (e

−iθ

.x)dθ.

Ondiraaussiqu'unefon tion

f

est

S

1

homogènedepoids

j

sielle vériejuste:

∀θ ∈ [0, 2π], pp − x ∈ X, f(e

−iθ

.x) = e

ijθ

f (x),

sans êtrefor ément

L

2

.

La onstru tion de mes potentiels isorésonantsest baséesurl'idée très simple suivante,

Lemme 3 S'il existe

m

∈ Z

tel que

V

∈ L

∞

_(X)

soit

S

1

homogène de poids

m

, alors pour tout

j

∈ Z

,

V : L

2

j

(X)

→ L

2

j+m

(X)

entant qu'opérateurde multipli a-tion.

Preuve: soit

f

∈ L

2

j

(X)

,alors pour tout

x

∈ X

etpourtout

θ

∈ [0, 2π]

,

(e

iθ

.V f )(x) = V (e

−iθ

.x)f (e

−iθ

.x) = e

imθ

V (x)e

ijθ

f (x) = e

i(j+m)θ

(V f )(x),

don

V f

∈ L

2

j+m

(X)

.



Un

V S

1

homogène depoids

m

ave

m

6= 0

,opèredon undé alage parmi les omposantesisotypiquesde

L

2

_(X)

alorsquelelapla ienluilesstabilise d'aprèsle lemme1.Sion imaginel'opérateur

∆ + V

ommeunematri e inniedé omposée parblo sselonles omposantesisotypiques,onvoitalorsquela ontributionde

V

se fait uniquement surune surdiagonale stri te et ne modiera pas le spe tre du lapla ienlibre.C'estl'idéequ'onsuivrapour onstruirenospotentielsisorésonants. Danslasuite,on ompareralespotentielsisorésonantstrouvésenutilisantune a tionde

S

1

ave eux onstruitsgrâ eàunea tionde

(S

1

₎

m

.Pour ela,pré isons les hoses on ernant les représentations de

(S

1

₎

m

. On note quand il n'y a pas d'ambiguité

k = (k

1

, . . . , k

m

)

∈ Z

m

.

Lemme 4 Les ara tèresirrédu tibles de

(S

1

₎

m

sont donnéspar

(χ

k

)

(k)∈Z

m

ave

χ

k

1

,...,k

m

(θ

1

, . . . , θ

m

) = e

ik

1

θ

1

_{. . . e}

ik

m

θ

m

_{, (θ}

1

, . . . , θ

m

)

∈ [0, 2π]

m

.

Lessous-espa es de symétriede

L

2

_(X)

orrespondant sont,pour

k

∈ Z

m

,les

L

2

_k

(X) =

_{{f ∈ L}

2

(X) ;

_∀(θ

1

, . . . , θ

m

)

∈ [0, 2π]

m

, pp

− x ∈ X,

f ((e

−iθ

1

_{, . . . , e}

−iθ

m

_{).x) = e}

ik

1

θ

1

_{. . . e}

ik

m

θ

m

_{f (x)}

}.

Ondira que

f

est

(S

1

₎

m

homogène de poids

(k

1

, . . . , k

m

)

sielle vérie :

∀(θ

1

, . . . , θ

m

)

∈ [0, 2π]

m

, pp

−x ∈ X, f((e

−iθ

1

, . . . , e

−iθ

m

).x) = e

ik

1

θ

1

. . . e

ik

m

θ

m

f (x).

Si

V

∈ L

∞

_(X)

est

(S

1

₎

m

homogène de poids

p := (p

1

, . . . , p

m

)

,alors ilinduit par multipli ationle dé alage suivant

V : L

2

_k

(X)

→ L

2

k+p

(X).

Preuve: ilsut d'utiliser lesmêmes arguments quedansle as de

S

1

.

