Soient les deux suites(un)n et(vn)n dé…nies par: un

ISAE Analyse TD3 J.SAAB

1. Démontrer que les suites suivantes sont convergentes a)(_n3+n+1ⁿ )n 1 b)(_n3ⁿn³ 1)n 1 c)(p

n+ 1 p

n)n 1 d)(¹_nsin_n¹)n 1

2. Démontrer que les suites suivantes sont divergentes

a)(sin(₂n) 2)n 0 b)(_2+sinⁿ⁺⁷_n)n 0 c)(n+ cosn)n 0

3. Evaluer les limites suivantes:

a) lim

n!1

1 + 2ⁿ

1 + 3ⁿ b) lim

n!1( 1

pn²+ 1 + 1

pn²+ 2 + + 1 pn²+n c) lim

n!1(n(1 (1 1

n)¹³)) d) lim

n!1(1 + 2 + +n n+ 2

n 2)

4. Soient les deux suites(un)n et(vn)n dé…nies par:

un = ( 1)ⁿn+ 1

n+ 2 et vn= ( 1)^{n 1} n n+ 2 a) Montrer que(un)et(vn)divergent

b) Que peut-on dire de la suite(un+vn)n?

5. Vérifer la monotonie de chacune des suites suivantes:

a)un=n (cos 1 + cos¹₂+ + cos_n¹) b)un=_n¹ +_n+1¹ + +_2n¹

c)un= nⁿ n!

6. Considérons la suite(u_n)_n donnée par:

0< u₀<1 et u_n+1=u_n u²_n Démontrer que(u_n)_n converge vers0

7. Considérons la suite(un)n donnée par

u0= 2 et 2unun+1=u²_n+ 2

a) Etudier les signes deun+1

p2 et de un+1 un

b) Déduire que(un)n est convergente. Trouver sa limite 8. Soitf la fonction dé…nie sur[ 1;+1[par : f(x) =

r1 +x 2 (a) Etudier les variations def

(b) Soit (un)la suite dé…nie par

u0 = ¹₂ un+1 = f(un) 1. Démontrer que pour toutn2Non a0< uu< un+1<1 2. En déduire que la suite est convergente

1

3. Démontrer que pour toutn2N, on a

jun+1 1j<1

2jun 1j 4. En déduire que pour toutn2N;on a

jun 1j<(1

2)ⁿju0 1j En déduire la limite de(un)

9. Considérons la suite(un)n dé…nie par

u0>2 et un+1= 2u_n 2 +un

+ 1

a) Démontrer queun 0; 8n2IN b) Démontrer que(un)est bornée par2

c) Démontrer que(un)est convergente et trouver sa limite d) Soit(v_n)une suite dé…nie par

v_n= u_n 2

un+ 1; n 0 i) Démontrer que(vn)est une suite géométrique et trouver sa raison ii) Etudier la nature de(v_n)et retrouver le résultat de la3^ieme question 10. On donne k2IR₊ et on considère la suite (u_n)dé…nie par

u1>0et un+1=p

k+un; n2IN

Soit la racine positive dex² x k= 0et soit(vn)n>0la suite dé…nie parvn=un

a) Montrer que >1

b) Etablir l’inégalitéjv_n+1j< ¹jv_nj c) En déduire lim

n!1v_n et la nature de la suite(u_n) 11. Considérons la suite(u_n)dé…nie par

u0=p

2 et un+1= q

2 +pun; n2IN a) Montrer queun<2

b) Montrer que(un)est convergente

12. Soienta; b2IR+:On dé…nit les deux suites(an)et (bn)par a₀=a; b₀=b et 8n 0 a_n+1=a_n+b_n

2 ; b_n+1=p a_nb_n

Montrer que les deux suites(a_n)et(b_n)sont adjacentes

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