Énon é du résultat

On onsidère une variété riemannienne

(X, g)

qui possède une a tion isomé- trique de

S

1

. On aura besoin de la proposition 8 du hapitre pré édent et pour pouvoirl'appliquer on introduit l'hypothèse suivantesur

X

,

Hypothèse D :pourtout ompa t

K

⊂ X

ilexiste unevariété ompa teàbord

e

K

diéomorphe àun ompa t de

X

ontenant

K

,possédant une a tion de

S

1

,et munie d'unemétrique

eg

telleque

ge|K

= g|K

.Onsuppose aussique

ge

peut s'é rire souslaforme

dδ

2_{+ eh}

∂ eK

dansunvoisinagedubord

∂ eK

de

Ke

,ave

δ

unefon tion

S1

invariantedénissant lebordde

Ke

et

eh

indépendantede

δ

etenn quel'a tion de

S

1

sur

( eK, eg)

est isométrique.

On peutalors énon er lethéorèmeprin ipal de ette thèse:

Théorème 4 Soit

(X, g)

une variété riemannienne qui possède une a tion iso- métriquede

S

1

vériantl'hypothèseD.Onsupposequel'hypothèse

AN,ρ

estvériée pourun

N > 0

etunefon tion

ρ

invariantesous l'a tionde

S

1

etqu'ona don un prolongement méromorphe-ni de la résolvante du lapla ien libre sur un domaine

D+_N

. Soit

V

lepotentiel

V =

+∞

X

m=1

Vm,

oùles

Vm

∈ L

∞_(X)

sont

S

1

homogènesdepoids

m

etvérient

+∞_P

m=1kVmk∞

< +_∞

.

Si

V

vériel'hypothèse

BN,ρ

,etsipourtout

λ∈ D

+

N\ Res(∆)

,

ρ

−(N +1)_{V eR}

0(λ)ρN

est dans une lassede S hatten

Sq

,

q∈ N \ {0}

, alors, sur

D

+

Faisons quelques ommentaires. On ommen e par rappeler la dénition des lasses de S hatten.

Définition 4 Soit

H

un espa e de Hilbert. Si

A :

H → H

est un opérateur ompa t, lespe trede sesvaleurs singulières,

(sn(A))n∈N

,est eluides valeurs propres de l'opérateur auto-adjoint

(A

∗_A)1/2

.Alors,pour

1≤ p < +∞

,la lasse deS hatten

Sp

estl'idéal bilatèrede

L(H)

formédesopérateurs

A

pourlesquels laquantité

kAkpp:=

∞

X

n=0

sp_n(A)

estnie. L'hypothèse du théorème4,

ρ

−(N +1)_{V eR}

0(λ)ρN

∈ Sq

estune hypothèse te hnique quinouspermettrad'utiliserlesdéterminantsrégulariséspourpasserdupotentiel tronqué au potentiel

V

tout entier. Si

V

est à support ompa t ette hypothèse est vériée pour tout

N

pour tout

q >

dimX

2

. Dans l'espa e eu lidien

R

n

, si

V

estàdé roissan esuper-exponentielle alorsl'hypothèseesten orevraiepourtout

N

. Pour une variété asymptotiquement hyperbolique

X

, si

V

est lisse sur

X

et s'annuleàtouslesordresen

ρ

auvoisinagedubord,ave

ρ

unefon tiondénissant lebord,alors l'hypothèse estaussivériée pour tout

N

.

Au lieu de perturber le lapla ien libre on peut perturber

∆ + V0

ave

V0

un potentielinvariantsousl'a tionde

S

1

etobtenirque

Res(∆+V0+V ) = Res(∆+V0)

. Le fait que

V0

soit

S

1

invariant assure que, omme le lapla ien, il respe tera la dé omposition de

L

2_(X)

en omposantes isotypiques. Pour pouvoir appliquer la proposition 8 à

∆ + V0

, il faut supposer de plus que

V0

est réel et à support ompa t. On pourrait prendre un

V0

à support non ompa t mais susamment dé roissant à l'inni pour prolonger larésolvantede

∆ + V0

,maisdans e as on rempla era laproposition 8 par lelemme 9 et on ne pourra prendre quedes

V

à supportlàoù lebrédesorbites prin ipalesest trivialisé.

Dé rivonssurquelquesexemples omment

S

1

agit, pourquoil'hypothèse Dest vériée ainsique laformedespotentiels isorésonants trouvés.

