Modèles d'échanges ioniques dans le rein: théorie, analyse asymptotique et applications numériques

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Modèles d’échanges ioniques dans le rein: théorie,

analyse asymptotique et applications numériques

Magali Tournus

To cite this version:

Magali Tournus. Modèles d’échanges ioniques dans le rein: théorie, analyse asymptotique et

applications numériques. Equations aux dérivées partielles [math.AP]. Université Pierre et Marie Curie

-Paris VI, 2013. Français. �tel-00845333�

Thèse de do torat

Modèles d'é hanges ioniques dans le rein :

théorie, analyse asymptotique

et appli ations numériques

Magali Tournus

Sous la dire tion de (par ordre alphabétique) :

Aurélie Edwards, Benoit Perthame et Ni olas Seguin

Rapporteurs :

Floren e Hubert RobertoNatalini

Professeur,UniversitéAix-Marseille DirigentediRi er a,CNR

Soutenan e le3 juillet 2013 devant lejury :

Luis Almeida Aurélie Edwards

Dire teurdere her he,CNRS Dire tri edere her he,CRC

Irene Gamba Floren e Hubert

Professeur,Austin,Texas Professeur,UniversitéAix-Marseille

Benoît Perthame Ni olas Seguin

Professeur,UniversitéPierreetMarieCurie-Paris6 Maîtrede onféren e,UniversitéPierreetMarieCurie-Paris6

Randall S. Thomas Dire teurdere her he,IGR,Evry

Mer i à mes dire teurs de thèse d'avoir bien voulu meprendre en thèse, et d'avoir onstruit

un sujet de thèse aussienthousiasmant. Je leur suis très re onnaissantepour leur soutien, pour

lalibertéqu'ils m'ont donnée, etpour leur aidede tousles jours.

Aurélie Edwards ave qui j'ai eu beau oup de plaisir à travailler. J'ai beau oup appris en

l'observant,tantsurleplans ientiquequ'humain.Je vaisessayerdem'inspirer desonexemple.

BenoitPerthame,quimalgrétoutessesresponsabilitésm'a onsa rébeau oupdesontemps.Je

leremer iepoursapatien eetpour ses onseilsavisés,quejemettaissouventplusieurssemaines

à omprendre. Je leremer ie ausside m'avoir fait voyager, mepermettant ainside parti iperà

des onféren es danslemonde entier.

Ni olasSeguin,quejeremer ieluiaussipoursapatien eetpourm'avoirexpliqué equ'étaient

les mathématiquesappliquées etlamodélisation, enplus dureste.

Je remer ie beau oup Floren e Hubert et Roberto Natalini d'avoir fait un rapport sur ma

thèse.

Je remer ie les membres du juryde mefaire l'honneurd'êtrelà. IreneGamba,Luis Almeida,

et Randall Thomas, qui grâ e àson expérien edes modèles du néphron nousa souvent aidés à

interpréter desproblèmes de ode.

Jeremer ie AlainDou et etsonlaboratoiredem'avoira ueilliependant monstagedeM2et

une bonne partie de ma première année de thèse. J'ai été très impressionnée par lelaboratoire

de physiologie etphysiopathologierénale.Surtout parles réunionsduvendredi.C'est ommeça

que j'imaginais lare her he quandj'étais petite.

Je remer ie Pas al Houillier pour les entrevues que nousavonseues.

LelaboratoireJLLestun adredetravailex eptionnelquim'apermisde toyerdes her heurs

ausi ex eptionnels.Mer i àtous.

Mer iàLorette,toujourssienthousiaste.Surtoutpour ettesoirée,où,dansunbardeLondres,

tum'asannon équetuvenaisde omprendrequ'ilfallaitprendre

σ = 0

danslesvasare tapour avoir lebon gradient.

Mer ià Ariane etJuliette pour leurs questionsetleurs réponses.

Mer i à mes frères et soeurs de thèse, omme on dit. Anne-Céline (ma jumelle), Thibaud,

Sepideh etPierre.

Mer i à eux qui se sont o upés de mon ordinateur portable quand il en avait besoin :

Khashayar, Fabienet Thibaud.

Mer ià CorentinLa ombe de rendre lesdémar hesadministrativessi fa ilesetsi laires.

Mer i à tous eux qui parti ipent à la bonne ambian e du labo. Entre autres, les membres

permanents et étendus du bureau de mon dire teur, tous les thésards du LJLL. Un petit lin

d'oeil parti ulier à mes o-bureaux : Benjamin et ses ré its de voyage, Quang et ses questions

surréalistes, et Wafaa, toujours si attentionnée. Et à mes an iens o-bureaux : André, Bang,

Jean-Paul, Laurent, Malik, Nan y et Tobias. Mer i à Christian David d'avoir imprimé et relié

ette thèse.

Et...bravo auxpilotes de tousles avions quej'ai étéamenée àprendre pendant ma thèse.Ils

trouvéàredire.Maisvoilà,vousavezattenduunpeutrop,etsivousposezlaquestionmaintenant,

les gens vont se demander pourquoi vous leur avez fait perdre leur temps en les laissant parler,

alors que vous n'y ompreniez rien.

Cettethèsedemathématiquesappliquéestraitedeproblèmesthéoriques,numériqueset

asymp-totiquesentransportmotivésparlaphysiologierénale.Pluspré isément,elle viseà omprendre

etquantierlesé hangesde solutésquipeuventmener dansdes aspathologiquesàdes

néphro- al inoses, qui se ara térisent par desdépts al iques dansleparen hyme rénal.

Le manus ritest onstituéde deuxparties.

Lapremièrepartie on erneledéveloppementetl'analysemathématiqued'unmodèlesimplié

du rein. Il s'agit d'un systèmede 3 EDP hyperboliques à vitesses onstantes, ouplées par leur

termesour enonlinéaireetassortide onditionsauxbordsspé iques.Lemodèlerentredansle

adredesmodèles inétiquesave un nombrenidevitessesetdes onditionsauxbordsdetype

réexion. Nous montrons que e systèmeest bien posé, qu'il tend en temps grandvers un état

stationnaire. Onmontrequeletauxde onvergen eestexponentielave desélémentsspe traux.

Nous proposons l'étude du rle de deux paramètres à travers une analyse asymptotique. L'une

d'entreelles nouspla edans le adrede larelaxation hyperboliquevers une loi de onservation

s alaire ave unux hétérogèneen espa esurun domaine borné.

Ladeuxièmepartie on erneledéveloppement etl'analysenumériqued'unmodèleréalistedu

rein. Il s'agit d'un système de 27 équations aux dérivées partielles de type hyperboliques dont

les vitesses sont les solutions de 8 équations diérentielles non linéaires, ettoutes eséquations

sont oupléesparleurtermesour e.Les onditionsauxbordssontlàaussispé iquesaumodèle.

Nousinterprétonsensuitelesrésultatsobtenusd'unpointdevuephysiologique,enproposantdes

prédi tionsdeprols de on entration al iquesdanslerein,dansle asnormaletdans ertains

as pathologiques.

Abstra t

Thisthesisofapplied mathemati sdealswiththeoreti al,numeri alandasymptoti questions

intransport, motivatedbytherenal physiology.

Morespe i ally,the purposeistounderstand and quantify soluteex hangesinphysiologi al

and pathologi al ases and to explain why nephro al inosis, i.e.the deposition of al ium salts

inkidney tissue, arise.

Themanus ript isdivided intwo parts.

Therstpartdes ribesthedevelopment and themathemati al analysisofasimpliedkidney

model. It is a system of

3

hyperboli PDE's with onstant velo ities, oupled by a non-linear sour e term and withspe i boundary onditions.This model an be onsidered inthe

frame-workof kineti models withanite numberof velo ities andreexion boundary onditions.We

provethatthesystemiswellposedandthatitrelaxestowardtheuniquestationarystateforlarge

time withan exponential rate of onvergen e. Thanks to a spe tral analysis, we prove that the

rate of onvergen e isexponential. We study therole of two parameters through anasymptoti

analysis. One of these analysesis formulated in theframework of hyperboli relaxation toward

a s alar onservation lawwithan heterogeneous uxona boundeddomain.

