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Divisibilité Dans Z 4ème Mathématiques
Exercice 1
1) Soit 𝑛 et 𝑎 deux entiers naturels non nuls tels que 𝑎 divise 21𝑛 + 3 et 𝑎 divise 14𝑛 + 9. Montrer que 𝑎 divise 21.
2) En déduire les valeurs de 𝑎.
Exercice 2
Résoudre dans ℤ les congruences suivantes : 3𝑥 ≡ 6 (𝑚𝑜𝑑 7) 𝑥2+ 2𝑥 − 1 ≡ 2 (𝑚𝑜𝑑 4)
2𝑥2− 3𝑥 + 4 ≡ 3 (𝑚𝑜𝑑 6) −2𝑥2+ 3𝑥 − 1 ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 5).
Exercice 3
Montrer que pour tout 𝑛 ∈ ℕ∗ on a :
32𝑛+1+ 2𝑛+2 est divisible par 7 et que 32𝑛 + 26𝑛−5 est divisible par 11.
Exercice 4
Répondre par « Vrai » ou « Faux » tout en justifiant la réponse.
1) L’équation : 35𝑥 ≡ 9 (𝑚𝑜𝑑 42) admet au moins une solution.
2) Si 𝑝 est premier et si 𝑝 > 3 alors 𝑝2 ≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 4).
3) 𝑥2 ≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 5) si et seulement si 𝑥 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 5) ou 𝑥 ≡ 4(𝑚𝑜𝑑 5).
Exercice 5
1) Une ou plusieurs réponse sont correctes. Donner la ou les réponses correctes.
1219 ≡ 𝑥 (𝑚𝑜𝑑 11) tel que −11 < 𝑥 < 11 alors :
a) 𝑥 = −9 b) 𝑥 = −2 c) 𝑥 = 0 d) 𝑥 = 9
2) Répondre par « Vrai » ou « Faux »
a) 1458 ≡ 13 (𝑚𝑜𝑑 17) b) 1458 ≡ −21 (𝑚𝑜𝑑 17) c) 1458 ≡ 1450 (𝑚𝑜𝑑 17) d) 1458 ≡ 1424 (𝑚𝑜𝑑 17).
Exercice 6
1) Montrer que 212 ≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 13)
et que
36 ≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 13) 2) En déduire que 270 + 370 ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 13).3) a) Montrer que 212 ≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 5).
b) Montrer que 212 ≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 65).
Exercice 7
1) Déterminer tout les entiers 𝑛 tel que 3𝑛 ≡ 5(𝑚𝑜𝑑 7)
2) Soit dans ℤ × ℤ l’équation (𝐸) ∶ 8𝑥 − 3𝑦 = 7.
a) Vérifier que (2 , 3) est une solution de (𝐸).
b) Déterminer alors toutes les solutions (𝑥 , 𝑦) de l’équation (𝐸).
3) On pose 𝑑 = 𝑥 ˄ 𝑦 où (𝑥 , 𝑦) est solution de l’équation (𝐸).
a) Déterminer toutes les valeurs de 𝑑.
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b) Déterminer tous les couples (𝑥 , 𝑦) solutions de (𝐸) tel que 𝑥 ˄ 𝑦 = 7.
c) Déterminer tous les entiers naturels 𝑎 et 𝑏 tel que 8𝑎 − 3𝑏 = 7 et 𝑎 ˅ 𝑏 = 453.
Exercice 8
Soit 𝑛 un entier naturel.
1) Déterminer pour tout entier 𝑛 de {0 , 1 , 2, 3, 4} le reste modulo 10 de 7𝑛. 2) Soit 𝑆 un entier naturel tel que : 𝑆 = 1 + 7 + 72+ ⋯ + 7400.
Déterminer le chiffre des unités de 𝑆
Exercice 9
Soit 𝑛 un entier naturel, on considère les entiers 𝑝 = 𝑛 + 5 et 𝑞 = 2𝑛 + 3 et on note 𝑑 = 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑝, 𝑞).
1) a)Calculer 2𝑝 − 𝑞. En déduire les valeurs possibles de 𝑑.
b) Montrer que si 𝑝 est un multiple de 7 alors 𝑞 est un multiple de 7.
c) Montrer que 𝑝 est un multiple de 7 si et seulement si 𝑛 ≡ 2(𝑚𝑜𝑑 7).