•

Surl'espa eeu lidien

R

n_{= (R}2₎k_{× R}n−2k

,onpeut onsidérer l'a tionde

S

1

donnéepar

k

M

i=1

R(piθ)⊕ IdRn−2k,

où

θ∈ [0, 2π)

,

(p1, . . . , pk)∈ (Z\{0})

k

,etonanoté

R(φ)

larotationd'angle

φ

sur

R

2

.Pourla onditionD,on peutremarquerquetout ompa t

K

peut êtrein lusdansuneboule

B(0, R)

etonpeutprendrepour

Ke

unebouleplus grande

B(0, eR)

,

R > Re

,munidelamétriquesuivantedonnéeen oordonnées polaires :

e

g = dr2+ f (r)dω2, (r, ω)_{∈ R}+_{× S}n−1,

où

dω

2

est la métrique sur la sphère de

R

n

induite par la métrique eu li- dienne et

f

est lisse sur

[0, eR]

, onstante près de

Re

et

f (r) = r

2

3.1A tions de

S

1

Les omposantes

S

1

homogènes de poids

m

des potentiels isorésonants du théorème4 sont dela forme:

Vm(r1eiα1, . . . , rkeiαk, z) =

X

(ℓ1,...,ℓk)∈Zk

k

P

i=1

ℓipi=−m

Wm,ℓ1,...,ℓk(¯x)e

iℓ1α1_{. . . e}iℓkαk_,

où

(r1e

iα1_{, . . . , r}

keiαk, z)∈ (R2)k× Rn−2k

,

x¯∈ R

n_/S1

et lasomme onverge ennorme innie.

•

Pour l'espa e hyperbolique réel

H

n

,on peut prendrelemodèle dePoin aré, 'est-à-dire la boule unité de

R

n

entrée à l'origine munie de la métrique

4geuclid

(1−kxk2₎2

.L'a tionde

S

1

sur

R

n

dé ritepré édemmentinduitalorsunea tion isométriquede

S

1

sur

H

n

.Pourla onditionD,si

K

estin lusdansuneboule derayon

R

entréeen l'origine(dans e modèle

0Rn

),onprendpour

Ke

une boule de rayon

R > Re

et, en oordonnées polaires,

eg = dr

2

_{+ f (r)dω}2

ave ette fois

f (r) = sh

2_(r)

sur

[0, R]

. Les omposantes

S

1

homogènes des potentiels isorésonants prennent alors la même forme que dans le as eu lidien. On rappelle ([GZ95a ℄) que si

n

est impair

Res(∆) =

∅

et que si

n

est pair

Res(∆) =

−N

et haque entier

−k

a pour multipli ité elle de

k(k + n− 1)

entantquevaleurpropredulapla iensurlasphèreeu lidienne

Sn

.

•

Cettefois onsidérons

H

n

enutilisant le modèle

R

+

∗

× Rn−1

munides oor- données

(x, y)

orrespondantes. Onprendpour variété

X

le ylindrehyper- bolique

H

n_{/ < γ >}

où

γ

estl'isométrie

w→ e

ℓ_w

.

S

1

agitisométriquementsur

X

par

e

iθ_{.[x, y] = [e2π}ℓθ_{x, e2π}ℓθ_y]

.Onpeutvoir

X

omme

R

+_×S1_×Sn−2

ave les oordonnées

(r, θ, ω)

orrespondantes,munidelamétrique

dr

2_+ch2_(r)dθ2₊

sh2(r)dω2

etl'a tion de

S

1

est alors l'a tion triviale surle fa teur

S

1

.Tout ompa tde

X

estin lusdansun

K = [0, R]×S

1_×Sn−2

,onpeutdon prendre

e

K = [0, eR]_×S1_×Sn−2

ave

R > Re

,lamétrique

g = dre

2_+h

1(r)dθ2+h2(r)dω2

où

h1

et

h2

sontlissessur

[0, eR]

, onstantes prèsde

Re

etprenant les valeurs

h1(r) = ch2(r)

,

h2(r) = sh

2_(r)

pour

r

∈ [0, R]

.Les omposantes

S

1

homo- gènesde poids

m

despotentielsisorésonantssont de laforme :

Vm(r, θ, ω) = Wm(r, ω)e−imθ, (r, θ, ω)∈ R+× S1× Sn−2.

Onrappelle ([GZ95a ℄)quepour etexemple

Res(∆) =−N + iZ2π/ℓ

.

3.1.2 Majoration de la résolvante sur les espa es de symétrie

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