Démonstration de l'isorésonan e

On ommen e, omme on l'a fait pour les autres onstru tions de potentiels isorésonants,parlo aliserlesrésonan esde

∆+V

parmilesrésonan esdulapla ien libre.

4.3.1 Lo alisation des résonan es

Lo alisation des résonan es pourles sommes partielles tronquées de

V

Soit

SM(r, e

iα_{) =}

PM

m=1

Vm(r)eimα

et

χ

∈ C

∞

c

(X)

invariante sous l'a tion de

S1

. Dans ette partie montrons que

Res(∆ + χSM)

⊂ Res(∆)

sur

D

+

_:=

_{{z ∈}

C_{; arg z < 2θ0}}

.

Soit une autrefon tion de tron ature

χ1

∈ C

∞

c

(X)

invariantesous l'a tion de

S1

telleque

χ1

= 1

surlesupport de

χ

.On aalors pour

z∈ D

+_{\ Res(∆)}

,

(∆ + χSM

− z) eR0(z)χ1= χ1(I + χSMRe0(z)χ1).

χSMRe0(z)χ1

formeunefamilleholomorphesur

D

+_\Res(∆)

d'opérateurs om- pa ts telleque

kχSMRe0(z)χ1k< 1

pour

| z |

assez granddans

{z ∈ C ; Imz < 0}

.Onpeutdon appliquer lathéorie de Fredholmanalytique etobtenir que

(I + χSMRe0(z)χ1)

−1

etdon

ReχS

M(z) :=

(∆ + χSM− z)−1

sontméromorphessur

D

+_{\ Res(∆)}

.Deplus,dans

D

+_{\ Res(∆)}

, on peut ara tériser les ples de

ReχS

M

'est-à-dire les résonan es par l'existen e d'un

u∈ L

2_(X)

nontrivial, solution de

(I + χSMRe0(z)χ1)u = 0.

Ensuite on montre que ette solution

u

non triviale ne peut pasexister et e de la même façon quedans lapreuve du théorème 4.On utilise don ledé alage rééparles omposantes

Vm(r)e

imα

surlesespa esdesymétrie

L

2

j(X)

.Ilyadeux hoses à vérier. Premièrement la aténoïde vérie bien l'hypothèse D. En eet, tout ompa t

K

de

X

estin lusdansunevariété ompa teàbord

K = [e

−R, R]×S

1

qu'on peutmunir delamétrique

eg = dr

2_{+ f (r)dα}2

ave

f (r) = r

2_{+ a}2

sur

K

et onstante près du bord de

Ke

.Il faut aussi vérier que

Re0

ommute ave l'a tion de

S

1

pourqu'elle ommuteave les proje teurs

Pj

.Pour ela,il faut revenir àla onstru tion de

Re0

par la méthode de distorsion analytique. Or ette distorsion ne tou he pas le fa teur

∂∞X

de la aténoïde sur lequel opère

S

1

. Don l'a tion de

S

1

est isométriquesur haque

Xθ

etelle ommute ave

Re0

.

Onobtientnalement que

∆ + χSM

n'apasderésonan esdans

D

+

endehors de

Res(∆)

.

Lo alisation des résonan es pour

V

Il s'agit de ontrler les perturbations des résonan es quand on passe des sommes partielles tronquées au potentiel

V

en entier. Pour ela, au lieu d'uti- liser les déterminants régularisés (qui étaient adaptés aux espa es à poids

ρ

N_L2

maispasauxfon tionsde tron ature) ommepré édemment, onvaseservirdela distorsionanalytique qui transformeles résonan es envaleurspropres.