The se ond part des ribes the development and the numeri al analysis of a realisti kidney

model.It isanhyperboli systemof 27hyperboli partialdierential equations whose velo ities

aresolutionsto8nonlineardierentialequations,all oupledbytheirsour eterm.Theboundary

onditionsarealsoveryspe i .Wetheninterprettheresultsfromaphysiologi alpointofview,

bypredi ting al ium on entrationprolesinthekidney,under normal onditionsand insome

1 Introdu tion générale 1

1.1 Première prise en maindu modèle . . . 5

1.1.1 Quelques on epts de basesur letransportmembranaire . . . 5

1.1.2 L'ar hite ture . . . 8

1.1.3 Le système . . . 9

1.2 Les on lusions tiréesdu modèleréaliste . . . 10

1.3 Un modèlesimplié. . . 11

1.3.1 Le modèle àtroistubes . . . 12

1.4 Lesproblèmes mathématiques . . . 14

1.4.1 Le ara tère bienposé . . . 14

1.4.2 Le rle delapompe . . . 15

1.4.3 Pourquoi3 tubes etpas2? . . . 15

1.4.4 Relaxationhyperbolique . . . 16

1.4.5 Un s hémanumérique qui préserve l'asymptotique . . . 21

I Mathemati al analysis of redu ed models 25 2 Well posedness and relaxation toward equilibrium of a simplied kidney model 27 2.1 Introdu tion . . . 29

2.2 MainResults . . . 32

2.2.1 Existen e, uniquenessanda prioribounds . . . 32

2.2.2 Long time behavior. Stationary problem . . . 34

2.3 Proof ofexisten eand a prioribounds . . . 34

2.3.1 Existen e of asolution to thesemi-dis rete problem . . . 35

2.3.2 Properties oflimit . . . 40

2.3.3 The ontra tion property andthe omparison prin iple . . . 40

2.3.4 Proof ofTheorem 2.2.3 andsupersolution . . . 41

2.3.5 Proof ofTheorem 2.2.4 (existen eof asolution to thestationaryproblem) 42 2.3.6 Proof ofTheorem 2.2.5 (large timelimit) . . . 42

2.4 Numeri almethod . . . 43

2.4.1 The nitevolume s heme . . . 43

2.4.2 Steady states . . . 46

2.4.3 The linear ase

V

m

= 0

. . . 48

2.5 Counter urrent ex hange a ross

2

tubes . . . 48

2.5.1 Counter urrent versus o urrent ex hange . . . 49

2.5.2 Visualizationof thedynami of a ounter urrent-ows system . . . 50

2.6 Con lusionand perspe tives . . . 51

A Denition of weak solutions 53

B Existen e of a solution to the stationary problem 55

3 The role of

V

m

in ounter urrent ex hanger models - an asymptoti analysis 61

3.1 Motivation. . . 63

3.2 The limitproles . . . 64

3.3 Proof ofthe asymptoti results (Theorem 3.2.1 ) . . . 65

3.4 Proof oftheorem3.2.2 . . . 68

3.5 Numeri s . . . 71

3.5.1 The numeri al algorithm . . . 71

3.5.2 Con entrationprolesfor dierent

V

m

. . . 71

3.6 Con lusion. . . 73

4 Hyperboli relaxationof a

2 × 2

system with spe i boundary onditions 75 4.1 Motivation. . . 77

4.1.1 A simpliedurine on entration model . . . 77

4.1.2 Notations . . . 80

4.2 Derivation ofthehyperboli limit . . . 80

4.2.1 Supersolution and uniform aprioribounds. . . 80

4.2.2 Entropies . . . 82

4.2.3 An entropyformulation for thelimitequation . . . 84

4.2.4 The boundary onditions forthe limitequation . . . 86

4.2.5 The linkbetween adapted Kru

ˇ

z koventropiesand homogeneousentropies . 88 4.3 Well-prepared initial onditions,and ompa tnessproperties . . . 88

4.4 Numeri alrelaxation . . . 91

4.4.1 An asymptoti preserving s heme . . . 91

4.4.2 The onservationlaw . . . 92

4.4.3 Comparison between

u

ε

+ v

ε

and

ρ

. . . 93

4.5 The boundary layer. . . 94

4.6 Con lusion. . . 96

5 Hyperboli relaxationof the

3 × 3

system for the kidney model 97 5.1 The res aled

3 × 3

kidney . . . 99

5.1.1 A simpliedurine on entration model . . . 99

5.1.2 Results . . . 100

5.2 Proof rudiments. . . 101

5.2.1 Uniforma prioribounds . . . 101

5.2.2 Entropies . . . 103

5.2.3 Strong onvergen e . . . 104

6 An asymptoti targeting s heme 109 6.1 Introdu tion . . . 111

6.1.1 The ontinuousproblem . . . 111

6.1.2 An asymptoti preserving s heme ompatible withtheboundary onditions111 6.2 Results. . . 112

6.2.1 Stabilityof thes heme . . . 113

6.2.2 Relaxationtoward theequilibrium . . . 113

6.3 Proofs . . . 114

6.3.1 Monotony andpositivity . . . 114

6.3.2 The

L

∞

stability . . . 115

6.3.3 The BVestimates . . . 117

6.4 Proof ofthe relaxation toward equilibrium . . . 120

II A more realisti model 123

7 Des ription of the model 125

7.1 Physi al representation . . . 127

7.1.1 The renalar hite ture . . . 127

7.1.2 Numberand lengthof vessels andtubules . . . 128

7.2 Physi al variables . . . 130

7.2.1 The unknowns . . . 130

7.2.2 Physi al phenomena in luded inthe model . . . 131

7.2.3 The parameters . . . 132 7.3 The equations . . . 134 7.3.1 Conservationequations . . . 134 7.3.2 Fluxequations . . . 136 7.3.3 Boundary onditions . . . 138 7.4 Flowreversal . . . 138

7.5 The oales ing ee t andthe shuntingee t . . . 139

8 Numeri al Solution- A nite volume s heme 141 8.1 Finite volume s heme -A simpliedmodel . . . 143

8.2 Des ription ofour s heme . . . 146

8.2.1 A nitevolume approa h . . . 146

8.2.2 The equations onthe ow . . . 147

8.2.3 The splittingmethod- Con eptand appli ation . . . 147

8.2.4 Finite volume s heme onthetransportequation. . . 148

8.2.5 Treatment ofthe sour e term . . . 148

8.2.6 Mainproperties . . . 149

9 Results and physiologi al on lusions 153 9.1 Results ontheosmolalityproles . . . 155

9.2 Results on erning al ium . . . 155

9.2.1 Base aseCa

2+

on entrationproles . . . 155 9.2.2 Base aseCa

2+

molarow. . . 158 9.2.3 Sensitivityanalysis . . . 160 9.2.4 Interstitial Ca

2+

on entration gradient . . . 161

9.2.5 Ee tsof lo alperturbations . . . 161

9.3 Con lusion. . . 163

Ma thèse porte sur l'étude d'un modèle d'une partie du rein. J'ai ee tué ma thèse sous

la dire tiond'Aurélie Edwards(du Centrede Re her he des Cordeliers aulaboratoire de

Géno-mique,PhysiologieetPhysiopathologieRénalesdansle6èmearrondissemntdeParis),deBenoît

Perthame, etde Ni olas Seguin (du laboratoire Ja ques Louis Lions de Paris 6), surle site de

Jussieu.

