Distorsion analytique

4.2.1 Distorsion analytique

Onvareprendrela onstru tionfaiteparWuns hetZworskidans[WZ00 ℄pour lelapla ien libre. On va en rappeler les étapes lés pour montrer qu'elles'adapte à l'ajout d'un potentiel vériant les hypothèses du théorème 7 et aussi ar ette onstru tion nousservirapour montrer l'isorésonan e.

On ommen epar onstruire unefamille

(Xθ)0≤θ≤θ

0

desous-variétésde

C× C

ave

θ0

donnédansl'énon éduthéorème7.Onles onstruitdefaçonqu'ellessoient

totalement réelles, 'est-à-dire que, pour tout

p

∈ Xθ

, on a

TpXθ

∩ iTpXθ

={0}

etde dimension maximale.Onpro èdede lamanièresuivante.

Soient

ǫ > 0

(t0, t1)∈]0, 1[

2

ave

t0< t1

,ilexiste alorsunedéformationlisse de

[0, 1)

dans

U

qu'onnotera

γθ(t), t∈ [0, 1)

satisfaisantles propriétés suivantes:

γθ(t) = teiθ

pour

0≤ t < t0

γθ(t)≡ t

pour

t > t1

arg γθ(t)≥ 0

(4.1)

0≤ arg γθ(t)− arg γθ′(t)≤ ǫ

0≤ 2 arg γθ(t)− arg γθ′(t)≤ θ + ǫ.

U

1 t1

t0

0 θ

_{Reζ = x}

Imζ

Fig. 4.1 Le ontour

γθ

. On posealors

Xθ= (γθ× ∂∞X)∪ (X ∩ {x ≥ 1})

Sur un voisinage du bord de

X

, lamétrique

g

est de la forme

dx2

x4

+_xh2

ave

h = (1 + a2x2)dα2

qui se prolonge holomorphiquement sur

U

× W

.Don grâ e aux hypothèsesfaites sur

V

, les oe ients de

P

V

_{:= ∆ + V}

qui est a priori un opérateursur

X

,seprolongentholomorphiquement sur

U×W

.Onnote

Pe

V

l'opé- rateurdiérentielobtenupar eprolongement.Comme

Xθ

esttotalement réelleet de dimension maximale, on peut dénir sans ambiguïté ( f [SBZ95 ℄) l'opérateur diérentiel

P

V

θ

par

∀u ∈ C∞(Xθ), PθVu = ( ePVu)e

|Xθ

où

eu

estunprolongement presqueanalytique de

u

'est-à-dire

e

u_{∈ C}∞(U

_{× W ), e}u_|X_θ

_{= u, ∂e}u_|X_θ

=_{O(d(., X}θ)N),

pour tout

N .

Lemme 14 Si

V

∈ xL

∞_(X)

vérieleshypothèsesduthéorème7,alors,pourtout

z_{∈ C \ e}2iθ_R+

P

V

θ

− z : H2(Xθ)→ L2(Xθ)

estunopérateurdeFredholmd'indi e

0

Preuve : Pour montrer que, pour

z

∈ C \ e

2iθ_R+

P

V

θ

− z

est un opérateur de Fredholm, on peut reprendre exa tement les arguments que Wuns h et Zworski

([WZ00 ℄)utilisent pourlelapla ienlibre.Sionnote

∆θ

larestri tionà

Xθ

dupro- longement dulapla ien,ils remarquent quesonsymboleprin ipalne s'annulepas. Enfait,grâ eaux onditions(4.1),pour

t < t0

esymboleprin ipalestlesymbole prin ipal du lapla ien sur

X

multiplié par

e

2iθ

.De plus, pour

z

∈ C \ e

2iθ_R+

,le symbole normal de

∆θ− z

, qui est la restri tion du symbole de

∆θ− z

au bord

∂Xθ

= ∂X

(voir [Mel94 ℄ pour une dénition générale), ne s'annule pas non plus. Le al ul pseudodiérentiel développé par Melrose dans [Mel94 ℄ et rappelé dans l'appendi e A de [WZ00℄, permet alors d'inverser

∆θ− z

modulodes opérateurs ompa ts. Cela prouve que, pour

z

∈ C \ e

2iθ_R+

∆θ

− z

est un opérateur de Fredholm.

