Lo alisation des résonan es

On va maintenant démontrer le théorème 4 en ommençant par l'in lusion

Res(∆ + V )_{⊂ Res(∆)}

.Pour ela,on onsidèredansunpremiertemps lessommes partielles tronquées de

V

. Puis on passera à

V

entier, et enn on fera l'autre in lusion.

Lo alisation des résonan es pourles sommes partielles tronquées de

V

On onsidèrelessommespartiellesde

V

,

SM

=

M

P

m=1

Vm

où

Vm

estla omposante

S1

homogène depoids

m

de

V

.Soit

χ∈ C

∞

c

(X)

invariantesousl'a tion de

S

1

,on vamontrer que

Res(∆ + χSM)⊂ Res(∆)

,sur

D

+

N

. Pour

λ∈ D

+

N

\ Res(∆)

on a

∆ + χSM

− f(λ)
eR0(λ)ρN

= ρN

I + ρ−NχSMRe0(λ)ρN

.

Onpeuté rire

ρ−NχSMRe0(λ)ρN

= χρ−2NSMρNRe0(λ)ρN.

Grâ e à l'hypothèse

AN,ρ

,

ρ

−N_χS

MRe0(λ)ρN

est don une famille d'opérateurs ompa ts holomorphesur

D

+

N

\ Res(∆)

.Deplus sion prend

|λ|

assez grand dans

D+_N

,ona

kρ−NχSMRe0(λ)ρNk< 1.

Alors en appliquant la théorie de Fredholm analytique ([RS80℄), on obtient que

I +ρ−N_χS

MRe0(λ)ρN

−1

estméromorpheniesur

D

+

N\Res(∆)

etonal'équation dite de Lipmann-S hwinger reliant larésolvante de

∆ + χSM

à elle du lapla ien libre :

ρNReχSM(λ)ρ

N

_{= ρ}N_Re

0(λ)ρN

I + ρ−NχSMRe0(λ)ρN
−1.

Ainsi, si

λ0

est un ple de

ReχS

M

dans

D

+

N

\ Res(∆)

, alors

λ0

est un ple de

I + ρ−N_χS

MRe0(λ)ρN

−1

ettoujoursgrâ e àlathéoriedeFredholm, ilexiste un

u∈ L2_(X)

nontrivial quivérie

I + ρ−NχSMRe0(λ)ρN
u = 0.

Onremarque ave ette égalité quele supportde

u

est in lusdans lesupport de

χ

.Prenons un

χ2

∈ C

∞

c

(X)

invariantesous l'a tion de

S

1

ettelleque

χ2

= 1

sur lesupportde

χ

.Alors, en notant

uj

:= Pju∈ L

2

j(X)

,on a

uj

= Pj

− ρ−NχSMRe0(λ)ρNu

= Pj

− ρ−NχSMχ2Re0(λ)χ2ρNu

,

etpar linéarité

uj

=−

M

X

m=1

Pj

ρ−NχVmχ2Re0(λ)χ2ρNu

.

Onrappelle ( flemme 3)que

Vm

induit,par multipli ation, ledé alage suivant

Vm: L2j(X)→ L2j+m(X).

Don

uj

=

−

M

X

m=1

VmPj−m

ρ−Nχχ2Re0(λ)χ2ρNu

uj

=

−

M

X

m=1

Vmρ−Nχχ2Re0(λ)χ2ρNPj−m(u),

où on aaussi utilisé queles proje tions

Pj−m

ommutent ave

Re0

ar l'a tion de

S1

estisométriqueetave

ρ, χ

et

χ2

grâ e àleur invarian e sous

S

1

. Par hypothèse, pour tout

m

,

k Vm

k∞≤

+∞_P

m′₌₁

k Vm

′

k_∞< +∞

, don les

Vmρ−Nχχ2Re0(λ)χ2ρN

sont des opérateurs uniformément bornés en

m

. Don il existe une onstante

C

telleque, pour tout

j∈ Z

,

k uj

k≤ C

M

X

m=1

k uj−m

k .