1.6 A tions de

SO

(n)

1.6.1 Hypothèse supplémentaire pour l'a tion de

SO

(n)

Cette fois on onsidère une a tion isométrique de

SO(n)

sur notre variété riemannienne

X

de dimension

n

≥ 3

. Comme

SO(n)

n'est pas ommutatif et qu'il ades représentations irrédu tibles de degréstri tement supérieur à

1

,on ne peutpasappliquer laproposition7etavoirunedes riptionsimple desespa esde symétrie. On ajoute une hypothèse pour pouvoir se servir d'un dé alage an de onstruire despotentielsisorésonants.

1.6 A tionsde

SO(n)

Hypothèse C : l'a tion isométrique de

SO(n)

sur

(X, g)

admet un point xe

O

tel qu'en e point les oordonnées polaires dénissent un diéomorphisme de

X

\ {O}

sur

R

+

_{\ {0} × S}

n−1

.

Une onséquen ede ette hypothèseestque,dans es oordonnées polaires,la métrique

g

prendlaforme

dr

2

+ f (r)dω

2

, (r, ω)

_{∈ R}

+

_{× S}

n−1

,

où

dω

2

est la métrique sur

S

n−1

issue de la métrique eu lidienne à ourbure onstante

+1

sur

R

n

. Si, par exemple,

f (r) = r

2

alors on retrouve l'espa e eu- lidien.Si

f (r) = sh(r)

2

,onal'espa ehyperbolique.Si

f

estindépendantede

r

en dehors d'un ompa t, alors onaune variétéàbouts ylindriquesde se tion

S

n−1

. Sil'hypothèse

C

est vériée,alors on a

L

2

(X) =

M

k∈N

L

2

(R

+

)

⊗ H

k

,

où les

H

k

_{:= Ker (∆}

S

n−1

− k(k + n − 2))

,

k

∈ N

, sont les espa es propres du lapla ien sur la sphère

S

n−1

. On appelle souvent es fon tions propres de

∆

S

n−1

les harmoniques sphériques.

Onremarquequelareprésentation

µ

de

SO(n)

sur

L

2

_(X)

_{≃ L}

2

_(R

+

₎

_⊗L

2

_(S

n−1

₎

n'agit en fait quesur

L

2

_(S

n−1

₎

'est-à-dire que sur les

H

k

. Deplus la restri tion de

µ

à haque

H

k

est en fait irrédu tible ( f [BGM71℄). Le dé alage dont on se servirapour nospotentiels isorésonants seferasur es harmoniquessphériques.

Remarque 7 Pour

n = 3

les ara tèresdesreprésentationsirrédu tiblesde

SO(3)

sont les

χ

k

(θ) =

k

X

j=−k

e

ijθ

=

sin(k +

1

2

)θ

sin(

θ

₂

)

, θ

∈ [0, 2π], k ∈ N,

oùonnote

χ

k

(θ)

àlapla ede

χ

k

(R

θ

)

ave

R

θ

=





cos θ

_{− sin θ 0}

sin θ

cos θ

0

0

0

1



 .

Onaaussi

d

χ

k

= 2k + 1

([Sim96℄ p.205). On peut alors vérier, en utilisant l'uni ité de la dé ompositionen omposantes isotypiques (proposition 6),que, pour tout

k

∈ N

,

L

2

_χ

_k

= L

2

(R

+

)

⊗ H

k

.

1.6.2 Représentations de l'algèbre de Lie

so

n

SO(n)

agitsur

L

2

_(X)

via l'a tion

µ

déniepré édemmentet don ,en ompo-santave l'exponentielle,sonalgèbredeLie

so

n

agitaussisur

L

2

_(X)

.Cettea tion estdénie par les opérateurs dediérentiationsuivant

D

ξ

f (x) :=

d

dt

f (e

−tξ

_.x)