2) Montrer que 𝑑 = 7 si et seulement si 𝑛 ≡ 2(𝑚𝑜𝑑 7).
3) Déterminer 𝑑 dans chacun des cas suivants :
a) 𝑛 = 62020+ 72021
b) 𝑛 = 62020+ 82021
Exercice 10
1) Soient 𝑎 et 𝑏 deux entiers naturels non nuls tels que 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑎 + 𝑏 , 𝑎𝑏) = 𝑝, où 𝑝 est un nombre premier. a) Démontrer que 𝑝 divise 𝑎2. ( On remarquera que 𝑎2 = 𝑎(𝑎 + 𝑏) − 𝑎𝑏 ).
b) En Déduire que 𝑝 divise 𝑎. On constate donc, de même, que 𝑝 divise 𝑏. b) Démontrer que 𝑎 ˄ 𝑏 = 𝑝
2) On désigne par 𝑎 et 𝑏 deux entiers naturels tels que 𝑎 ≤ 𝑏. a) Résoudre le système (𝑆) ∶ {𝑎 ˄ 𝑏 = 5
𝑎 ˅ 𝑏 = 170
b) En déduire les solutions du système (𝑆′) ∶ {(𝑎 + 𝑏) ˄ (𝑎𝑏) = 5 𝑎 ˅ 𝑏 = 170
Exercice 11
Répondre par Vrai ou Faux en justifiant la réponse.
1) Pour tout entier naturel 𝑛 non nul, 𝑛 et 2𝑛 + 1 sont premiers entre eux.
2) Soit x un entier relatif, 𝑥2+ 𝑥 + 3 ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 5) si et seulement si 𝑥 ≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 5).
3) Soit 𝐴 un entier dont l’écriture en base 10 est 𝑎𝑏𝑎7. Si 𝐴 est divisible par 7 alors 𝑎 + 𝑏 est divisible par 7. 4) Pour tout entier naturel n, 3 divise le nombre 22𝑛− 1.
Exercice 12
Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 5, on considère les nombres: a = n3- n2- 12n et b = 2n2- 7n - 4.
1) Montrer, après factorisation, que a et b sont des entiers naturels divisibles par n - 4. 2) On pose 𝛼 = 2𝑛+1 et 𝛽= 𝑛 +3. On note 𝑑 le PGCD de α et β.
a) Établir une relation entre α et β indépendante de n.
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b) Démontrer que d est un diviseur de 5.
c) Démontrer que les nombres 𝛼 et 𝛽 sont multiples de 5 si et seulement si n - 2 est multiple de 5. 3) Montrer que 2n + 1 et n sont premiers entre eux.
4) a)Déterminer, suivant les valeurs de n et en fonction de n, le PGCD de a et b.
b) Vérifier les résultats obtenus dans les cas particuliers 𝑛 =11 et 𝑛 =12.
Exercice 13
Soit 𝑛 un entier naturel supérieur ou égale à 2.
1) a) Montrer que 𝑛 et 2𝑛 + 1 sont premier entre eux.
b) En déduire que : si 𝑑 est un diviseur de 2𝑛 + 1 alors 𝑛 et 𝑑 sont premier entre eux.
2) On pose 𝛼 = 𝑛 + 3 ; 𝛽 = 2𝑛 + 1 et 𝑑1 = 𝛼 ˄ 𝛽. a) Calculer 2𝛼 − 𝛽, en déduire les valeurs possibles de 𝑑1.
b) Démontrer que 𝛼 et 𝛽 sont multiples de 5 ssi (𝑛 − 2) est un multiple de 5.
3) On considère les entiers naturels 𝑎 et 𝑏 définies par :
𝑎 = 𝑛3+ 2𝑛2− 3𝑛 et 𝑏 = 2𝑛2− 𝑛 − 1
Factoriser 𝑎 et 𝑏, en déduire que 𝑎 et 𝑏 sont divisibles par (𝑛 − 1).
4) On pose 𝑑2 = 𝑛(𝑛 + 3)˄ (2𝑛 + 1) et 𝛿 = 𝑎 ˄ 𝑏
a) Montrer que 𝑑1 = 𝑑2 (on pourra montrer que 𝑑1 divise 𝑑2 et 𝑑2 divise 𝑑1). b) En déduire 𝛿 en fonction de 𝑑1 et 𝑛.
c) Application : Déterminer 𝛿 pour 𝑛 = 2002. Déterminer 𝛿 pour 𝑛 = 2010.