Supposonspar l'absurdeque

∆ + V

aune résonan e

z0

dans

D

+_{\ Res(∆)}

.En utilisant ladistorsionanalytique on traduit elapar :

z0

est une valeur propre de

P_θV

pour

arg z0

< 2θ

≤ 2θ0

.Soit

Ω

⊂ {z ∈ C ; arg z < 2θ} \ Res(∆)

un ouvert, de bord

Γ

régulier, ontenant

z0

(l'indi e de

z0

par rapport à

Γ

est égal à

1

) et tel que

Ω∩ Res(∆ + V ) = {z0}

. Le but va être de montrer qu'il existe

χ

une fon tion detron ature,invariantesousl'a tion de

S

1

,et

M

telsque

P

χSM

θ

aitune

valeurpropredans

Ω

.Eneet

∆ + χSM

aurait alorsune résonan edans

Ω

e qui ontrediraitlerésultat de lapartie pré édente.

On a supposé dans les hypothèses du théorème 7 que, pour tout

M

,

SM

se prolongeanalytiquementsur

U×W

,ainsique

V

.Onpeutdon restreindre esdeux prolongementsà

Xθ

etdésormaistravaillersur

Xθ

.Or

V

∈ xL

∞_(X)

,don

V

tend vers

0

quand on s'appro he de

∂Xθ

.Don il existe

χ∈ C

∞

c

(Xθ)

, invariante sous l'a tionde

S

1

,quiseprolongeanalytiquementsur

U×W

,telleque

kχV −V k

L∞_(X

θ)

soit aussi petit que l'on veut. Les hypothèses du théorème 7 permettent aussi de dire que les sommes partielles

SM

tendent vers

V

en norme innie sur

Xθ

. Finalement il existe

χ

ommepré édemment et

M

tels que

kV − χSMkL∞_(X

θ)<

δ2

δ +_2πℓ

où

δ

−1

_{= max}

z∈Γ

k(P

V

θ

− z)−1k

et

ℓ

estlalongueur de

Γ

.Pour la onstantede ette majorationons'estinspiréde late hnique développéepar GohbergetKrejndans [GK71 ℄(théorème 3.1).

Introduisonslesproje teursde

L

2_(X

θ)

asso iésauxespa espropresgénéralisés desdeux opérateurs quel'on ompare :

ΠV

=

1

2πi

Z

Γ

(P_θV

_{− z)}−1dz

ΠχSM

=

1

2πi

Z

Γ

(PχSM

θ

− z)−1dz

On a

(P

χSM

θ

− z)−1

= (PθV

− z)−1

I + (χSM

− V )(PθV

− z)−1

−1

. Or omme

δ2

δ+ℓ

2π

< δ

,pour tout

z∈ Γ

,on estassuréde la onvergen e de

(PχSM

θ

− z)−1

= (PθV

− z)−1

I +

∞

X

j=1

[(V

− χSM)(PθV

− z)−1]j

.

Regardons ladiéren e desdeuxproje teurs:

ΠχSM

− ΠV

=

1

2πi

Z

Γ

(P_θV

_{− z)}−1

∞

X

j=1

[(V

_{− χS}M)(PθV

− z)−1]jdz.

En majorant on obtient

kΠχSM

− ΠV

k≤

ℓ

2π

maxz∈Γ

k(PV

θ

− z)−1k2kV − χSMkL∞_(X

θ)

1− k(PV

θ

− z)−1kkV − χSMkL∞_(X

θ)

,

or

k (P

V

θ

− z)−1

k≤ δ−1

par dénition de

δ

et

k V − χSM

k

L∞_(X

θ)<

δ2

δ+_2πℓ

par hypothèse,don

1− k(P

V

θ

− z)−1kkV − χSMkL∞_(X

θ)> 1−

δ

δ+ℓ

2π

etdon

kΠχSM

− ΠV

k< 1.

Don lesimagesde

ΠV

etde

ΠχS

M

ontlamêmedimension,quin'est pasnulle ar

z0

estune valeurpropre de

P

V

θ

,don

P

χSM

θ

a unevaleurpropre dans

Ω

eton a notre ontradi tion.

