Appli ations

Ils'agiti idevoirque ettethéoriedesperturbationsdesrésonan ess'applique bien au adrede ma thèse ex eptéle asde la aténoïdeoù on ne s'estpas servi desrésultatsd'Agmon.

On onsidère une variété riemannienne

(X, g)

onnexe, non ompa te, de di- mension

n

≥ 2

. Sur

X

, on s'intéresse au lapla ien

∆

opérant sur

B := L

2_(X)

ave pour domaine

H

2_(X)

. Ave

ρ

une fon tion dénissant le bord de

X

(ou

ρ(z) = e−hzi

X

estl'espa e eu lidien) et

N

∈ N

,on prend

B0

:= ρNL2(X)

B1

:= ρ

−N_L2_(X).

Munidesnormeshéritéesde

L

2_(X)

, 'est-à-dire,pour

u∈ B0

kukB

0=kρ

−N_u_k

L2_(X)

et, pour

v∈ B1

kv kB

1=kρ

N_v_k

L2_(X)

, e sont desespa esde Bana h réexifstels que

B0

J0

֒→ L2(X)֒→ BJ

1,

où

J0

J

sont des inje tions ontinues et

J0(B0)

est dense dans

L

2_(X)

J(L2(X))

estdensedans

B1

La résolvante du lapla ien libre

Re0(λ) = J(∆− f(λ))

−1_J

0

est apriori dénie etholomorphe sur undomaine nonborné

D

Σ

.Alorsl'hypothèse

AN,ρ

assure que

Re0

a un prolongement méromorphe-ni sur un domaine

D

+

N

à valeurs dans

L(B0, B1)

.C'est exa tement l'hypothèse

(α)

On dénitensuitel'opérateur

P1

de domaine

JH

2_(X)_{⊂ B}

1

par

P1(Ju) = J∆u,

∀u ∈ H2(X).

Pouravoirl'hypothèse

(β)

ilfaut vérierque

P1

estfermable.Or

H

2_(X)

estdense dans

B = L

2_(X)

quilui-mêmeestdensedans

B1

don ledomaine de

P1

estdense dans

B1

etdon sonadjoint

P

∗

1

existe. Pour montrer que

P1

est fermableil sut de montrer queledomaine de

P

∗

1

est densedans

B

∗

1

.Or ona

Dom (P1∗) ={u ∈ B1∗∩ Dom (∆∗) ; ∆∗u∈ B1∗}

=_{{u ∈ B}₁∗_{∩ H}2(X) ; ∆u_{∈ B}₁∗_}

Deplus, on peutvoir qu'à toutélément de

B0

onpeutasso ier,grâ eau produit s alaire

L

2_(X)

,uneformelinéaire ontinuesur

B1

etdon ona

B0

⊂ B

∗

1

.Don on a

{u ∈ B0∩ H

2_{(X) ; ∆u}_{∈ B}

0} ⊂ Dom (P1∗)

.Ensuite on peutdire pour on lure que

C

∞

0 (X)

est in lusdans

{u ∈ B0∩ H

2_{(X) ; ∆u}_{∈ B}

0}

et densedans

B

∗

1

ar il est dense dans

B

etque

B

∗

1 ⊂ B∗

= B

.Don ledomaine de

P

∗

1

est bien dense dans

B

∗

1 P1

estbienfermable. On note

P1

safermeture.

Il s'agitmaintenant de vérierl'hypothèse

(γ)

'est-à-direqu'il existe

λ0

∈ D

tel que

P1

− f(λ0)

soit inversible. Vu la dénition de

B1

P1

, ela revient à montrer qu'il existe

λ0

∈ D

tel que

ρ

N_∆ρ−N_{− f(λ}

0)

est inversible dans

L

2_(X)

. Or

etpour tout

λ∈ D

∆− f(λ)

est inversible don

ρN∆ρ−N

_{− f(λ) = 1 + ρ}N[∆, ρ−N]R0(λ)(∆− f(λ)).