De plus en appliquant le lemme 10 à

χ2Re0χ2Pj−m

,on obtient aussiqu'il existe une onstante qu'onnotera en ore

C

tellequepour tout

j∈ Z

,

k uj

k≤

M

X

m=1

C

1 + (j_{− m)}2

k uj−mk,

etdon ,pour tout

j∈ Z

,

k uj

k≤ ǫj

M

X

m=1

k uj−mk,

ave

ǫj

→ 0

pour

|j |→ +∞.

On va avoirbesoindu lemmesuivant

Lemme 11 Soit

(aj)j∈Z

une suite à termes positifs de

ℓ

1_(Z)

.S'il existe

M

∈ N

etsi, pour tout

j

∈ Z

,

aj

≤ ǫj

M

P

m=1

aj−m

ave

ǫj

→ 0

pour

| j |→ +∞

,alors

aj

= 0

pourtout

j

.

Preuve:soit

J

′

_{≤ 0}

telque,pourtout

j≤ J

′

,

ǫj

≤

1

M

.Alors,pourtout

j≤ J

′

,on a

aj

≤

1

M

M

P

m=1

aj−m

etsion somme esrelations on obtient, en notant

S =

P

j≤J′

aj

,

S

_≤

1

M

(S− aJ′) + (S− aJ′− aJ′−1) + . . . + (S− aJ′− . . . − aJ′−M +1)

=

1

M

M S− MaJ′− (M − 1)aJ′−1− . . . − aJ′−M +1

.

3.1A tions de

S

1

Onen déduit

0≤ −MaJ′− (M − 1)a_J′₋₁− . . . − a_J′_{−M +1},

etdon

aJ′

= a_J′₋₁

= . . . = a_J′_{−M +1}= 0.

Commeona

ǫj

→ 0

pour

|j |→ +∞

,ilexisteune onstante

C

telleque,pourtout

j_{∈ Z, a}j

≤ C

M

P

m=1

aj−m

,on obtient don

∀j ≥ J′− M + 1, aj

= 0.

En faisant tendre

J

′

vers

−∞

on analement

aj

= 0

pourtout

j∈ Z

.



Onpeutappliquer e lemme11àlasuite

{kujk

2_}

j

.Onobtient

kujk= 0

pour tout

j

etdon

u≡ 0

e qui ontreditl'existen e d'unple de

ReχS

M

en dehors de

Res(∆)

.

Don , nalement, pour tout

M

ettoute fon tion

χ∈ C

∞

c

(X)

,invariante sous

S1

,

∆+χSM

n'apasderésonan esur

D

+

N\Res(∆)

: 'est-à-dire

Res(∆ + χSM)⊂ Res(∆)

, sur

D

+

N

.

Lo alisation des résonan es pour

V

Dans e paragraphe, on va passer dessommes partielles tronquées de

V

à

V

toutentieretmontrer que,sur

D

+

N

,ona

Res(∆ + V )⊂ Res(∆)

.Pour e faire,on vautiliser lesdéterminantsrégularisés dont ondonne une dénition.

Définition 5 Pour unopérateur

A∈ Sp

,

1

≤ p < ∞

, ondénit son détermi- nant régularisé,

detp

,par

detp(I + A) =

∞

Y

n=1

(1 + λn(A)) exp

p−1

X

k=1

(₋₁₎k

k

λ

k

n(A)

,

où les

(λn(A))n∈N

sont lesvaleurspropres de

A

.

Donnonsquelquespropriétésde edéterminantqu'onpeuttrouverdans[Yaf92 ℄ par exemple.

Proposition 10 1.

A→ detp(I + A)

est ontinue dans

(Sp,k . kp)

.

2. Si

z→ A(z)

estholomorphedansundomaine de

C

,àvaleursdans

Sp

,alors

z→ detp(I + A(z))

estholomorphedansle même domaine.

3. Pour

A∈ Sp

,

I + A

est inversible sietseulement si

detp(I + A)6= 0

.