Quelques mots surle rein

Pour pouvoir survivre,les ellules du orps doivent baigner dans un environnement

physi o-éle tro- himique à peu près onstant. Certaines quantités physiques omme la température, la

gly émie oula on entrationsanguine en ertainsionsdoivent resterdansdesintervallesétroits

au oursdu temps.Lereinestunorganequiapour rledemaintenirl'homéostasiedusang.En

parti ulier, il garantit que le débit sanguin etla on entration sanguine en les solutés présents

dans l'organisme restent onstants malgré les variations extérieures. Les variations extérieures,

e sont en parti uler les apports alimentaires qui hangent en fon tion de la saison, de l'heure

de la journée, des habitudes ulturelles, mais aussi d'autres fa teurs (perturbations liées aux

pathologies, austress).En premièreappro he,on peut onsidérer lerein ommeuneboîtenoire

quienentréereçoitlesangave des on entrationsdesolutésquipeuventêtrediérentesde elles

visées à l'équilibre, et qui rend en sortie d'une part du sang ave des on entrations en soluté

optimales pour le bon fon tionnement de l'organisme, sang qui est réinje té dansla ir ulation

générale, et d'autre part un uide qui est onstitué du reste d'eau et de solutés. Ce uide est

destiné àdevenir plus tardl'urine (Figure1.1 ).En moyenne, lerein ltre 180litres de sangpar

jour. Environ179 litres sont réinje tés dansl'organisme,et1,5 litreestex rété dansl'urine.

PSfragrepla ements REIN CIRCULATIONGENERALE Sang eérent Urine Sang aérent

Figure 1.1  Représentation très s hématique du rein

Sipar exemplelesangquiarrive danslereinesttrop on entréen sodium,lereinvaproduire

unltratplus on entréensodiumquelesangenentrée,etréinje terdansla ir ulationgénérale

dusangmoins on entréensodium.C'estlemé anismede on entrationurinaire.Pourlasuite,

on se pla era toujours dans la situation où la on entration en sodium est trop élevée. Pour

omprendre un peu mieux le mé anisme de on entration urinaire, nous allons rentrer un peu

plus pré isément dansl'ar hite ture durein.

Lereinest onstituéededeuxparties:le ortexetlamédulla(Figure1.2).Le ortex onstitue

lapartie externe,lamédullalapartieinterne.La médullaest onstituéede pyramidesrénaleset

'estauniveaudelapointede haquepyramide(appeléelapapille)queleltratdestinéàdevenir

l'urine est ré olté. Chaque pyramide est onstitué de tubes de diérentes tailles dans lesquels

"as endants",d'autres"des endants")etdesé hangesd'eauetdesolutéssefontentrelestubes

à travers les parois, via l'interstitium. Il s'établit alors un "gradient de on entration", 'est à

direquela on entrationd'unsolutédonné roît enfon tiondelaprofondeurdans haquetube.

Lemé anismede on entrationurinairen'esten orepas omplètementélu idéa tuellement.Les

modèlesa tuelsparviennent àmontrerlaprésen ed'ungradientde on entrationdanslapartie

haute de lamédulla (la médulla externe). En revan he,rien ne permetd'expliquer pourquoi e

gradient ontinue d'existerdanslapartiebassedelamédulla(médullainterne).Pré isonsquela

dénomination"tubesas endants-tubesdes endants"nefaitpasréféren eàl'habituel"haut-bas"

déni grâ e au hamp gravitationnel. Le rein est unorgane organisé autour d'un entre qui est

déni omme"lebas"(Figure 1.2 ).Le haut estalors lapartie orti ale (i.e. :le ortex).

PSfragrepla ements Medulla Cortex PSfrag repla ements Medulla Cortex PSfragrepla ements Medulla Cortex

Figure 1.2  A gau he :Représentation d'un rein.Ondistingue deux zones :Le ortex etla

médulla. Dans ette représentation, on dénombre

8

pyramides de Malpighi. A droite : Chaque unité detubes onstituéed'untubuledes endant,d'untubuleas endantetd'untube olle teur

est appelée un néphron. En jaune, un néphron. En rouge, les vaisseaux sanguins appelés vasa

re ta des endantsetas endants.

But du projet

Certaines pathologies rénales liées aux anomalies de transport de al ium, les

néphro al i-noses en parti ulier, demeurent très mal omprises [77℄.Ellesse ara térisent par desdéptsde

Ca

2+

dans le paren hyme rénal, s'a ompagnent fréquemment d'une hyper- al iurie (i.e., une

on entrationurinaire de Ca

2+

anormalement élevée)et évoluent souvent vers l'insusan e

ré-nale. Diérents s énarios sont envisagés pour expliquer l'apparition des néphro al inoses. Un

modèle mathématique qui intègre le transport de Ca

2+

à travers les diérents segments

tubu-laires,vas ulaires,etl'interstitium permettra devaliderouderéfuter ertaines hypothèses. Plus

pré isément, lemodèle développéa pour but :(1)de déterminer pré isément les on entrations

interstitielles, vas ulaires, ettubulaires duCa

2+

danslerein dansle asbasal(paroppositionà

des aspathologiques) (2)d'évaluerl'impa tde mutationsdeprotéinesimpliquéesdansla

réab-sorptionduCa

2+

danslereinande omprendrelesmé anismes sous-ja entsàl'hyper al iurie.

Les on entrations al iquesinterstitiellesn'ont en orejamaisétédéterminées, maisdesmesures

sont en oursau Centrede Re her hedesCordeliers etellessont pour lemoment enadéquation

ave les prédi tionsdumodèle.

Les modèles existants

Lemodèle ma ros opiqueest unidimensionnel enespa e.Lesquantités qu'ilnousintéressede

déterminersontdes on entrationsioniquesoumolé ulairesetdesdébitsd'eaudanslesnéphrons

années 50dansle butd'expliquer legradient de on entration[33℄. C'estlapremière fois quele

mé anismede on entrationurinaireestvu ommeunesimple onséquen edutransportà ontre

ourantetdesé hangesà traversles parois tubulaires.Un historiquedesmodèles desannées50

auxannées90peutêtre onsultédans[84 ℄.Unpeuplustard,des onsidérationssurl'ar hite ture

globaledurein[55℄ontmontréquelarépartitiondunombredetubesenfon tiondelaprofondeur,

qui donne la forme auxpyramidesrénales, jouaient un rle dansl'établissement dugradient de

on entration.Jusqu'àprésent,lesmodèlesontétédéveloppésande omprendrelesmé anismes

de on entration urinaire, ils ne on ernent don que les omposants majoritaires de l'urine,à

savoirl'eau,le hloruredesodiumetl'urée.Plusieurs modèles ontenantdesranementsontété

étudiés numériquement dans le but de omprendre un peu mieux les fa teursintervenant dans

le mé anismede on entration urinaire. Pour lamajorité, e sont desmodèles stationnaires qui

onsistentenunsystèmed'équationsdiérentielles ouplées.Nousavons hoisidedévelopper un

modèledynamique, d'unepart pour l'intérêt propre d'avoir un modèledynamique, e qui nous

permettra par lasuite d'observer l'évolution des on entrations et des débits d'eau en fon tion

du temps etnonpasseulement àl'équilibre, etd'autre partdansl'optiquede faire onverger e

modèledynamiqueversl'étatstationnairequi luiestasso ié. Ils'agitd'une stratégienumérique

fréquemmentutiliséepour al ulerlessolutionsd'unsystèmeàl'équilibre.Lesystèmediérentiel

n'est pasun problème de Cau hy,à ausedes onditions auxbords quilui sont asso iées,eton

ne peutpasutiliserde méthodesde résolutionsd'EDO lassiques. C'est ànotre onnaissan e le

premier modèledynamiquequi prendà lafoisen omptelarépartitionexponentielle dunombre

du tubesenfon tion de laprofondeur,etqui in lutletransportde al ium.

1.1 Première prise en main du modèle

1.1.1 Quelques on epts de base sur le transport membranaire

Nous proposons i i un exposé des diérentes expressions de ux à travers une membrane

biologique [78 ℄. Nous dénissons également les oe ients qui ara térisent e transport. On

onsidère deux ompartiments séparés par une membrane, ontenant de l'eau dans laquelle est

dissous un soluté. On appelle

λ

la longueur de la membrane, et

C

A

et

C

B

les on entrations

respe tivesdu solutédansles ompartiments

A

et

B

.

PSfrag repla ements

A

B

PSfragrepla ements

A B

Cas1 Cas2 Cas3

Figure 1.3

A

et

B

sontdeux ompartimentsdevolumeidentiqueséparésparunemembrane de longueur

λ

. Les petites boules jaunes et roses sont des solutés quel onques. Les molé ules d'eau nesont pasreprésentées.