Deplus lanorme de

R0(λ)

tendvers

0

quand

| λ |

tendvers

+∞

etdanstous les exemplesdevariétéssurlesquellesje onstruismespotentielsisorésonants

[∆, ρ

−N_]

est de la forme

ρ

−N_Q

ave

Q

un opérateur diérentiel d'ordre

1

à oe ients réguliers et don ontinu de

H

2_(X)

dans

L

2_(X)

. Par exemple, pour

X = H

n

on a

Q = 2N ρ∂ρ− N

2 _{− (n − 1)N}

. Don il existe

λ0

∈ D

tel que la norme de

ρN[∆, ρ−N]R0(λ0)

soitstri tementplus petite que

1

etdon

ρ

N_∆ρ−N_{− f(λ}

0)

est inversible.

Enn il ne reste plus qu'à vérier qu'on peut appliquer la théorie des per- turbations des résonan es d'Agmon en perturbant le lapla ien par nospotentiels isorésonants

V

qui,onlerappelle,vérientl'hypothèse

BN,ρ

,etnotamment

ρ

−2N_V

estbornésur

X

.Vérionsdon quelafamille

tV, t

∈ C

satisfaitleshypothèses

(δ)

. Pourtout

t∈ C

etpourtout

u∈ L

2_(X)

,ona

tV u = ρ

N_ρ−N_{tV u}_{∈ B}

0= ρNL2(X)

ρ

−2N_V

estborné. Ensuite, si

u∈ H

2_(X)

,alors pourtout

t∈ C

ktV ukB0

=kρ

−N_{tV u}_k

L2_(X)=kρ−2NtV ρNuk_L2_(X)

≤ C(V ) |t| kρNukL2_(X)= C(V )|t| kuk_B₁

.

Enn

t

→ tV

est bien sûr holomorphe sur

C

. Ona don bien les trois points de l'hypothèse

(δ)

[Agm98℄ Shmuel Agmon : A perturbation theory of resonan es. Comm. Pure Appl.Math., 51(11-12):12551309, 1998.

[AS64℄ Milton AbramowitzetIreneA.Stegun: Handbook of mathemati al fun tions with formulas, graphs, and mathemati al tables, volume 55 de NationalBureau of Standards Applied Mathemati s Series. For sale bytheSuperintendent ofDo uments,U.S.Government Printing O e, Washington, D.C.,1964.

[BGM71℄ Mar el Berger, Paul Gaudu hon et Edmond Mazet : Le spe tre d'une variété riemannienne. Le ture Notes in Mathemati s, Vol. 194. Springer-Verlag, Berlin,1971.

[BP02℄ David Borthwi k et Peter Perry : S attering poles for asymptoti- allyhyperboli manifolds. Trans.Amer.Math.So .,354(3):12151231 (ele troni ),2002.

[CdV79℄ Yves Colin de Verdière : Spe tre onjoint d'opérateurs pseudo- diérentiels qui ommutent. I. Le as non intégrable. Duke Math. J., 46(1):169182,1979.

[Chr06℄ TanyaChristiansen: S hrödingeroperatorswith omplex-valuedpo- tentialsand noresonan es. DukeMath.J., 133(2):313323,2006. [Chr08℄ TanyaChristiansen: Isophasal,isopolar,andisospe tralS hrödinger

operatorsandelementary omplexanalysis. Amer.J.Math.,130(1):49 58,2008.

[FH91℄ William Fulton et Joe Harris : Representation theory, volume 129 de Graduate Texts in Mathemati s. Springer-Verlag, New York, 1991. Arst ourse,Readings inMathemati s.

[Gas80℄ M.G.Gasymov:Spe tralanalysisofa lassofse ond-ordernonselfad- jointdierentialoperators. Funktsional.Anal.iPrilozhen.,14(1):1419, 96,1980.