4.3.2 Persistan e des résonan es du lapla ien libre

Montrons pour nir que, dans

D

+

₌

_{{z ∈ C ; arg z < 2θ}

0}

, on a

Res(∆)

⊂

Res(∆+V )

.Cettefoisaulieud'utiliserlathéoriedesperturbationsd'Agmonpour seramenerà unproblème spe tral, onvautiliser ladistorsionanalytique.

Soit

z0

∈ D

+

une résonan e de

∆

de multipli ité

m

. Prenons

Ω

⊂ {z ∈

C

_{; arg z < 2θ0}}

un domaine tel que

Ω∩ Res(∆) = {z0}

. Considérons lafamille d'opérateurs

∆ + tV

pour

t

≥ 0

. On note que

tV

vérie en ore les hypothèses du théorème 7 etqu'on peut don lo aliser ses résonan es omme dans lapartie pré édente

Res(∆ + tV )⊂ Res(∆)

etdon :

Res(∆ + tV )∩ Ω ⊂ {z0}.

Introduisonsl'ensemble suivant

E :=_{t0

≥ 0 ; ∀t ∈ [0, t0], Res(∆ + tV )∩ Ω = {z0}

ave la multipli ité

m},

dontonvamontrer par onnexité qu'ilestégalà

[0, +∞[

.Déjàil estnonvide ar

0_{∈ E}

.

Soit

t0

∈ E

, et

θ

tel que

arg z0

< 2θ

≤ 2θ0

et tel que

Ω

⊂ {z ∈ C ; arg z <

2θ_}

.Onsait par distorsion analytique quele spe tre de

P

t0V

θ

dans

Ω

orrespond exa tement auxrésonan es de

∆ + t0V

ave les mêmes multipli ités. Don

Spec(Pt0V

θ

)∩ Ω = {z0}.

Or

t→ P

tV

θ

estunefamille holomorpheau sensdeKato pour

t

dansun voisinage omplexe de

t0

ar

P

tV

valeurs propres sont ontinues pour

t

dans un voisinage de

t0

. Or la lo alisation desrésonan es de

∆ + tV

donne quepour tout

t

Spec(P_θtV)∩ Ω ⊂ {z0},

don ,il existe

ε > 0

,tel quepourtout

t∈]t0− ε, t0+ ε[

,

Spec(P_θtV)_{∩ Ω = {z}0},

ave lamultipli ité

m

.Enngrâ eàladistorsionanalytique,onobtient,quepour tout

t∈]t0− ε, t0+ ε[

Res(∆ + tV )∩ Ω = {z0},

ave lamultipli ité

m

etdon

]t0− ε, t0+ ε[

est in lusdans

E

quidon unouvert. On montre que

E

est aussi fermé en faisant le même raisonnement sur le omplémentaire de

E

dans

[0, +∞[

.

Finalement

E = [0, +∞[

etenprenant

t = 1

onobtient que,dans

Ω

,

Res(∆ +

V ) = Res(∆)

ave lesmêmes multipli ités. En refaisant leraisonnement au voisi- nagede ha unedesrésonan esdulapla ienlibreona

Res(∆ + V ) = Res(∆)

ave lesmêmesmultipli itésdanstout

D

+

equia hèveladémonstrationduthéorème 7.

Diusion par des potentiels

isorésonants sur des variétés

asymptotiquement hyperboliques

Onpeutaussitrouverdanslalittératureunedénitiondesrésonan es omme plesdel'opérateurdediusion.Unequestionnaturelleestdon : ommentl'ajout de nospotentielsisorésonantsmodiel'opérateur dediusion?EnfaitChristian- sensignale dans[Chr06 ℄,[Chr08℄,que lespotentielsisorésonantsqu'elle onstruit sur

R

n

eu lidien préservent laphasede l'opérateur de diusion,la phaseétant le logarithmedudéterminant del'opérateur dediusion.Onva montrerun résultat de e typepour nospotentiels isorésonants onstruits surdesvariétésasymptoti- quement hyperboliques possédant une a tionisométrique de

S

1

.

