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Topologie usuelle de ℝ, densité

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Academic year: 2021

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Topologie de la droite réelle

Samuel Rochetin

Samedi 18 janvier 2020

Exercice. Soit R muni de la topologie usuelle. Montrer que Q n’est ni ouvert, ni fermé.

Solution. Les ouverts de la topologie usuelle de R sont ∅, R et les réunions d’intervalles de la forme ]a, b[, avec a, b deux réels distincts tels que a < b.

Supposons que Q soit ouvert.

Q 6= ∅, Q 6= R donc Q est une réunion d’intervalles de la forme ]a, b[, avec a, b deux réels distincts tels que a < b.

Donc par densité de l’ensemble des irrationnels dans R, Q contient au moins un irrationnel.

Contradiction.

Donc Q n’est pas ouvert. Supposons que Q soit fermé. Alors Q = Q.

Or, par densité de Q dans R, Q = R. Donc Q = R.

Contradiction.

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