Travaux dirigés
PC
∗Algèbre linéaire
Exercice 1 Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie, et F1, . . . , Fn des sous-espaces vectoriels de E tels que
F1+ F2+ · · · + Fn = E. Montrer qu’il existe des sous-espaces vectoriels Gk ⊂Fk (1 6 k 6 n) tel que G1⊕G2⊕ · · · ⊕Gn = E
(procéder par récurrence en commençant par traiter le cas n = 2).
Exercice 2 Soit E un espace vectoriel, et H1, . . . , Hndes sous-espaces vectoriels de E tels que E = H1⊕H2⊕ · · · ⊕Hn. Pour
tout k ∈ ~1, n on pose Hk=
n
u ∈ L(E)
Im u⊂Hk o
. Montrer que H1⊕ H2· · · ⊕ Hn= L(E). On commencera par traiter le cas
n = 2.
Exercice 3 Soit E un K-espace vectoriel et p et q deux projections vectorielles sur un même sous-espace H. Montrer que quel que soit λ ∈ K, u = λp + (1 − λ)q est une projection vectorielle sur H.
Exercice 4 Soit E un espace vectoriel, (x1, . . . , xn) une famille libre de vecteurs de E, et α1, . . . , αndes scalaires. On pose
y = n X i=1 αixi et x 0
i= xi+ y (1 6 i 6 n). Étudier à quelle condition la famille (x
0 1, . . . , x
0
n) est libre.
Exercice 5 Soit E un espace vectoriel, et u ∈ L(E) un endomorphisme tel que pour tout x ∈ E, la famillex, u(x)est liée. Montrer que u est une homothétie vectorielle.
Exercice 6 Soit M ∈ Mn(R) une matrice non nulle vérifiant tr M = 0.
a) Montrer qu’il existe X1∈ Rntel que MX1ne soit pas colinéaire à X1(utiliser l’exercice précédent).
b) En déduire que M est semblable à une matrice de la forme
N = 0 × · · · × 1 .. . M1 0 où M1∈ Mn−1(R) vérifie tr M1= 0.
c) Montrer alors que M est semblable à une matrice à diagonale nulle.
Exercice 7 Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimensions finies, et u, v ∈ L(E, F). Montrer que dim Ker(u + v) 6 dim(Ker u ∩ Ker v) + dim(Im u ∩ Im v).
Indication. Considérer la restriction w de u à Ker(u + v).
Exercice 8 Quelles sont les droites vectorielles stables par un projecteur ? En déduire que si E est un espace vectoriel de dimension finie impaire et p et q deux projections vectorielles alors il existe une droite vectorielle stable à la fois par p et par q.
Exercice 9 Soit A ∈ GLr(R) et M = AC DB
!
∈ Mn(R) avec B ∈ Mr,n−r(R), C ∈ Mn−r,r(R) et D ∈ Mn−r(R). a) Montrer que rg(M) > r.
b) Montrer que rg M = r si et seulement si D = CA−1B.