Diusion

Lessolutésnerestentpasimmobilesetontdesmouvementstanttdedroiteàgau heettantt

de gau he à droite ave même probabilité. Sur la Figure 1.3-Cas 1, il y a en moyenne plus de

du té le moins on entré (

B

). On a alors un ux de diusion net de solutés du té

A

vers le té

B

. Le ux diusif de soluté du ompartiment

A

vers le ompartiment

B

s'exprime en

mol.m

−1

.s

−1

est donné par

J

dif f usion

= P λ(C

B

− C

A

),

où

P

est la perméabilité de lamembrane au soluté en question, qui s'exprime en

m.s

−1

et qui

est proportionnelle à l'inverse de la taille du soluté, à l'inverse de l'épaisseur de la membrane,

etau oe ient departage dusolutéentrel'eau etlamembrane. Lamembrane, dansle asdes

membranesbiologiques,est onstituée d'une ou hedelipides,et le oe ient departage estun

oe ient qui mesure omment, à l'équilibre, lesoluté separtage entre les deuxsolvantseau et

ou he lipidique. Si ommedanslaFigure 1.3 -Cas2,plusieurs solutéssonten présen e,etsiles

on entrationsne sont pastropélevées, haquesoluté sediuseindépendamment desautres.

Osmose

Lesmolé ulesd'eauellesaussisediusent.SurlaFigure1.3 -Cas2,le té

B

qui ontient plus de parti ules de solutés que le té

A

ontient par onséquent moins de molé ulesd'eau. Il y a don un ux net de diusion d'eau du té

A

qui a une plus faible osmolarité, vers le té

B

. Ondénit l'osmolarité d'unesolution omme lenombrede molesde parti ulesensolution dans

1 litrede solution.

Osm =

X

i=

solutés

Φ

i

C

i

où

Φ

i

estle oe ientosmotiqued'unsoluté.Ce oe ient mesurelaquantité departi ulesque va donner un soluté dans la solution. Par exemple, l'urée qui est un soluté qui ne se disso ie

pasdansl'eaua un oe ient osmotiquede

1

.Par ontre, le hlorure de sodiumNaCldonneen solutiondeuxionsNa

+

etCl

−

ave une ertaine onstantede réa tion.Son oe ient osmotique

estalors omprisentre

1

et

2

.Ilestde

1.82

.Cephénomènedediusiondel'eau estsimultanéau phénomène de diusion des solutés et dans le as où la membrane est parfaitement perméable

à l'eau omme au soluté, il n'y a de variation de volume dans au un des deux ompartiments.

Si on se pla e dans le as où la membrane de la Figure 1.3-Cas 2 est perméable à l'eau mais

imperméable au soluté, seule l'eau pourra passer de

A

vers

B

, et il y aura une modi ation du volume des deux ompartiments. Supposons que seul le bord droit du ompartiment

B

soit mobile. On dénit alors la pression osmotique omme la pression qu'il faudrait exer er sur le

bord droit de

B

pour empê her toutmouvement d'eaude

A

vers

B

,ets'exprime

Π = RT (Osm

B

− Osm

A

),

où

R

estla onstantedesgazparfaitset

T

latempérature.Cetteexpressionestvalideuniquement dansle asd'unemembranetotalement imperméableausoluté.Pours'appro herunpeuplusde

la réalité, on onsidère desmembranes à lafois perméables au soluté età l'eau. Cependant, la

plupart des membranes biologiques ne laissent paspasser lessolutés aussibien quel'eau. Cette

diéren e de perméabilité auxdiérentesespè es estdue auniveau mi ros opiqueà laprésen e

(ou àl'absen e) deprotéinesmembranaires(transporteursou tunnels)quifa ilitentladiusion.

Onmesure ette séle tivitémembranaireenintroduisant le oe ientde réexiondusolutépar

rapportàlamembranenoté

σ

.On onsidèreunesolutionaqueuse(enhaut surlaFigure1.3 -Cas 3), dans lequel estdissous le solutéave une on entration

C

I

.Onfait passer lesoluté à l'aide

d'unpiston à travers lamembrane, etonnote

C

F

la on entrationen lesolutédanslasolution

aqueuseré upéréeen bas.On dénitle oe ient de réexion dusoluté omme

σ = 1 −

C

F

C

I

.

En parti ulier, si la membrane est imperméable au soluté,

C

F

_{= 0}

et

σ = 1

. Les déterminants physiques du oe ient de réexion d'un soluté par rapport à une membrane sont les voies à

traverslesquellesl'eau etlesolutétraversentlamembrane.Sitousles anauxquilaissentpasser

l'eau laissent également passerles solutés,

C

F

_{= C}

I

et

σ = 0

.Entenant ompte delaséle tivité membranaire, lapression osmotiques'é rit

Π = RT Φσ(C

B

− C

A

).

Le uxvolumique du ompartiment

B

versle ompartiment

A

dépend delapression osmotique (on néglige lapressionhydrostatique)eta pour expression

J

V

= λL

P

RT Φσ(C

B

− C

A

)

où

L

P

estlaperméabilité delamembraneà l'eau.Danslasuite dumanus rit,puisquequel'eau est majoritaire devant lessolutés,on parlerasouvent par abusdelangage de uxd'eau. Ceux

volumique, dû à la pression osmotique, a une onséquen e sur le ux de soluté, appelée eet

solvantou onve tion dessolutés.En eet,siun volumede solutionbouge d'un ompartiment à

un autre, il ontiendra de l'eau maisaussidessolutés.Dansle asde laFigure1.3-Cas 2,

J

convection

= (1 − σ)J

V

C

B

,

La diusion et l'osmose sont deux phénomènes passifs et uniquement dus à des mouvements

statistiques.La onve tiondériveuniquementdephénomènespassifs,maiselle peutfairebouger

lessolutésà ontre-gradient.Dansl'exempledelagure1.3 -Cas2,lesolutérosepassedegau he

à droite par diusion, mais est entraîné par le ux volumique et passe de droite à gau he par

onve tion.

Ele tro-diusion

Notre modèle omporte un ion libre, l'ion

Ca

2+

. Il est soumis à un potentiel éle trique que

l'on onsidérera établietstationnaire :

J

electrodif f usion

=

2F

RT

∆V

T E

C

α

_,

où

F

est la onstante deFaraday,

2

estlenombre de hargesdel'ion al ium,

α = A

ou

B

selon lesignede

∆V

T E

et

∆V

T E

estladiéren ede potentielentreles ompartiments

A

et

B

.Ceux éle tro-diusif entre également potentiellement en ompétition ave les ux de diusion et de

onve tion.

Transport a tif

Lesmé anismes dé rits i-dessussont desmé anismes passifs,etonttendan e àhomogénéiser

les on entrations departetd'autrede lamembrane.Certainesmembranespermettentle

trans-porta tifde solutés, 'est-à-direqu'ellesfont passerlessolutés ontre leurgradient depotentiel

éle tro himique,viadespompesquiné essitentdel'énergie.Le hlorure desodiumetle al ium

sont on ernés dans notre modèle par le transport a tif. Ma ros opiquement, on observe que

les transporteurs sont en nombre limité, et qu'il peut ainsi y avoir saturation. Cela se traduit

par unemodélisationdetype Mi haelis-Menten [44℄.L'approximationma ros opique du uxde

transporta tif estdonné par

J

pompe

= V

m

C

K

m

+ C

où

V

m

estletauxdetransportmaximalet

K

m

estla on entrationdesubstratàlaquelleletaux de transportestà lamoitié dutaux maximal.

1.1.2 L'ar hite ture

Modèle à inq tubes

Armésde esquelques onsidérations debasesurlerein,nousdé rivonsàprésentunpremier

modèle.Cettereprésentation minimaledurein ontient

5

tubes,

3

troisd'entreeuxreprésentant lenéphron (enjaune surlaFigure1.2 ) etlesdeux autres desvasa-re ta (enrouge surlaFigure

1.2). Ce modèle omporte les

5

tubesde base du modèle réalisteétudié dansla partie II. Dans ha un de es tubes ir ule un uide de débit

F

dans lequel sont dissous dessolutés

i ∈ [1, I]

ave une on entration

C

i

, i = 1..I

.Cha unde es

5

tubesbaignedansuninterstitium ommun etave lequelilspeuventé hangerdel'eauetdessolutésàtraverslamembranetubulaire,àune

profondeur donnée. En eet, les ellules interstitielles étant disposées en ou hes assez serrées,

on onsidèrequ'au un transportne sefait selon l'axedes

x

dansl'espa e interstitiel.