[GK71℄ I. C. Gohberg et M. G. Krejn : Introdu tion à la théorie des opé- rateurs linéaires non auto-adjoints dans un espa e hilbertien. Dunod, Paris, 1971. Traduit du russe par Guy Roos, Monographies Universi- tairesde Mathématiques,No.39.

[GU83℄ Vi torGuilleminetAlejandroUribe:Spe tralpropertiesofa ertain lassof omplex potentials. Trans. Amer. Math.So ., 279(2):759771, 1983.

[Gui04℄ C. Guillarmou : Résonan es sur les variétés asymptotiquement hy- perboliques. Thèse,Universitéde Nantes,http://tel. sd. nrs.fr,2004. [Gui05a℄ Colin Guillarmou : Meromorphi properties of the resolvent on asymptoti allyhyperboli manifolds. DukeMath.J.,129(1):137, 2005. [Gui05b℄ ColinGuillarmou:Resonan esands atteringpolesonasymptoti ally

hyperboli manifolds. Math. Res. Lett.,12(1):103119, 2005.

[GZ95a℄ Laurent Guillopé et Ma iej Zworski : Polynomial bounds on the number of resonan es for some omplete spa es of onstant negative urvature nearinnity. Asymptoti Anal.,11(1):122, 1995.

[GZ95b℄ Laurent Guillopé et Ma iej Zworski : Upper bounds on the number of resonan es for non- ompa t Riemann surfa es. J. Fun t. Anal., 129(2):364389,1995.

[GZ03℄ C.RobinGrahametMa iejZworski:S atteringmatrixin onformal geometry. Invent.Math., 152(1):89118,2003.

[JSB00℄ MarkS.JoshietAntnioSáBarreto: Inverses attering onasymp- toti ally hyperboli manifolds. A ta Math., 184(1):4186, 2000.

[Kat66℄ TosioKato:Perturbationtheory forlinear operators. DieGrundlehren der mathematis hen Wissens haften, Band 132. Springer-Verlag New York,In .,New York,1966.

[Mel93℄ Ri hard B. Melrose : The Atiyah-Patodi-Singer index theorem, volume 4de Resear h Notesin Mathemati s. A KPeters Ltd., Wellesley, MA,1993.

[Mel94℄ Ri hardB.Melrose:Spe tralands atteringtheoryfortheLapla ian on asymptoti ally Eu lidian spa es. In Spe tral and s attering theory (Sanda, 1992), volume 161 de Le ture Notes in Pure and Appl. Math., pages85130. Dekker, NewYork,1994.

[Mel95℄ Ri hardB. Melrose: Geometri s atteringtheory. StanfordLe tures. CambridgeUniversityPress,Cambridge,1995.

[MM87℄ Rafe R.Mazzeo etRi hard B. Melrose : Meromorphi extension of theresolventon ompletespa eswithasymptoti ally onstantnegative urvature. J.Fun t. Anal.,75(2):260310, 1987.

[RS80℄ Mi haelReedetBarrySimon: Methods of modernmathemati al phy- si s. I. A ademi Press In . [Har ourt Bra e Jovanovi h Publishers℄, NewYork,se ond édition, 1980. Fun tionalanalysis.

[SB99℄ AntnioSá Barreto: Lower boundsfor thenumberofresonan esin even-dimensional potential s attering. J.Fun t. Anal., 169(1):314323, 1999.

[SBZ95℄ AntnioSá BarretoetMa iejZworski : Existen eofresonan esin threedimensions. Comm.Math. Phys.,173(2):401415, 1995.

[Ser71℄ Jean-Pierre Serre : Représentations linéaires des groupes nis. Her- mann,Paris,1971. Deuxièmeédition, refondue.

[Sim96℄ BarrySimon: Representations ofniteand ompa t groups,volume 10 de Graduate Studies in Mathemati s. Ameri an Mathemati al So iety, Providen e, RI,1996.

[Str72℄ Robert S. Stri hartz : A fun tional al ulus for ellipti pseudo- dierential operators. Amer. J.Math.,94:711722, 1972.

