Travaux dirigés
PC
∗Intégrales dépendant d’un
paramètre
Exercice 1 Soit h : [0, 1] → C est une fonction continue. Montrer que lim x→0+ Z1 0 xh(t) dt x2+ t2 = π 2h(0).
Exercice 2 Montrer que la fonction g : x 7→ Z+∞
0
e−xtarctan t dt est définie et continue sur ]0, +∞[ puis en donner un équivalent en 0 et en +∞.
Exercice 3 Montrer que la fonction g : x 7→ Z+∞
0
e−t2cos(tx) dt est de classeC1sur R, et calculer sa dérivée. En déduire une expression de g sans symbole intégral (on admettra que g(0) =
√ π 2 ). Exercice 4 On considère la fonction g : x 7→
Z+∞
0
e−tx
1 + t2dt. Montrer qu’elle est définie et continue sur l’intervalle [0, +∞[, puis qu’elle est de classeC2sur ]0, +∞[. Donner une équation différentielle du second ordre vérifiée par g sur ]0,+∞[.
Exercice 5 Montrer que la fonction g : x 7→ 1 π
Zπ
0
cos(x sin t) dt vérifie l’équation différentielle : xy00
+ y0+ xy = 0. Développer g(x) en série entière au voisinage de 0, en précisant le rayon de convergence.
Exercice 6 Soit f : R → R une fonction de classeC∞, et g : R → R définie par g(x) =f (x) − f (0)
x si x , 0 et g(0) = f
0 (0). Montrer que pour tout x ∈ R, g(x) =
Z1
0
f0(tx) dt, et en déduire que g est de classeC∞sur R.
Exercice 7 On pose pour x > 0 : f (x) = Z+∞
0
ln(x2+ t2)
1 + t2 dt. Montrer que f est de classeC
1puis calculer explicitement
f0(x) pour en déduire f (x).
Exercice 8 On considère la fonction g : x 7→ Z π2
0
ln(x2+ sin2t) dt. Quel est son ensemble de définition ? g y-est-elle
continue ? de classeC1? Exprimer g sans symbole intégral.