I

N

T

E

R

S

T

I

T

I

U

M

I

N

T

E

R

S

T

I

T

I

U

M

I

N

T

E

R

S

T

I

T

I

U

M

I

I

N

T

E

R

S

T

I

T

I

U

M

I

PSfragrepla ements

x = 0

x = L

Tube

1

Tube

2

Tube

3

Tube

4

Tube

5

F

J

Figure 1.4  Représentation du modèle. Il est onstitué de inq tubes baignant dans

l'inter-stitium.

Lesparamètres ne dépendent quede

x ∈ [0, L]

etles variables dépendent de

x

et dutemps

t

. En e sens, 'estunmodèle1D.Les in onnues dumodèles sont les quantitéssuivantes :

• F

j

(x, t)

(

m

3

_.s

−1

₎

estledébitd'eaudansletube

j

àlaprofondeur

x

autemps

t

.C'estle volume d'eau traversant lasurfa e entrée en

x

en

1

se onde.

• J

_V

j

(x, t)

(

m

2

_.s

−1

₎

est le ux d'eau à travers le tube

j

. Il représente la surfa e signée entrant dansletube

j

à laprofondeur

x

en

1

se onde.

• C

_i

j

(x, t)(mol.m

−3

)

est la on entration en lesoluté

i

dans le tube

j (j = 1, ..., 5

ou

j =

int)

. Le produit

F

j

_{(x, t)C}

j

i

(x, t)(mol.s

−1

)

représente le nombre de moles de soluté

i

tra-versant lase tionà laprofondeur

x

en

1

se onde.

• J

_i

j

(x, t)(mol.m

−1

_.s

−1

₎

est le uxde soluté

i

entrant dans le tube

j (j = 1, ..., 5, int)

. Il représente lenombre de molesentrant dansletube

j

àla profondeur

x

en

1

se onde.

1.1.3 Le système

Lesvariablessont reliéespardeséquationsde bilan( onservationdel'eau etdelaquantitéde

matière) pour

0 ≤ x ≤ L

et

t > 0



























∂

∂x

F

j

_{(x, t) = J}

j

V

(x, t),

j = 1, ..., 5,

π(R

j

)

2

(x)

∂

∂t

C

j

i

(x, t) +

∂

∂x



F

j

(x, t)C

_i

j

(x, t)



= J

_i

j

(x, t),

j = 1, ..., 5,

i = 1, ..., I,

π(R

int

)

2

(x)

∂

∂t

C

int

i

(x, t) = J

i

int

(x, t),

i = 1, ..., I.

(1.1)

Les uxvolumiquessont donnéspar

J

_V

j

= 2πR

j

L

j

_P

RT

I

X

i=1

σ

j

_i

Φ

i



C

_i

j

− C

_i

int



,

j = 1, 3, 4, 5.

(1.2)

Dans ette expression, la longueur de la membrane d'é hange entre l'intérieur du tube et

l'in-terstitium est de

2πR

j

, e qui orrespond aupérimètredutube

j

.Le tube

2

(qui représenteles vasare ta as endants) aune perméabilité à l'eau tropgrandepourêtre mesurée, etle al uldu

ux volumique entrant dans e tube ne peutplus être obtenu par (1.2 ).On al ulealors

J

2

V

en

faisant l'hypothèse quel'interstitum est à parois rigides et ne peutpas hanger de volume. On

détermine

J

2

V

grâ eà la ondition

5

X

j=1

J

_V

j

(x, t) = 0

∀t > 0,

∀x ∈ [0, L].

(1.3)

Le ux de soluté (dans le as d'un soluté éle troneutre) tient ompte de la diusion, de la

onve tion etdu transport a tifetest donné par

J

_i

j

= −2πR

j

P

_i

j



C

_i

j

− C

_i

int



+ J

_V

j

(1 − σ

_i

j

)C

_i

α

− 2πR

j

V

_m

j

C

j

i

K

m

j

+ C

i

j

,

(1.4) ave

C

_i

α

(x, t) =

(

C

_i

int

(x, t)

pour

J

j

V

(x, t) > 0,

C

_i

j

(x, t)

pour

J

j

V

(x, t) ≤ 0.

(1.5)

La onservation dessolutés onduit à la onditionde fermeture

J

_i

int

(x, t) = −

X

j

J

_i

j

(x, t)

∀t > 0, ∀x ∈ [0, L].

(1.6)

L'ar hite turedestubes(voirFigure2.1)nouspousseàposerles onditionsauxlimitessuivantes























F

1

(0) =

F

1

0

,

F

3

(0) =

F

3

0

,

F

5

(0) = −F

4

(0),

C

1

(0) =

C

1

0

,

C

3

(0) =

C

3

0

,

C

5

(0) =

C

4

(0),

F

2

(L) = −F

1

(L),

F

4

(L) = −F

3

(L),

C

2

(L) =

C

1

(L),

C

4

(L) =

C

3

(L),

(1.7)

où

F

0

1

, F

3

0

, C

1

0

, C

3

0

sont des onstantes positives. En temps grand, la solution du système (1.1 ) onverge verslasolution duproblème stationnaire suivant











∂

∂x

F

j

_{(x) = J}

j

V

(x),

j = 1, ..., 5,

∂

∂x



F

j

(x)C

_i

j

(x)



= J

_i

j

(x),

j = 1, ..., 5,

i = 1, ..., I.

(1.8)

Cesontdesvariantesde ederniersystèmequisontétudiéesdanslapremièrepartiedumanus rit.

Ce qu'il manque à e modèle simplié

•

Onn'a onsidéré dans e modèlequedessolutésneutres.Enintroduisant le al ium,leux de solutéaun terme en plusqui orrespond àl'éle tro-diusion.

•

L'ar hite turedebaseestbeau oupplus omplexedanslemodèleplusréaliste.Entreautres, lehautdutube

4

n'estpasdire tementra ordéautube

5

,parla onditiondetransmission

C

4

_{(0) = C}

5

₍₀₎

maisun tube appelé tube distalles relie. Ce tube distalbaigne dans

l'envi-ronnement orti al qui est onsidéré omme un baininni ave des on entrations en tous

les solutés xéesdès le départ et qui n'évoluent pas au ours du temps. Le ortex n'a pas

non plusde limite de volume.

•

Dans le modèle omplet, il n'y a pas un seul tube de haque type mais un ontinuum de tubes de haque type ave des longueurs allant de

0

à

L

. On appelle

N

j

_(x)

le nombre de

tubes de type

j

à laprofondeur

x

,où

N

est une fon tion dé roissante donnée. Il ya alors

−(N

j

)

′

(x)

tubes de type

j

qui s'arrêtent à la profondeur

x

.On appelle

F (x, y, t)

le débit volumique dans l'ensemble des tubes de type

j

qui s'arrêtent à la profondeur

y

, al ulé à laprofondeur

x

.On fait l'hypothèse que

F (x, y, t)

ne dépend pasde

y

,eton ontinue à le noter

F (x, t)

.Leséquations debilan quel'on dérive onservent les quantités

N F

et

N F C

.

1.2 Les on lusions tirées du modèle réaliste

Le but dela se ondepartie dumanus rit estde proposer deséléments quiaident àune

om-préhensiondesnéphro al inoses.Dans etteoptiquenousavonsdéveloppéunmodèledynamique

qui tient ompte

•

de l'ar hite ture omplexe durein,

•

des diérents é hanges ioniques pouvant avoir lieu à travers les parois tubulaires, qui sont desmembranes biologiques.

Nousne ferons pasdans ette introdu tion une présentation détaillée dumodèle, e ifaisant

l'objetduChapitre7,maisnousendonnonsunbrefaperçudanslebutdeprésenterlesrésultats

obtenus d'un point de vuephysiologique.