En fait, on onsidérera la omplexi ation de

so

n

,

so

C

n

:= so

n

+ iso

n

, qu'on notera

g

dans lasuite pour simplier l'é riture. Prenons alors une sous-algèbre de Cartan

h

de

g

, 'est-à-dire une sous-algèbre abélienne maximale de

g

. On dé rit

h

omme sous-algèbre de

gl(C

n

₎

l'algèbre de Lie du groupe linéaire. Pour une matri e

A = (a

ij

)

de taille

2p

× 2p

, on dénit

B

kℓ

(A)

,

1

≤ k, ℓ ≤ p

, omme étant leblo de taille

2

× 2

extrait de

A

suivant

B

kℓ

(A) :=



a

2k−1,2ℓ−1

a

2k−1,2ℓ

a

2k,2ℓ−1

a

2k,2ℓ



.

h

est l'algèbre de Lie dont une base est

(ζ

k

)

1≤k≤p

ave

p

la partie entière de

n

2

et

B

kk

(ζ

k

) =



0

i

−i 0



et tousles autres blo s

2

× 2

sont nuls (pour

n

impair la dernière ligne et la dernière olonne de tous les

ζ

k

sont nulles). On note

(ω

k

)

la baseduale de

(ζ

k

)

dans

h

∗

.

Onrappelle que

g

agitsurellemême parlareprésentation adjointedénie par

ad(X) : Y

_{→ [X, Y ], (X, Y ) ∈ g}

2

.

On onsidère leproduits alaire de Killingsuivant,

hX, Y i = Tr(ad(X) ◦ ad(Y )), (X, Y ) ∈ g

2

où la onjugaison est dénie par

Z + iW =

−Z + iW

ave

Z

et

W

réels. Ainsi, pourtout

X, Y

∈ g

,

[X, Y ] =

−[X, Y ]

.Onremarquealorsque,pourtout

ξ

∈ h

,on a

ξ = ξ

etdon

ad(ξ)

estauto-adjoint.( f[Sim96 ℄p.177)Alorsles

{ad(ξ) ; ξ ∈ h}

sont des opérateurs auto-adjoints sur

g

qui ommutent entre eux. On peutdon les diagonalisersimultanément etdé omposer

g

selonles espa espropres.

On a don

g

= h

⊕

L

g

α

où lasomme se fait surun ensemble ni de

α

∈ h

∗

qui sont les ra ines de

g

et

g

α

:=

{X ∈ g ; ad(ξ)(X) = α(ξ)X, ∀ξ ∈ h}

sont les sous-espa es de ra ines (ils sont tous de dimension

1

f [Sim96℄ p.180). Soit

Λ

⊂ h

∗

le réseau entier engendré par les ra ines. Sur

Λ

on se donne un ordre lexi ographique "



" en faisant le hoix

ω

1

 . . .  ω

p

. On appelle alors

g

+

:=

L

α≻0

g

α

(respe tivement

g

−

:=

L

α≺0

g

α

) la sous-algèbrede

g

engendrée par les

sous-espa esdera inespositives(respe tivementnégatives).Ona

g

= h

⊕g

+

⊕g

−

. On renvoie à [Sim96 ℄, hapitre VIII, pour une théorie générale et à la se tion suivante pour le al ulexpli ite de essous-espa esde ra ines.

Revenons à nos espa es propres du lapla ien sur la sphère,

H

k

, qui sont des représentations irrédu tibles de

g

.Ilssedé omposent sous l'a tionde

h

:

H

k

=

M

ω

k

min

ωω

max

k

H

_ω

k

,

oùles

ω

quipar ourent unsous-ensemblenide

h

∗

sont les poidsde

H

k

.Enfait espoidssonttous ongruentsmodulo

Λ

(voir[FH91 ℄p.199)don onpeutbienles ordonner ave "



".Lessous-espa es de poids orrespondant,

H

k

ω

,sont dénis par

H

k

ω

=

{f ∈ H

k

; D

ξ

f = ω(ξ)f,

∀ξ ∈ h}

. On aurabesoin dulemme suivant :