Universit´e Toulouse 2 le Mirail Ann´ee universitaire 2006/2007 L2 MASS. Rattrapage analyse S3
Suites num´eriques.
Exercice 1 1. Montrer que toute suite convergeante est born´ee. 2. Montrer que toute suite croissante non major´ee tend vers +∞ 3. Montrer que si une suite converge, alors sa limite est unique.
4. (a) Soit (un) une suite num´erique telle que (u2n) et (u2n+1) convergent et ont mˆeme
limite `. Montrer qu’alors (un) converge ´egalement vers `.
(b) En d´eduire que la suite ((−1)n)
n∈N n’a pas de limite.
5. Montrer que si (un) est une suite positive qui ne tend pas vers +∞, alors (un) admet une
sous suite convergente.
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Exercice 2 Soit (un) une suite num´erique. on suppose que les suites extraites (u2n), (u2n+1)
et (u3n) convergent. Montrer qu la suite (un) converge ´egalement et que toutes ces suite ont
mˆeme limite.
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Exercice 3 1. Soit (rn)n∈N une suite d’entiers relatifs qui converge et soit r sa limite.
(a) Montrer que (rn) est stationnaire `a partir d’un certain rang. (Rappel : la plus petite
distance entre deux entier distincts est 1...) (b) En d´eduire que r est un entier relatif.
2. Soit x ∈ R\Q et soit (un) une suite de nombres rationnels qui converge vers x. Pour tout
n ∈ N, on note
un =
pn
qn
, (pn, qn) ∈ Z × N∗.
Montrer que (qn) et (|pn|) tendent vers +∞.
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Exercice 4 Soit f : N → N une application injective. Montrer que la suite (f (n))n∈N tend
vers l’infini.
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Exercice 5 Calculer les limites des suites (un)n∈N dans les cas suivantes :
a) un = 3n− 2n 3n+ 2n, b) un= n √ n2, c) u n = √ n + 1 −√n 1
******************** Exercice 6 Soient (un)n>2 et (vn)n>2 d´efinies par
un= n Y k=2 cosπ 2k , vn= unsin π 2n .
1. Montrer que (un) est monotone.
2. Montrer que (vn) est une suite g´eom´etrique.
3. En d´eduire vn puis un en fonctions de n.
4. En d´eduire la limite de la suite (un).
******************** Exercice 7 Soit (un)n∈N∗ d´efinie par
un= √ n 4n 2n n . 1. Montrer que (un) est monotone.
2. Soit (vn) d´efinie par vn= ln un+1− ln un.
(a) Montrer que pour tout x ∈ R+, on ln(x + 1) 6 x. (b) En d´eduire que n X k=1 vk6 1 8. 3. En d´eduire que (un) converge.