Exercice 14
Soit la suite (𝑈𝑛) définie sur ℕ par 𝑈0 = 1 et ∀𝑛 ∈ ℕ : 𝑈𝑛+1= 7𝑈𝑛+ 8
1) Montrer par récurrence que ∀𝑛 ∈ ℕ on a : 3𝑈𝑛 = 7𝑛+1− 4 2) On pose ∀𝑛 ∈ ℕ : 𝑆𝑛 = 1 + 7 + 72+ ⋯ 7𝑛 et 𝑆′
𝑛 = 𝑈0+ 𝑈1+ 𝑈2 + ⋯ 𝑈𝑛
a) Exprimer 𝑆𝑛 en fonction de 𝑛 puis trouver une relation entre 𝑆𝑛 et 𝑆′𝑛 b) En déduire que ∀𝑛 ∈ ℕ on a : 18 × 𝑆′𝑛 = 7𝑛+2− 24𝑛 − 31
3) a) Déterminer suivant les valeurs de l’entier naturel 𝑛, les restes modulo 5 de 7𝑛. b) Déterminer les valeurs de l’entier naturel 𝑛 pour que 𝑆′𝑛 soit divisible par 5.
Exercice 15
On considère les deux suites d’entiers naturels (𝑥𝑛) et (𝑦𝑛), définies sur ℕ par : {𝑥0 = 5
𝑥𝑛+1 = 3𝑥𝑛− 2 et {
𝑦0 = 1
𝑦𝑛+1 = 3𝑦𝑛+ 8
1) On définie la suite (𝑈𝑛), par 𝑈𝑛 = 𝑥𝑛− 1 pour tout 𝑛 ∈ ℕ.
a) Montrer que la suite (𝑈𝑛) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
b) En déduire que pour tout entier naturel 𝑛, on a : 𝑥𝑛 = 4 × 3𝑛+ 1. 2) a) Montrer que 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑥𝑛 , 𝑥𝑛+1) divise 2.
b) En déduire que 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑥𝑛 , 𝑥𝑛+1) = 1.
3) a) Montrer par récurrence, que pour tout entier naturel 𝑛, 5𝑥𝑛− 4𝑦𝑛 = 21.
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b) En déduire l’expression de 𝑦𝑛 en fonction de 𝑛. c) Déterminer les valeurs possibles du 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛).
4) a) Donner, selon les valeurs de l’entier naturel 𝑛, le reste de la division euclidienne de 3𝑛 par 7. b) Montrer que si 𝑛 ≡ 5(𝑚𝑜𝑑 6) alors 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛) = 7.
c) Déterminer 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑥2018 , 𝑦2018).
Exercice 16
On pose 𝑎 = 72009+ 72010+ 72011.
1) Soit 𝑛 un entier naturel. Discuter suivant les valeurs de 𝑛 le reste de 7𝑛 modulo 100. 2) En déduire qu’il existe un entier naturel 𝑘 tel que 𝑎 = 100𝑘 − 1.
3) a) En utilisant la formule du binôme, montrer que 𝑎100≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 1002). b) Déterminer les quatre derniers chiffres 𝑎100.
Exercice 17
1) Démontrer les propositions suivantes :
a) 2340 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 11)
b) Pour tout entier naturel 𝑛 ; 9 divise 73𝑛− 1.
c) Pour tout entier naturel 𝑛 ; 44𝑛+2− 3𝑛+3 est divisible par 11.
2) a) Donner suivant les valeurs de 𝑛 les restes de la division euclidienne de 2𝑛 par 7.
b) En déduire que si 𝑛 est un multiple de 3 alors 2𝑛+2+ 2𝑛+1+ 1 est divisible par 7.
Exercice 18
1) Montrer que ∀𝑛 ∈ ℕ on a : 4𝑛− 1 ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 3). 2) Montrer que 428− 1 ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 29).
3) Montrer que ∀𝑛 ∈ ℕ on a : 44𝑛 − 1 ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 17).
4) Déterminer les entiers naturels 𝑛 tel que 4𝑛− 1 ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 5). 5) En déduire de ce qui précède quatre diviseurs premiers de 428− 1.
