Fiche Spé Maths : divisibilité dans Z – © RB 27/09/2012 Page 1/1
Fiche Divisibilité dans Z
1) Divisibilité dans Z :
- Si a | b et b | c alors a | c
- Si a | b et b | a alors a = b ou a = –b
- Si a | b et a | c alors a | αb + βc , α et β entiers relatifs.
2) Division euclidienne :
- Dans N, a = b×q + r et 0 ≤ r < b
- Dans Z, a = b×q + r et 0 ≤ r < |b| ( a, b, q : entiers relatifs et r entier naturel).
3) Congruences :
- a ≡ b (n) ⇔ a = n×q + b : b est le reste de la division de a par n.
- a ≡ b (n) ⇔ a = n×q + r
b = n×q’ + r’ et r = r’ : a et b ont le même reste en division par n.
Conséquences :
- a ≡ 0 (n) ⇔ n | a
- a ≡ b (n) ⇔ n | ( a – b ) : cette méthode permet de vérifier si deux nombres sont congruents.
- si n’ | n et si a ≡ b (n) alors a ≡ b (n’)
- si a ≡ a’ (n)
b ≡ b’ (n) alors : - a + b ≡ a’ + b’ (n) - a – b ≡ a’ – b’ (n) - a × b ≡ a’ × b’ (n)
- si a ≡ a’ (n) alors : - k × a ≡ k × a’ (n) - ap ≡ a’p (n)
4) Décomposition en facteurs premiers :
- Un nombre est premier s’il n’est divisible que par 1 et par lui-même.
- Un carré se décompose en facteurs premiers d’exposants pairs.
- Si n ≥ 2 et n non premier , il existe au moins un facteur premier p de la décomposition de n tel que : p ≤ n .