Figure 1.5 Cettephotographieaétéprise parLise Bankir(CRC).Ils'agitdelavas ulature

Lesunitésdebasequel'on onsidèresontlesnéphrons(i.e.lestubulesdes endants,lestubules

as endants, lestubesdistauxetles tubes olle teurs) etles vaisseaux sanguins(i.elesvaisseaux

des endantsetas endants).Chaquereinesten réalité onstituéde plusieurs dizainesdemilliers

detellesunitésdebase hezlerat(prèsdeunmillion hezl'homme).Onpeutvoirlavas ulature

d'unreindelapinsurlaphotographie,Figure1.5 , equidonneuneidéedel'ar hite turegénérale.

Chaque tube

j

a une taille qui lui est propre, ertains s'arêtent avant la médullla, et d'autres vont jusqu'au bout (médulla qui mesure 6 mm hez le rat). C'est e qui donne aux pyramides

rénalesleurstru ture.Notremodèledistinguelesnéphrons ourts, 'estàdire euxquis'arrêtent

à lafrontièreentre lamédullaexterne(partie hautedelamédulla) etlamédullainterne (partie

basse de lamédulla), desnéphronslongs. A ausedu ara tère non-linéairedu modèle, e n'est

pas la même hose de onsidérer

N

court

_(x)

néphrons ourts et

N

long

_(x)

néphrons longs que de

onsidérer

(N

court

_{+ N}

long

_)(x)

néphrons. Nous prenons en ompte trois solutés :le hlorure de

sodium,l'uréeetl'ion al ium.Lesvariablessontlesdébitsd'eauetles on entrations desolutés

dans haque type de tube.Nousavonsainsiun systèmede27 EDP et8 EDO ouplées.

Lesnéphro al inosessontdesdéptsde al iumdansl'interstitum. Lemé anismede

al i a-tiondanslestubulesrénauxesten oremé onnu,néanmoins,onsaitquelesnéphro al inosessont

largement favorisées par l'hyper al iurie. Notremodèlea tuel ne prenden ompte quel'ion

al- ium(etpasl'élément al iumsoussaforme ristalline),etlesquantitésauxquellesons'intéresse

sont les on entrations al iquesetles débit molaires al iques.

Pour dé rire les on entrations, les débits molaires et les ux, nous avons adopté lepoint de

vue des biologistes. Ils voient les hoses omme suit : La partie interstitielle (interstitum sur

les s hémas) est onsidérée omme "l'intérieur" et l'intérieur des tubules est onsidéré omme

"l'extérieur". Onpeut omprendre epointdevueenserappelantque equiestàl'intérieurdes

tubules est destinéàdevenirl'urine,etdon àseretrouver àl'extérieurdu orps.Onemploiera

également lesterminologies suivantes :

Dénition 1.2.1.

Réabsorption : Un soluté est dit réabsorbé s'il passe à travers une membrane tubulaire enallant

de l'extérieur vers l'intérieur(i.e. des tubules vers l'interstitum).

Sé rétion : Un soluté est dit sé rété s'il passe à travers une membrane tubulaire en allant de

l'intérieur vers l'extérieur (i.e. del'interstitiumvers les tubules).

Nous proposons dans la deuxième partie de e manus rit de prédire le gradient interstitiel

al ique,la on entration al ique dansl'urine(pour savoirsilesujetestenhyper al iurieouen

hypo al iurie),etàquelendroit le al ium estréabsorbéousé rété,et dansquellesproportions.

Nous proposons de faire es prédi tions dans un as normal et dans des as pathologiques et

de déterminer quels sont les paramètres du modèle qui jouent un rle important dans le bon

fon tionnement durein.Dansles aspathologiques,nousdéterminonségalement sides

ompen-sations peuvent avoirlieu, etsil'équilibre peutêtre rétabli.

Lesparamètres dumodèles proviennent d'estimationsfaitesà partirde mesures hez leratet

trouvéesdanslalittérature. Les on entrations al iquesinterstitiellesn'ontjamaisétémesurées.

En revan he, il existe desmesures de ux al iques, etla on entration est estimée en ertains

points stratégiques, e qui nous permet de alibrer notre modèle et de vérier sa pertinen e a

posteriori.

Nousrappelons qu'il s'agit d'unmodèle de reinde rat, etque les on lusionsquel'on en tire

ne s'appliquent qu'à e modèle derein derat.

1.3 Un modèle simplié

Nous introduisons dans ette partie un modèle simplié, qu'on analyse mathématiquement,

résultatsexa tssurdesmodèlestrèssimpliéssoientaumoinsaussiintéressantsquedesrésultats

numériquessurun modèle plus omplexe qui peut-être sensibleaux nombreux paramètres.

D'autrepart, ertaines analysesfaitessur emodèlerejoignent desproblèmesren ontrés dans

le adre d'autres modèles étudiés en mathématiques, notamment les modèles inétiques à deux

vitesses.

1.3.1 Le modèle à trois tubes

La plus grosse simpli ation onsiste à rendre les tubes imperméables à l'eau. De e fait,

le débit d'eau est onstant dans haque tube, et le terme de onve tion qui ouple les solutés

entre eux n'existe plus. On a aussi réduit le nombre de tubes et adapté les onditions aux

limites à notre nouvelle ar hite ture. Cettesimpli ation a justepour onséquen e d'alléger les

notations, maison ne perdrien mathématiquement à enlever des tubes au modèle. Cependant,

trois tubes est le nombre minimum de tubes à garder, par e qu'ave deux tubes seulement, on

peut trouver des solutions analytiques et le omportement est qualitativement diérent. Par

exemple, la on entration roît exponentiellement en fon tion duparamètre

V

m

.

I

N

T

E

R

S

T

I

T

I

U

M

I

I

N

T

E

R

S

T

I

T

I

U

M

x=0

x=L

PSfragrepla ements

F

1

F

2

F

3

J

1

J

2

J

3

Débit volumique

Fluxtransmuralde soluté

Tube 1

Tube 2 Tube3

Figure 1.6  Modèlesimpliédunéphron:Lestubessontimperméables àl'eaumaispeuvent

é hanger dessolutésvia l'interstitium

Chaque tube

j

est imperméable à l'eau, le uide ir ule ainsià une vitesse onstante

F

j

.A

l'équilibre, la onservationde lamatière s'é rit











































F

1

dC

1

_(x)

dx

= J

1

_(x),

_{x ∈ [0, L],}

F

2

dC

2

_(x)

dx

= J

2

_(x),

_{x ∈ [0, L],}

F

3

dC

3

_(x)

dx

= J

3

_(x),

_{x ∈ [0, L],}

C

1

(0) = C

₀

1

,

C

2

(0) = C

₀

2

,

C

3

(L) = C

2

(L),

(1.9) où

C

1

0

et

C

2

0

sontdeux onstantes, et

J

j

uxde soluténe ontiennent plusde terme onve tif ets'é rivent











J

1

(x) = 2πR

1

(x)P

1

(x)(C

int

(x) − C

1

(x)),

J

2

(x) = 2πR

2

(x)P

2

(x)(C

int

(x) − C

2

(x)),

J

3

(x) = 2πR

3

(x)P

3

(x)(C

int

(x) − C

3

(x)) − F (C

3

(x), x),

(1.10) où

F (C

3

_{, x) > 0}

est un termenon linéaire représentant le transporta tif. Pour ette étude, on

fait leshypothèsessuivantes sur

F

F (C

3

, x) ≥ 0,

F (0, x) = 0,

0 ≤

∂F

∂C

(C

3

_{, x) ≤ µ(x) ≤ µ}

M

.

(1.11)

Ces hypothèses traduisent le fait que (1) le transport a tif se fait toujours de l'intérieur du

tube vers l'interstitium, (2) s'il n'y pas de matière dans le tube, il n'y pas de transport a tif

et (3) plus il y a des solutés dans le tube, plus le transport est important, mais le transport

peut arriver à saturation. Ce phénomène de saturation apparaît quand toutes les pompes sont

o upés. Dans lemodèle réaliste, on hoisit le as parti ulier ethabituel d'une non linéaritéde

type Mi haëlis-Menten.