Les hypothèses du théorème 4 assurent qu'il existe un entier

q

tel que, pour tout

λ

∈ D

+

N

\ Res(∆)

,

ρ

−(N +1)_{V eR}

0(λ)ρN

est dans une lasse de S hatten

Sq

. Don

ρ

−N_{V eR}

Montronsque,pourtoute

χ∈ C

∞

c

(X)

,ilexisteunentier

p

telque

χρ

−N_Re

0(λ)ρN

∈

Sp

pour tout

λ∈ D

+

N\ Res(∆)

.Prenonsun ompa t

K

àbord lissequi ontientle support de

χ

.Soit

∆K

le lapla ien ave ondition de Diri hlet sur lebord de

K

, et

(µk)k∈N

les valeurspropres de

(∆K+ 1)

−1

.Alors laloi de Weyl donne, quand

k

tendvers

+∞

,

µk∼

(2π)2

(ωnVol(K))

2

n

k−n2,

où

n = dimX

et

ωn

est le volume de la boule unité de

R

n

. Alors pour

p >

n

2

,

(∆K+ 1)−1

∈ Sp

.De plus, pour tout

λ∈ D

+

N

\ Res(∆)

,

(∆K

+ 1)χρ

−N_Re

0(λ)ρN

estunopérateurbornéde

L

2_(X)

,et, omme

Sp

estunidéalbilatèrede

L(L

2_(X))

, on a

χρ−NRe0(λ)ρN

= (∆K+ 1)−1(∆K+ 1)χρ−NRe0(λ)ρN

∈ Sp.

Commeona

Sp

1

⊂ Sp2

,pour

p1≤ p2

([Yaf92℄),sionsuppose, quitteàé hanger

p

et

q

,quedans lasuite

p≤ q

,alors

χρ

−N_Re

0(λ)ρN

et

ρ

−N_{V eR}

0(λ)ρN

sont tous les deuxdans

Sq

.

L'équation deLipmann-S hwinger appliquée à

V

au lieude

χSM

nousdonne

ρNReV(λ)ρN

= ρNRe0(λ)ρN

I + ρ−NV eR0(λ)ρN
−1.

Don , grâ eau troisième point de laproposition10 on a

λ_{∈ Res(∆ + V ) ∩ DN}+_{\ Res(∆) ⇐⇒ det}q

I + ρ−NV eR0(λ)ρN

= 0.

Pour

λ∈ D

+

N

\ Res(∆)

,ondénit

F (V, λ) := detq

I + ρ−NV eR0(λ)ρN
.

Supposonsqu'il existe

λ0

∈ Res(∆ + V ) \ Res(∆)

,alors

F (V, λ0) = 0.

Prenons

Γ

unla etsimpleautourde

λ0

telque

λ0

soit leseul zérode

F (V, .)

dans le domaine

U

délimité par

Γ

ettel que

U

⊂ D

+

N

\ Res(∆)

. Ce hoix est possible ar, grâ e au deuxième point de la proposition 10,

F (V, .)

est holomorphe et ses zéros sont don isolés.

Soit

χr

une famille de fon tions lisses à support ompa t et invariantes sous l'a tion de

S

1

telleque

k(χr− 1)ρk∞

tendvers

0

quand

r

tendvers

+∞

.Comme on asupposéque

V ρ

−(N +1)_Re

0(λ)ρN

∈ Sq

on peut é rire, pour tout

λ∈ Γ

,

kχrV ρ−NRe0(λ)ρN

− V ρ−NRe0(λ)ρNkq≤ k(χr− 1)ρk∞kV ρ−(N +1)Re0(λ)ρNkq

.

Ainsi,quand

r

tendvers

+∞

,

χrV ρ

−N_Re

0(λ)ρN

tendvers

V ρ

−N_Re

0(λ)ρN

dans

Sq

uniformément en

λ

sur

Γ

.Don d'aprèsle premier point de laproposition 10, on a

F (χrV, λ)

→ F (V, λ)

uniformément sur

Γ

. Onen déduit qu'il existe

r0

tel que pourtout

r > r0

etpour tout

λ∈ Γ

on a

3.1A tions de

S

1

Don en utilisant lethéorèmede Rou hé on saitque

F (χrV, .)

alemême nombre de zéros dans

U

que

F (V, .)