I i la seule diéren e est l'ajout du potentiel

V

. Il ne hange pasle symbole prin ipal et omme il s'annule sur le bord de

Xθ

il ne hange pas non plus le symbolenormal.Onobtientdon delamêmefaçonque,pour tout

z∈ C \ e

2iθ_R+

P_θV

_{− z}

estunopérateur de Fredholm.

Pour le al ulde l'indi e, on peutremarquerque l'indi e de

P

V

θ

− z

est lo a- lement onstant sur

{(θ, z); 0 ≤ θ ≤ θ0, z∈ C \ e

2iθ_R+_}

.Oril existe

z0∈ C \ {0 ≤

arg z

≤ 2θ}

telque

P

V

_{− z}

0

soit inversible. On ommen e par xer

θ

et on passe de

z

z0

en suivant un hemin ontinu quiévite

{arg z = 2θ}

puison passe de

θ

0

pour obtenir lerésultat.C'est-à-dire

ind(P_θV

_{− z) = ind(P}_θV

_{− z}0) = ind(PV

− z0) = 0.

On endéduit par appli ation de lathéoriedesopérateursde Fredholm, Corollaire 1 Pourtout

0≤ θ ≤ θ0

P

V

θ

aunspe tredis retdans

C\e

2iθ_R+

et deplus,

z∈ C\e

2iθ_R+

estdanslespe trede

P

V

θ

sietseulementsi

ker(P

V

θ

−z) 6= 0

Puis, on obtient le lemme suivant dont la démonstration est exa tement la même que elle, sanspotentiel, de Wuns h etZworski([WZ00 ℄).

Lemme 15 Si

0 ≤ θ2

< θ1

< θ0

et si

z

∈ C \

S

θ2≤θ≤θ1

e2iθR+

, alors, pour tout

k∈ N

dim ker(P_θV₁

_{− z)}k= dim ker(P_θV₂

_{− z)}k.

On en déduit que pour

θ

tel que

0 ≤ θ2

≤ θ ≤ θ0

, le spe tre de

P

V

θ

dans

{0 ≤ arg z < 2θ2}

ainsiquesamultipli ité,ne dépendent pasde

θ

.Onaaussique e spe tre nedépend pasdu

γθ

hoisivériant (4.1).

4.2.2 Prolongement de la résolvante

Montrons que la résolvante

RV(z) := (∆ + V

− z)

−1

se prolonge méromor- phiquement de

{z ∈ C ; Imz < 0}

{z ∈ C ; arg z < 2θ0}

à valeurs dans les opérateursde

L

2 c(X)

dans

H

2 loc(X)

Soit

z

tel que

arg z < 2θ0

et tel que

z

ne soit pas une valeur propre de

P

V

θ0

. Prenons

f

∈ L

2

peut hoisir

γθ

0

etplusparti ulièrementle

t1

quiledénitdetellefaçonque,surle supportde

f

Xθ

0

oïn ideave

X

.Alors

f

∈ L

2_(X

θ0)

etilexiste don ununique

uθ0

∈ H2(Xθ0)

solution de

(P_θV₀

− z)uθ0

= f.

On va utiliserlelemme suivant dont lapreuve estdonnée dans[SBZ95 ℄, Lemme 16 Soit un ouvert

Ω⊂ C

n

, un ompa t

K

⊂ Ω

et une famille ontinue

Xt, t∈ [0, 1]

desous-variétéstotalement réellesde

Ω

dedimension maximaletelles que

Xt∩ (Ω \ K) = Xt′

∩ (Ω \ K)

pour tous

t, t

′

_{∈ [0, 1]}

. Soit

Pe

un opérateur diérentielave des oe ientsholomorphes dans

Ω

telque

PX

t

(larestri tion de

e

P

sur

Xt

)soit elliptique pour tout

t∈ [0, 1]

.Si

u

estune distributionsur

X0

et si

PX0u

seprolonge enunefon tion holomorphesurunvoisinage de

S

t∈[0,1]

Xt

alors il

en estde même pour

u

Appliquons e lemmeà notresituation.

f

seprolonge holomorphiquement sur

S

θ∈[0,θ0]

Xθ

, ar les déformations interviennent en dehors de son support. Comme

P_θV

_{− z}

resteelliptiquepourtout

θ∈ [0, θ0]

,enappliquantlelemme16,onobtient un prolongement holomorphe de

uθ

0

sur

S

θ∈[0,θ0]

Xθ

.Onnote

G

e prolongement.