On en protera pour rappeler, dans e adre, la onstru tion de l'opérateur de diusion. En fait je n'ai pas trouvé les détails de ette onstru tion pour un potentiel

V

omplexedanslalittérature.Onverraqueleste hniquesdeGraham et Zworski [GZ03 ℄ et Joshi et Sà Barreto [JSB00 ℄ s'adaptent sans problème à e adre omme lesignalent Borthwi ketPerry dans[BP02 ℄.

Remarque 8 On peutaussile fairepour despotentiels onstruitssurdes varié- tés asymptotiquement eu lidiennes ommela aténoïde. En eet lathéorie de la diusiondéveloppéeparMelrosedans[Mel94℄s'adapteànospotentiels omplexes.

5.1 Quelques rappels

Rappelons la dénitionde variété asymptotiquement hyperbolique. Soit

X =

X_{∪ ∂X}

une variété ompa te lisse à bord qu'on prendra ex eptionnellement de dimension

n + 1

dans e hapitre et

ρ

unefon tion dénissant sonbordtelle que, surun voisinage ollierdu bord,lamétrique

g

estde laforme

g =

dρ

2_{+ h(ρ)}

ρ2

,

où

ρ

→ h(ρ)

est une famille lisse de métriques sur le bord de

X

.Dans es oor- données, lelapla ien s'é rit

∆ =_−(ρ∂ρ)2+ nρ∂ρ+ ρ2∆h(ρ)−

1

2ρTr(h

−1_(ρ)∂

ρh(ρ))ρ∂ρ,

(5.1)

ave

∆h(a)

le lapla ien sur l'hypersurfa e

{ρ = a}

muni de la métrique

h(a)

. Le terme

Tr(h

−1_(ρ)∂

ρh(ρ))

est latra e de l'opérateur linéaire asso ié au tenseur symétrique

(∂ρh)(ρ)

via

h(ρ)

.

On rappelle que e lapla ien a pour spe tre un spe tre essentiel

[

n2

4

, +∞)

auquel peuts'ajouterunnombrenidevaleurspropres dans

(0,

n2

4

)

. On appelle

C˙

∞_(X)

l'ensemble des fon tions lisses, à valeurs omplexes, sur une ompa ti ation

X

de

X

etdont ledéveloppement de Taylors'annule àtout ordre surlebordde ette ompa ti ation.

Les résultatsde Mazzeo etMelrose[MM87℄ s'adaptent ave un potentiel

V

∈

˙

C∞_(X)

.Don si

V

∈ ˙C

∞_(X)

,

RV(λ) := (∆ + V

− λ(n − λ))

−1

quiestinitialement méromorphe sur

{λ ∈ C; Reλ >

n

2}

à valeursdans

L(L

2_(X))

,admet unprolonge- ment méromorphe nisur

D

N

+

:={λ ∈ C; Reλ >

n2

− N} \ (n2

− N)

à valeursdans

L(ρN_L2_{(X), ρ}−N_L2_(X))

et e pour tout

N

.Grâ eà [Gui05a ℄on peutajouter les points

n

2

− N

à

D

+

N

si la métrique est paire. On notera

ReV

e prolongement et omme auparavant

Res(∆ + V )

l'ensemble desrésonan es 'est-à-dire l'ensemble de sesples.Deplus ona ( f[MM87℄et[Gui05a ℄) :

Proposition 12 Pour tout

λ

∈ D

+

N

\ Res(∆ + V )

,

ReV(λ)

est un opérateur ontinu de

C˙

∞_(X)

dans

ρ

λ_C∞_(X)

.

Remarque 9 Cette proposition, les résultats de prolongement qui la pré édent ainsiquetoutesles onstru tionsquisuiventsonten orevalablespourunpotentiel

V

appartenant à

ρC

∞_(X)

. On prend

V

dans

˙

C∞(X)

pour pouvoir appliquer le théorème d'isorésonan e4 sur

C

enentier ( flafutureremarque 13).

Dans le document Potentiels isorésonants et symétries (Page 69-75)