[WZ00℄ Jared Wuns h et Ma iej Zworski : Distribution of resonan es for asymptoti ally Eu lidean manifolds. J. Dierential Geom., 55(1):43 82,2000.

[Yaf92℄ Dimitri R. Yafaev : Mathemati al s attering theory, volume 105 de Translationsof Mathemati al Monographs. Ameri anMathemati alSo- iety,Providen e,RI,1992.Generaltheory,TranslatedfromtheRussian byJ. R.S hulenberger.

suppose que la variété possède ertaines symétries omme

S

(S

)

ou en ore

SO(n)

.Ave ettehypothèse,on onstruitdespotentiels

V

ditsisorésonants 'est- à-diretelsque

∆+V

aitlesmêmesrésonan esquelelapla ienlibreave lesmêmes multipli ités. Au passage on est amené à estimer le bas du spe tre du lapla ien agissant surles fon tions

S

1

homogènesàsupport ompa t.Onmontreégalement que es potentiels isorésonants peuvent modier l'ordredes résonan es.Enn, les résonan essontparfoisdénies ommeplesdel'opérateurdediusion:onmontre quedans e adre ona aussil'isorésonan ede nospotentiels.

Mots lés :lapla ien, résonan es,symétries,perturbation,diusion.

Summary : In this PhD thesiswe onsiderthe nite meromorphi ontinuation oftheresolventofthefreeLapla ianon ompletemanifoldswithdimension

n≥ 2

. Thepolesofthis ontinuationare alledresonan es.Weassumethatthemanifold hassome symmetries like

S

1 (S

1₎m

SO(n)

. Withthis ondition, we onstru t potentials

V

whi hareisoresonant i.e.su h that

∆ + V

hasthesame resonan es as the free Lapla ian with the same multipli ities. During this onstru tion we had to nd an estimate of the rst term of thespe trum of theLapla ian a ting on

S

1

homogeneous fun tions with ompa t support. We also show that these isoresonantpotentials an hange theorder oftheresonan es.Finally,sometimes, resonan es are dened as the poles of the s attering operator : we prove that in this framework we alsohave theisoresonan eof our potentials.

Dans le document Potentiels isorésonants et symétries (Page 88-93)

(X, g)

n

≥ 2

X

∆

B := L

2(X)

H

2(X)

ρ

X

ρ(z) = e−hzi

X

N

∈ N

B0

:= ρNL2(X)

B1

:= ρ

−NL2(X).

L

2(X)

u∈ B0

kukB

0=kρ

−Nuk

L2(X)

v∈ B1

kv kB

1=kρ

Nvk

L2(X)

B0

J0

֒→ L2(X)֒→ BJ

1,

J0

J

J0(B0)

L

2(X)

J(L2(X))

B1

Re0(λ) = J(∆− f(λ))

−1J

0

D

Σ

AN,ρ

Re0

D

+

N

L(B0, B1)

(α)

P1

JH

2(X)⊂ B

1

P1(Ju) = J∆u,

∀u ∈ H2(X).

(β)

P1

H

2(X)

B = L

2(X)

B1

P1

B1

P

∗

1

P1

P

∗

1

B

∗

2_(X)

2_(X)

−N_L2_(X).

2_(X)

−N_u_k

L2_(X)

N_v_k

L2_(X)

2_(X)

−1_J

2_(X)_{⊂ B}

2_(X)

2_(X)

=_{{u ∈ B}₁∗_{∩ H}2(X) ; ∆u_{∈ B}₁∗_}

2_(X)

2_{(X) ; ∆u}_{∈ B}

2_{(X) ; ∆u}_{∈ B}

N_∆ρ−N_{− f(λ}

2_(X)

_{− f(λ) = 1 + ρ}N[∆, ρ−N]R0(λ)(∆− f(λ)).

−N_]

−N_Q

2_(X)

2_(X)