F (C

3

, x) = V

m

(x)

C

3

1 + C

3

.

(1.12)

On prendra tous les paramètres égaux à

1

, e qui est l'ordre de grandeur obtenu après adi-mensionnement.Dans e modèle simplié, le soluténe peutpass'a umuler dansl'interstitium

(

J

int

_{= 0}

).Enreportant dans(1.6 ) adon la ondition defermeture

J

1

(x) + J

2

(x) + J

3

(x) = 0.

(1.13) Cette onditionnouspermetde al uler expli itement la on entrationinterstitielle

∀x ∈ [0, L],

C

int

(x) =

1

3

h

C

1

(x) + C

2

(x) + C

3

(x) + F (C

3

(x), x)

i

.

Enremplaçant

C

int

par sonexpression, on arrive au systèmepour

x ∈ [0, L]















































dC

1

(x)

dx

=

1

3

h

C

1

(x) + C

2

(x) + C

3

(x) + F (C

3

(x), x)

i

− C

1

(x),

dC

2

(x)

dx

=

1

3

h

C

1

(x) + C

2

(x) + C

3

(x) + F (C

3

(x), x)

i

− C

2

(x),

−

dC

3

_(x)

dx

=

1

3

h

C

1

(x) + C

2

(x) + C

3

(x) + F (C

3

(x), x)

i

− C

3

(x) − F (C

3

(x), x),

C

1

(0) = C

₀

1

,

C

2

(0) = C

₀

2

,

C

3

(L) = C

2

(L).

(1.14)

Et oné ritlesystème dynamiquesouslaforme :Pour

t ≥ 0

et

x ∈ [0, L]



























































































∂C

1

∂t

(x, t) +

∂C

1

∂x

(x, t) =

1

3

h

C

1

(x, t) + C

2

(x, t) + C

3

(x, t) + F (C

3

(x, t), x)

i

− C

1

(x, t),

∂C

2

∂t

(x, t) +

∂C

2

∂x

(x, t) =

1

3

h

C

1

(x, t) + C

2

(x, t) + C

3

(x, t) + F (C

3

(x, t), x)

i

− C

2

(x, t),

∂C

3

∂t

(x, t) −

∂C

3

∂x

(x, t) =

1

3

h

C

1

(x, t) + C

2

(x, t) + C

3

(x, t) + F C

3

(x, t), x

i

− C

3

(x, t) − F (C

3

(x, t), x),

C

1

(0, t) = C

₀

1

,

C

2

(0, t) = C

₀

2

,

C

3

(L, t) = C

2

(L, t),

t > 0,

C

1

(x, 0),

C

2

(x, 0),

C

3

(x, 0),

x ∈ [0, L].

(1.15)

Onnotera parfois

C

leve teur

(C

1

_{, C}

2

_{, C}

3

₎

.

1.4 Les problèmes mathématiques

1.4.1 Le ara tère bien posé

A ause des onditions aux bords, le système stationnaire n'est pas un problème de Cau hy.

Pour montrer l'existen e de solutions, on utilise un argument de point xe ombiné ave une

méthode de tir. Pour e faire, on rempla e le système (1.14) par le même système assorti des

onditions auxbords

C

1

(0) = C

₀

1

,

C

2

(0) = C

₀

2

,

C

3

(L) = C

_L

3

,

(1.16) où

C

3

L

est une onstante positive donnée. Ave es nouvelles onditions aux bords, on n'est toujours pasen présen e d'un problème de Cau hy, mais on peut montrer par un argument de

point xedeBana h quelesystèmeadmetune solutionpour tout hoixde la onstante

C

3

L

.On

introduitensuitel'appli ation

g : C

_L

3

7→ C

2

(L) − C

3

(L)

où

C

2

_{, C}

3

sont lessolutions de (1.14 )ave les onditionsaux bords(1.16 ). Onmontreque ette

appli ation s'annule au moinsune fois sur R

+

, e qui nous permet de on lure à l'existen e de

solutions au système(1.14 ).

Théorème1.4.1(Existen eduproblèmestationnaire). Sousleshypothèses (1.11 ),ilexisteune

solution faible au système (1.14) ,et ette solutionest de lasse

C

1

et positive.

La méthode de démonstration adoptée pour e théorème nous onduit naturellement à

dé-terminer numériquement une solution stationnaireen ombinant une méthode de résolution des

problèmes de Cau hy ave une méthode de tir. Cependant, ette méthode devient peu robuste

dèsqu'on omplexieunpeulemodèlepar eque ommetouteméthodedetypeNewton,elle

né- essite de supposerqu'on estdéjàdanslevoisinage d'unesolutionstationnaire. Pour l'existen e

du problème dynamique (1.15 ), on utilise une méthode perturbative en appro hant le système

ontinu par un système d'équations diérentielles ordinaires dont les solutions sont bornées.

L'uni ité dessolutions au système(1.15 )est baséesurun argument de ontra tion.

Théorème 1.4.2 (Existen e etuni itédu problèmedynamique). Sous les hypothèses (1.11 ) et

sousdeshypothèsesderégularitésurla onditioninitiale,ilexisteuneuniquesolutionausystème

(1.15) , et ette solutionappartient à

BV ([0, L] × [0, T ])

. Par ailleurs, deux solutionfaibles

C

et

e

C

pour des données initiales diérentes

C(x, 0)

et

C(x, 0)

e

, vérient leprin ipe de ontra tion

Z

L

0



|C

1

− e

C

1

| + |C

2

− e

C

2

| + |C

3

− e

C

3

|



(x, t)dx

≤

Z

L

0



|C

1

− e

C

1

| + |C

2

− e

C

2

| + |C

3

− e

C

3

|



(x, 0)dx,

(1.17)

On montre ensuite que le système dynamique onverge en temps long vers toute solution

stationnaire par une méthode de sur- et sous-solutions, montrant ainsi l'uni ité de (1.14 ) et

justiant lefait d'utiliser uns héma dynamiquepour atteindre l'équilibredé ritpar (1.14 ).

Théorème 1.4.3(Comportement entemps longetuni itéduproblème stationnaire). La

solu-tion

C

ausystème (1.15 ) onverge vers l'unique solution

C

du système (1.14 )dans

L

1



_{[0, L]}



,

kC(x, t) − C(x)k

_L

1

ց

t→∞

0.

Grâ eàdesargumentsdethéoriespe trale,onpeutaussiprouverla onvergen eave untaux

1.4.2 Le rle de la pompe

Qualitativement,onobservequesi

V

m

estsusammentgrand,lesfon tions

C

1

,

C

2

et

C

3

sont

roissantesenfon tionde laprofondeur.Physiologiquement, elasigniequedansleszonesplus

profondes (

x = L

),leuide seraplus on entréque dansleszones super ielles (

x = 0

), et eà ause dutransporta tif.

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1

1.5

2

2.5

3

3.5

C

3

C

2

C

1

PSfragrepla ements

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

C

1

C

3

C

2

PSfragrepla ements

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

C

3

C

2

C

1

PSfragrepla ements Figure 1.7  Prols

C

1

_{, C}

2

et

C

3

en fon tion de la profondeur

x

pour

V

m

= 0

(à gau he),

V

m

= 5

(au milieu), et

V

m

= 50

(à droite). Lesdonnées auxbords sont

C

1

0

= 2

et

C

2

0

= 1

.

Ons'estalorsinterrogésurlerledelapompeetdon duparamètre

V

m

.Onmontre qu'asymp-totiquement, le prol

C

onverge vers un prol limite, borné dans

L

∞

_{[0, L]}

, et que la

déri-vée de

C

onverge vers un prol dans l'espa e des mesures. Pour toutes les omposantes de

C = (C

1

, C

2

, C

3

)

, e prol omporteune partie analytique, et une massede Dira en

x = L

. Théorème 1.4.4 (Asymptotique). Lessolutions au système (1.14) satisfont

(C

_V

1

_m

, C

_V

2

_m

, C

_V

3

_m

)

−→

V

m

−→+∞

(C

1

, C

2

, C

3

)

L

p

(1 ≤ p < ∞), p.p.,

(

dC

1

V

m

dx

,

dC

2

V

m

dx

,

dC

3

V

m

dx

)

V

m

−→

−→+∞

(µ

1

, µ

2

, µ

3

)

M

1

[0, L],

ave























C

1

(x) =

C

1

0

+ C

0

2

2

+

C

1

0

− C

0

2

2

e

−x

_,

C

2

(x) =

C

1

0

+ C

0

2

2

+

C

2

0

− C

0

1

2

e

−x

_,

C

3

(x) = 0.