.

De lamême manière, xons

r > r0

,et omme

χrρ

−N_Re

0(λ)ρN

∈ Sq

ona

kχrSMρ−NRe0(λ)ρN

− χrV ρ−NRe0(λ)ρNkq≤ kSM

− V k∞kχrρ−NRe0(λ)ρNkq

.

Or dans les hypothèses du théorème 4 on a que

k SM

− V k∞

tend vers

0

quand

M

tend vers

+∞

. Don on obtient que

F (χrSM, λ)

→ F (χrV, λ)

uniformément sur

Γ

,et onpeutré-appliquerle théorèmede Rou hé.

Finalement on a montré qu'il existe

r

et

M

tels que

F (χrSM, .)

a le même nombre dezérosdans

U

que

F (V, .)

.Commeonasupposéqu'ilexistait

λ0

unzéro de

F (V, .)

dans

U

elasignieque

F (χrSM, .)

aaumoinsunzérodans

U

etdon , enutilisantl'équationdeLipmann-S hwinger,que

∆+χrSM

aunerésonan edans

U

⊂ DN+

\ Res(∆)

. Cette dernière armation ontredit le résultat de la se tion pré édente.En on lusion,sur

D

+

N

,on amontré que

Res(∆ + V )⊂ Res(∆).

Un autre argument pour lo aliser les résonan es

Dans e paragraphe je vais dé rire une autre façon de montrer que, sur

D

+

N

,

Res(∆ + V )_{⊂ Res(∆)}

.Cetargument n'utiliseplus expli itement ledé alage réé parles omposantes

S

1

homogènesde

V

maisilutiliselesdéterminantsrégularisés etbiensûrl'a tion de

S

1

.Il est dûà Christiansen([Chr08 ℄). On onsidère

W (z) :=

∞

P

m=1

zm_V

m

dont on supposequ'il vérie les hypothèses du théorème 4 etdon il estholomorphe pour

z

∈ D(0, 1)

, le disqueouvert de

C

de entre

0

etderayon

1

.Déjà,onpeutremarquerque

W (1) = V

etque,grâ e à l'homogénéité des

Vm

,on a pour tout

θ

∈ R

et

r

∈ R

+

,

W (re

iθ_{) = e}iθ_{.W (r)}

.On rappelle quepour toutefon tion

f

déniesur

X

,onnote

e

iθ_.f

l'appli ationqui à

x

∈ X

asso ie

f (e

−iθ_.x)

.Don en tant qu'opérateur de multipli ationsur

L

2_(X)

on a

W (re

iθ_{) = R}∗

θW (r)(R−1θ

)∗

où on note

R

∗

θ

l'opérateur qui a une fon tion

f

_{∈ L}2_(X)

asso ie

e

iθ_.f

.Pour

λ∈ D

+

N

\ Res(∆)

et

z∈ D(0, 1)

, on onsidère

H(z, λ) := detq

I + ρ−NW (z) eR0(λ)ρN
.

H(., λ)

estholomorphe sur

D(0, 1)

.Comme l'a tion de

S

1

estisométrique, les

Rθ

ommutentave

Re0(λ)

etave

ρ

,don ,ave laremarquefaitesur

W (re

iθ₎

,

H(., λ)

est onstante sur le er lede entre

0

et de rayon

r

.Elle est don onstante sur

D(0, 1)

et on en déduit par ontinuité que

H(1, λ) = H(0, λ) = 1

, 'est-à-dire que

detq

I + ρ

−N_{V eR}

0(λ)ρN

ne s'annule paspour

λ∈ D

+

N

\ Res(∆)

, 'est-à-dire

Res(∆ + V )_{⊂ Res(∆)}

.

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