Applications linéaires I

IUT Rodez Ann´ee universitaire 2008/2009

Informatique 1◦_{ann´ee TD de math´ematiques n}◦₂₄

TD n

_{24. Applications lin´}

eaires et compl´

ements.

Exercice 1 _{Dans l’espace vectoriel R}2

, on note B la base canonique de R2

: B = {−→e1 = (1, 0), −→e2 = (0, 1)}

et l’on consid`ere les familles

F1 = {−→u1 = (1, 1), −→u2 = (1, −1)} et F2 = {−→v1 = (1, 5), −→v2 = (1, 3)}.

1. Montrer que F1 et F2 sont des bases de R 2

.

2. D´eterminer la matrice de passage P1 de B `a F1 et la matrice de passage P2 de B `a

F2.

3. D´eterminer les coordonn´ees de n’importe quel vecteur (x, y) dans la base F1.

4. Donner en particulier les coordonn´ees des vecteurs −→v1 et −→v2 dans la base F1.

5. En d´eduire la matrice de passage P12 de F1 `a F2.

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Exercice 2 1. Parmi les applications suivantes, quelles sont, d’apr`es vous, celles qui sont lin´eaires ? f : R2 −→ R2 (x, y) 7−→ (x + y, x) g : R3 −→ R (x, y, z) 7−→ 2x + 3y − z h: R2 −→ R (x, y) 7−→ xy k : R2 −→ R2 (x, y) 7−→ (2x + 3y, x − 1) 2. V´erification alg´ebrique pour la fonction f .

Soient −→u = (x, y) et −→v = (x′_{, y}′_{) deux vecteur de R}2

et soient λ et µ deux r´eels. (a) Calculer l’image par f de la combinaison lin´eaire des vecteurs −→u et −→v de

coef-ficients λ et µ.

(b) Calculer la combinaison lin´eaire des images. (c) Conclure.

3. Effectuer le mˆeme travail pour les trois autres fonctions.

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Exercice 3 Soit f l’application

f : R3

−→ R3

(x, y, z) 7−→ (x + 2y − z, y + z, x + y − 2z) 1. V´erifier que f est une application lin´eaire.

2. On appelle Noyau de f l’ensemble des vecteurs de R3

qui sont envoy´es sur le vecteur nul. (On note cet ensemble Ker(f )).

(a) Montrer que le noyau de f est un SEV de R3

. (b) Donner sa dimension, ainsi qu’une base.

3. D´eterminer la matrice de f dans la base canonique de R3

.

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