µ

1

=

1

2

h

(C

₀

2

− C

₀

1

)e

−x

+ Bδ

L

i

,

µ

2

=

1

2

h

(C

₀

1

− C

₀

2

)e

−x

+ Bδ

L

i

,

µ

3

= Bδ

L

.

où

B = lim

V

m

→∞

C

_V

3

_m

(L).

Physiologiquement, elasigniequela on entrationurinairedenotremodèlesimpliénepeut

augmenter inniment, et que lapompe a tendan e à onserver une valeur élevée de le

on en-tration liquide au voisinage de

x = L

, qui est l'endroit auquel est déterminé la on entration urinaire.

1.4.3 Pourquoi 3 tubes et pas 2?

Ona hoisi d'étudierun modèle àtrois tubes.Onjustie àpostériori e hoix par lefait que

le système à deux tubesse omporte de façon diérente du système à trois tubes ou plus, par

I

N

T

E

R

S

T

I

T

I

U

M

I

N

T

E

R

S

T

I

T

I

U

M

I

I

N

T

E

R

S

T

I

T

I

U

M

I

x=0

x=L

PSfrag repla ements

F

1

F

2

F

3

F

2

F

3

J

1

_J

2

_J

3

_J

2

_J

3

Débit volumique

Fluxtransmural de soluté

Figure 1.8  Deux ar hite tures possiblespour notremodèle simplié.

Le systèmeàdeux tube s'é rit



































dC

_V

2

_m

(x)

dx

=

1

2

h

C

_V

3

_m

(x) + V

m

C

_V

3

_m

(x)

1 + C

3

V

m

(x)

− C

_V

2

_m

(x)

i

,

−

dC

3

V

m

(x)

dx

=

1

2

h

C

_V

2

_m

(x) − C

_V

3

_m

(x) − V

m

C

_V

3

_m

(x)

1 + C

_V

3

_m

(x)

i

,

C

_V

2

_m

(0) = C

₀

2

,

C

_V

3

_m

(L) = C

_V

2

_m

(L).

(1.18)

Le omportmentqualitatifdusystème(1.18 )estdiérentdusystème(1.15 ).Eneet,ensommant

les deux lignes de (1.18) , on obtient

C

2

V

m

− C

3

V

m

= K(V

m

)

, où

K(V

m

)

est une onstantequi ne dépendpasde

x

.Les onditionsauxbordsnousdonnent

K(V

m

) = 0.

Ainsi,

C

3

V

m

et

C

2

V

m

satisfont les équations























dC

2

V

m

(x)

dx

=

1

2

h

V

m

C

2

V

m

(x)

1 + C

2

V

m

(x)

i

,

C

_V

2

_m

(0) = C

₀

2

,

C

_V

3

_m

(x) = C

_V

2

_m

(x),

x ∈ [0, L].

(1.19) Ainsi, les

C

i

V

m

ne sont pas bornées uniformément en

V

m

. En eet, si 'était le as, on aurait

C

2

V

m

≤ M

, don en reportant dans (1.19 ),

dC

_V

2

_m

(x)

dx

≥

1

2

h

V

m

C

_V

2

_m

(x)

1 + M

i

, et alors

C

2

V

m

roîtrait

exponentiellement

V

m

, e qui entre en ontradi tion ave le ara tère bornéen

V

m

. Physiologi-quement, la on entrationurinaire ne peutpasaugmenter indéniment, lemodèleà deuxtubes

n'adon pasun omportement a eptable dans e as-là.

1.4.4 Relaxation hyperbolique

On rappelle i i quelques notions sur les formulations entropiques des lois de onservation

s alaire.

Formulation entropique d'une loi de onservation s alaire

∂

∂t

ρ +

∂

∂x

f (ρ, x) = 0,

t > 0, x ∈

R

,

(1.20)

ρ(x, 0) = ρ

0

(x) ∈ L

∞

(

R

).

(1.21) Dèsque

f

estnon linéaire en

ρ

,on peut trouver une ondition initiale

ρ

0

etun temps

T > 0

tels qu'il n'existe pas de solution ontinue à (1.20 ) sur

[0, T ] ×

R. On travaille alors ave des solutions faibles,obtenuesen multipliant l'équation(1.20 )parunefon tiontest

φ

de lasse

C

1

et

en intégrant parparties. Laformulationfaible permetd'obtenirl'existen edesolutionsà (1.20 ),

(1.21) , mais ne détermine pas la solution de façon unique. La formulation entropique est une

formulation plus stri te que la formulation faible et qui permet de séle tionner une seule des

solutions faibles, ellequiprovientdupassageàlalimitequand

ε → 0

delasolutionàl'équation parabolique suivante

∂

∂t

ρ

ε

+

∂

∂x

f (ρ

ε

, x) = ǫ∆ρ

ε

.

(1.22)

La formulation entropique ne fait pas intervenir le paramètre

ε

. En 1970, Kru

ˇ

z kov propose la dénition suivante [?℄

Dénition1.4.5(SolutionentropiquedeKruzkov). Unefon tion

ρ ∈ L

∞

_{([0, T ]×}

R

)

est appelée solution entropique deKruzkov du problème (1.20 ), (1.21 )sur

[0, T ] ×

R sipour toute onstante

k ∈

R, etpourtoute fon tion test

φ ≥ 0

de lasse

C

1

à support ompa t sur

[0, T [×

R ,on a

Z

T

0

Z

R

|ρ(x, t) − k|φ

t

+ sign(ρ(x, t) − k)[f (ρ(x, t), x) − f (k, x)]φ

x

− sign(ρ(x, t) − k)f

x

(k, x)dxdt +

Z

L

0

φ(x, 0)ρ

0

(x)dx ≥ 0.

(1.23) Lesquantités

(|ρ − k|)

k∈

R

sont appeléeslesentropies deKruzkov.Pour déterminerlasolution

à (1.20 ), on a rempla é le passage à la limite de la solution

ρ

ε

de (1.22) par une inégalité qui doitêtrevériéepourun ontinuumdeparamètres.Celapermetégalement dedéniruns héma

numériquepourtrouverlasolutionentropique,sanspasserparlepro essusdepassageàlalimite.

La solution dis rète entropique est onstruite de sorte à vérier un ontinuum d'inégalités. A

auseduterme

f

x

, ette dénitionn'adesens quepourdesfon tions

f

dérivablesen espa e.En 2005, Audusse et Perthame [3 ℄ proposent dansle asdes uxmonotones en

ρ

mais dis ontinus en

x

une formulation équivalente dans le sens où la solution qu'ils dénissent oïn ide ave la solution de Kruzkov quand le ux

f

est susamment régulier en

x

. Leurs hypothèses sont les suivantes

•

Le ux

f (., .)

est ontinu,saufsurun ensemblede mesurenulle en

x

.

•

Pour tout

x

hors de et ensemble de mesure nulle,

f (., x)

est lo alement Lips hitzienne et inversible.

•

Ilexistedeuxfon tions ontinues

f

−

, f

+

stri tementpositives,saufpeut-êtreenzérooùelles peuvent s'annuler, ave

f (±∞) = +∞

,et telles que pour tout

x ∈

R,

f

−

(ρ) ≤ |f (ρ, x)| ≤

f

+

(ρ)

.

Lesentropiesde Audusse-Perthamesont déniespar

(|ρ − k

p

(x)|)

p∈

R

où

k

p

estl'uniquesolution de

f (k

p

(x), x) = p

p.p. x ∈

R

.

(1.24) Pourfairelelienave lesentropiesdeKruzkov,onremarquequelesfon tions

k

p

sontlessolutions du problèmestationnaire

d

dx

f (k

p

, x) = 0.