Exercice 19
Pour tout 𝑛 de ℕ∗, on pose 𝑆
𝑛 = 1 + 31 + 312+ ⋯ + 31𝑛−1. 1) a) Montrer que : 𝑆2013 − 31 × 𝑆2012 = 1.
b) En déduire que 31 et 𝑆2013 sont premiers entre eux.
2) Montrer que Pour tout 𝑛 de ℕ∗ on a : 30 × 𝑆
𝑛 = 31𝑛− 1. 3) a) Montrer que 312013 ≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 𝑆2013).
b) Résoudre dans ℤ la congruence : 31𝑥 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 𝑆2013) 4) Par la suite on admet que 2011 est premier.
a) Montrer que si 𝑛 est premier et 𝑛 ≥ 7 alors 𝑛 divise 𝑆𝑛− 1.
b) Déterminer le reste modulo 2011 du nombre 𝑆2013.
Exercice 20
1) a) Déterminer selon les valeurs de l’entier naturel 𝑛, le reste de la division euclidienne de 2𝑛+ 3𝑛 par 5.
b) En déduire que pour tout entier naturel 𝑞, 24𝑞 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 5) et que 34𝑞 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 5).
Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ 5 2) Pour tout entier naturel 𝑘 ≥ 1, notons par 𝑟 le reste de la division euclidienne de 𝑘 par 4.
a) Quelles sont les valeurs possible de 𝑟 ?
b) Donner, selon la valeur de 𝑟, le reste de la division euclidienne de 2𝑘+ 3𝑘 par 5. 3) a) Soient , 𝛼 et 𝛽 trois entiers tel que 𝛼 et 𝛽 sont premiers entre eux.
Montrer que si {𝑝 ≡ 0(𝑚𝑜𝑑 𝛼)
𝑝 ≡ 0(𝑚𝑜𝑑 𝛽) alors 𝑝 ≡ 0(𝑚𝑜𝑑 𝛼𝛽)
b) Vérifier que pour tout entier naturel 𝑘 ≥ 1, 2𝑘+ 3𝑘 est impair.
c) Donner, suivant les valeurs de 𝑘, le chiffre des unités de 2𝑘+ 3𝑘. 4) Quel est le chiffre des unités de 22021+ 32021.
Exercice 21
Soit 𝑛 un entier naturel
1) Déterminer pour tout entier 𝑛 de {0 , 1 , 2,… , 6} le reste modulo 7 de 3𝑛. 2) Montrer que 3𝑛+6− 3𝑛 est divisible par 7.
3) a) Calculer le reste modulo 7 de 31000.
b) Quelle est le chiffre des unités de 31000 ?
4) Montrer que 3𝑛 n’est pas divisible par 7.
5) On pose pour tout 𝑛 ≥ 2 ; 𝑈𝑛 = 1 + 3 + 32+ ⋯ + 3𝑛−1.
a) Montrer que 𝑈𝑛 est divisible par 7 est équivaut à 3𝑛− 1 est divisible par 7.
b) En déduire les valeurs de 𝑛 pour que 𝑈𝑛 soit divisible par 7.
Exercice 22
1) Soit 𝑎 un entier tel que 𝑎 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 24) et 𝑎 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 54). Montrer que 𝑎 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 104). 2) Soit 𝑏 = (9217)4. Montrer que 𝑏 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 5) et 𝑏 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 24).
3) Pour tout entier naturel 𝑛, on pose 𝑏𝑛 = 𝑏5𝑛 − 1.
a) Montrer que pour tout entier naturel 𝑛, 𝑏𝑛+1 = (𝑏𝑛+ 1)5− 1.
b) En déduire que pour tout entier naturel 𝑛, 𝑏𝑛+1 = 𝑏𝑛5+ 5𝑏𝑛4+ 10𝑏𝑛3+ 10𝑏𝑛2+ 5𝑏𝑛.
4) a) Montrer que si 5𝑛+1 divise 𝑏𝑛 alors 5𝑛+2 divise 𝑏𝑛5.
b) Montrer par récurrence, que pour tout entier naturel 𝑛, 𝑏𝑛 ≡ 0(𝑚𝑜𝑑 5𝑛+1). 5) a) Montrer que (9217)500≡ 1(𝑚𝑜𝑑 625).
b) Montrer que (9217)500≡ 1(𝑚𝑜𝑑 1000).
c) Trouver un entier dont le cube est congru à 9217 modulo 1000.