On dénitalors leprolongement de larésolvantepar

e

RV(z)f = G|X0

∈ H

2_(X).

Étudions maintenant equisepasseprèsd'unevaleurpropre

z0

P

V

θ0

;

z0

qui est aussivaleurpropre de

P

V

θ

pour

arg z0

< 2θ

≤ 2θ0

.Pour

z

prèsde

z0

θ

tels que

arg z < 2θ

on aledéveloppement de Laurent suivant

(P_θV

− z)−1=

M (z_X0)

j=1

Aθ

j(z0)

(z_{− z}0)j

+ Hθ(z, z0),

où les

A

θ

j(z0)

sont des opérateurs de rang ni et

Hθ(z, z0)

est holomorphe en

z

prèsde

z0

A

θ

1(z0)

estlaproje tionsurlenoyaude

(P

V

θ

− z0)M (z0)

.Ave lelemme 16, son noyau de S hwartz ainsi que eux des

A

θ

j(z0) = (PθV

− z0)j−1Aθ1(z0)

se prolongent holomorphiquement sur

S

θ′_∈[0,θ]

Xθ′

. Ce qui montre que la résolvante

prolongée admet au voisinage de ses ples un développement de Laurent de la même forme.

En on lusion, les résonan es, qui sont dénies omme les ples du prolongement de la résolvante, sont aussi ara térisées par :

z0

∈ {arg z < 2θ0}

est une résonan e de

∆X

+ V

si et seulement si

z0

est dans le spe tre d'un

P

V

θ

ave

arg z0

< 2θ

≤ 2θ0

. Sa multipli ité est donnée, en reprenant les notations pré édentes pour le développement de Laurent de

(P

V

θ

− z)−1

, par le rang de

Aθ

1(z0) =_2πi1

R_C(z₀_,ǫ)(P_θV

− z)−1dz

etsonordrepar

M (z0)

Il dé oule du lemme 15 que les résonan es, leur multipli ité et leur ordre ne dépendent pasdu

θ

hoisi.

Dans le document Potentiels isorésonants et symétries (Page 65-69)

(Xθ)0≤θ≤θ

0

C× C

θ0

p

∈ Xθ

TpXθ

∩ iTpXθ

={0}

ǫ > 0

(t0, t1)∈]0, 1[

2

t0< t1

[0, 1)

U

γθ(t), t∈ [0, 1)

γθ(t) = teiθ

0≤ t < t0

γθ(t)≡ t

t > t1

arg γθ(t)≥ 0

0≤ arg γθ(t)− arg γθ′(t)≤ ǫ

0≤ 2 arg γθ(t)− arg γθ′(t)≤ θ + ǫ.

U

1

t1

t0

0

θ

Reζ = x

Imζ

γθ

Xθ= (γθ× ∂∞X)∪ (X ∩ {x ≥ 1})

X

g

dx2

x4

+xh2

h = (1 + a2x2)dα2

U

× W

V

P

V

:= ∆ + V

X

U×W

Pe

V

Xθ

P

V

θ

∀u ∈ C∞(Xθ), PθVu = ( ePVu)e

|Xθ

eu

u

e

u∈ C∞(U

× W ), eu|Xθ

= u, ∂eu|Xθ

=O(d(., Xθ)N),

N .

V

∈ xL

∞(X)

z∈ C \ e2iθR+

P

V

θ

− z : H2(Xθ)→ L2(Xθ)

0

z

∈ C \ e

2iθR+

P

V

θ

− z

_{Reζ = x}

+_xh2

_{:= ∆ + V}

u_{∈ C}∞(U

_{× W ), e}u_|X_θ

_{= u, ∂e}u_|X_θ

=_{O(d(., X}θ)N),

∞_(X)

z_{∈ C \ e}2iθ_R+

2iθ_R+

2iθ_R+

2iθ_R+

2iθ_R+

P_θV

_{− z}

2iθ_R+_}

_{− z}

ind(P_θV

_{− z) = ind(P}_θV

_{− z}0) = ind(PV

2iθ_R+

2iθ_R+