Exercice 23
Soit la suite 𝑈 d’entiers naturels définie sur ℕ par : 𝑈0 = 14 et ∀𝑛 ∈ ℕ, 𝑈𝑛+1 = 5𝑈𝑛 − 6.
1) a) Calculer 𝑈1, 𝑈2, 𝑈3 et 𝑈4. b) Que peut-on conjecturer ?
2) a) Montrer que : ∀𝑛 ∈ ℕ on a : 𝑈𝑛+2 ≡ 𝑈𝑛 (𝑚𝑜𝑑 4).
b) En déduire que : ∀𝑘 ∈ ℕ on a : 𝑈2𝑘 ≡ 2 (𝑚𝑜𝑑 4) et 𝑈2𝑘+1 ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 4).
3) a) Montrer que : ∀𝑛 ∈ ℕ on a : 2𝑈𝑛 = 5𝑛+2+ 3
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b) En déduire que : ∀𝑛 ∈ ℕ on a : 2𝑈𝑛 ≡ 28 (𝑚𝑜𝑑 100).
4) Déterminer les deux derniers chiffres de l’écriture décimale de 𝑈𝑛 suivant les valeurs de 𝑛.
5) Montrer que le 𝑃𝐺𝐶𝐷 de deux termes consécutifs de 𝑈 est constant, préciser sa valeur.
Exercice 24
On admet que 1979 est premier
1) Résoudre dans ℤ l’équation : 2𝑥 ≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 1979).
2) On considère l’équation (𝐸) : 𝑥2− 𝑥 + 494 ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 1979).
a) Soit 𝑥 une solution de l’équation (𝐸) dans ℤ.
Déterminer le reste de la division euclidienne de (𝑥 − 990)2 par 1979.
b) En déduire les solutions de l’équation (𝐸) dans ℤ.
Exercice 25
Le but de l’exercice est de montrer qu’il existe un entier naturel 𝑛 dont l’écriture décimale du cube ce termine par : 2009 c'est-à-dire que n3 ≡ 2009 (mod 10000).
1) Déterminer le reste de la division euclidienne de 20092 par 16.
2) En déduire que 20098001≡ 2009 (𝑚𝑜𝑑 16).
3) On considère la suite (Un) définie sur ℕ par : 𝑈0 = 20092− 1 et ∀𝑛 ∈ ℕ ; 𝑈
𝑛+1 = (𝑈𝑛+ 1)5− 1
a) Montrer que 𝑈0 est divisible par 5.
b) Montrer que ∀𝑛 ∈ ℕ , 𝑈𝑛+1 = 𝑈𝑛[𝑈𝑛4+ 5(𝑈𝑛3+ 2𝑈𝑛2 + 2𝑈𝑛+ 1)].
c) Montrer par récurrence que ∀𝑛 ∈ ℕ , 𝑈𝑛 est divisible par 5𝑛+1.
4) a) Vérifier que 𝑈3 = 2009250− 1 puis en déduireque 2009250≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 625).
b) Montrer alors que 20098001 ≡ 2009 (𝑚𝑜𝑑 625).
5) a) En utilisant le théorème de Gauss et les résultats établis dans les questions précédentes, montrer que
20098001− 2009 ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 10000).
b) Déterminer alors un entier naturel dont l’écriture décimale du cube se termine par 2009
Exercice 26
1) Soit 𝑎 un entier tel que 𝑎 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 10).
a) Montrer que 𝑎9+ 𝑎8+ ⋯ + 𝑎 + 1 ≡ 0(𝑚𝑜𝑑 10).
b) En déduire que 𝑎10≡ 1(𝑚𝑜𝑑 102). ( On pourra utiliser l’égalité 𝑎10− 1 = (𝑎 − 1)(𝑎9+ 𝑎8+ ⋯ + 𝑎 + 1) ). 2) Soit 𝑏 un entier.
a) Déterminer les restes possibles de 𝑏4 dans la division euclidienne par 10. b) En déduire que 𝑏4≡ 1(𝑚𝑜𝑑 10) si et seulement si 𝑏 est premier avec 10. 3) Soit 𝑏 un entier premier avec 10.
a) Montrer que 𝑏40≡ 1(𝑚𝑜𝑑 102)
b) Déterminer les deux derniers chiffres de 6742.
